浙江省诸暨海亮高中2016届高三上学期期中考试数学理试题
2016届浙江省绍兴市一中高三上学期期中考试数学(理)试题 【解析版】
2016届浙江省绍兴市一中高三上学期期中考试数学（理）试题及解析一、选择题1．若全集U R =，集合{}24M x x =>，301x N xx ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则)(N C M U 等于（ ）A ．{2}x x <-B ．{2x x <-或3}x ≥C ．{3}x x ≥D ．{23}x x -≤< 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意得，{2M x =<-或2}x >，{|13}N x x =-<<，∴()U M C N = {2x x <-或3}x ≥，故选B ．【考点】集合的运算．2．已知 “命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．1m >或7m <-B ．1m ≥或7m ≤-C ．71m -<<D ．71m -≤≤ 【答案】B ．【解析】试题分析：p ：x m <或3x m >+，q ：41x -<<，又∵p 是q 的必要不充分条件，∴1m ≥或347m m +≤-⇒≤-，故选B ． 【考点】充分必要条件．3．已知1b a >>，0t >，若xa a t =+，则xb 与b t +的大小关系为（ ）A ．x b >b t +B ．x b =b t +C ．xb <b t + D ．不能确定 【答案】A ．【解析】试题分析：∵1b a >>，0t >，∴1x xa a t a a t x =+⇒-=⇒>，令()(1)()(()1)x x x x bf x b a b a f x a a=->>⇒=-，易得()f x 在(1,)+∞上单调递增，即1x >时，有()(1xxxxf x f b a>⇒->-，故选A ． 【考点】函数的单调性．4．对两条不相交的空间直线a 和b ，则（ ） A ．必定存在平面α，使得a α⊂，b α⊂ B ．必定存在平面α，使得a α⊂，//b α C ．必定存在直线c ，使得//a c ，//b cD ．必定存在直线c ，使得//a c ，b c ⊥ 【答案】B ．【解析】试题分析：A ：若a ，b 为异面直线，则不存在这样的平面α，故A 错误；B ：根据线面平行的定义及其判定，可知B 正确；C ：若存在这样的直线c ，则有//a b ；故C 错误；D ：若若存在这样的直线c ，则有a b ⊥；故D 错误，故选B ． 【考点】空间中直线平面的位置关系．5．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1=+by ax 与线段AB 有一个公共点，那么22b a +（ ） A ．最小值为51B ．最小值为55C ．最大值为51D ．最大值为55【答案】A ．【解析】试题分析：分析题意可知，A 点与B 点在直线1ax by +=的两侧或有一个点在直线1ax by +=上，∴(1)(21)0a a b -+-≤，且101210a a ab -=⎧⇒=⎨+-=⎩，1b =-不同时成立，画出如下可行域，故可知222min 1()5a b +==，无最大值，故选A ．【考点】线性规划的运用．6．已知函数()sin()f x x π=-，()()g x cos x π=+，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数)()(x g x f y ⋅=的最小正周期为π2 B ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为2C ．将函数的图)(x f y =象向左平移2π单位后得)(x g y =的图象 D ．将函数)(x f y =的图象向右平移2π单位后得)(x g y =的图象【答案】C ．【解析】试题分析：∵()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-， ∴sin 2()()sin (cos )2x f x g x x x ⋅=-⋅-=。
【数学】高三数学上学期期中习题理4
【关键字】数学阿盟一中2015－2016学年度第一学期期中试卷高三年级（理科）数学试卷注意事项：1、试卷内容必须答在试卷边框方框线以内，否则不得分；2、试卷I的选择题答案必须涂在答题卡上，否则不得分。
一、选择题(每题有且只有一个正确答案,每题5分,共60分)1．复数（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．2. 已知集合（）A. B. C. D.3．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a＝( ) A．3 B. C．5 D.4. 设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递加数列”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.6．已知向量,则的充要条件是（）A．B．C．D．7．为得到函数的导函数图象，只需把的图象上所有点（）A．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移8．设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则（）(第9题图)A．B．C．D．9．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为( ) A．－2 B．－1 C. D．210．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为( )已知函数()23sin()cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1． （1）求常数a 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f(x)的单调区间． 22．（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4sin(24+=θρ.现以极点O 为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 233,212（t 为参数）.（1）写出直线L 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程.（2）设直线L 和曲线C 交于A,B 两点，定点P(-2，-3),求|PA|·|PB|的值.阿盟一中2015－2016学年度第一学期期中试卷高三年级(理科)数学试卷答题纸二、填空题(每题5分,共20分)13 . 14. q = , n s = ． 15. 16． 三.解答题(共70分 ) 17. （本小题满分12分） 18．(本小题满分12分) 19．（本小题满分12分） 20．（本小题满分12分） 21．(本小题满分12分) 22．(本小题满分10分)试卷类型：A阿盟一中2015－2016学年度第一学期期中试卷高三年级（理科）数学试卷命题教师 杨成学 审卷教师 注意事项：1、试卷内容必须答在试卷边框方框线以内，否则不得分；2、试卷I 的选择题答案必须涂在答题卡上，否则不得分。
高三上学期期中数学试卷(理科)第1套真题
高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题1. 已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A . {﹣1，2}B . {﹣1，0}C . {0，1}D . {1，2}2. 设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A . 1B .C .D . 23. 已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=ex+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A . 4B . ﹣4C . 6D . ﹣64. 如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A . 若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB . 若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C . 若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D . 若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH 为矩形5. 已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an﹣12+an+12（n≥2），bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn，则S33的值是（）A .B .C .D . 36. 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A .B .C .D .7. 已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f（a）．若，则实数a的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 68. 在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）A .B .C .D .9. 曲线f（x）= 、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A . ln2B . ln3C . 2ln2D .10. 已知边长为的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A . 20πB . 24πC . 28πD . 32π11. 已知函数f（x）满足，当时，f（x）=lnx，若在上，方程f（x）=kx有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A .B . [﹣4ln4，﹣ln4]C .D .12. 已知函数的图象关于直线对称且在区间上单调，则ω可取数值的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题13. 命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是________．14. 已知，则=________．15. 已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则的最小值为________．16. 已知函数f（x）=﹣f’（0）ex+2x+3，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为________．三、解答题17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立．（1）记bn=log2an，求数列{bn}的通项公式；（2）设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．18. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4 ，求b+c的取值范围．19. 在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值．20. 已知函数f（x）=ex﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC=AC，平面PAC⊥平面ABCD．（1）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．22. 已知f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，+∞）．（1）证明：；（2）证明：当a≥1时，f（x）≤eax﹣2．。
浙江省诸暨中学高三数学上学期期中考试(理)
