【精选高中试题】福建省闽侯第一中学高三上学期开学考试数学(理)试题Word版含答案
【高三数学试题精选】2018届高三数学(理)上学期模拟试卷(福建闽侯第一中学带答案)
2018届高三数学（理）上学期模拟试卷（福建闽侯第一中
学带答案）
5 c 4坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线c的普通方程。
（2）设点P为曲线c上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值。
23(本小题满分10分)[选修4-5不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋1|，
(1)解不等式f(x)≥2x＋1；
(2) x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜成立，求的取值范围。
a)．……………………………(1分)
(i)设a≤0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
……………………………(2分)
(ii)设a＞0，由f′(x)＝0得x＝0或x＝ln a．
若a＝1，则f′(x)＝x (ex-1) ≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若0＜a＜1，则ln a＜0，故当x∈(－∞，ln a)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln a，0)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减．…………………(3分)
③若a＞1，则ln a＞0，故当x∈(－∞，0)∪(ln a，＋∞)时，。
2024-2025学年莆田市一中高三数学上学期开学考试卷附答案解析
2024-2025学年莆田市一中高三数学上学期开学考试卷全卷满分150分，考试时间120分钟一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合U =R ，{}2,A x x n n ==∈N ，(){}20B x x x =->，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}0B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．函数()2cos 1x xf x x =+，[]2,2x ∈-的大致图象是（）A ． B.C ． D.3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞单调递增，若()lg 0f x <，则x 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,10C ．()1,+∞D ．()10,+∞4．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）A ．161B ．155C ．141D ．1395．已知20.62log 2,log 0.6,0.6a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用X 表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（）A ．()1032P X ==B ．()1564P X ==C ．()52E X =D ．()54D X =7．已知函数()e 1,031,02x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A ．31ln2,ln 23⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．31ln2,ln 23⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．2,ln23⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．231,ln 323⎛⎤+ ⎥⎝⎦8．已知函数()ln 11x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则202312024i i f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A ．20232-B ．2023-C ．1012-D ．2024-二、多选题（本大题共3小题）9．使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（）A ．1a b >-B ．11a b<C．>D ．10.30.3a b-<10．设函数()()2(1)4f x x x =--，则（）A ．1x =是()f x 的极小值点B ．()()224f x f x ++-=-C ．不等式()4210f x -<-<的解集为{}|12x x <<D ．当π02x <<时，()()2sin sin f x f x >11．已知定义域为+R 的函数()f x 满足：①若x y <，则()()f x f y <；②对一切正实数()()2,,2f x f y xy x y f x y +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则（）A ．()12f =B ．1112243f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．0x y ∀>>，恒有()()22x y f x f y f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立D ．存在正实数0x ，使得()00f x <成立三、填空题（本大题共3小题）12．设函数2,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()F x f x x =+的零点个数是.13．已知一个底面半径为的圆锥，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的体积为．14．若实数,x y 满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列{}n a ，{}n b 中，14a =，12b =-，{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n n a b +是公比为2的等比数列.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设函数()ln f x ax x =-在1x =处的切线垂直y 轴.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若1x >，证明：()1e 1xf x x -<-+.17．某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X ，求X 的分布列及期望.18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面是边长为2的菱形，260PA DAB =∠=︒，，点E ､F ､G 分别为线段CD 、PD 、PB 的中点.(1)证明：EG //平面PAD ；(2)求平面AFG 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)设直线PC 与平面AFG 的交点为Q ，求PQ 长度.19．已知函数()()()2xf x ax x a e a -=++∈R （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求a 的值；（2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.参考答案1．【答案】C【分析】根据题意，分析A 集合为大于等于0的偶数集，求解B 集合，计算补集，再求交集.【详解】集合U =R ，因为集合A 为大于等于0的偶数集，集合{|0B x x =<或2}x >，所以{}02U B x x =≤≤ð，{}0,2U A C B ⋂=.故选C.【思路导引】本题考查集合的补集和交集运算.2．【答案】C【分析】根据函数图象，判断函数为奇函数，()10f >，()20f <依次排除A ，B ，D ，得到答案.【详解】由于()()()22cos cos ()11x x x xf x f x x x ---==-=--++，故函数为奇函数，排除D 选项，()cos1102f =>，故排除B 选项，()22cos 205f =<排除A 选项，故选C.3．【答案】A【分析】利用奇函数性质及其单调性可得lg 0x <，解对数不等式即可求得结果.【详解】根据奇函数性质可知()f x 在R 上单调递增，且()00f =；因此不等式()lg 0f x <可化为()()lg 0f x f <，即lg 0x <，解得01x <<.所以x 的取值范围是()0,1.故选A.4．【答案】B【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．【详解】令数列：1,7,15,27,45,71,107, 为数列{}n a ，于是7107a =，依题意，数列1{}n n a a +-为：6,8,12,18,26,36, ，于是7636a a -=数列211{()()}n n n n a a a a +++---为：2,4,6,8,10, 是等差数列，8776()()12a a a a ---=，则8776()12361248a a a a -=-+=+=，因此874810748155a a =+=+=，所以该数列的第8项为155.故选B.5．【答案】C【详解】20.60c =>.2log 0.6<0b =，且22log 0.6log 0.51b =>=-，即()1,0b ∈-.()0.6211log 2,1log 0.6a a===∈-∞-.所以c b a >>.故选C.6．【答案】B【分析】分析可知1~5,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用独立重复试验的概率公式可判断AB 选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD 选项．【详解】设A =“向右下落”，则A =“向左下落”，()()12P A P A ==，因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以15,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，对于A ：()51101232P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：()5115232P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ：()15522E X =⨯=，故C 正确；对于D ：()11551224D X ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选B ．7．【答案】D【分析】根据函数解析式画出函数图象，由()()f m f n =可得()2e 23nm =-，因此24e 33n n m n -=-++，构造函数()(]24e ,0,ln 233x g x x x =-++∈并利用导数求出其在定义域内的值域即可得n m -的取值范围.【详解】画出函数()f x 的图象，令()()f m f n t ==可得当(]0,1t ∈时，满足题意；如下图所示：令e 11x -=，解得ln 2x =，由m n <可知(]2,0,0,ln 23m n ⎛⎤∈-∈ ⎥⎝⎦；因此由()()f m f n =可得31e 12n m +=-，即()2e 23n m =-；所以()224e 2e 333n n n m n n -=--=-++，令()(]24e ,0,ln 233x g x x x =-++∈，则()2e 13x g x -'=+，令()0g x '=，解得3ln 2x =，当30,ln 2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>，可知()g x 在30,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，当3ln ,ln 22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '<，可知()g x 在3ln ,ln 22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；因此()g x 在3ln2x =处取得极大值，也是最大值，因此()33431ln 1ln ln 22323g x g ⎛⎫≤=-++=+ ⎪⎝⎭；而()24200333g =-++=，()44ln 2ln 2ln 233g =-++=；又因为(223e 2<=，所以23e 2<，可得232lne ln 23=<，所以可得()231ln 323g x <≤+，即n m -的取值范围是231,ln 323⎛⎤+ ⎥⎝⎦.故选D.【方法总结】一是会画图，会利用函数解析式画出其图象，寻求解题思路；二是会构造函数，将两函数值相等求自变量的差的取值范围问题，转化为求新构造函数的值域，对新函数求导，判断其单调性从而求得其值域.8．【答案】A【分析】先根据函数性质可得当()0,1x ∈时，()()11f x f x -+=-，最后应用分组求和即可.【详解】当()0,1x ∈时，()10,1x -∈，01xx <-，()ln 11x f x x x=+--，所以()()111ln11ln 1ln 1111x x x x f x x x f x x x x x --⎛⎫-+=+--++-=⋅-=- ⎪--⎝⎭，则202311220232024202420242024i i f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑20231202320232202420242f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A.9．【答案】CD【解析】因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出a b >，且a b >无法推出所选的条件，由此逐项判断即可.【详解】A ．因为1a b >-不能推出a b >，但a b >可以推出1a b >-，所以1a b >-是a b >成立的必要不充分条件，故A 错误；B ．因为11a b <不能推出a b >（例如：1,1a b =-=），且a b >也不能推出11a b <（例如：1,1a b ==-），所以11a b<是a b >成立的既不充分也不必要条件，故B 错误；C ．