高中数学第一章三角函数.3三角函数的诱导公式互动课堂学案新人教A版
高中数学第一章三角函数3三角函数的诱导公式课时练习新人教A必修
三角函数的诱导公式(一)(15分钟30分)的值为( ) A. C.【解析】=tan=tan=-.【补偿训练】tan(5π+α)=m,则的值为( ) A. B.【解析】选A.因为tan(5π+α)=tan α=m,所以原式===.2.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P,则cos= ( )A. B.【解析】,所以cos α=-,所以cos=-cos α=.3.若c os(π+α)=-,π<α<2π,则sin(α-2π)等于( )A. B.± C.【解析】选D.由cos(π+α)=-,得cos α=,故sin(α-2π)=sin α=-=-=-(α为第四象限角).4.的值等于.【解析】原式=====-2.答案:-2<α<,cos=m(m≠0),求tan的值.【解析】因为-α=π-,所以cos=cos=-cos=-m.由于<α<,所以0<-α<.于是sin==.所以tan==-.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)=,则cos= ( ) A. C.【解析】+=π,所以cos=-cos=-.2.已知n为整数,化简所得的结果是( )A.tan nαB.-tan nαC.tan αD.-tan α【解析】选C.当n=2k,k∈Z时,===tan α;当n=2k+1,k∈Z时,====tan α.+sin的值为( ) B.C. D.【解析】选C.原式=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.4.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( ) A.C.±【解析】选B.因为sin(π-α)=sin α=log81-log84=0-log822=0-2log82=-,所以cos(π+α)=-cos α=-=-=-.二、填空题(每小题5分,共10分)=,则sin= .【解析】因为sin=,所以sin=sin=-sin=-.答案:-6.已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)的值为. 【解析】因为cos(α-55°)=-<0且α是第四象限角.所以α-55°是第三象限角. 所以sin(α-55°)=-=-.因为α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.答案:三、解答题7.(10分)已知f(α)=.(1)化简f(α).(2)若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值.(3)若α=-,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)==sin α·cos α. (2)由f(α)=sin αcos α=可知(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=.又因为<α<,所以cos α<sin α,即cos α-sin α<0.所以cos α-sin α=-.(3)因为α=-=-6×2π+,所以f=cos·sin=cos·sin=cos·sin=cos·sin=cos·=×=-.。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案
2019-2020年高中数学必修四 1.3 《三角函数的诱导公式》导学案【学习目标】1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式．2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明． 【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程 新授课阶段 1．诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+o的终边位置关系如何？ （2）写出α的终边与180α+o的终边与单位圆交点,'P P 的坐标． （3）任意角α与180α+o呢？结论：任意α与180α+o的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-o ， cos(180)x α+=-o ．从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=o sin α-；cos(180)α+=-ocos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-o oo ． 2．诱导公式三：思考：（1）360α-o的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-； （2）任何角α与α-的终边位置关系如何？可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20︒与20180︒+︒，20︒与20180︒-︒的终边的关系．从而易知，,33)k z απαπαπαπαπ+-+-+∈L 与，，，（2k+1），(终边相同，所以三角函数值相等．由α与απ+的终边与单位圆分别相交于P 与 P ´，它们的坐标互为相反数P( x ，y)，P ´(-x ，-y) （见课本图1-18），所以有[]cos (21)-cos k απα++=[]sin (21)-sin k απα++= （三） []tan (21)tan k απα++=结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=． 说明：①公式中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-． 3．诱导公式四：sin(180)sin αα-=o；cos(180)cos αα-=-o ．4．诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o；cos(360)cos αα-=o ．说明：①公式四、五中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-o；tan(360)tan αα-=-o5．公式六：ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+说明：①公式六中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限． 结合公式（一）和（三）可以得出下结论：sin ,sin()sin a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数cos ,cos()cos a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数tan()tan ,n n Z απα+=∈由α与πα-和单位圆分别交于点P ´与点P ，由诱导公式（二）和（三）或P ´与点P 关于y 轴对称，可以得到 α与πα-只见的三角函数关系（见课本图1-19）ααπsin sin(=-） ααπ-cos cos(=-）例1 下列各三角函数值：219sin120cos135tancos()34ππ-oo解：例2 将下列三角函数化为0o 到45o之间角的三角函数：sin 68cos 75tan126oo o解：例3 求下列三角函数值：（1）sin 960o；（2）43cos()6π-． 解：例4 （1）化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--； （2）sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765.⋅+--++oooooo解： （1）（2）例5 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．解： ．例6 已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值． 解：例7 化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．解： 课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-ooo的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为α±⋅ok 90（k 为常整数）；3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）；4．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．作业课本第32页习题B 组第1、2题拓展提升 1．