浙江省诸暨中学高三数学上学期期中考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集R U =，A =}4|{2>x x ，B ={1log |3<x x }， 则B A =A ．{2|-<x x }B ．{|23x x <<}C ．{|3x x >}D ．{2|-<x x 或23x <<} 2．有下列四个命题，其中真命题有①“若x +y =0，则x , y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若0>m ，则02=-+m x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④3．已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是 A ．若α⊥m ，β⊥n ，αβ⊥，则m n ⊥. B ．若α⊥m ，n ∥β，αβ⊥，则m n ⊥. C ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n . D ．若m ∥α，n β⊥，αβ⊥，则m ∥n .4．在ABC ∆中，C B A 、、是它的三个内角，则B A <是B A sin sin <的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．数列}{n a 满足211=++n n a a )(*∈N n ，12=a ，n S 是}{n a 的前n 项和，则21S 的值为A ．29 B ．211C ．6D ．10 6．已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：x 1 2 3 x 1 2 3 )(x f 2 3 1 )(x g 3 2 1则方程x x f g =)]([的解集为A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．φ7．设))(4sin3sin,4cos3(cosR x x x x x M ∈++ππππ为坐标平面上一点，记2||)(2-=OM x f ，且)(x f 的图像与射线)0(0≥=x y 交点的横坐标由小到大依次组成数列}{n a ，则||3n n a a -+=A ．24B ．36C ．π24D ．π36 8．设动点坐标),(y x 满足⎩⎨⎧≥≥-++-30)4)(1(x y x y x ，则22y x +的最小值为A ．5B ．10C ．217D ．10 9．已知锐角A 是ABC ∆的一个内角，c b a 、、是它的对应边，若21cos sin 22=-A A ，则A ．a c b 2=+B ．a c b 2<+C ．a c b 2≤+D ．a c b 2≥+10．如图，点P 为ABC ∆的外心，且4||=AC ，2||=AB ，则)(AB AC AP -⋅等于 A ．4 B ．6 C ．8D ．10二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分.11．若向量),1(k a =，)6,2(-=b ，k R ∈，且a ∥b ，则a +b = ▲ ． 12．已知βα、),43(ππ∈，sin (βα+)=－,53 sin 1312)4(=-πβ，则)4cos(πα+= ▲ .13．若函数)(x f 在)2,0(上是增函数，函数)2(+x f 是偶函数，则)1(f 、)25(f 、)27(f 的大小关系是（由小到大的顺序） ▲ .14．已知整数对的序列如下：),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1(),4,1(),3,2( ),4,2(),5,1(),1,4(),2,3(，则第61个数对是 ▲ ．15．抛物线x y 22=与直线x y -=4围成的平面图形的面积是 ▲ .16．已知ABC ∆中，2=AB ，1=BC ，120=∠ABC ，平面ABC 外一点P 满足2===PC PB PA ，则三棱锥ABC P -的体积是 ▲ .17．在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 __▲_.C三、解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数23cos sin cos 2)(2-+=x x b x a x f ，且23)0(=f ，21)4(=πf . ⑴求函数()f x 的表达式； ⑵求函数()f x 的单调递增区间； ⑶当]2,0[π∈x 时，求函数()f x 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知一四棱锥ABCD P -的三视图如下. ⑴画出四棱锥ABCD P -的直观图； ⑵求点B 到平面PAD 的距离；⑶求直线AB 与平面PAD20．（本小题满分14分）已知函数bx axx f +=2)(在1=x 处取得极值2.⑴求函数)(x f 的解析式；⑵问m 满足什么条件时，区间)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间？⑶若),(00y x P 为函数)(x f 图像上的任意一点，直线l 与函数)(x f 的图像切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围.21.(本小题满分15分)设0>a ，函数x x x a x f --++-=111)(2的最大值为)(a g .⑴设x x t --+=11，求t 的取值范围，并把)(x f 表示为t 的函数)(t m ； ⑵求)(a g ；⑶试求满足)1()(ag a g =的所有实数a .22．（本小题满分15分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(11*∈+-=N n S t t a n n ，其中t 为常数，)2,21(∈t ，n n a b lg =. ⑴求数列}{n b 的通项公式；正视图⑵1≠t 时，设)(2)(212*++∈++=N n b x b x b x f n n n 的图像在x 轴上截得的线段长为n c ，求)2(1433221≥++++-n c c c c c c c c n n ；⑶若)1(21nn n a a d +=，数列}{n d 的前n 项和为n T ，求证：n n n T )22(2-<.诸暨中学2008—2009学年第一学期期中考试高三理科数学参考答案一、选择题： 题 号12345678910答 案 B C A C A C B D C B二、填空题：11．（-1，3） 12．6556-13． )27(f <)1(f <)25(f 14．（6，6） 15．18 16．6517．{-1，0}三、解答题：18．⑴)32sin()(π+=x x f⑵)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ ⑶]1,23[-19．⑴略⑵552 ⑶55 20．⑴14)(2+=x xx f ⑵01<<-m⑶421≤≤-k21．⑴22≤≤-t ； )22(21)(2≤≤-++-=t a t at t m⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<=)22(21)220(2)(a a aa a g⑶1=a22．⑴t n b n lg = ⑵)11(4n-⑶先证明)212(21n n n d +<。
2016年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．[﹣2，3]B．（1，3]C．（1，3） D．（1，2]2．（5分）已知等差数列{a n}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=203．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）A．B．C．D．6．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+1+a n=（﹣2）n，S n是数列{a n}的前n项和，则S6=（）A．﹣62 B．62 C．﹣42 D．427．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数8．（5分）在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）若{a，0，1}={c，，﹣1}，则a=，b=，c=．10．（6分）若角α终边所在的直线经过点，O为坐标原点，则|OP|=，=．11．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则m=，f（﹣log35）的值为．12．（4分）若，则cos2θ=．13．（4分）在数列{a n}中，设a1=a2=2，a3=4，若数列为等差数列，则a5=．14．（4分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A ∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是．15．（6分）已知两个非零平面向量满足：对任意λ∈R恒有，则：①若，则=；②若的夹角为，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知向量=（1，sinθ），=（2，1）．（1）当θ=时，求向量2+的坐标；（2）若∥，且θ∈（0，），求sin（θ+）的值．17．（15分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．18．（15分）已知等比数列{a n}的公比大于零，a1+a2=3，a3=4，数列{b n}是等差数列，，c≠0是常数．（1）求的值，数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足：当n为偶数时c n=a n，当n为奇数时c n=b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（15分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，a∈R．（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤6，求实数a的取值范围．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n（n∈N*）．（1）求a1，a2的值，并证明：数列{a n+1}是等比数列；（2）证明：．2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．[﹣2，3]B．（1，3]C．（1，3） D．（1，2]【解答】解：由集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＜﹣2或x＞3}，B={x|x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤3}．则（∁R A）∩B={x|﹣2≤x≤3}∩{x|x＞1}={x|1＜x≤3}．故选：B．2．（5分）已知等差数列{a n}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20【解答】解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；a6+a10≠a16，即C错误a4+a12=a6+a10=20，即D正确．故选：C．3．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．4．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）∵|φ|，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得﹣log2m=log2n，=n，函数f（x）=|log2x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴||=2，或log2n=2．∴当||=2时，n=，n=2，m=．此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当log2n=2时，n=4，m=，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为||=4，不满足条件．综上，n=2，m=．故选：C．6．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+1+a n=（﹣2）n，S n是数列{a n}的前n项和，则S6=（）A．﹣62 B．62 C．﹣42 D．42【解答】解：由a n+a n=（﹣2）n ①，得+1②，②﹣①得：．由a1=1，a n+1+a n=（﹣2）n，得a2=﹣3．∴a3=a1+6=7，a5=a3+24=31，a4=a2﹣12=﹣15，a6=a4﹣48=﹣63．∴S6=a1+a2+…+a6=1﹣3+7﹣15+31﹣63=﹣42．故选：C．7．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选：C．8．（5分）在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，由于（）⊥，则（）•=（）•（）=0，即﹣4+3=0，即c2﹣4bc•cosA+3b2=0．解得cosA==（）≥，当且仅当时，即c= b 时，等号成立．故cosA的最小值为，故A的最大值为，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）若{a，0，1}={c，，﹣1}，则a=﹣1，b=1，c=0．【解答】解：由题意得：a=﹣1，c=0，b=1，故答案为：﹣1，1，0．10．（6分）若角α终边所在的直线经过点，O为坐标原点，则|OP|=1，=．【解答】解：∵角α终边所在的直线经过点，O为坐标原点，则|OP|==1，cos（+α）=﹣sinα=﹣=﹣，故答案为：1；﹣．11．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则m=﹣1，f（﹣log35）的值为﹣4．【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1，∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（﹣1）=﹣（5﹣1）=﹣4，故答案为：﹣1，﹣4．12．（4分）若，则cos2θ=．【解答】解：∵，∴（cosθ+sinθ）•（cosθ﹣sinθ）=，∴（cos2θ﹣sin2θ）=，∴cos2θ=，∴cos2θ=故答案为：13．