因为>0a b >≥能推出a b >，且a b >不一定能推出>1,1a b ==-），所以>a b >成立的充分不必要条件，故C 正确；D ．因为函数0.3x y =在R 上单调递减，所以10.30.3a b -<可以推出1a b ->，即1a b >+，所以10.30.3a b -<可以推出a b >，且a b >不一定能推出10.30.3a b -<（例如：1,1a b ==），所以10.30.3a b -<是a b >成立的充分不必要条件，故D 正确.故选CD.【方法总结】充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q 对应集合互不包含.10．【答案】BD【分析】对于A ：求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；对于B ：根据解析式代入运算即可；对于C ：取特值检验即可；对于D ：分析可得20sin sin 1x x <<<，结合()f x 的单调性分析判断.【详解】对于选项A ：因为()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，当()1,3x ∈时，()0f x '<；当(),1∈-∞x 或()3,∈+∞x 时，()0f x '>；可知()f x 在(),1-∞，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，所以1x =是函数()f x 的极大值点，故A 错误；对于选项B ：因为()()()()2222(1)2(1)24f x f x x x x x ++-=+-+---=-，故B 正确；对于选项C ：对于不等式()4210f x -<-<，因为()7254,028f ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，即94x =为不等式()4210f x -<-<的解，但()91,24x =∉，所以不等式()4210f x -<-<的解集不为{}|12x x <<，故C 错误；对于选项D ：因为π02x <<，则0sin 1x <<，且()2sin sin sin 1sin 0x x x x -=->，可得20sin sin 1x x <<<，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2sin sin f x f x >，故D 正确；故选BD.11．【答案】BCD【分析】对于AB ，由赋值法即可判断；对于C ，由基本不等式结合函数新定义即可判断；对于D ，取()*1,2n x n n n =∈≥N ，利用函数性质得到()()()()11112n f x f n f f ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合()1102d f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭即可判断.【详解】对于A ，在()()22f x f y xy f x y +⎛⎫=⎪+⎝⎭中，令1x y ==，可得()()11f f =，无法确定1的值，A 错误；对于B ，令11,24x y ==，代入条件②中，112212411324xy x y ⨯⨯==++，即1112432f f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，当0x y >>时，22222x y xy x y x y x y +⎛⎫ ⎪+⎝⎭<=++，且当x y <时，()()f x f y <，则()()222f x f y xy x y f f x y +⎛⎫+⎛⎫=< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，C 正确；对于D ，取()*1,2n x n n n=∈≥N ，由于211112221121n n nn n x x n x n x x n n -+-+-===+-()()()11111122n n n n n n n f x f x x x f f x x x -+-+-++⎛⎫== ⎪+⎝⎭，从而()()()11,,n n n f x f x f x -+成等差数列，即()()()12,,,n f x f x f x 成等差数列，即()()()()()()()()()121111112n f x f x n f x f x f n f f ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而公差()1102d f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以当n 充分大时，可使()0n f x <，D 正确.故选BCD.【关键点拨】判断D 选项的关键在于得到()()()()11112n f x f n f f ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭以及()1102d f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由此即可顺利得解.12．【答案】2【分析】首先根据题意，将函数()()F x f x x =+的零点个数问题转化为方程()f x x =-解的个数，最后转化为函数()2,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩的图象和直线y x =-交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.【详解】在同一个坐标系中画出函数()2,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩的图象和直线y x =-，而函数()()F x f x x =+的零点个数即为函数()2,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩的图象和直线y x =-的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.故答案为：2.13．【答案】3【分析】根据条件，求圆锥的母线长和高，再利用圆锥的体积公式即可求出结果.【详解】设圆锥的母线长为l，则πl =，得l =，所以圆锥的高为h ==锥的体积为211333V Sh ==⨯.故答案为：3.14．【答案】【分析】利用基本不等式可求得15xy ≤，通过配凑即可得出结果.【详解】由2241x y xy ++=可得224145x y xy xy xy xy ++=≥+=，可得15xy ≤；而()2223824413155x y x y xy xy +=++=+≤+=，所以()2825x y +≤，解得2x y +≤；当且仅当2y x =，也即1010,105x y ==时，上式右边等号成立；此时2x y +的最大值为5.故答案为：15．【答案】(1)23nn b n =--；(2)n T 2172222n n n +=---.【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列{}n a 的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列{}n n a b +的通项公式，即可计算出数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n b 的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，可得4(1)13n a n n =+-⨯=+，故3n a n =+，n ∈*N ，数列{}n n a b +是公比为2的等比数列，且11422a b +=-=，1222n n n n a b -∴+=⋅=，223n n n n b a n ∴=-=--，n ∈*N ．（2）由题意及（1），可得2(3)n n b n =-+，则123n nT b b b b =++++ 123(24)(25)(26)[2(3)]n n =-+-+-++-+ 123(2222)[456(3)]n n =++++-+++++ 2(12)(7)122n n n -+=--2172222n n n +=---．16．【答案】(1)单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1；(2)证明见解析.【分析】（1）根据()10f '=得到a ，再求导得到其单调区间；（2）转化为证明12ln e 01x x x ----<，再设新函数()112ln e x h x x x -=---，多次求导得到其单调性即可证明.【详解】（1）因为函数()ln f x ax x =-在1x =处的切线垂直于y 轴，所以()10f '=.由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-，则()11011f a a '=-=⇒=，则()ln f x x x =-，()111x f x x x -'=-=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；则()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.（2）()1e 1x f x x -<-+，即1ln e 1x x x x --<-+，即12ln e 01x x x ----<，设()112ln e x h x x x -=---，则()1121e 21e x x x x x h x x --'=----=，令()112e x g x x x -=--，则()()112e e x x x x g --+'=-，再设()1e x x x ϕ-=，则()()11e x x x ϕ-'=+，因为1x >，则()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在()1,+∞上单调递增，则易知()()112e e x x x x g --+'=-在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g ''<=，则()112e x g x x x -=--在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，则()0h x '<在()1,+∞恒成立，则()()10h x h <=，即()1e 1x f x x -<-+.17．【答案】(1)710；(2)分布列答案见解析，数学期望：10945.【分析】（1）依题意，利用古典概型的公式计算求解；（2）利用概率的乘法计算每一个随机变量取值的概率，再求数学期望.【详解】（1）设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A .则()39310710C P A C ==；（2）X 可能取值为1,2,3，则()211105P X ===；()828210945P X ==⨯=，()873.1095284P X ==⨯=故X 的分布列是X 123P 158452845故()18281091235454545E X =⨯+⨯+⨯=.18．【答案】(1)证明见解析；(2)17；(3)43.【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出//MEG 平面PAD ，再利用面面平行的性质定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面AFG 与平面PBC 法向量，利用向量夹角公式可求解；（3）设,0,2)CQ CP λλ=⋅=，得到2)AQ λ=- ，根据向量AQ 与,AF AG 共面，结合向量共面定理求出λ，得到Q 坐标，再用两点间距离公式结算即可.【详解】（1）证明：取线段AB 的中点M ，连接ME 、MG ，因为点E 为线段CD 的中点，所以//ME AD ，又ME ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，因为PAB 中，点G 为线段PB 的中点，点M 为线段AB 的中点，所以//MG PA ，又MG ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以//MG 平面PAD ，又ME MG M ⋂=，且MG ⊂平面MEG ，ME ⊂平面MEG ，所以平面//MEG 平面PAD ，又EG ⊂平面MEG ，所以//EG 平面PAD ．（2）设平面AFG 与平面PBC 夹角为θ，连接BD 和AC 交于点O ，过点O 作直线OH 垂直于平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，以向量,,OA OB OH 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求得关键点坐标，11((0,1,0),(0,1,0),(,1),(,1)2222A C B D P F G --设平面AFG的法向量为111111(,,),(,1),(,1)22n x y z AF AG ==-= ，则11n AF n AG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即11111111102102n AF y z n AG y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩，取1n = ，设平面PBC的法向量为2222(,,),(1,0),1,2)n x y z BC BP ==-=- ，则22n BP n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即2222222200n BP y z n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2(1,n = ，则121cos |cos ,|7n n θ=〈〉= ，即平面AFG 与平面PBC 夹角的余弦值为17.（3）设,0,2)CQ CP λλ=⋅= ，则0,2)Q λ-，故2)AQ λ=- ，依题意可得向量AQ 与,AF AG 共面，所以存在实数m ，n，使得11)(,1)(,1)22m n λ-=-+，即442m n m n m n λλ+=-⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得23λ=，则4)3Q .且P .则运用两点间的距离公式计算得到43PQ =.19．【答案】（1）1a =；（2）1b ≥.