直线方程与圆的方程应用举例
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
直线与圆的方程的应用
课堂小结： 1、熟悉直线、圆的方程； 2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
分析:
如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。 本题关键是求出圆心O1的坐标.过O1作AC、BD、AD的垂线, 垂足为M , N, E,则它们分别是AC、BD、AD的中点,垂足M 的横坐标与O1的横坐标一致.同法可求出O1的纵坐标.
练习1:某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m.现有一 船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? (精确到0.1;其中 741 27.22 ) 分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断
A1P1或A2 P2的高度是否超过 3m
解：
以ห้องสมุดไป่ตู้示水面跨度的AB所在直线作为x轴，以表示拱高的OP所在的直线
证明：
如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA, BD所在 直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设
A(a,0), B(0,b),C(c,0), D(0, d ).
分别作O1M ,O1N ,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为M , N , E ,则它们分别是弦AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
0
2
(4 b)2
.............解得b r2
10.5, r 2
14.52
10.5直线与圆的方程应用举例
48（海里）．
32 42
由48 50 ，故渔船在不改变航向的情况下，它会受到台风 的影响．
10.5直线与圆的方程应用举例
1．若直线3x 4y m 0 与圆x2 y2 6x 5 0相切，求 m 的值． 2．著名的圆拱桥赵州桥跨度是 米．圆拱高约为 米，求这座 圆拱桥的圆拱所在圆的方程．
3．已知圆C：x2 y2 16 ，点 P(1, 2) 在圆内，过点 P 的直线 l与
圆 C 相交于 A、B 两点，且弦 AB是所有过点 P的弦中长度最
短的，求直线 l的方程．
解：建立如图所示直角坐标系，使圆心
在 y 轴上．设圆心的坐标是 ，圆的半径是r
，那么圆的方程是 x2 ( y b)2 r2 因为点A、P都在圆上，所以它们的坐标（9，0），
（0，4）都满足方程 x2 ( y b)2 r2 ．于是，得到方程组
92 (0 b)2 r2 , 02 (4 b)2 r2.
10.5直线与圆的方程应用举例
例2 一艘渔船正沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报，台风中心位于渔船的正东方80海里处，受到影响的 范围是半径为50海里的圆形区域．已知港口位于台风中心正北 方60海里处，假设台风中心不移动，试问：渔船在不改变航向 的情况下，它是否会受到台风的影响．
解：如图以台风中心为坐标原点，东西方向
为 轴x ，南北方向为 轴y 建立平面直角坐标系．
于是渔船Ａ和港口Ｂ的坐标分别为(80, 0)、(0, 60)
直线 AB的斜率为 k 60 0 3
0 (80) 4
求得直线 AB的方程为3x 4y 240 0 ．
10.5直线与圆的方程应用举例
240
台风中心点O 到直线 AB 的距离为 d
直线与圆的方程的实际应用
直线与圆的方 程的实际应用
综合应用
直线与圆的方 程的实际应用
坐标法
综合应用
典例精析
题型二：坐标法的应用
例2.如图所示，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐
标法证明E是CD的中点.
证明:如图所示，以O为坐标原点，以直 即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 解方程得 b r2 m2 , 设圆O的半径为r，|OE|＝m，则圆O的方 则CD的中点坐标为
12 (1)2
2
答案：-2
跟踪练习
2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m， 则拱桥的直径为________ m.
解析:设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
即 r 2 (r 4)2 62
解得 r 13
2
所以拱桥的直径为13 m.
答案：13
3
求新桥BC的长.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率
k AB
3 4
,
设点B的坐标为(a，b)，
则
k AB
b 60 a0
3 4
, kBC
b0 4, a 170 3
解得a＝80，b＝120. BC (170 80)2 (0 120)2 150,
因此新桥BC的长为150 m.
课堂小结
直线与圆的方 程的实际应用
新知探索
直线与圆的方程的实际应用方法
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给 出实际问题的答案.