（4分）在数列{a n}中，设a1=a2=2，a3=4，若数列为等差数列，则a5= 48．【解答】解：=1，=2，∵数列为等差数列，其首项为1，公差d=1．∴=1+（n﹣1）=n，∴a4=3a3=12，a5=4a4=48．故答案为：48．14．（4分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是[，）．【解答】，解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，即A={x|x＜﹣3或x＞1}，函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，f（﹣3）=6a+8＜0，由对称性可得，要使A∩B恰有一个整数，即这个整数解为2，∴f（2）≤0且f（3）＞0，即，解得：，即≤a＜，则a的取值范围为[，）．故答案为：[，）15．（6分）已知两个非零平面向量满足：对任意λ∈R恒有，则：①若，则=8；②若的夹角为，则的最小值为．【解答】解：①由得，①；∵，∴上式整理可得，﹣2；∴不等式对任意的λ∈R恒成立；∴；∴；∴；∴；②由①整理得：②；∵夹角为；∴，带入②并整理得：，||≠0，该不等式对任意λ∈R 恒成立；∴；∴；∴；∴===（t﹣1）2+3≥3；∴的最小值为．故答案为：8，．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知向量=（1，sinθ），=（2，1）．（1）当θ=时，求向量2+的坐标；（2）若∥，且θ∈（0，），求sin（θ+）的值．【解答】解：（1）∵，∴=，∴向量2+=；（2）∵∥，∴，又∵，∴，∴17．（15分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．【解答】解：（I）∵b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．由正弦定理得，．即（cos A﹣3cos C）sin B=（3sin C﹣sin A）cos B，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．又A+B+C=π，∴sin C=3sin A，因此=．（II）由=得c=3a．由余弦定理及cosB=得b2=a2+c2﹣2accos B=a2+9a2﹣6a2×=9a2．∴b=3a．又a+b+c=14．从而a=2，因此b=6．18．（15分）已知等比数列{a n}的公比大于零，a1+a2=3，a3=4，数列{b n}是等差数列，，c≠0是常数．（1）求的值，数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足：当n为偶数时c n=a n，当n为奇数时c n=b n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1+a2=3，a3=4，∴a1（1+q）=3，=4，解方程组得到：a1=1，q=2，则；利用2b2=b1+b3得c=1，于是得到b n=n；（2）当n为偶数时，S n=c1+c2+…+c n=，当n为奇数时，S n=c1+c2+…+c n==．19．（15分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，a∈R．（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤6，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）首先f（x）的对称轴为x=﹣a，x∈R时，，因为函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，所以，解得a≥2或a≤﹣1；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤6等价于在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤6，据此分类讨论如下：f（﹣1）=3﹣2a，f（﹣a）=2﹣a2，f（1）=3+2a，（ⅰ）当﹣a≤﹣1即a≥1时，．（ⅱ）当﹣1＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜1时，恒成立．（ⅲ）当﹣a≥1，即a≤﹣1时，．综上可知，．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n（n∈N*）．（1）求a1，a2的值，并证明：数列{a n+1}是等比数列；（2）证明：．【解答】解：（1）当n=1时，2a1﹣1=S1，解得a1=1，当n=2时，S2=2a2﹣2⇒a1+a2=2a2﹣2⇒a2=a1+2=3，当n≥2时，S n=2a n﹣n，S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1），两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣1，即a n=2a n﹣1+1，+1），两边同加1得到：a n+1=2（a n﹣1所以{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）证明：，，求和得到不等式：，因为，所以原不等式成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
浙江省诸暨市高三数学上学期期中考试试题 文 新人教A版
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是 A ．{}1,2 B ．{}2,4 C ．{}2 D ．{}4 2．下列函数中，既是偶函数又在) , 0(∞+单调递增的是 A ．x y =B ． ||ln x y =C ．x e y =D ．x y cos =3. 已知,,a b R ∈“a b >”是“a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4. 已知点( )P x y ,在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的最小值是A ．1-B ． 2-C ．1 D ． 25. 已知函数()bx x x f 22+=过（1，2）点，若数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f 1的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 A.20112012B.20112010C.20122013D.201320126. 设l ，m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题不．正确．．的是 A.若m α⊥，m β⊥，则//αβ . B.若l ⊂α，//αβ，则//l β C.若//m n ，m α⊥，则n α⊥ D.若l ⊂α，α⊥β，则l ⊥β7. 函数()()R x x f y ∈=的图象如右图所示，下列说法正确的是 ①函数()x f y =满足()();x f x f -=- ②函数()x f y =满足()();2x f x f -=+ ③函数()x f y =满足()();x f x f =- ④函数()x f y =满足()().2x f x f =+ A.①③ B.②④C.①②D.③④8. 已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2OP OQ+的最大值为正视图侧视图俯视图A ．22m n mn +-B ．22m n mn ++C ．2()m n +D ．2()m n -9.. 函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为A ．12πB ．6πC ．3π D ．56π 10.已知A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，且12120.||||k k k k ≠+若的最小值为1，则椭圆的离心率为A ．12B．2C．2D．3二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 0sin 300= ▲ 。
数学上学期期中试题-诸暨中学2016届高三上学期期中考试数学试题及答案(理)
诸暨中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ）A ．2B ． 3C ．4 D ． 52.已知|2,|4,a |=b |=(2)(3),⊥a +b a -b 则向量b 在向量a 方向上的投影为 ( ) A ．4B ．4-C ．14D ．14-3.已知a 表示直线，,αβ表示两个不同平面，则//αβ的一个充分条件可以是 ( ) A ． 若,a a αβ⊥⊥ B ．若,//a a αβ⊂ C ． 若//,//a a αβ D ．若,a a αβ⊂⊥4.若实数x ,y 满足在不等式组380210220x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最大值为 ( ) A ． 8 B ．10C ．22D ．105.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为1A 、1B ，则11:AB A B ＝( ) A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶36. ()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的的图象，可以将)(x f 的图象( )A.向右平移56π个单位长度 B.向右平移125π个单位长度C.向左平移56π个单位长度 D.向左平移125π个单位长度 7. 设等差数列的前n 项和为，且满足，对任意正整数，都有 ，则的值为( ) A. 1006B. 1007C. 1008D. 10098.设{}(),(()())min (),()(),(()())f x f xg x f x g x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩．若2()f x x px q =++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，且存在整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 ( )A ．{}1min (),(1)4f n f n +>B ．{}1min (),(1)4f n f n +<C ．{}1min (),(1)4f n f n +=D ．{}1min (),(1)4f n f n +≥二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分. 9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则AB = .R A C B = .()R C A B = .10.已知角的终边过点（4，－3）， 则tan θ= .sin(2)6πθ+= .11. 已知正三棱锥V ABC -的正视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .侧视图的面积为 . 12.已知函数()()61477x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩; (1)当21=a 时， ()x f 的值域为 , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 .{}n a n S 201420150,0S S ><n ||||n k a a ≥kθ13.已知y x ,均为正数，且12-+=y x xy ，则y x +的最小值为 .14.已知平面向量,()αβαβ≠满足||3α=且α与 βα-150︒的夹角为，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 _ .15.如图，在60︒的二面角l αβ--内取点A ，在半平面α，β中分别任取点B ，C .若A 到棱l 的距离为1，则ABC ∆的周长的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ． (1）求角A 的大小；(2)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a .17．（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）如果m n a b =，写出m ，n 的关系式()m f n =，并求(1)(2)()f f f n +++．18．（本小题满分15分）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示， （1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，求二面角A DE C --的余弦值．19. （本小题满分15分） 在正项数列{}n a 中，113a =，21()n n n a a a n+=+（*n N ∈） （1）判断数列{}n a 的单调性，并证明你的结论； （2）求证：对*n N ∈都有：113n a ≤<.20.（本小题满分15分）已知，设函数． (1) 若时，求函数的单调区间；(2) 若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最大值及此时的值．