【分析】（1）先对函数求导，得到()()()11x f x e x ax a -'=--+-，分别讨论0a =，0a >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，得出极值，根据题中条件，即可得出结果；（2）令()()21x x g a e x a xe --=++，根据题中条件，将不等式恒成立问题转化为()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立，等价于()ln 1x xe b x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立，先讨论0b ≤时，求得()ln 1x xe b x ->+，不满足题意；再讨论0b >时，()()ln 1x h x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，对其求导，得到()()211x x be x h x x e+-'=+，令()21x p x be x =+-，[)0,x ∈+∞，再分别讨论1b ≥，01b <<两种情况，根据导数的方法，即可得出结果.【详解】（1）由题意，()()()221x x f x ax e ax x a e --'=+-++()2121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()11x e x ax a -=--+-.（i ）当0a =时，()()1x f x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减，因此()f x 的极大值为()131f e e =≠，不合题意；（ii ）当0a >时，111a-<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a <-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，在()1,+∞单调递减.所以()f x 的极大值为()2131a f e e +==，得1a =.综上所述1a =；（2）令()()21x x g a e x a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()210x e x -+≥，则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()0ln 1g a g b x ≤≤+，即()ln 1x xe b x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（i ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0x xe ->，此时()ln 1x xe b x ->+，不合题意.（ii ）当0b >时，令()()ln 1x h x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，则()()()2111x x x x b be x h x e xe x x e --+-'=--=++，其中()10x x e +>，令()21x p x be x =+-，[)0,x ∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1x b x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <.从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1x b x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.【思路导引】本题主要考查由函数的极大值求参数，考查导数的方法研究不等式恒成立的问题.。
2024-2025学年福建省福州一中高三(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足z +−z =4，且z−−z =2i ，则|z|=( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 52.已知集合A ={x|2<x <4}，B ={x||x−4|>1}，则A ∩(∁R B)=( )A. (2,3)B. (3,4)C. [3,4)D. (−∞,4)∪(5,+∞)3.已知向量a ，b ，满足|a +2b |=2 7，|a |=2，|b |= 3，则向量a 与b 的夹角为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π64.已知函数f(x)=2x2−ax−1，在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为( )A. (0,2] B. (−∞,2] C. (2,4)D. [4,+∞)5.已知α，β为锐角，且cosα=35，sin (α−β)=513，则cosβ=( )A. −1665B. 5665C. 1665D. −56656.设四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的上、下底面积分别为S 1，S 2，侧面积为S ，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则( )A. S 2=S 1S 2B. S =S 1+S 2C. S =2 S 1S 2D. S = S 1+ S 27.如图，将绘有函数f (x )=M sin (π3x +φ)(M >0,0<φ<π)部分图像的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A,B 之间的距离为 15，则φ=( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.已知f(x)=2x +2−x +cosx +x 2，若a =f(4lnπ3)，b =f(πln 43)，c =f(4ln 3π)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c二、多选题：本题共3小题，共15分。
福建省福州市闽侯一中高三(上)期中数学试卷(理科)
根据等差数列的性质可得 a3+a4＝a1+a6＝4① 푎1 + 푎7
根据等差数列的前 n 项和公式可得， 2 × 7 = 21 所以 a1+a7＝6② ②﹣①可得 d＝2，a1＝﹣3
所以 a7＝9 푎2 + 푎5
解法二：S6＝（ 2 ）×6＝12 a7＝S7﹣S6＝9
故选 D
【点评】本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．
b2+S2＝12，数列{bn}的公比q = 푏2．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{（﹣1）nan•b
} 的前
2n
项的和．
n
20．（12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA∥BE，AB＝PA＝
4，BE＝2．
（1）求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值； 퐴퐹
=
2sin(2x
+ϕ)(|ϕ|＜
)的图휋2象向左平移
휋 个单6位长度后对应的函数是奇函数，
函数g(x) = (2 + 3)푐표푠2푥．若关于 x 的方程 f（x）+g（x）＝﹣2 在[0，π）内有两个不同的解 α，
β，则 cos（α﹣β）的值为
． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】A5：复数的运算．
【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出． 푎+ 푖
福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题
福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足4z z +=，且2i z z -=，则z =（ ）AB C ．2D2．已知集合{|24}A x x =<<，{||4|1}B x x =->，则()R A B =I ð（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．[)3,4D ．(,4)(5,)∞∞-⋃+3．已知向量a r ，b r ，满足2a b +=r r 2=ra ，b =r a r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．已知函数21()2xax f x --=在 1,2 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．(]0,2B ．(],2-∞C ．()2,4D ．[)4,+∞5．已知α，(0,π)β∈，且3cos 5α=，5sin()13αβ-=，则cos β=（ ） A ．5665B ．1665C ．3365D ．63656．设四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面积分别为1S ，2S ，侧面积为S ，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ） A ．212S S S = B ．12S S S =+C ．S =D =7．如图，将绘有函数()πsin 3f x M x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0M >，0πϕ<<）部分图像的纸片沿x 轴折成钝二面角，夹角为2π3，此时A ，B ϕ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．已知2()22cos x x f x x x -=+++，若3(4l n )a f =π，3(ln 4)b f =π，(4ln3)c f π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b <<D ．b a c <<二、多选题9．已知数列{}n a 、{}n b ，下列说法正确的有（ ） A ．若(2)3n n a =--+，则{}n a 为递减数列B ．若数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+，则{}n a 为等差数列C ．若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，则{}n n a b -为等差数列D ．若数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，则{}n n a b -为等比数列10．抛物线2:2C x py =的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(,1)t 时，||2PF =，直线l 与抛物线相交于A B 、两点，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的方程为：28x y =B ．抛物线的准线方程为：1y =-C ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D ．4AF BF +≥11．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x 的导函数为()g x '，且()()5f x g x '+=，()()155f x g x -'--=，若()g x 为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()05f =B ．()2024110120n f n ==∑C ．若存在0x 使()f x 在()00,x 上单调递增，在()02x ,上单调递减，则()g x 的极小值点为()4Z k k ∈D ．若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，满足题意的()g x 不唯一三、填空题12．已知随机变量2~(,)X N μσ，~(6,)Y B p ，且1(4)2P X ≥=，()()E X E Y =，则p =． 13．已知椭圆方程为2222x y 1(a b 0)a b +=>>，双曲线方程为2222x y 1(m 0,n 0)m n-=>>，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)1f =，且对任意0x <，均有111f xf x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则10121112025k f f k k =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑．四、解答题15．已知函数21()e xax f x -=．(1)若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()(()1)e x g x f x =+只有一个极值点，求实数a 的取值范围．16．已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2cos ab a C c A =+． (1)求a ；(2)若tan tan 2B C +=，求ABC V 面积的取值范围．17．如图，四棱锥M ABCD -的底面是边长为2的正方形，平面DMC ⊥平面ABCD ，DM MC ⊥．(1)求四棱锥M ABCD -体积的最大值；(2)若二面角--M BC D 为45︒，设平面MAD 与平面MBC 的交线为l ，N 为l上的点，且NB =2MN <，求MB 与平面NAB 所成角的正弦值．18．已知双曲线C ：22221x y a b-=的中心为OA 在x 轴上，6OA =，点P 是C 上一定点，P 到x 轴的距离为1，且OP PA =． (1)求双曲线C 的方程；(2)求C 上任一点和A 的距离的最小值；(3)若C 上的点M ，N 满足//MN PA ，求证：在C 上存在定点Q （异于P ）使得P ，M ，N ，Q 在同一个圆上．19．有2n 朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：2n =时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示．(1)当3n =时，求满足要求的绑缎带方法总数；(2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如2n =时，出现图1和图2所示方法的概率均为12．记一次绑法中，共有Y 对相邻的两朵花绑在一起，（i ）当4n =时，求Y 的分布列和期望；（ii ）已知：对任意随机变量i X （1i =，2，…，m ，*N m ∈），有11()m mi i i i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记满足条件的绑缎带方法总数为2n a ，Y 的期望为2n E ．求242n E E E g g L g （用n 和2n a 表示）．。
福建省闽侯第一中学2018届高三上学期模拟考试数学(理)试卷(含答案)
