专题二中考数学转化思想(含答案)-

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中考数学第二轮复习专题(14个)

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值（） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

重庆市中考数学阅读理解题（专题二）含答案

学习必备欢迎下载重庆市2016中考数学阅读理解题（专题二）1、若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且的两个实数根，且|x |x 1|+|x 2|=2|k||=2|k|（（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2﹣6x 6x﹣﹣27=027=0，，x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，，，x 2+6x +6x﹣﹣27=027=0，，x 2+4x+4=0+4x+4=0，，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x +x﹣﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2、阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：解：y=2x+y=2x+≥=4=4．当且仅当．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，时，函数取得最小值，y y 最小=4=4．．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时7070～～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”“梦之点”，例如点（1,11,1）），（-2-2，，-2-2）），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

中考数学复习专题转化思想(含答案)

转化思想一. 选择题：（本题10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分；共40分）1、用换元法解方程xx x x +=++2221时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（）A 、y 2+y+2=0B 、y 2－y －2=0C 、y 2－y+2=0D 、y 2+y －2=0 2、如图，已知ABC ∆外有一点,P 满足PC PB PA ==，则（） A 、2231∠=∠ B 、21∠=∠ C 、221∠=∠ D 、2,1∠∠的大小无法确定3、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.54.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A 、0.71sB 、 0.70sC 、0.63sD 、0.36s 4、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（） A 、64πcm 2B 、64 cm 2C 、32 cm 2D 、48 πcm 25、已知实数x 满足01122=+++x x xx ，那么x x 1+的值为（） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-26、如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为1C ，这4个正三角形的周长和为2C ，则1C 和2C 的大小关系是（）第2题第3题第4题第6题A 、1C >2CB 、1C <2C C 、1C =2CD 、不能确定 7.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=aEF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c B 、a=b=c C 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a8. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，且a 、b 、c 使方程ax bx c 220-+=有两个相等实数根，则∠DBC 和∠A 的关系是（） A. ∠=∠DBC A B. ∠≠∠DBC AC. ∠>∠DBC AD. ∠<∠DBC A9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( ) (A) 36 (B)233 (C) 33 (D) 3 10. 已知a 、b 、c 是∆ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程ax bx c 220-+=两根的差的绝对值等于2，则∆ABC 中最大角的度数是（） A. 90︒B. 120︒C. 150︒D. 60︒二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）11、一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为__________12、某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2007个圆中有个空心圆； 13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为．HN O F CA DGMcab E B第7题第8题 D C12 A B 第9题第11题y(元)12x－3－2－101234y60－4－6－6－4065第13题038x(公里)第14题14.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达公里处．三、解答题：（共6小题，第15题10分、第16题10分、第17题10分、第18题9分、第19题10分、第20题11分）15、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）B太阳光线30°A C第15题16．一天上行6点钟，汪老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程S （km ）（即离开学校的距离）与时间（h ）的关系可用图4中的折线表示，根据图4提供的有关信息，解答下列问题：（1）开会地点离学校多远？（2）求出汪老师在返校途中路程S （km ）与时间t （h ）的函数关系式；（3）请你用一段简短的话，对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．17、已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E在边AB 上，且AE=1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k =1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k =1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置.（2）若k =2，则n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示n ）.A B CDP E 图1 A B C D P (E)C D A B C D A B C D A B A BC D 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2040 60 t (h ) s (km ) 图418、如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。

转化思想——精选推荐

转化思想谈“转化思想”在初中数学解题中的应⽤布卢姆在《教育⽬标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从⼀种形式向另⼀种形式转化的能⼒”。

如果学⽣在掌握双基的同时，接受了数学思想，学会了数学⽅法，就能激发学习数学兴趣，提⾼分析问题和解决问题的能⼒，并为以后的学习数学打下坚实的基础。

数学解题的本质就是转化，即把⽣疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把⼀般问题转化为特殊问题，把⾼次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把⼀个综合问题转化为⼏个基本问题；因此学⽣学会数学转化，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了⼼理达标的转换。