R a ∈()||f x x x a x =--1a =()f x 0a ≤[0,]x t ∈1()6f x -≤≤t a参考答案一．选择题1-4：DBAB 5-8：ADCB 二．填空题 9.[2,4];[0,2)(4,)+∞；(,0)-∞ 10. 34- 724350- 11. 6 612．（1）()0,+∞ （2）121<≤a 13. 5 14. 3[,+)2∞ 15. 3三、解答题：16. (1）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos 22=-+A A ，……………2分 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去) ……………4分 因为A 为三角形内角，所以3π=A .…………………6分(2)由(1）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则1cos cos sin sin 2B C B C -=-； 由81cos cos -=C B ，得3sin sin 8B C =，………………………9分 由正弦定理，有C c B b A a sin sin sin ==，即3si n 2B a b =，3sin 2C a c =，……………12分22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ，解得4=a .………14分 17.（1）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩． 解得 23d q =⎧⎨=⎩ 或 10d q =-⎧⎨=⎩（舍）．所以21n a n =-，13n n b -=． ……………………7分（2）因为m n a b =，所以1213n m --=，即11(31)2n m -=+． 0111(1)(2)()(313131)2n f f f n -++=++++++0111(333)2n n -=++++113()213nn -=+-3214n n +-=． ……………………15分18.（1）证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点.//,ED FD ∴且EB FD ＝，∴四边形EBFD 是平行四边形//BF ED ∴ED ∴⊂平面AED ，而BF ⊄平面AED //BF ∴平面AED ………………6分（2）过点A 用AG ⊥平面,BCDE 垂足为,G 连接,.GC GDACD为正三角形 AC AD ∴=GC GD ∴＝，G ∴在CD 的垂直平分线上。
浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三数学上学期期中试卷文(含解析)
浙江省绍兴市诸暨市海亮高中2015-2016学年高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（）A．若m⊥α，l⊥m，则l∥αB．若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥mC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β3．设命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+45．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A． B．C．D．7．已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知且，则cosα= ，= ．10．已知函数f（x）=2sinxcosx+2的最小正周期是，单调递减区间是．11．设=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0）），（a＞0，b＞0，O为坐标原点），若A，B，C三点共线，则a与b的关系式为+的最小值是．12．在等差数列{a n}中，已知a1＞0，前n项和为S n，且有S3=S11，则= ，当S n 取得最大值时，n= ．13．已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．14．已知，是平面单位向量，•=，若平面向量满足，则= ．15．定义max，已知实数x，y满足x2+y2≤1，设z=max{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围是．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cosA=，且△ABC的面积为，试求sinC和a的值．17．在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=42，a8=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=+λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{b n}为等比数列；（3）数列{c n}满足{c n}=，T n为数列{c n}的前n项和，求T2n．18．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．19．设函数f（x）=x2+ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式；（Ⅱ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围．（Ⅲ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在一个零点，试求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣|ax+1|，a∈R．（Ⅰ）若a=﹣2，且存在互不相同的实数x1，x2，x3，x4满足f（x i）=m（i=1，2，3，4），求实数m的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}=x{|2≤x≤4}∴∁R B={x|x＞4或x＜2}，∴A∩（∁R B）={x|0≤x＜2或x＞4}故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（）A．若m⊥α，l⊥m，则l∥αB．若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥mC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】根据线面垂直与线线垂直之间的联系，得A项中有可能l⊆α，故不正确；根据面面平行、线面平行与线线平行之间的联系，得B选项不正确；根据平面平行与线面垂直之间的联系，得C选项正确；根据面面垂直的性质，得D选项不正确．【解答】解：对于A，因为m⊥α，l⊥m，则l⊆α或l∥α，故A不正确；对于B，α∥β，l∥α，可得l∥β或l⊆β，再结合m⊂β，得l与m平行、相交或异面都有可能，故B不正确；对于C，α∥β，l⊥α，可得l⊥β，结合m∥β，可得l⊥m，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β=l，若m⊆α且m⊥l，则m⊥β，但条件中少了m⊆α，故D不正确．故答案为：C【点评】本题给出几个空间位置关系的命题，叫我们找到其中的真命题，着重考查了空间的线面、面面和线线平行、垂直位置关系的判断及其内在联系等知识，属于基础题．3．设命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据二次函数的性质先判断出命题p为真命题时的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数），则△=16﹣8m≤0，解得：m≥2，则“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+）]=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，0＜a＜1，由此不难判断函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵f（x）=a x﹣ka﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上是减函数则0＜a＜1，则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为减函数故选：D．【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键7．已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为A（2，1），（1，0），（1，3），验证知在点A（2，1）时取得最大值，当直线z=3x+y过点A（2，1）时，z最大是7，故选D．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知且，则cosα= ﹣， =﹣7 ．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知=cos（﹣α）=sinα，且，则cosα=﹣=﹣．再根据tanα==﹣，可得==﹣7，故答案为：﹣；﹣7．【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，属于基础题．10．已知函数f（x）=2sinxcosx+2的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z ．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的周期性和单调减区间．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+2=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故它的最小正周期为=π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：π，[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．11．设=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0）），（a＞0，b＞0，O为坐标原点），若A，B，C三点共线，则a与b的关系式为2a+b=1 +的最小值是8 ．【考点】基本不等式；平行向量与共线向量；三点共线．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理可得：2a+b=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解： =（a﹣1，1），=（﹣b﹣1，2）．∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得，∴，化为2a+b=1．∵a，b＞0，∴+=（2a+b）=4+=8，当且仅当b=2a=时取等号．故答案分别为：2a+b=1，8．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．在等差数列{a n}中，已知a1＞0，前n项和为S n，且有S3=S11，则= ，当S n取得最大值时，n= 7 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a4+a5+…+a11=0，即a7+a8=0．可得数列{a n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S3=S11，得a4+a5+…+a11=0，∴a7+a8=0．则2a1+13d=0，即；再由a7+a8=0．可知数列{a n}的前7项为正，自第8项起为负，∴当S n取得最大值时，n=7．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．13．已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是[log32，1] ．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：当t∈（0，1]，所以f（t）=3t∈（1，3]，又函数f（x）=，则f（f（t）=log2（3t﹣1），因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤log2（3t﹣1）≤1，即1≤3t﹣1≤2，解得：log32≤t≤1，则实数t的取值范围[log32，1]；当1＜t≤3时，f（t）=log2（t﹣1）∈（﹣∞，1]，由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1，解得1＜t≤2．此时f（t）=log2（t﹣1）≤0，f（f（t））不存在．综上可得t的取值范围为[log32，1]．故答案为：[log32，1]．【点评】本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，考查计算能力，属于中档题和易错题．14．已知，是平面单位向量，•=，若平面向量满足，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；构造法；平面向量及应用．【分析】设=λ1+λ2，从而结合题意可得λ1+λ2=2，λ1+λ2=；从而解得．