2018届高三第一学期模拟考试数学(理科)试卷（试卷共6页；完卷时间120分钟；满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1.集合{}0lg |>=x x M ，{}4|2≤=x x N ，则N M ⋂（ ）A.[]2,1B.()2,1C. [)2,1D. (]2,12.复数5122iz i -=+的实部为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23.已知x ∈R ，则“x =”是“22x x =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．9盏B ．5盏C ．3盏D ．1盏 5.函数()sin y A x ωϕ=+，R x ∈，在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，为了得到这个 函数的图象，只要将sin y x =，R x ∈，的图象上的所有的点（ ）A.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.右面程序框图的算法源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,21，则输出的a=（ ）A ．2B ．3C ．7D ．147.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为41666π24++，则该几何体的体积为（ ）A ．48π24+B ．41690π24++C ．48π48+D ．41666π24++ 8.函数y=|x ||x |ln x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A ．1800元B ．2400元C ．2800元D ．3100元10.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1,B B AD 的中点,则异面直线BF 与1D E 所成角的余弦值为（ ）A 25B ．57C 10D 1411.已知函数()(0)1xf x x x=>+，设f （x ）在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：112a =，1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2n n n b a a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中，仅当n=5时，2n n n b a a λ+取最小值，则λ的取值范围是( )A.(11,9)--B.( 5.5, 4.5)--C.(4.5,5.5)D.(9,11)12.若21,F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足：,1OM OF F==)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.2D. 3第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13.平面向量与的夹角为ο60，()0,2=1+ .14.在12201822017x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，项5x 的系数为 .（用数字作答） 15.在底面是边长为6的正方形的四棱锥P ABCD -中，点H 在底面的射影为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为53，则四棱锥P ABCD -的内切球与外接球的 半径之比为 ．16.定义域为R 的偶函数f （x ）满足对x R ∀∈，有()()()21f x f x f +=-，且当x ∈[2,3]时，()221218f x x x =-+- ，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至多有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分。
高三数学上学期开学考试试题 理含解析 试题 3
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期开学考试试题理〔含解析〕本套试卷一共4页，23小题，总分值是150分.考试时间是是120分钟。
本卷须知：2.答题选择题时，选出每一小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求答题无效.4.考生必须保证答题卡整洁.在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{3=0,=1x M x N x y x -⎧⎫>=⎨⎬-⎩⎭，那么()RC M N =〔〕A.(]1,2B.[]1,2C.(]2,3D.[]2,3【答案】B 【解析】 【分析】根据求解分式不等式和二次根式的定义域得,M N 集合，再运用集合的补集和交集运算求解. 【详解】由得()()(],13,,,2MN =-∞⋃+∞=-∞，[]1,3R C M =，所以()R C M N =[]1,2，应选B.【点睛】此题考察集合的补集和交集运算，属于根底题.z 满足1i1i z+=-，那么||z =〔〕 A.2iB.2C.iD.1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法那么，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到答案。
【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，应选D 。
【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法那么是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题。
α内一条直线l 及平面β，那么“lβ⊥〞是“αβ⊥〞的〔〕A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的断定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的断定方法，即可求解。
福建省闽侯第一中学2018届高三上学期模拟考试数学(理)试卷(含答案)
2018届高三第一学期模拟考试数学(理科)试卷（试卷共6页；完卷时间120分钟；满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.集合{}0lg |>=x x M ，{}4|2≤=x x N ，则N M ⋂（ ）A.[]2,1B.()2,1C. [)2,1D. (]2,12.复数5122iz i -=+的实部为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23.已知x ∈R ，则“2x x =+”是“22x x =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．9盏B ．5盏C ．3盏D ．1盏 5.函数()sin y A x ωϕ=+，R x ∈，在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，为了得到这个 函数的图象，只要将sin y x =，R x ∈，的图象上的所有的点（ ）A.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.右面程序框图的算法源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,21，则输出的a=（ ）A ．2B ．3C ．7D ．147.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为41666π24++，则该几何体的体积为（ ）A ．48π24+B ．41690π24++C ．48π48+D ．41666π24++ 8.函数y=|x ||x |ln x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元10.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1,B B AD 的中点,则异面直线BF 与1D E 所成角的余弦值为（ ）A 25B ．57C 10D 1411.已知函数()(0)1xf x x x=>+，设f （x ）在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：112a =，1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2n n n b a a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中，仅当n=5时，2n n nb a a λ+取最小值，则λ的取值范围是( ) A.(11,9)-- B.( 5.5, 4.5)-- C.(4.5,5.5) D.(9,11)12.若21,F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：)(,111OMOF F+==)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.2D. 3第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13.平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=a，1=b ，则=+b a 2 .14.在12201822017x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，项5x 的系数为 .（用数字作答）15.在底面是边长为6的正方形的四棱锥P ABCD -中，点H 在底面的射影为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为53，则四棱锥P ABCD -的内切球与外接球的 半径之比为 ．16.定义域为R 的偶函数f （x ）满足对x R ∀∈，有()()()21f x f x f +=-，且当x ∈[2,3]时，()221218f x x x =-+- ，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至多有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分。
福建省闽侯第一中学高三上学期模拟考试(期末)数学(理)
2018届高三第一学期模拟考试数学(理科)试卷（试卷共6页；完卷时间120分钟；满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.集合{}0lg |>=x x M ，{}4|2≤=x x N ，则N M ⋂（ ）A.[]2,1B.()2,1C. [)2,1D. (]2,12.复数5122iz i -=+的实部为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23.已知x ∈R ，则“x =是“22x x =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．9盏B ．5盏C ．3盏D ．1盏 5.函数()sin y A x ωϕ=+，R x ∈，在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，为了得到这个 函数的图象，只要将sin y x =，R x ∈，的图象上的所有的点（ ）A.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.右面程序框图的算法源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,21，则输出的a=（ ）A ．2B ．3C ．7D ．147.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为41666π24++，则该几何体的体积为（ ）A ．48π24+B ．41690π24++C ．48π48+D ．41666π24++8.函数y=|x ||x |ln x 2的图象大致是（ ）A． B． C．D．9.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元10.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1,B B AD 的中点,则异面直线BF 与1D E 所成角的余弦值为（ ）A．5B ．57 C．5 D．711.已知函数()(0)1xf x x x=>+，设f （x ）在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：112a =，1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2n n n b a a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中，仅当n=5时，2n n nb a a λ+取最小值，则λ的取值范围是( ) A.(11,9)-- B.( 5.5, 4.5)-- C.(4.5,5.5) D.(9,11)12.若21,F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：,1OM OF F==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.2D. 3第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13.平面向量与的夹角为60，()0,2=1==+ .14.在12201822017x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，项5x 的系数为 .（用数字作答）15.在底面是边长为6的正方形的四棱锥P ABCD -中，点H 在底面的射影为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为53，则四棱锥P ABCD -的内切球与外接球的 半径之比为 ．16.定义域为R 的偶函数f （x ）满足对x R ∀∈，有()()()21f x f x f +=-，且当x ∈[2,3]时，()221218f x x x =-+- ，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至多有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分。
2023-2024学年福建省福州第一中学高三上学期开学质量检查数学试卷含详解