新知探索
直线与圆的方程的实际应用方法
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
数学直线与圆的方程应用的笔记
数学直线与圆的方程应用的笔记一、直线的方程在数学中，直线是一类很重要的几何图形。
直线的方程是研究直线性质和运用直线的基本工具。
在平面直角坐标系中，可以通过不同的方法得到直线的方程。
1. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种形式，表示为y - y1 = k(x - x1)。
其中，(x1, y1)是直线上的已知点，k为直线的斜率。
通过已知点和斜率就可以确定一条直线。
2. 截距式方程截距式方程是直线方程的另一种形式，表示为y = mx + b。
其中，m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
通过斜率和截距就可以确定一条直线。
二、圆的方程圆是平面上的一条曲线，具有一定的特点。
圆的方程是描述圆形状的数学式子，可以通过不同的方法得到圆的方程。
1. 标准方程标准方程是描述圆形状的最常见形式，表示为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
其中，(a, b)是圆心的坐标，r为圆的半径。
通过圆心和半径就可以确定一个圆。
2. 参数方程参数方程是描述圆的另一种形式，表示为x = a + r * cos(t)和y = b + r * sin(t)。
其中，(a, b)是圆心的坐标，r为圆的半径，t为参数。
通过参数t的变化可以得到圆上的不同点。
三、应用示例直线和圆的方程在实际应用中有很广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 几何问题直线和圆的方程可以用来解决几何问题，例如确定两条直线的交点、判断点是否在圆内等。
通过方程的计算，可以得到几何图形的具体性质和关系。
2. 物理问题直线和圆的方程也常常被应用于物理问题的求解中。
例如，通过直线的斜率可以求解物体的运动速度和加速度等。
通过圆的方程可以描述物体的运动轨迹等。
3. 工程问题直线和圆的方程在工程问题中也有很多应用。
例如，通过方程可以确定两条线之间的夹角，用于机械设备的设置和调整。
通过圆的方程可以确定圆形零件的尺寸等。
结论直线和圆的方程是数学中的重要概念，可以应用于各种实际问题中。
直线与圆的方程的应用ppt
直线与圆的方程的应用直线与圆的方程是高中数学中的基础知识点，它们在几何图形的研究中起到重要作用。
本文将介绍直线和圆的方程的基本概念，并以实际应用为例，展示它们在解决实际问题中的应用。
直线的方程在平面几何中，直线可以用不同的方程表示，常见的有一般式、点斜式和斜截式方程。
•一般式方程：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
•点斜式方程：点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
•斜截式方程：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线在y轴上的截距。
直线的方程可以通过给定的条件进行推导和转换。
通过直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、斜度和与其他几何图形的关系等。
圆的方程圆是一个由一组离一个固定点的距离相等的点所组成的集合。
在平面几何中，圆的方程有多种表示方式。
•一般式方程：一般式方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径。
•标准方程：标准方程表示为(x - a)² + (y - b)² = R²，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示圆的半径。
•参数方程：参数方程表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径，θ为参数。
圆的方程描述了圆心坐标、半径和点与圆的关系等信息。
通过圆的方程，我们可以确定圆的位置、形状和与其他几何图形的关系等。
直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题是直线和圆的方程应用的一个重要部分。
在解决直线与圆的相交问题时，我们需要先将直线的方程和圆的方程联立，求解它们的交点。
当直线与圆相交时，交点可以有两个、一个或没有。
我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标，进而得到它们之间的关系。
圆的方程与直线与圆的关系
圆的方程与直线与圆的关系圆是几何学中的重要概念之一，也是人们日常生活中常见的几何形状。
圆所具备的一些性质使得它与直线之间存在着一系列的关系，这些关系常常在数学推导和实际应用中得到充分的体现和利用。
本文将探讨圆的方程及其与直线之间的关系。
一、圆的方程圆是由一组等距离于中心的点组成的集合，在平面直角坐标系中，如果圆的中心坐标为（a,b），半径为r，那么圆的方程可以表示为：（x-a）² + （y - b）² = r²其中（x，y）为圆上任意一点的坐标。