【解答】解：设=λ1+λ2，故•=（λ1+λ2）•=λ1+λ2=2，•=（λ1+λ2）•=λ1+λ2=，解得，λ1=1，λ2=2；故•=（λ1+λ2）•（λ1+λ2）=λ12+λ22+2λ1λ2•=7，故=，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用及数量积的应用．15．定义max，已知实数x，y满足x2+y2≤1，设z=max{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围是[，] ．【考点】不等式比较大小．【专题】作图题；数形结合；数形结合法；不等式．【分析】直线为 AB 将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+y，点（x，y）在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x﹣y，点（x，y）在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：（x+y）﹣（2x﹣y）=﹣x+2y，设方程﹣x+2y=0对应的直线为AB，∴Z=，直线为 AB 将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点（x，y）在半圆ACB上及其内部，如图求得﹣≤z1≤；令z2=2x﹣y，点（x，y）在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得﹣≤z2≤．如图综上可知，z的取值范围为[﹣，]；故答案为：[﹣，]【点评】本题考查不等关系与不等式，简单的线性规划问题的解法，体现了数形结合的数学思想．画出图形，是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cosA=，且△ABC的面积为，试求sinC和a的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理可得=．由正弦定理可得a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可得cosB=，结合范围B∈（0，π）可得B的值．（Ⅱ）由cosA=，可求sinA=，利用sinC=sin（A+B）可求sinC的值，利用三角形面积公式可求ab=6，①，又由正弦定理，比例性质可求3a=2b，②联立即可得解a的值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵==．∴由正弦定理可得：，整理可得：a2+c2﹣b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∴由B∈（0，π），可得：B=．…..（6分）（Ⅱ）∵cosA=，∴可得：sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．∵△ABC的面积为==，可解得：ab=6，①又∵==，整理可得：3a=2b，②∴由①②解得：a=2．…（14分）【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，比例性质的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．17．在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=42，a8=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=+λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{b n}为等比数列；（3）数列{c n}满足{c n}=，T n为数列{c n}的前n项和，求T2n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）首先，结合{a n}是一个等差数列，所以a3+a4+a5=3a4=42，得到a4=14．然后，可以设数列{a n}的公差为d，则4d=a8﹣a4=16，得到d=4，从而得到a n=a4+（n﹣4）d=4n﹣2；（2）依据b n+12=bn•b n+2，建立等式进行求解即可；（3）利用裂项分组求和法，进行求解其和．【解答】解：（1）因为{a n}是一个等差数列，所以a3+a4+a5=3a4=42，∴a4=14．设数列{a n}的公差为d，则4d=a8﹣a4=16，故d=4，∴a n=a4+（n﹣4）d=4n﹣2，∴数列{a n}的通项公式a n=4n﹣2．（2）b n=b n=+λ=9n+λ，假设存在这样的λ使得{b n}为等比数列，则b n+12=b n•b n+2，即（9n+1+λ）2=（9n+λ）•（9n+2+λ），整理可得λ=0．即存在λ=0，使得{b n}为等比数列．…（7分）（3）∵{c n}=，∴T2n=1+（2×2﹣3）+22+（2×4﹣3）+24+…+22n﹣2+（2×2n﹣3）=1+22+24+…+22n﹣2+4（1+2+…+n）﹣3n==，∴T2n=．【点评】本题重点考查了等差数列的概念和性质、数列求和、等比数列的概念和求和等知识，属于中档题．18．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据已知条件，取AD中点E，连接CE，容易得到CE⊥AD，从而便可得到CD=AC=，AD=2，所以AC⊥CD，同样通过已知条件PA=，PC=1，AC=，从而得到AC⊥PC，从而得出AC⊥平面PCD；（2）容易说明PD⊥平面PAC，从而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，连接DN，从而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求这个角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面积相等即可求出CN，CD前面已求出，从而可得出．【解答】解：（1）证明：AB⊥BC，AB=BC=1；∴；AD=2，PD=1，∠APD=90°；∴AP=，又PC=1；∴AC2+PC2=AP2；∴AC⊥PC；如图，取AD中点E，连接CE；AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；∴CD=，AD=2；∴AC⊥CD，CD∩PC=C；∴AC⊥平面PCD；（2）PC=PD=1，CD=；∴PD⊥PC；∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；∴PD⊥平面PAC，PD⊂平面PAD；∴平面PAC⊥平面PAD；∴过C作CN⊥PA，并交PA于N，连接DN，则：CN⊥平面PAD，∠CDN便是直线CD与平面APD所成角；在Rt△PAC中，AC=，PC=1，PA=；∴；∴，CD=；∴sin∠CDN=；∴CD与平面APD所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，等腰三角形底边上的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线与平面所成角的概念及找法．19．设函数f（x）=x2+ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式；（Ⅱ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围．（Ⅲ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在一个零点，试求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（Ⅱ）求出f（x）的对称轴方程，由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有两个不等的实根，即有△＞0，f（﹣1）≥0，f（1）≥0，﹣1＜﹣＜1，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有一个实根，即有△=a2﹣4（a+1）=0，或f（﹣1）f （1）≤0，解不等式可得所求范围，注意检验等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．综上可得，g（a）=；（Ⅱ）函数f（x）=x2+ax+a+1，对称轴为x=﹣，由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有两个不等的实根，即有即有，解得﹣1≤a＜2﹣2；（Ⅲ）函数f（x）=x2+ax+a+1，由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有一个实根，即有△=a2﹣4（a+1）=0，或f（﹣1）f（1）≤0，解得a=2，或a≤﹣1，当a=2，f（x）=0，可得x=﹣（1+）（舍去），或﹣1+∈[﹣1，1]；当a=﹣1时，f（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍去），综上可得a的范围是a＜﹣1或a=2﹣2．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣|ax+1|，a∈R．（Ⅰ）若a=﹣2，且存在互不相同的实数x1，x2，x3，x4满足f（x i）=m（i=1，2，3，4），求实数m的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；二次函数的性质．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出a=﹣2的f（x）解析式，画出f（x）的图象，要使得有四个不相等的实数根满足f（x）=m，即函数y=m与y=f（x）的图象有四个不同的交点，观察图象可得；（Ⅱ）对a讨论，（1）若a=0，（2）若a＞0，（3）若a＜0，运用二次函数的图象，讨论对称轴和区间的关系，根据单调性即可求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=﹣2，则f（x）=x2﹣|﹣2x+1|=，当x时，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；当x时，f（x）min=f（1）=0，f（）=，此时，f（x）的图象如图所示．要使得有四个不相等的实数根满足f（x）=m，即函数y=m与y=f（x）的图象有四个不同的交点，因此m的取值范围为（0，）；（Ⅱ）（1）若a=0，则f（x）=x2﹣1，在[1，2]上单调递增，满足条件；（2）若a＞0，则f（x）=，只需考虑x的情况．此时f（x）的对称轴为x=，因此，只需≤1，即0＜a≤2，（3）若a＜0，则f（x）=，结合函数图象，有以下情况：当﹣≤，即﹣≤a＜0时，此时f（x）在[）内单调递增，因此在[1，2]内也单调递增，满足条件；当﹣＞﹣，即a＜﹣时，f（x）在[，﹣]和[﹣）内均单调递增，如图所示，只需﹣≥2或﹣≤1，解得：﹣2≤a＜﹣；即有a的取值范围为﹣2≤a＜0，由（1）、（2）、（3）得，实数a的取值范围为﹣2≤a≤2．【点评】本题考查分段函数的图象和应用，主要考查二次函数的图象和性质，注意对称轴和区间的关系，运用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省绍兴市诸暨中学高三数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)
2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（3分*10）1．对满足A⊆B的非空集合A、B，有下列四个命题：①“若任取x∈A，则x∈B”是必然事件；②“若x∉A，则x∈B”是不可能事件；③“若任取x∈B，则x∈A”是随机事件；④“若x∉B，则x∉A”是必然事件．其中正确命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们选择参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的选法种数为（）A．9 B．8 C．7 D．63．集合P={x，1}，Q={y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，4，5}，则满足条件P⊆Q的事件的概率为（）A．B．C．D．4．若二项式（2x+）8的展开式中的常数项为70，则实数a可以为（）A．2 B．C．D．5．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A．10种B．20种C．40种D．80种6．从集合{1，2，3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为（）A．B．C．D．7．在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A．3项B．4项C．5项D．9项8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．369．一个袋中共装有形状一样的小球6个，其中红球1个、黄球2个、蓝球3个，现有放回的取球三次，记取到红球得1分、取到黄球得0分、取到蓝球得﹣1分．则三次取球总得分为0分的概率为（）A．B．C．D．10．将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方2×2的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字」的机率为（）A．B．C．D．