2024届福州一中高三上学期开学初质量检查数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数()6iR 12i a z a +=∈+是纯虚数，则a 的值为（）A.12- B.12C.3- D.32.若集合){}()(){}2log 10,210A xB x x x =-≤=-+≤∣∣，则A R B =ð（）A.[]0,4 B.()1,4 C.[)0,2 D.()1,23.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的60%分位数是（）A.4B.5C.6D.74.函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A. B.C. D.5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.366.已知圆22:8C xy +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，PGQ ∠始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()(),08,-∞⋃+∞C .(0,4)D.(0,8)7.函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.33-B.3C.33D.38.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M ．若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为（）A.312+ B.32C.512+ D.712+二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.11a c< B.33a c b c< C.2211a b > D.lg0a cb c->-10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A.200p = B.Γ的准线方程为100y = C.Γ的焦点坐标为()0,50- D.弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为503311.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①将ACD 沿着AC 折起，形成三棱锥1D ABC -，如图1；折法②：将ABD △沿着BD 折起，形成三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为16πB.按照折法①，存在1D ，满足1AB CD ⊥C.按照折法②，三棱锥1A BCD - D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角的正弦值为3312.已知函数()()2sin cos f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =C.当0m >时，()f x 在区间3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．14.已知2n+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为______．15.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A 、B 、C 、D 四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A 学校有______种安排方法．16.周长为4的ABC ，若,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，223sin cos 23c a B C ab -=-．（1）求A ；（2）若3b =，BC 边上的高为7，求ABC 的面积．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n S a =-，等差数列{}n b 满足12b a =，54b a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，13SA SB SC SD ====，AC CD ⊥，6AB =，8BD =.（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A SB D --的余弦值.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平(6:6)，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X ，求X 的分布列．21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB 的面积为1（O 为坐标原点）．（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限），过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MPPQ的值．22.已知函数()2ln a f x ax x x=--．（1）若()0,1x ∈，()0f x <，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x a-<．2024届福州一中高三上学期开学初质量检查数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数()6iR 12i a z a +=∈+是纯虚数，则a 的值为（）A.12-B.12C.3- D.3【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简6i12ia z +=+，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.【详解】由题意2556i (6i)(12i)6(12)i12i a a a a z ++-++-===+，因为复数()6i R 12i a z a +=∈+是纯虚数，故62051205aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得3a =-，故选：C2.若集合){}()(){}2log 10,210A xB x x x =-≤=-+≤∣∣，则A R B =ð（）A.[]0,4 B.()1,4 C.[)0,2 D.()1,2【答案】D【分析】先求出集合,A B ，再由交集和补集的运算求解即可.【详解】由)2log 10≤可得：011<-≤，解得：14x <≤，由()()210x x -+≤可得：()()210x x -+≥，解得：2x ≥或1x ≤-，所以R B ð{}12x x =-<<，{}14A xx =<≤∣，所以A R B ð()1,2=故选：D.3.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的60%分位数是（）A.4 B.5C.6D.7【答案】C【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可.【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x +=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6.故选：C.4.函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】确定函数为奇函数，排除BD ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤，排除A ，得到答案.【详解】()f x 的定义域为{}2x x ≠±，()()()()()2222cos 22cos ()44xx xx x x f x f x x x ------==-=----，故()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，D ；又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220x x --≥，cos 0x ≥，240x -<，故()0f x ≤，排除A ．故选：C ．5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.36【答案】B【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积作答.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，依题意，四棱锥的体积2113a h =，即23a h =，三棱柱的体积132ahb =，即有6abh =，因此2b a =，于是长方体的体积22412V b h a h ===，所以该正四棱台的体积为1241228++=.故选：B【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.6.已知圆22:8C xy +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，PGQ ∠始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()(),08,-∞⋃+∞C.(0,4) D.(0,8)【答案】A【分析】由4MN =，得到2CG =，设PQ 的中点(,4)E a a -，根据PGQ ∠恒为锐角，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与以E 为圆心，以2为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，圆22:8C xy +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为r =因为4MN =，G 为弦MN 的中点，可得2CG =，又由两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，设PQ 的中点(,4)E a a -，当,M N 在圆C 上运动时，且PGQ ∠恒为锐角，可得以C 为圆心，以2为半径的圆与以E 为圆心，以2为半径的圆相外离，22>+，即240a a ->，解得a<0或4a >，所以线段PQ 中点的横坐标取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：A.7.函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.3-B. C.3D.【答案】A【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为2πT =，结合图象所过的点求参数，即可得()f x 解析式，进而求函数值.【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD 的面积，可得3AB =，设函数()f x 的最小正周期为T ，则AD T =，由题意得36πT =，解得2πT =，故2ωπ=π，得12ω=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象过点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1ππtan tan 12612ϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ππ,22ϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则π5π7π,121212ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ππ124ϕ+=-，解得π3ϕ=-．∴()1πtan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴2023π2023ππ2021π5π3tan tan tan 363663f ⎛⎫⎛⎫=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M ．若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为（）A.312+ B.32C.512+ D.712+【答案】D【分析】先求出以2F 为圆心的圆的方程，求出()3A c ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F ，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则3y c =，结合A 在y 轴正半轴上，故()3A c ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故13030()F A c k c -==--，故直线1:33F A y c =.设()()330M m m cm +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而31231233BM c c =⨯=，故())22212439c m c -++=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故33M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e +=或472，又因为1e >，则21e >，则2472e =，712e =.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.11a c< B.33a c b c< C.2211a b > D.lg0a cb c->-【答案】BD【分析】通过比较各项的大小，即可得出结论.【详解】由题意，0a b c>>>∴110a c>>，故A 错误，3333,a b a c b c ><，故B 正确，22a b >，当01a b <<<时，2211a b <，故C 错误，0,0,1,1a a ca cbc b b c-->->>>-，∴lg0a cb c ->-，故D 正确，故选：BD.10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A.200p = B.Γ的准线方程为100y = C.Γ的焦点坐标为()0,50- D.弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为5033【答案】ABD【分析】根据题意，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB ，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC ；根据题意，求出直线AC 的方程，不妨设CE CE 上一点为Q ，判断出当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB .此时()0,0C ，()200,100E --，()200,100D -，抛物线Γ的方程为()220x py p =->，即()22002100p =-⨯-，解得200p =，故A 正确；抛物线Γ的方程为2400x y =-，准线方程为100y =，焦点坐标为()0,100-，故B 正确，C 错误；因为30CAB ∠= ，()0,0C ，故tan 30AC k == ，所以直线AC 的方程为3y x =即0x -=，不妨设CE 上一点为()00,Q x y ，[]0200,0x ∈-，当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由21400y x =-可得1200y x '=-，故0132003x -=，解得()00100,3Q x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时Q 点到直线AC 的距离为=D 正确.故选：ABD.11.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①将ACD 沿着AC 折起，形成三棱锥1D ABC -，如图1；折法②：将ABD △沿着BD 折起，形成三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为16πB.按照折法①，存在1D ，满足1AB CD ⊥C.按照折法②，三棱锥1A BCD -D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角的正弦值为33【答案】AC【分析】根据外接球的圆心为AC 中点O ,即可根据表面积公式求解A ，根据线线垂直即可结合三角形全等得矛盾求解B ，根据面面垂直的性质即可求解高的最大值，进而可求C ，根据全等的性质，由线面垂直即可得线面角，进而根据三角形的边角关系求解D.【详解】对于A,ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．可得AC 中点O 到A ，B ，C ，D 的距离相等，故O 为棱锥1D ABC -的外接球的球心，AC 为直径，∴外接球的半径为2，∴三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为24π×2=16π，故A 正确，对于B ：假若存在存在1D ，使得1AB CD ⊥，由于AB BC ⊥，11,,BC CD C BC CD ⋂=⊂平面1BCD ，所以AB ⊥平面1CBD ，由于1BD ⊂平面1CBD ,故1AB BD ⊥,由于ACD 和ABC 是全等三角形，所以1AB AD ⊥,故1AB BD ⊥不可能，因此不存在1D 满足条件，故B 错误；对于C ：三棱锥1A BCD -体积最大时，平面1A BD ⊥平面BCD ，由已知60120BAC DAC DAB ∠=∠=︒⇒∠=︒,2AB AD ==,所以2sin 60BD AB == ，又BC CD ==故BCD △为等边三角形，过1A 作1A E BD ⊥，则11cos601A E A B == ，故1A 到平面BCD 的距离为11A E =1，∴12111322A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；对于D,由于在翻折过程中，111111,,,A D A B CD CB AC AC A BC A DC ===\@,故当11CA A D ⊥，可得11CA A B ⊥，11111,,A B A D A A B A D =⊂ 平面1A BD ，1CA ∴⊥平面1A BD ，则1A BC ∠是BC 与平面1A BD 所成的角，由BC =，12A B =，由勾股定理可得1A C =，在△1A BC 中，11sin3A C A BC BC ∠===，故D 错误．故选：AC ．12.已知函数()()2sin cos f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =C.当0m >时，()f x 在区间3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点【答案】BCD【分析】化简()f x 的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A ；根据函数图象的对称轴的性质可判断B ；结合正弦函数的单调性可判断C ；取1m =，结合正弦函数的零点可判断D.【详解】对于A ，()1sin 2f x x =+-，故()π1sin 2(π)f x x +=++-1sin 2()x f x =+-，即π为()f x 的一个周期，说明2π不是()f x 的最小正周期，A 错误；对于B ，3π3π1sin 2()22f x x ⎛⎫-=+--⎪⎝⎭1sin(3π2)x =+--1sin 2(),R x f x x =+-∈，故()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =，B 正确；对于C ，当0m >时，3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则3π2,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由于正弦函数sin y x =在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且sin 0x <，故sin 2y x =在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且sin 20x <，此时()1sin 21sin 2f x x x m =+-+-而sin 2y x =-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则y =-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()1sin 2f x x =+-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；对于D ，由A 可知即π为()f x 的一个周期，且sin 2y x =的最小正周期为π，故()f x 的最小正周期为π，当1m =时，()1sin 2f x x =+-，当sin 20x =时，()0f x =，则在(0,π]上()f x 的零点为π2和π，故当(0,1012π]x ∈时，恰有210122024⨯=个零点，且第2024个零点为1012π，故当(0,1012π)x ∈时，()f x 恰有202412023-=个零点，即存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点，D 正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题综合考查了含sin x 型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．【答案】35-【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合二倍角正弦公式和同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，()()2222232sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 1531ααααααα⨯-====-++-+.故答案为：35-.14.已知2n+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为______．【答案】60【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出n ，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题意得2264n =，解得3n =，则6+的二项展开式通项为6262166C C 2,06,N rrrrr r r T xr r --+==⋅⋅≤≤∈，令6212r -=，解得2r =，则x 的系数为226C 260⋅=，故答案为：60.15.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A 、B 、C 、D 四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A 学校有______种安排方法．【答案】60【分析】分甲单独一人和甲和另一人成一组讨论即可.【详解】将这5名教师分配到新疆的A ，B ，C ，D 共4所学校，每所学校至少1人，则先分组后排列，5名教师分成四组，则为1，1，1，2.若甲作为单独的一位被安排到A 学校，则有2343C A 36⋅=种情况；若甲是一组两人中的一位且被安排到A 学校，则有1343C A 24⋅=种情况，共有362460+=种情况.故答案为：60.16.周长为4的ABC ，若,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为________．【答案】8,69⎡-⎢⎣【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得2(2)12AB AC a ⋅=-++，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出41,3a ⎤∈-⎥⎦，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】因为周长为4的ABC ，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，所以222222()3cos 222c b a c b bc c b bcAB AC cb A +-+-+-⋅====2222(4)328164822a a a a a a ----+===--+，令()248a a f a =--+，24,,b c a bc a a b c +=-=+>∴a c b >-，∴22222()()4(4)4a c b c b bc a a >-=+-=--，解得1a >-，又∵b c +≥，∴42a a -≥，∴43a ≤故41,3a ⎤∈-⎥⎦，又()248a a f a =--+在41,3a ⎤∈⎥⎦上递减，)4816,39ff ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴28(2)12,69AB AC a ⎡⋅=-++∈-⎢⎣ ，故答案为：8,69⎡-⎢⎣.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A为锐角，22sin cos 23c a B C ab -=-．（1）求A ；（2）若3b =，BC边上的高为7，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）332【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求出3sin 2A =，再结合A 为锐角即可求解；（2）先利用面积相等求得2a c =，再代入余弦定理求出2c =，进而求解即可．【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，所以222223sin 232c a a b c B ab ab -+-=-，即3sin 32b B a=，又由正弦定理得3sin sin 32sin BB A=，因为sin 0B >，所以3sin 2A =，又因为A 为锐角，所以π3A =．【小问2详解】结合（1），由题意得1131321sin 322227ABC S bc A c a ==⨯⨯⨯=⨯ ，得72a c =，由余弦定理得2222272cos 934a b c bc A c c c =+-=+-=，整理得()()2412260c c c c +-=-+=，解得2c =，或6c =-（舍去），所以11sin 322222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n S a =-，等差数列{}n b 满足12b a =，54b a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ．【答案】（1）2n n a =；31n b n =+（2）3459【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式求得{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量求法即可求得{}n b 的通项公式，从而得解；（2）结合（1）中结论，分析{}n c 的前50项中含有{}n a 与{}n b 的项，从而利用前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为()21n n S a =-，所以当1n =时，()11121S a a =-=，解得12a =，当1n >时，()1121n n S a --=-，所以1n n n a S S -=-122n n a a -=-，整理得12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=.所以5124164,b b a a ====，设等差数列{}n b 的公差为d ，则5144416b b d d =+=+=，解得3d =，所以()()1143131n b b n d n n =+-=+-=+.【小问2详解】因为772128a ==，882256a ==，463461139b ⨯+==，且21452164,16,64,a b a b a b ======所以{}n c 的前50项中含有{}n a 的1357,,,a a a a 且含有{}n b 的前47项，()50464139283212834592S ⨯+∴=++++=.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，13SA SB SC SD ====，AC CD ⊥，6AB =，8BD =.