转化的⽬的是不断发现问题、分析问题，最终解决问题。

下⾯结合⾃⼰多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化⽅法。

⼀、运⽤数与形之间的“转化”，化抽象为直观。

初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础⽽展开的。

《初中数学新课程标准》（以下简称《新课标》）在学习内容中要求：“能运⽤图形形象地描述问题，利⽤直观来进⾏思考。

”如运⽤平⾯直⾓坐标系来解决有关函数⽅⾯的问题，可以通过图形将复杂或抽象的数量关系，直观形象地翻译出来。

探索出⼀条合理⽽乘势的解题途径；达到解决学⽣⼼中存在的困惑，培养学⽣的数学解题能⼒⽬的。

例：(2009 ⼴东肇庆中考)如图,已知⼀次函数y1=x+m(m为常数)的图象与反⽐例函数y2= (k≠0)的图象相交于点A(1,3)。

(1)求这两个函数的解析式及其图象的另⼀个交B的坐标。

（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的⾃变量的取值范围。

分析：(1)本题要求函数解析式，只要把点A(1,3)代⼊函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。

(2)要求两图象的另⼀交点B，只要解两个函数联⽴成的⽅程组，解得的另⼀组解（数转化为点），即得点B(-3,-1)，此解题就是将数转化为形过程（使学⽣直接感受到抽象的⽅程组解，就是在平⾯直⾓坐标系中两个图象的交点的坐标）。

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。

数学中考专题17 数学思想方法-转化思想

数学思想方法———转化与化归思想【考向分析】转化思想是数学中非常重要的思想方法，它是平时学习的常用方法，同时也是解决中考综合题的有利武器，一般来说，综合题都有一定的难度，它的解决一定基于我们学过并熟练掌握的基础知识，如何将其转化为自己所熟知的内容就成了解题关键.实际上，所谓的解题不过是将未知转化为已知的过程，即转化是解题时主要的思想方法。

【典型例题】例1 如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分34,120,===∠∠BC BD A ABC ，求梯形的面积。

例2 如图所示，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上的一点，DC AE ⊥，交DC 的延长线于点E ，且AC 平分EAB ∠。

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若524,6==AE AB ，求BD 和BC 的长。

A DCB例3 如图所示，NM 切⊙O 于P ，AB 是⊙O 弦，MN AM ⊥于M ，MN BN ⊥于N ，AB PQ ⊥于Q 。

求证：BN AM PQ ⋅=2。

例4 已知：如图1，在直角坐标系中，⊙1O 经过坐标原点，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ．（1）若点O 到直线AB 的距离为512，且43tan =∠B ，求线段AB 的长；（2）若点O 到直线AB 的距离为512，过点A 的切线与y 轴交于点C ，过点O 的切线交于D ，过点B 的切线交OD 于点E ，求BECD 11+的值．（3）如图2，若⊙1O 经过点M （2，2），设BOA ∆的内切圆的直径为d ，试判断d+AB 的值是否会发生变化，若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围.【随堂练习】1．如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30，使点A 落在抛物线()02<=a ax y 的图象上。

（1）求抛物线2ax y =的函数关系式；（2）正方形OABC 继续按顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛物线2ax y =的图象上？并求这个点的坐标；2．如图所示，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，以BC 边为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD 并延长交CA 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥OE 交EC 于点F 。