二、填空题（4分*5）11．投两个一元硬币各一次，记“至少有一个正面朝上”为事件A，记“两个硬币一个正面朝上，一个反面朝上”为事件B，则事件A发生是事件B发生的条件（充分不必要，或必要不充分，或充要，或既不充分也不必要条件）．12．若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，则a2= ．13．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A，则事件A发生的概率为．14．在（1﹣x3）（1+x）5的展开式中，x5的系数是．15．袋中有九张卡片，其中红色四张，标号分别为0，1，2，3；黄色卡片三张，标号分别为0，1，2；白色卡片两张，标号分别为0，1．现从以上九张卡片中任取（无放回，且每张卡片取到的机会均等）两张．则颜色不同且卡片标号之和等于3的概率是．三、解答题16．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出3名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作，（1）求选出的3名志愿者都是书法比赛一等奖的同学的概率；（2）求选出的3名志愿者中至少1名是绘画比赛一等奖的概率．17．在△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．（1）求角C；（Ⅱ）若c=4，求a+b的最大值．18．已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求在展开式中含x的项；（2）求展开式中系数最大的项．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果过点（0，）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求•的值；当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．20．已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增；（Ⅱ）求集合M k={b|函数f（x）有三个不同的零点}．2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（3分*10）1．对满足A⊆B的非空集合A、B，有下列四个命题：①“若任取x∈A，则x∈B”是必然事件；②“若x∉A，则x∈B”是不可能事件；③“若任取x∈B，则x∈A”是随机事件；④“若x∉B，则x∉A”是必然事件．其中正确命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用；随机事件．【专题】概率与统计；集合．【分析】先根据非空集合A，B满足A⊆B，包含两种情况：A⊊B或A=B，结合子集的概念和事件的概念，从而对四个选项时行判断．【解答】解：非空集合A，B满足A⊆B，包含两种情况：A⊊B或A=B．四个命题：①：对任意的x∈A，由于集合A是B的子集，A中的元素都是B中的元素，故都有x∈B；故若x∈A，则x∈B是必然事件正确；②：当A=B时，不存在x∉A时，x∈B．当A⊊B时，存在x∉A时，x∈B．故若x∉A，则x∈B 是随机事件．故错；③：若x∈B，则x∈A，可能正确也可能不正确，是随机事件，故正确：④：对任意x∉B，都有x∉A 是“对任意的x∈A，都有x∈B”的逆否命题，根据互为逆否命题同真同假，故正确；故正确的命题个数为：3个，故选：B【点评】本小题主要考查全称命题、特称命题等基础知识，考查推理能力，考查化归与转化思想．属于基础题2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们选择参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的选法种数为（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】甲乙每一位同学均有3种选法，因此共有32=9种选法，再排除甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的方法有种C31=3种，问题得以解决．【解答】解：甲乙每一位同学均有3种选法，因此共有32=9种选法，其中甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的方法有种C31=3种，则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的选法种数9﹣3=6种，故选：D．【点评】本题考查了排列组合的问题，采用间接法是关键，属于基础题．3．集合P={x，1}，Q={y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，4，5}，则满足条件P⊆Q的事件的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】x=2时，满足条件P⊆Q的集合有3组；当x=y时，满足条件P⊆Q的集合有3组．综合可得满足条件P⊆Q的集合有6组；而所有的P、Q共计有4×3=12组，由此求得满足条件P⊆Q的事件的概率．【解答】解：因为 P⊆Q，故x=2时，y 可以在集合 {3，4，5}中任意取，这时y的值共有3个，故满足条件P⊆Q的集合有3组．当x=y时，y 可以在集合 {3，4，5}中任意取，y的值一共有3个，故满足条件P⊆Q的集合有3组．故满足条件的（x，y ）值共计3+3=6个，即故满足条件P⊆Q的集合有6组．而所有的P、Q共计有4×3=12组，故满足条件P⊆Q的事件的概率为=，故选 A．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．4．若二项式（2x+）8的展开式中的常数项为70，则实数a可以为（）A．2 B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据常数项为70，求得实数a的值．【解答】解：二项式（2x+）8的展开式的通项公式为T r+1=•a r•28﹣r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为•a4•24=70，求得 a4=，故a=±，结合所给的选项，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A．10种B．20种C．40种D．80种【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；排列组合．【分析】除去两名英语翻译人员的其余6名名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，有=20种方法，两名英语翻译人员分配，有2种方法，利用乘法原理可结论．【解答】解：除去两名英语翻译人员的其余6名名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，有=20种方法，两名英语翻译人员分配，有2种方法，利用乘法原理可得不同的分配方案共有20×2=40种方法．故选：C．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．6．从集合{1，2，3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】从集合{1，2，3，…，10}中任取5个数组成集合A，基本事件总数n=，将和等于11的放在一组，1和10，2和9，3和8，4和7，5和6，由此求出A中任意两个元素之和不等于11，包含的基本事件个数，由此能求出A中任意两个元素之和不等于11的概率．【解答】解：从集合{1，2，3，…，10}中任取5个数组成集合A，基本事件总数n==252，将和等于11的放在一组，1和10，2和9，3和8，4和7，5和6，从每个小组中取一个，有=2种，A中任意两个元素之和不等于11，包含的基本事件个数为m=2×2×2×2×2=32，∴A中任意两个元素之和不等于11的概率为：P===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A．3项B．4项C．5项D．9项【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数求出r，得到指数是整数的项数．【解答】解：，当r=0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，﹣4，﹣8，故选D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．一个袋中共装有形状一样的小球6个，其中红球1个、黄球2个、蓝球3个，现有放回的取球三次，记取到红球得1分、取到黄球得0分、取到蓝球得﹣1分．则三次取球总得分为0分的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】由已知中，袋中共装有形状一样的小球6个，其中红球1个、黄球2个、蓝球3个，现有放回的取球三次，记取到红球得1分、取到黄球得0分、取到蓝球得﹣1分．我们计算出所有取法总数，及满足条件的取法种数，代入古典概型公式即可得到答案．【解答】解：由已知中袋中共装有形状一样的小球6个，其我们中红球1个、黄球2个、蓝球3个，又∵记取到红球得1分、取到黄球得0分、取到蓝球得﹣1分∴取的三个球中，三次均为黄球或一红、一黄、一蓝时总得分为0分其中三次均为黄球共有：2×2×2=8种情况；一红、一黄、一蓝共有1×2×3×3！=36种情况；故三次取球总得分为0分的概率为P==故选D【点评】本题考查的知识点是古典概型，其中根据已知计算出所有取法总数，及满足条件的取法种数，是解答的关键．10．将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方2×2的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字」的机率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B 方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率，同理可求C方格的数字大于D方格的数字的概率，即可求出A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字的机率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P==．同理C方格的数字大于D方格的数字的概率为P==，∴A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字的机率为=故选：B．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．二、填空题（4分*5）11．投两个一元硬币各一次，记“至少有一个正面朝上”为事件A，记“两个硬币一个正面朝上，一个反面朝上”为事件B，则事件A发生是事件B发生的必要不充分条件条件（充分不必要，或必要不充分，或充要，或既不充分也不必要条件）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】概率与统计．【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：投两个一元硬币各一次，记“至少有一个正面朝上”为事件A，包含两个硬币一个正面朝上，一个反面朝上和两个都朝上，记“两个硬币一个正面朝上，一个反面朝上”为事件B，由A不到一定推出B，但由B一定能推出A，故事件A发生是事件B发生的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．【点评】本题考查了根式的性质、充分必要条件判定，属于基础题．12．若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，则a2= ．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】把x4=[（2x﹣1）+]4按照二项式定理展开，再根据x4=a4（2x﹣1）4+a3（2x﹣1）3+a（2x﹣1）2+a1（2x﹣1）+a0 ，比较系数求得a2的值．2【解答】解：∵x4=[（2x﹣1）+]4=C40 （2x﹣1）4•+C41（2x﹣1）3•+C42（2x﹣1）2•+C43（2x﹣1）+C44，又由题意得，x4=[（2x﹣1）+]4 =•[（2x﹣1）+1]4=a4（2x﹣1）4+a3（2x﹣1）3+a2（2x ﹣1）2+a1（2x﹣1）+a0 ，∴a2=•=，故答案为：．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查转化思想的应用，属于中档题．13．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A，则事件A发生的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】先由排列数公式计算将5个小球放入5个盒子中的情况数目，再分步计算事件A包括的情况数目，则首先从5个号码中，选出两个号码，再确定其余的三个小球与盒子的编号不同的情况数目，利用分步计数原理计算可得事件A包括的情况数目，最后由等可能事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：将5个小球放入5个盒子中，有A55=120种放法，若恰有两个球的编号与盒子的编号相同，则首先从5个号码中，选出两个号码，有C52=10种结果，其余的三个小球与盒子的编号不同，则第一个小球有两种选择，另外两个小球的位置确定，编号不同的放法共有2种结果，根据分步计数原理可得事件A包括10×2=20种结果，则P（A）==；故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率计算，注意求事件A即恰有两个球的编号与盒子的编号相同的情况数目时，其关键是当两个相同的号码确定以后，其余的三个号码不同的排法共有2种结果，这是易错点．