（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A SB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）170170-【分析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，OC ，可得SO AD ⊥，利用直角三角形的性质可得OC OD =，即可证明SOC SOD ≅ ，进而可得SO OC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证SO ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）先证明Rt SOA Rt SOB ≅ ，OA OB OC OD ===，可得AD 为四边形ABCD 外接圆的直径，进而可得SO 和AD 的长，以B 为原点，,BD BA 所在的直线为,x y 轴，过点B 与SO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABS 的一个法向量和平面SBD 的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标运算即可求解.【详解】取AD 的中点O ，连接SO ，OC ，因为SA SD =，所以SO AD ⊥，因为AC CD ⊥，O 为AD 的中点，所以12OC AD OD ==，因为SO SO =，SC SD =，所以SOC SOD ≅ ，所以90SOC SOD ∠=∠= ，所以SO OC ⊥，因为OC OD O = ，OC ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD ，因为SO ⊂平面SAD ，所以平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知：SO ⊥平面ABCD ，所以SO BO ⊥，在Rt SOA 和Rt SOB 中，由SO SO =，SA SB =可得Rt SOA Rt SOB ≅ ，所以OA OB =，即OA OB OC OD ===，所以,,,A B C D 在以O 为圆心的圆上，由AC CD ⊥可得AD 为四边形ABCD外接圆的直径，10AD ==，5AO =，12SO ==，以B 为原点，,BD BA 所在的直线为,x y 轴，过点B 与SO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,6,0A ，()0,0,0B ，()8,0,0D ，()4,3,0O ，()4,3,12S ，()0,6,0BA = ，()8,0,0BD = ，()4,3.12BS =，设平面ABS 的一个法向量()111,,m x y z =，则11116043120m BA y m BS x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令13x =，可得11z =-，10y =，所以()3,0,1m =-，设平面SBD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22224312080n BS x y z n BD x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令24y =，则21z =-，20x =，所以()0,4,1n =-，所以170cos ,=170m n m n m n⋅=⋅，因为二面角A SB D --的平面角为钝角，所以二面角A SB D --的余弦值为170170-.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平(6:6)，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X ，求X 的分布列．【答案】（1）1975（2）答案见解析【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是4:0和3:1的概率，即可得答案；(2)依题意，甲11:6或11:8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X 的分布列.【小问1详解】解：甲与乙的比分是4:0的概率为33111,553325⨯⨯⨯=比分是3:1的概率为3211332116225533553375⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故前4球中，甲领先的概率11619;257575P =+=【小问2详解】解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲11:6或11:8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．记比分为5：0为事件A ，则()223133()()535125P A =⨯⨯=，记比分为5：2为事件B ，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，22222241314242321232321152()C (()(C (()C ()C 5533555333625P B ⎡⎤=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，故依题意甲获胜的概率为35267,125625625+=X 的所有可能取值为3，5，由条件概率有，()()52153,56767P X P X ====故X 的分布列为X 35P5267156721.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB 的面积为1（O 为坐标原点）．（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限），过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MPPQ的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E 的方程；（2）设直线1l 的方程为x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，求出点P 、Q 的坐标，将直线1l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，根据2m n +=，然后化简Q M x x +，最后得到2Q M P x x x +=即可.【小问1详解】由题意可得OA a =，OB b =，且OA OB ⊥，则11122OAB S OA OB ab =⋅==△，所以，2222112c e a ab a b c⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线1l 与x 轴平行时，此时直线方程为1y =，不合乎题意，则设直线1l 的方程为x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，易知点()2,0A 、()0,1B ，则直线AB 的方程为12xy +=，直线l 的方程为1y y =，联立112y y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()121x y =-，故点()()1121,P y y -，联立直线1l 与椭圆的方程得2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2224240m y mny n +++-=，()()()22222244441640m n m n m n ∆=-+-=+->，由韦达定理可得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+，因为点()2,1D 在直线MN 上，则2m n =+，则2n m =-，则()21222222444m m m m y y m m --+=-=++，()22122224444m m m y y m m ---==++，()2216420m m ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，解得0m >，221BN y k x -=，则直线BN 的方程为2211y y x x -=+，令1y y =，则()21211Q x y x y -=-，()()()()()()()2121122112122211111111Q M x y x y x y my n y my n y x x x y y y --+-+-++-+=+==---()()()()222212122242422222224411m m m mm m m my y n m y y n m m y y --⋅+-⋅--+-+-++==--221641m y -+=-，则()()221614Q M x x y m -+-=+，而()()()212122*********41141444414m m m y y y y y m m y m m ⎛⎫----=+--=-=⎡⎤ --+⎪⎣⎦++⎝⎭即()2216214P x y m --=+，则()()()22121Q M P x x y x y +-=-因为21y ≠，则2Q M P x x x +=，又因为点,,P Q M 的纵坐标相同，所以P 为MQ 的中点，所以1MP PQ=.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再联立椭圆方程得到韦达定理式，再去化简Q M x x +，然后将韦达定理式代入整理，最后得到2Q M P x x x +=，则得到最后结果.22.已知函数()2ln a f x ax x x=--．（1）若()0,1x ∈，()0f x <，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x a-<．【答案】（1）1a ≥（2）证明见解析【分析】（1）当0a ≤时利用导数判断出单调性求出最值可得结论；当0a >时求出()f x '，分1a ≥时，可得()f x 在()0,1x ∈上单调性求出最值可得结论；01a <<时，令()0f x '=，利用()f x 的单调性、最值可得答案.（2）0a ≤时()f x 单调递减，无极值不满足题意；1a ≥时()f x 单调递增，无极值不满足题意；01a <<时，令()0f x '=，求出1x ，2x ，判断出()f x 的单调性，要证()()12f x f x a-<，转化为()1111112f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数可证后者成立.【小问1详解】当0a ≤时，()22222a ax x af x a x x x-+'=-+=，在()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()100=--=f a a ，所以()0f x >，不满足题意；当0a >时，()222ax x af x x -+'=，若2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,1x ∈上单调递增，又()100=--=f a a ，所以()0f x <，满足题意；若2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，可得11101<=<x a ，2111+=>x a，当10,⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11,1⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，而()100=--=f a a，所以10极大值⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭f a ，不满足()f x 在()0,1x ∈上()0f x <.综上所述，1a ≥；【小问2详解】当0a ≤时，由0x >得()2220-+'=<ax x af x x，()f x 单调递减，无极值，不满足题意；当0a >时，()222ax x af x x-+'=，若2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,1x ∈上单调递增，无极值，不满足题意；若2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，可得111a x a -=，211a x a+=，此时21x x >，当10,⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11,⎛⎪+∈⎭⎝x a a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当11,∈+⎪⎛⎫⎪⎝∞ ⎭x a 时，()0f x '<，()f x 单调递增，所以()1f x 为极大值，()2f x 为极小值，且122x x a+=，121=x x ，()()12f x f x >，要证()()12f x f x a-<，即证()()()12212-<===-f x f x x x ，即()()()12212-<-f x f x x x ，即证：()1111112f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()11201s x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=---<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()()2222242242222a x x a a s x a x x x+-+++'=-++=，因为()221642216320a a a ∆=-+=--<，故()s x 在()0,1上为减函数，故()()10s x s <=，故()112,01f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-<-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，故()()12f x f x a-<.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令()1201x t t x =<<11ln -+<t 成立，构造函数())ln 01g t t t-+=<<，利用导数判断出()g t 在()0,1t ∈上的单调性，考查了学生思维能力、运算能力.。