2014年数学中考二轮专题复习讲义：数学思想方法

2014年数学中考二轮专题复习讲义：数学思想方法【考纲要求】数学思想方法在中考中的常考点有：分类讨论思想方法，数形结合思想方法，化归思想方法以及代入法、消元法、待定系数法等；【命题趋势】数与几何的综合题所涉及到的思想方法很多，以数形结合思想为主线，综合考查其他思想方法的灵活运用，难度较大，一般为中考中的压轴题.题型分类、深度剖析：考点一、分类讨论思想：例1、(2013 ·凉山州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A，C 的坐标分别为(10,0)，(0,4)，点D是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标_____________________________．解：由题意，当△ODP 是腰长为5 的等腰三角形时，有三种情况．(1)如图，PD＝OD＝5，点P 在点D 的左侧．过点P 作PE⊥x 轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，DE＝PD2－PE2＝52－42＝3.∴OE＝OD－DE＝5－3＝2.∴此时点P坐标为(2,4)．(2)如图，OP＝OD＝5.过点P 作PE⊥x 轴于点E，则PE＝4.在Rt△POE中，OE＝OP2－PE2＝52－42＝3.∴此时点P 坐标为(3,4)．(3)如图，PD ＝OD ＝5，点P 在点D 的右侧．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝4.在Rt △PDE 中，DE ＝PD 2－PE 2＝52－42∴OE ＝OD ＋DE ＝5＋3＝8. ∴此时点P 坐标为(8,4)．答案：(2,4)或(3,4)或(8,4)归纳：分类讨论思想是研究与解决数学问题的重要思想之一，在中学数学的应用中十分广泛．由于数学研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，从而对不同属性的对象进行研究的思想，或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，正确的分类，必须遵循一定的原则，以保证分类科学、统一，不重复、不遗漏，并力求最简考点二、数型结合思想例2、(2013·杭州)如图给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x.①如果1a＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1；②如果a 2＞a ＞1a，那么a ＞1；③如果1a＞a 2＞a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2＞1a＞a 时，那么a ＜－1.则（）A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③ 解：易求x ＝1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为(1,1)．根据对称性，y ＝x 和y ＝1x在第三象限的交点坐标为(－1，－1)，如果1a＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1，①正确；如果a 2＞a ＞1a，那么a ＞1或－1＜a ＜0，②错误；如果1a＞a 2＞a ，那么a 值不存在，③错误；如果a 2＞1a＞a 时，那么a ＜－1，④正确．综上所述，正确的命题是①④. 答案：A归纳：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．考点三、化归转化思想：例3、(2013·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)解：设AB 的中点是O ，连结OE .S △ADC ＝12AD ·CD ＝12×4×4＝8，S 扇形OAE ＝14π×22＝π， S △AOE ＝12×2×2＝2，则S 弓形AE ＝π－2，∴阴影部分的面积为8－(π－2)＝10－π.归纳：将一个陌生的、未知的问题转化为一个熟悉的、已知的问题的思想叫做化归思想，也叫转化思想．化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．化归思想是数学的核心思想，又是未知通往已知的桥梁．跟踪练习：1、（聊城)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝8 cm ，点E,F,G 分别从点A,B,C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E,G 的速度均为2 cm/s ，点F 的速度为4 cm/s ，当点F 追上点G(即点F 与点G 重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S(cm 2)．(1)当t ＝1秒时，S 的值是多少？(2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围．(3)若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E,B,F 为顶点的三角形与以点F,C,G 为顶点的三角形相似？请说明理由．2、(2013·漳州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0 C ．当－1<x <3时，y >0 D ．－b2a＝13、(2013 ·烟台)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，四边形 EFGB 也是正方形，以 B 为圆心，BA 的长为半径画弧，连接 AF ，CF ，则图中阴影部分的面积为________．。

2024年中考数学总复习第一部分考点精练第二单元第2课时方程(组)的解法——转化思想的运用

图①
第11题图
图②
第2课时方程(组)的解法——转化思想的运用
12. (人教八上P154习题第1题改编)若关于x的分式方程 ax 3 1 3 无解，则 a的值为_0_或__－__1__．
x2 2 x
13. [新设问——结论开放] 若关于x的一元二次方程 (k－1)x2＋4x ＋1＝0 有实数根，则 k的值可以是4(答案不唯一，k≤5且k≠1即可) ____________________________.
第2课时方程(组)的解法——转化思想的运用
解解：题选关择键条点件②，得一元二次方程为x2＋3x＋1＝0， ∵根据32根－的4×判1别×式1确＝定5，b2>4c，从而选择正确的条件是解题的关键．
∴由求根公式得该方程的解为x1＝
3
2
5
，x2＝
3
2
5
.
解法二：
解：选择条件③，得一元二次方程为x2＋3x－1＝0，
∵32－x1＝
3
2
13
，x2＝3
2
13
.
第2课时方程(组)的解法——转化思想的运用
拔高题
18. [新考法——新定义问题](2023内江) 对于实数 a，b 定义运算
“ ”为a b＝b2－ab，例如：3 2＝22－3×2＝－2，则关于 x的方程 (k－3) x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( A
D. ①－②×3
4. (2023新疆)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得
到的方程是( D ) A. (x＋6)2＝28
B. (x－6)2＝28
C. (x＋3)2＝1
D. (x－3)2＝1
第2课时方程(组)的解法——转化思想的运用

中考数学复习攻略专题2 阅读理解与类比推理(含答案)