14．在（1﹣x3）（1+x）5的展开式中，x5的系数是﹣9 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣x3）（1+x）5的展开式中x5的系数．【解答】解：由于（1﹣x3）（1+x）5 =（1﹣x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x5的系数为 1﹣10=﹣9，故答案为：﹣9．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．袋中有九张卡片，其中红色四张，标号分别为0，1，2，3；黄色卡片三张，标号分别为0，1，2；白色卡片两张，标号分别为0，1．现从以上九张卡片中任取（无放回，且每张卡片取到的机会均等）两张．则颜色不同且卡片标号之和等于3的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】利用组合的知识先计算出基本事件的总数，再用列举法得出所要求的事件包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出；【解答】解：从九张卡片中任取两张所有可能情况有=36种，颜色不同且标号之和为3的情况有以下6种：①取红色标号1、黄色标号2；②取红色标号2，黄色标号1或白色标号1；③取红色标号3，黄色标号0或白色标号0；④取黄色标号2或白色标号1．∴颜色不同且卡片标号之和等于3的概率P==．故答案为：【点评】熟练掌握利用组合的计算公式计算出基本事件的总数、用列举法得出所要求的事件包含的基本事件的个数、古典概型的概率计算公式是解题的关键三、解答题16．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出3名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作，（1）求选出的3名志愿者都是书法比赛一等奖的同学的概率；（2）求选出的3名志愿者中至少1名是绘画比赛一等奖的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）计算出从6名同学中任选3名的所有可能结果和从6名同学中任选3名，都是书法比赛一等奖的所有可能，根据古典概型概率公式得到结果．（2）选出的3名志愿者中至少1名是绘画比赛一等奖与选出的3名志愿者都是书法比赛一等奖为对立事件，根据（1）中结论，可得答案．【解答】解：（1）从6名同学中任选3名的取法共有=20种，选出的3名志愿者都是书法比赛一等奖的同学的取法共有=4种，故选出的3名志愿者都是书法比赛一等奖的同学的概率P==；（2）选出的3名志愿者中至少1名是绘画比赛一等奖与选出的3名志愿者都是书法比赛一等奖为对立事件，∴选出的3名志愿者中至少1名是绘画比赛一等奖的概率P=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查利用概率知识解决实际问题，解答的关键是利用列举法列出所有可能的情形数17．在△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．（1）求角C；（Ⅱ）若c=4，求a+b的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】（1）由正弦定理可将已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB化简得a2+b2=c2+ab，从而由余弦定理求出cosC，求出角C的值．（Ⅱ）若c=4，由（1）得，16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又ab≤，所以16≥，从而a+b≤8．【解答】解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，得a2+b2=c2+ab，所以，cosC==，角C=．（Ⅱ）因为c=4，所以16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又ab≤，所以16≥，从而a+b≤8，其中a=b时等号成立．故a+b的最大值为8．【点评】本题主要考察正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．18．已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求在展开式中含x的项；（2）求展开式中系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】（1）由条件利用二项式展开式的通项公式求得n=8，可得展开式中含x的项为T2=﹣16•x．（2）根据第r+1项的系数为•（﹣2）r=•（﹣2）r，可得当r=6时，系数最大，从而得出结论．【解答】解：（1）已知（n∈N*）的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣2）r•，再根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是=10：1，求得n=8，令=，求得r=1，可得展开式中含x的项为T2=﹣16•x．（2）由于第r+1项的系数为•（﹣2）r=•（﹣2）r，故r应为偶数，利用二项式系数的性质，经检验可得当r=6时，系数最大，即第七项的系数最大为 T7=•（﹣2）6=1792•x﹣12．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果过点（0，）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求•的值；当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【专题】综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a2=b2+c2可求得a值，从而得椭圆方程；（Ⅱ）①易判断直线MN存在斜率，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的方程为y=kx+，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理、向量的数量积运算即可求得•的值；②由①知：∠MAN=90°，设MN的中点为P，由△AMN为等腰直角三角形得AP⊥MN，由中点坐标公式可得P点坐标，分情况讨论：若k=0易求此时直线MN方程；若k≠0，则，由斜率公式可得k的方程，解出得k，根据点斜式可求得直线MN方程，综上可得答案；【解答】解：（I）因为椭圆经过点A（0，﹣1），所以b=1，又e=，解得a=2，所以椭圆的方程为．（II）①若过点（0，）的直线的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件，所以直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+，把y=kx+代入椭圆方程得（1+4k2）x2+，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，=，=，因为A（0，﹣1），所以=（x1，y1+1）•（x2，y2+1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1=﹣；②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN为等腰直角三角形，设MN的中点为P，则AP⊥MN，且，若k=0，则P（0，），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=；若k≠0，则=﹣，解得k=，所以直线MN的方程为y=x+，即或．综上所述，直线MN的方程为y=或或．【点评】本题考查直线方程、椭圆方程及直线与椭圆位置关系，考查向量的数量积运算，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．20．已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增；（Ⅱ）求集合M k={b|函数f（x）有三个不同的零点}．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】（I）化简当x∈（﹣∞，﹣2）时，，按定义法五步骤证明即可；（II）函数f（x）有三个不同零点可化为方程有三个不同的实根，从而化简可得方程与；再记u（x）=kx2+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1），从而转化为二次函数的零点的问题．【解答】解：（I）证明：当x∈（﹣∞，﹣2）时，．任取x1，x2∈（﹣∞，﹣2），设x2＞x1．=．由所设得x1﹣x2＜0，，又k＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增．（II）函数f（x）有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．方程化为：与．记u（x）=kx2+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1）．（1）当k＞0时，u（x），v（x）开口均向上．由v（﹣2）=﹣1＜0知v（x）在（﹣∞，﹣2）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，u（x）在（﹣2，+∞）应有两个不同零点．∴，∴b＜2k﹣2．（2）当k＜0时，u（x），v（x）开口均向下．由u（﹣2）=1＞0知u（x）在（﹣2，+∞）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，v（x）在（﹣∞，﹣2）应有两个不同零点．∴∴b＜2k﹣2．综合（1）（2）可得M k={b|b＜2k﹣2}．【点评】本题考查了单调性的定义法证明及函数的化简与转化的应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用，属于中档题．。
浙江省诸暨市2016届高三5月教学质量检测数学(理)试题(WORD版)
2016年诸暨市高中毕业班教学质量检测数学理 2016.5一、选择题1.已知x 是非零实数，则“1>x ”是“11<x”的 （ ） A.充要不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件2.三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ） A.38 B. 234 C. 532 D. 34 3.命题“1,12≥≥∀x x ”的否定是 （ ）A. 1,12<≥∀x xB. 1,12≥<∀x xC. 1,120≥<∃x xD. 1,1200<≥∃x x 4.已知θ为钝角，且51cos sin =+θθ，则=θ2tan （ ） A. 724- B. 724 C. 247- D. 247 5.已知函数)ln()(),2)(1()(a x x g a x a x x f -=---=，若当a x >时，0)().(≥x g x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A. [)+∞,0B. []0,2-C.(]2,∞-D. [)+∞-,26.双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F ,离心率e ，过点F 斜率为1的直线交双曲线的渐近线于B A 、两点，AB 中点为M ,若FM 等于半焦距，则2e 等于 （ ） A. 3 B. 2 C. 3或 2 D. 33-7.已知ABC ∆中，BC AC AB AC ⊥==,4,2,点P 满足12,=++=y x AB y AC x AP ，则)(PC PB PA +⋅最小值等于 （ ）A. 2-B. 928-C. 825-D. 27- 8．设n A A A A ,,,,321 是集合{}n ,,3,2,1 的n 个非空子集（2≥n ）.定义,,1,0⎪⎩⎪⎨⎧≠==φφj ij i ij A A A A a 其中,,,2,1,n j i =这样得到的2n 个数之和为),,,,(21n A A A S 简记为S .下列三种说法：①S 与n 的奇偶性相同；②S 是n 的倍数；③S 的最小值为n ，最大值为2n .其中正确的判断是 （ ）A. ①②B.①③C.②③D.③9.函数)32sin()(π+=x x f 的周期为 ，在⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π内的值域为 . 10.已知,0),2(log 0,1)(22⎩⎨⎧>++≤+=x a x x x x x f 其中0>a ，当2=a 且1)(0=x f 时，=0x .若函数)(x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是.11.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 且342,,a a a 成等差，则数列{}n a 的公比=q ，数列{}n a 的前4项和=4S .12．已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 13．已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r ；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF 的最小值是 .14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x ，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为,M 若M 的取值范围是[]2,1，则点),(b a M 所经过的区域面积= .15.如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高AA 1=2，点A 是平面α内的一个定点，AA 1与α所成角为3π，点C 1在平面α内的射影为P ，当四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1按要求运动时（允许四棱柱上的点在平面α的同侧或异侧），点P 所经过的区域面积=16.（本题满分14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 32cos a B b b A =-. （Ⅰ）求b c 的值。