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2018届高三第一学期开学考试数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ．2B． CD2．已知命题:p “,10x x e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10x x e x ∃∈--≥R B ．,10x x e x ∃∈-->RC ． ,10x x e x ∀∈-->RD ． ,10x x e x ∀∈--≥R3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数x 的取值范围是()A ．[0,2)B ．[2,7]C ．[2,4]D ． [0,7]4．若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos 2α的值为（ ）A ．78-B．8-C ．1D．85．若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ） A ． ﹣2B ．2C ．1D ．66．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ． 321++B ．322++C ．323++D ． 324++7．64(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数是（ ） A ． 4-B ．3-C ．3D ．48．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k = ( )A ．B ．13C ．23D9．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则两零点所在的区间为( )．A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．()1,2D ．(1,)+∞10.已知三棱锥O ABC -底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且6,AB BC AC ===O ABC -的体积为（ ）A ． 4 3B． C ．183D．11．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P →→→+⋅=（O 为坐标原点），且12PF ，则双曲线的离心率为（ ）AB1CD112．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++--<的解集为( )A ．(),2012-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=，则28a a +=14．已知在ABC ∆中，4AB = ,6AC =，BC =其外接圆的圆心为O ， 则AO BC ⋅=________．15． 以下命题正确的是： ． ①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象；②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-； ③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，且3a =，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中*n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设23n n n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（I ）试估计该校高三学生视力在5．0以上的人数；（II ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2 4.4 和5.0 5.2的学生中抽取9 人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2 4.4的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)已知：矩形11ABB A ，且12AB AA ，C C ,1分别是11B A 、B A 的中点，D 为C C 1中点，将矩形11ABB A 沿着直线C C 1折成一个60o的二面角，如图所示.11AC 1CB 1BA 1A（Ⅰ）求证： 1AB ⊥1A D ；（Ⅱ）求1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知以A 为圆心的圆64)2(22=+-y x 上有一个动点M ，)0,2(-B ，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）过A 点作两条相互垂直的直线21,l l 分别交曲线E 于G F E D ,,,四个点，求FG DE +的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数()ln af x x x=+，a R ∈,且函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． （Ⅰ）实数a 的值；（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围.本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.(I)若()2f x >，求实数x 的取值范围； (II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2018届高三第一学期开学考试数学(理科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D 12.B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．9 14．10 15.①③④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4．(本小题满分12分)解:（I ）∵*31()22n n S a n N =-∈， ① 当11311,22n S a ==-，∴11a =，………………………………2分当2n ≥，∵113122n n S a --=-， ②①-②：13322n n n a a a -=-，即：13(2)n n a a n -=≥ ………………………………4分又∵11a =，23a = ， ∴13n na a +=对*n N ∈都成立，所以{}n a 是等比数列， ∴1*3()n n a n N -=∈ .………………………………6分（II ）∵23nn n a b n n=+，∴23n b n n=+，……………………………9分∴111113(1)2231n T n n =-+-++--， ∴133(1)311n T n n =-=-++，即31n n T n =- .……………………………12分18．(本小题满分12分)解：（I ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，23.0,26.0,27.0,07.0,03.054321=====f f f f f ，所以视力在0.5以上的频率为14.0)23.026.027.007.003.0(1=++++-，估计该校高三学生视力在5．0以上的人数约为14014.01000=⨯人． ……………………………4分（II ）依题意9人中视力在4.24.4 和5.0 5.2的学生分别有3人和6人，X 可取0、1、2、3363920(0)84C P X C ===， 21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===， 33391(3)84C P X C ===．……………………………10分 X 的分布列为X 的数学期望()0123184848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ．…………………12分 19．(本小题满分12分)（Ⅰ）解法一：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60O ACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. ∴四边形11A ABB 为正方形∴B A AB 11⊥，…………………………………2分 取BC 中点O ，连结AO ，则BC AO ⊥.∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC , ∴AO ⊥平面11B BCC ,∵⊂BD 平面11B BCC ,∴AO ⊥BD在正方形11B BCC 中，∴BD O B ⊥1…………………………………3分 ∵O O B AO =⋂1,∴BD ⊥面O AB 1，∴BD ⊥1AB . ∴1AB ⊥平面D AB 1．∴ 1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅰ）解法二：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60OACB ∠=∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. 取BC 中点O ，连结AO 则BC AO ⊥，∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ， ∴AO ⊥平面11B BCC …………………………1分取11C B 中点1O ，以O 为原点，OO 1的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设12AA =，则)0,0,1(B ，)0,1,1(-D ,)3,0,0(A ,)3,2,0(1A ,)0,2,1(1B则1(1,2AB =，1(1,1,A D =--，……………………………4分∴11(1,1,(1,21230AB A D ⋅=--⋅=--+=，∴11AB A D ⊥∴1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅱ）解： 设平面D A B 11的法向量为),,(z y x n = ∵)3,0,1(11-=B A ，)3,1,1(1---=D A ∵11B A ⊥,A 1⊥∴⎪⎩⎪⎨⎧==0.0.111D A n B A ……………………………………………8分∵0,0,x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩∴,y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1z =得(3,n =-为平面D A B 11的一个法向量.………………………10分由（I ）得1(1,2,AB =1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值11·|n|AB |n AB ===1AB 与平面11A B D 12分 16．(本小题满分12分)解（Ⅰ）连接PB ，依题意得PM PB =，所以8==+PM PA PB 所以点P 的轨迹E 是以B A ,为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以4=a ，2=c ，32=b所以E 的轨迹方程式1121622=+y x ． …………………………4分(Ⅱ) 当直线21,l l 中有一条直线的斜率不存在时，1486=+=+FG DE当直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程)2(-=x k y ，设D ),(11y x ，),(22y x E 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=11216)2(22y x x k y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=…………6分 21221634k x x k +=+，2221434816kk x x +-= 所以=DE 2122124)(1x x x x k -+⋅+= 2243)1(24kk ++=…………8分 设直线2l 的方程为)2(1--=x ky ， 所以2234)1(24kk FG ++= 所以)43)(34()1(1682222k k k FG DE +++=+…………9分 设12+=k t ，所以1>t ，所以2112168tt FG DE -+=+ 因为1>t ，所以41102≤-<tt ，所以FG DE +的取值范围是96[,14)7．………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分 ∵21()a f x x x'=-，函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． ∴(1)12f a '=-=∴1a =-…………………………………………4分解：（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立， 构造函数11()()ln m h x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零.2222211(1)(1)()1m m x mx m x x m h x x x x x x---+--'=---==………6分 ①当e m ≥+1时，即1m e ≥-时，)(x h 在[]1,e 上单调递减，…………………8分所以()h x 的最小值为(e)h ，由01)(<-++=m e m e e h 可得112-+>e e m ， 因为1112->-+e e e ，所以112-+>e e m ； ………………10分 ②当11≤+m ，即0≤m 时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由011)1(<++=m h 可得2-<m ； ……11分③当e m <+<11，即10-<<e m 时， 可得()h x 最小值为)1(m h +，因为0ln(1)1m <+<，所以，0ln(1)m m m <+<2)1ln(2)1(>+-+=+m m m m h此时，0)1(<+m h 不成立.综上所述:可得所求m 的范围是：112-+>e e m 或2-<m . ……………12分 本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分 所以所求的圆C的参数方程为22x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，4cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++ …………………………7分当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分x y +取到最大值为6. …………………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分（II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++ 又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m …………………………7分∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。