专题二阅读理解与类比推理两类事物具有相同的结构、特征，当我们了解其中一类事物的某些属性后，往往可去认识、猜测另一类事物是否也有类似的属性，这种思考问题的方法，称作类比．类比和归纳一样，也是科学研究中常用的方法．阅读理解型问题一般篇幅比较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为考生提供一段自学材料，其内容多以“定义一个新概念(法则)，或展示一个解题过程，或给出一种新颖的解题方法”为主．阅读理解型问题按解题方法不同在百色中考考查的题型可能有：(1)新定义概念或法则；(2)新知模仿；(3)迁移探究与应用.解答阅读理解型问题的基本模式：阅读→理解→应用，即重点是阅读，难点是理解，关键是应用．一般有以下几个步骤：(1)阅读给定材料，提取有用信息；(2)分析、归纳信息，建立数学模型；(3)解决数学模型，回顾检查．在解题过程中要避免以下几个问题：(1)缺乏仔细审题意识，审题片面；(2)受思维定式影响，用“想当然”代替现实的片面意识；(3)忽略题中关键词语、条件，理解题意有偏差；(4)缺乏回顾反思意识．中考重难点突破新定义概念或法则新定义概念或法则类以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等，解答时要在阅读理解的基础上解答问题．解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用已学的知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的已学知识去理解和解答．【例1】对于两个非零实数x ，y ，定义一种新的运算：x *y ＝a x ＋by.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是__－1__．【解析】所给新定义的运算中，有a ，b 两个字母，而题中只给了1*(－1)＝2一个条件，就不能把a ，b 两个值都求出来，但能求得a 与b 的数量关系，将a 与b 的数量等式代入到(－2)*2中即可得出结果．【例2】对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b .例如，max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( B )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】可分x ≥－1和x ＜－1两种情况进行讨论．①当x ＋3≥－x ＋1，即x ≥－1时，y ＝x ＋3，此时y 最小值＝2；②当x ＋3＜－x ＋1，即x ＜－1时，y ＝－x ＋1，此时y >2.∴y 最小值＝2.也可以通过图象很直观地求出最小值(如图，该函数图象为实线部分)，即为直线y ＝x ＋3与直线y ＝－x ＋1的交点的纵坐标．1．(2021·包头中考)定义新运算“⊗”，规定：a ⊗b ＝a －2b .若关于x 的不等式x ⊗m >3的解集为x >－1，则m 的值是( B )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 2．(2018·百色中考)对任意实数a ，b 定义运算“∅”：a ∅b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >b ），b （a ≤b ），则函数y ＝x 2∅(2－x )的最小值是( C )A ．－1B ．0C ．1D ．4新知模仿新知模仿类以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路和技巧，再以此为载体设置类似的问题．解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化，主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行解答问题．【例3】(2017·百色中考)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2－x －3的方法． (1)二次项系数2＝1×2；(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1. 即(x ＋1)(2x －3)＝2x 2－3x ＋2x －3＝2x 2－x －3，则2x 2－x －3＝(x ＋1)(2x －3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2＋5x －12＝__(x ＋3)(3x －4)__．【解析】如图，验算：1×(－4)＋3×3＝5，根据“十字相乘法”分解因式得出3x 2＋5x －12＝(x ＋3)(3x －4)即可．3．(2019·百色中考)阅读理解：已知两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中点K (x ，y )的坐标公式为：x ＝x 1＋x 22 ，y ＝y 1＋y 22.如图，已知点O 为坐标原点，点A (－3，0)，⊙O 经过点A ，点B 为弦P A 的中点．若点P (a ，b )，则有a ，b 满足等式：a 2＋b 2＝9.设B (m ，n )，则m ，n 满足的等式是( D )A ．m 2＋n 2＝9B ．⎝⎛⎭⎫m －32 2＋⎝⎛⎭⎫n 2 2＝9 C ．(2m ＋3)2＋(2n )2＝3 D ．(2m ＋3)2＋4n 2＝9 迁移探究与应用迁移探究与应用类，即阅读新问题并运用新知识探究问题或解决问题．解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决．【例4】(2018·百色一模)材料：对于式子2＋31＋x 2，利用换元法，令t ＝1＋x2，y ＝3t .则由于t ＝1＋x 2≥1，所以反比例函数y ＝3t 有最大值，且为3.因此分式2＋31＋x 2的最大值为5.根据上述材料，解决下列问题：当x 的值变化时，分式x 2－2x ＋6x 2－2x ＋3的最大(或最小)值为__2.5__．【解析】根据题意将分式变形，即可确定出最大值或最小值．4．在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法(如图①)：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴c ＝a sin A ，c ＝bsin B .∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角△ABC 中，探究 a sin A ，b sin B ，c sin C 之间的大小关系是__a sin A＝b sin B ＝csin C __(用“>”“<”或“＝”连起来). 5．(2021·广东中考)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p ＝a ＋b ＋c2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( C )A ．5B ．4C ．25D ．5中考专题过关1.(2021·张家界中考)对于实数a ，b 定义运算“☆”如下：a ☆b ＝ab 2－ab ，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x ＝2的根的情况为(D)A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例．指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 新运算 log 22＝1 log 24＝2 log 28＝3 … 指数运算 31＝3 32＝9 33＝27 … 新运算 log 33＝1 log 39＝2 log 327＝3 …①log 216＝4；②log 525＝5；③log 212＝－1.其中正确的是( B )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．(2021·甘肃中考)对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2 ＋b 3 ＝a ＋b2＋3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为(a ，b ).若(m ，n )是“相随数对”，则3m ＋2[3m ＋(2n －1)]等于( A )A ．－2B ．－1C ．2D ．3 4．(2020·百色二模)阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例如，求点P (1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离．解：由直线4x ＋3y －3＝0知，A ＝4，B ＝3，C ＝－3，∴点P (1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为d ＝|4×1＋3×3－3|42＋32＝2.根据以上材料，求点P 1(0，2)到直线y ＝512 x －16的距离为____2__． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：解一元二次不等式：x 2－4＞0.解：不等式x 2－4＞0可化为 (x ＋2)(x －2)＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0 或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，x －2<0.解不等式组①，得x ＞2；解不等式组②，得x ＜－2.∴(x ＋2)(x －2)＞0的解集为x ＞2或x ＜－2，即x 2－4＞0的解集为x ＞2或x ＜－2. (1)一元二次不等式x 2－16＞0的解集为__x ＞4或x ＜－4__；(2)分式不等式x －1x －3>0的解集为__x ＞3或x ＜1__．6．阅读下列运算过程： 13 ＝33×3 ＝33 ， 25 ＝255×5 ＝255 ，12＋1 ＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－12－1 ＝2 －1，13－2 ＝1×（3＋2）（3－2）（3＋2）＝3＋23－2 ＝3 ＋2 .数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可以把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：(1)化简：26 ＝__63 __，25－3 ＝，1n ＋1＋n＝；(2)计算：11＋3 ＋13＋5 ＋15＋7 ＋…＋12 021＋ 2 023＝___ 2 023－12 ___．。