二、直线与圆的关系2.1 直线与圆相离当一条直线与圆不相交且也不相切时，称直线与圆相离。
2.2 直线与圆相切当一条直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。
2.3 直线与圆相交当一条直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
直线与圆相交时，可以进一步分为以下几种情况：2.3.1 直线穿过圆当一条直线通过圆的中心时，直线与圆的交点个数为2个，直线称为圆的直径，两个交点称为圆的端点。
2.3.2 直线与圆的交点在圆内当直线与圆相交，交点在圆的内部时，直线与圆的交点个数为2个。
此时，根据勾股定理可以求出交点的具体位置。
2.3.3 直线与圆的交点在圆外当直线与圆相交，交点在圆的外部时，直线与圆的交点个数为2个。
这种情况下，可以利用直线与圆的方程联立求解来确定交点的坐标。
三、应用举例在现实生活中，圆与直线的关系有着广泛的应用。
以下是一些示例：3.1 圆形运动在物理学中，当一个物体以某个点为圆心做匀速圆周运动时，轨迹是一个圆。
这种运动可以通过圆的方程来描述，而物体所在的位置可以通过直线与圆的交点来确定。
3.2 圆的切线圆的切线是直接与圆相切的直线。
切线与圆的切点可以唯一地确定一条切线。
切线问题在几何推理中有着广泛的应用，例如在建筑设计、路线规划等方面。
3.3 圆的包络线考虑一组与圆心距离相等的直线，当直线逐渐旋转时，所形成的曲线被称为圆的包络线。
直线与圆的方程应用举例
2.画出方程 x3 4y2表示的曲线.
解：显然 x3 4y2 中， x, y必须满足 x 3 , 2 y2. 由 x3 4y2 得，(x3)2y2 4. 所以方程 x3 4y2表示的曲线是: 以圆心为(3,0)，半径为2的圆的右半圆.
y
o
x
画出方程 y 9(x1)2 表示的曲线.
3.如图是某拱桥的圆拱示意图. 跨度AB=20m，拱高OP=4m.
所以方程
表示的曲线是:
O
150
A 100 B x
(2)当卸完货返航时，船水面以上高3.
有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，
如图是某拱桥的圆拱示意图.
∵A, B, P在圆上，
直线与圆的方程应用举例
如图，某城市的摩天轮的高度是100米，在离摩天轮约150米处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑物顶部看到
16 4 E F 0
A
A1 A2 O A3 A4
Bx
解得 D=0，E=21，F= –100，
因此，圆的方程为x2+y2+21y–100=0.
令x= –2， 解得y≈3.86. 答：支柱A2P2的高度约为3.86m.
某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米. 有一货船，装满货过 桥，顶部宽4米，水面以上高3米， (1)请问此船能否通过？ (2)当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
y
PN
A
OM
Bx
垂足为H，交圆面，某直角城坐标市系，的用坐摩标和天方程轮表示的问题高中的度几何是元素1，0将0平米面几，何问在题转离化为摩代数天问题轮； 约150米
处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑 所以方程
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例9 某施工单位圆拱时，需要制作如图所示的木模，设圆拱高为 1m，跨度为6m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求经过点 E的柱子长度（精确到0.01m）x
解： 以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，建立直角坐标系，则点E的坐标 为（1,0），圆心o’在y轴上
练1 赵州桥圆拱的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，适当选取坐标系求出 其圆拱所在圆的方程
例8 从点M（2,2）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（-8,3），求反射点P的坐标 练1 从点M（2,-3）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（-5,-4），求反射点P的坐标 练2 光线从点M（-2,3）射到点P（1,0），然后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程 练3 光线从点M（3,2）射到点P（2,0），然后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程
练2 某地要建造一座跨度为8m，拱高为2m的圆拱桥。每隔1m需要一根 支柱支撑，求第二根支柱的长度（精确到0.01m）