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海亮高中2015年12月高三年级数学期中考试试卷高三数学（理）命题：1部王铁松本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第I 卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}06|{2>--=x x x A ，}1|{>=x x B ，则()B A C R ⋂= A ．]3,2[-B ．]3,1(C ．)3,1(D ．]2,1(2．已知等差数列{}n a 满足61020a a +=，则下列选项错误的是 A ．15150S = B ．810a = C ．1620a =D ．41220a a +=3．设R b a ∈,，则“b a >”是“b b a a ⋅>⋅”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 5．已知函数2()|log |f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A.2B. 1,22C. 1,24D. 1,44 6．数列{}n a 中，11=a ，()nn n a a 21-=++，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则6S = A ．62- B ．62 C ．42-D ．427．若定义在R 上的函数()x f 满足：对任意R x x ∈21,，有()()()12121++=+x f x f x x f ， 则下列说法一定正确的是（第4题图）A ．()x f 为奇函数B ．()x f 为偶函数C ．()1+x f 为奇函数D ．()1+x f 为偶函数 8．在ABC ∆中，()⊥-3，则角A 的最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9. 若{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则=a =b =c ． 10．若角α终边所在的直线经过点)43sin ,43(cos ππP ，O 为坐标原点，则 =OP ，=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cos ． 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3xf x m =+（m 为常数），则=m，3(log 5)f -的值为 . 12．若62)4cos()4cos(=+-θπθπ，则=θ2cos . 13．在数列{}n a 中，设4,2321===a a a ，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1为等差数列，则=5a . 14． 设集合{}{}0,012,03222>≤--=>-+=a ax x x B x x x A ，若B A ⋂中恰有一个整数，则实数a 的范围是 .15．已知两个非零平面向量b a ,满足：对任意R ∈λ≥，则：4=，则=⋅ ；②若,的夹角为3π的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(1,sin θ)，b ＝(2,1)。
（1）当θ＝6π时，求向量2a ＋b 的坐标；（2）若a ∥b ，且θ∈(0，2π)，，求sin(θ＋4π)的值。
17．（本题15分）设ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且 (cos 3cos )(3)cos b A C c a B -=-. （1）求sin sin A C 的值;（2）若1cos 6B =，且ABC ∆的周长为14，求b 的值.18.（本题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比大于零，4,3321==+a a a ，数列{}n b 是等差数列，()cn n n b n ++=1，0≠c 是常数．（1）求的值，数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足：当n 为偶数时n n a c =，当n 为奇数时n n b c =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19. （本题满分15分）已知函数()R a ax x x f ∈++=,222 。
(1)若函数()()[]x f f x F =与()x f 在R x ∈时有相同的值域，求a 的取值范围； (2)对任意12,[1,1]x x ∈-，恒有()()621≤-x f x f ，求实数a 的取值范围.20. （本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足()*∈-=N n n a S n n 2． （1）求21,a a 的值，并证明：数列{}1+n a 是等比数列； （2）证明：231213221na a a a a a n n n <+⋅⋅⋅++<-+.海亮高中2015年12月高三年级数学期中考试试卷数 学 （理）参考答案一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
） 9. 0,1,1==-=c b a 10. 1 22-11. 1- 4- 12. 3213. 48 14.3443<≤a 15. 8 3 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(1,sin θ)，b ＝(2,1)。
（1）当θ＝6π时，求向量2a ＋b 的坐标；（2）若a ∥b ，且θ∈(0，2π)，，求sin(θ＋4π)的值。
16、解：（1）因为6πθ=，所以a ＝),(211， （3分）于是向量2a ＋b ＝),(),(),(24122112=+ （6分）（2）因为a ∥b ，所以21=θsin ， （8分） 又因为),(20πθ∈，所以23=θcos ， （10分）所以462444+=+=+πθπθπθsincos cossin )sin(。
（14分）17、（本题15分）设ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且 (cos 3cos )(3)cos b A C c a B -=-. （1）求sin sin AC 的值;（2）若1cos 6B =，且ABC ∆的周长为14，求b 的值. 17、解：（1）由正弦定理得到:()C B C B B A A B sin cos cos sin 3cos sin cos sin +=+ （3分）即：()()C B B A +=+sin 3sin ， （5分） 由三角形内角和为π，得到：31sin sin sin 3sin =⇒=C A A C （7分） （2）由sin sin A C 31=可得：a c c a 331=⇒=， （9分）ABC ∆的周长=++c b a 14a b 414-=⇒由余弦定理612cos 222=-+=ac b c a B ， （12分） 解得2=a （14舍去），则6=b （15分） 18.（本题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比大于零，4,3321==+a a a ，数列{}n b 是等差数列，()cn n n b n ++=1，0≠c 是常数．（1）求的值，数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足：当n 为偶数时n n a c =，当n 为奇数时n n b c =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18、解：（1）解方程组得到：2,11==q a ，则12-=n n a ， （3分） 利用12312=⇒+=c b b b ，得到n b n =。
（6分） （2）当n 为偶数时n S n c c c +⋅⋅⋅++=21()()()414122112242131-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=-nn n n n a a a b b b （10分）()123242-+=nn （12分） （3）当n 为奇数时n S n c c c +⋅⋅⋅++=21 ()()n n c S n n n +-+-=+=--123241121=()()12324112-++-n n （15分）其他方法酌情给分 19. （本题满分15分）已知函数()R a ax x x f ∈++=,222 。
(1)若函数()()[]x f f x F =与()x f 在R x ∈时有相同的值域，求a 的取值范围； (2)对任意12,[1,1]x x ∈-，恒有()()621≤-x f x f ，求实数a 的取值范围. 19、解：(1)首先()x f 的对称轴为a x -=， （1分）R x ∈时，()⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,4482a x f ， （3分） 因为：函数()()[]x f f x F =与()x f 在R x ∈时有相同的值域所以：a a -≤-4482，解得： （5分） 2≥a 或1-≤a （6分）(2)对任意12,[1,1]x x ∈-都有()()621≤-x f x f 等价于在[]1,1-上的最大值与最小值之差4M ≤， （8分）据此分类讨论如下：()()()a f a a f a f 231,2,2312+=-=--=- （10分）(ⅰ)当1-≤-a 即1≥a 时，()()236411≤⇒≤=--=a a f f M .(ⅱ) 当11<-<-a ,即11<<-a 时，()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+⇒⎩⎨⎧≤---≤--6161616122a a a f f a f f 恒成立. （ⅲ）当1≥-a ，即1-≤a 时，()()236411-≥⇒≤-=--=a a f f M . 综上可知，2323≤≤-a . （15分） 20. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足()*∈-=N n n a S n n 2． （1）求21,a a 的值，并证明：数列{}1+n a 是等比数列； （2）证明：231213221n a a a a a a n n n <+⋅⋅⋅++<-+； 20、解：（Ⅰ）当1n =时，1121a S -=，解得11a =， （1分）当2=n 时，3222221222122=+=⇒-=+⇒-=a a a a a a S ， （3分） 当2n ≥时，()12,211--=-=--n a S n a S n n n n ，两式相减得：1221--=-n n n a a a ， 即12n n a a -=1+， （5分） 两边同加1得到：()1211+=+-n n a a （6分）所以{}1+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列， 所以1221-=⇒=+n n n n a a （8分）（Ⅱ）n k a a k k k k k k ,3,2,1,21212212121211 =<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=++ （10分） ()()n k a a kk k k k k k k ,,2,121312122231211221211212111⋅⋅⋅=⋅-≥-+⋅-=--=--=+++（12分） 求和得到所证不等式：221131213221na a a a a a n n n n <+⋅⋅⋅++<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+ 因为3122131312211312->⋅+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n n ， 所以：231213221na a a a a a n n n <+++<-+ （15分） 其他方法酌情给分。