专题02 方程、不等式中的含参问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学选填题高端精品(解析版)

专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。

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第2讲转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x，y轴于点A、C、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9．（1）求P点坐标；（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB右侧．作RT⊥x轴，•T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．分析：（1）求P点坐标，进而转化为求PB、OB的长度，P（m，n）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值．∵S△ABP=9，∴涉及AO长，应先求AO长，由于A是直线y=12x+2与x轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2，∴x=-4，∴AO=4．∴(4)2m n=9…①又∵点P（m，n）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、②得m=2，n=3，∴P（2，3）．（2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．分类讨论：①当24ba =…①又由P点求出可确定反比例函数y=6 x又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分．（1）求1MB +1NB的值；（2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么（1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ．（1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形．（1）求m ，n ，t 的值；（2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ．（1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB·OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1·x2=1a，∴OB·OC=│x1│·│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1·x2<0），•∴OB·OC=-1a，又∵OA2=OB·OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD·FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184DF =，DF=2cm ，∴BD 2=16，∴DE=BD=4cm ． 3．（1）∵111NB MB A B MB =，即11NB MBMB =-，得MB+NB=MB ·NB ，两边同除以MB ·NB 得1MB +1NB=1．（2）12MB ·NB=52，即MB ·NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB ·NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 1=52+，x 2=52-， ∵MB<NB ，∴（3）B 1MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ·cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区．5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t ，OP=1×t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12×•OP ×OQ=12×t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6）（2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3， ∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6，当x=3时，y=92≠3，∴点C不落在直线AB上．（3）△POQ∽△AOB时，①若OQ OPOB OA=，即6612t t-=，12-2t=t，∴t=4．②若OQ OPOA OB=，即6126t t-=，6-t=2t，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．考前热身训练1．（1）开口向上，P（2，-m2）．（2）设对称轴与x轴交于点C，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，∴A（-m+2，0），B（•m+2，0），∴AC=│2-（-m+2）│=m，（∵m>0）由抛物线对称性得PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2．∵∠APB=90°，∴易证AC=PC，即│m│=│-m2│，∴m1=0，m2=±1．∵m>0，∴m=1，∴△ABC的周长为．2．（1）m=-2，，（2）L1：y2L2：y=3（3）过B作BP1⊥AC于P1，则P1（32，2），过B作BP2⊥AB于P2，则P2（-2，2）．3．（1）y=1x（）．（2）（3）若△AEP∽△BEC，则AE APBE BC=，易知Rt△BAP≌Rt△CBE，BE=AP．BCAyxPO设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ，∴11t t t -=，∴，又∵0<t<1，∴t=12，即P 点存在，且AP=12．。