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππααB ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα2．已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-3．设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－3 4．当Z k ∈时，])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．与α取值有关5．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f 那么=)2004(f （ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．已知3sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（ ） A.21 B. —21C. 23D. —237．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 8．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A. sin 2cos2+B. cos2sin 2-C. sin 2cos2-D.±cos2sin 2- 9．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）A ．231+-B ．231+-C ．231-D ． 231+ 10．已知,0cos 3sin =+αα则=+-ααααcos sin cos sin .11．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限 12．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ．13．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．14．已知方程sin(3) = 2cos(4)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值．参考答案 例1解：3sin120sin(3090)cos30=+==oooo2cos135cos(4590)sin 45=+=-=o o o o 2tantan()cot 33626ππππ=+=-=- 191932cos()cos cos(4)cos()sin 444424πππππππ-==+=+=-= 例2 解：略． 例3解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=oooo（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-o o o （诱导公式二）2=-． （2）4343cos()cos66ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos66πππ=+=（诱导公式一） cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式二）=． 例4．解：（1）原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅- 2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=． （2）原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)=-⋅-+--ooooooootan(675720)cot(765720)+-+-o o o o sin 60cos30sin 30cos 60tan(45)cot 45=++-+o o o o o o11tan 4512222=⨯+⨯-+o 3111144=+-+= 例5解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例6解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-由已知得：43cos ,tan 54αα==-， ∴原式2120=． 例7解：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-．②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+拓展提升1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C 7．Ａ 8．C 9．B 10．2 11．二 12．－213．解：θθθθθθcos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-=f=θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =θθθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++=θθθθθθcos 2cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ ∴()3f π＝cos3π＝21 14．解： ∵sin( 3) = 2cos( 4)∴ sin(3) = 2cos(4)∴ sin( ) = 2cos( )∴sin=2c os且cos∴43cos 4cos 3cos 2cos 2cos 5cos 2sin cos 2cos 5sin -=-=--+-=+-+=αααααααααα原式。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式教学案新人教A版必修4
＝ sin 45 ° cos 30 °－ cos 30 ° sin 30 °－ tan 45 °
2 3 31
6－ 3－4
＝ 2 × 2 － 2 × 2－1＝
4
.
讲一讲
3 / 22
cos（－α） tan （7π＋α）
2． (1) 化简：
sin （π－α）
＝ ________；
sin （1 440 °＋α）· cos（α－ 1 080 °） (2) 化简 cos（－ 180°－α）· sin （－α－ 180°） ＝ ________．
[ 尝试解答]
cos（－α） tan （7π＋α） cos αtan （π＋α）
(1)
sin （π－α）
＝
sin α
＝
cos α· tan α sin α sin α ＝ sin α＝ 1.
sin （4×360°＋α）· cos（3×360°－α） (2) 原式＝ cos（180°＋α）· [ －sin （180°＋α） ]
切．
练一练
sin[ （k＋1）π＋θ ] ·cos[ （k＋1）π－θ］
2．化简：
sin （kπ－θ）· cos（kπ＋θ）
( k∈ Z) ．
解：当 k 为奇数时，不妨设 k＝ 2n＋1， n∈Z，
sin[ （2n＋2）π＋θ ] ·cos[ （2n＋ 2）π－θ］ 则原式＝ sin （2nπ＋π－θ）· cos（2nπ＋π＋θ）
＝ sin(360 °＋ 225° )cos (3 ×360°＋ 210° ) ＋ cos 30 ° sin 210 °＋ tan(180 °－ 45° )
＝ sin 225 ° cos 210 °＋ cos 30 °sin 210 °－ tan 45 °
高中数学第一章三角函数1.3.2三角函数的诱导公式(2)教案新人教A版必修4
1.3.2三角函数诱导公式（二）【教材分析】《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。
这节是诱导公式（二）的推导，在诱导公式（一）的推导中用到了一次对称变换，这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合诱导公式（一）、（二）总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。
【教学目标】1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.【教学重点难点】 教学重点：掌握απ±2角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路 教学难点：απ±2角的正弦、余弦诱导公式的推导.【学情分析】学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。
但由于诱导公式多，学生记忆困难，应用时易错，应该渗透归纳总结的学习方法，让学生找规律，体现自主探究、共同参与的新课改理念。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1教案新人教A版必修
课题：三角函数的诱导公式（1）))().)() 180cos180α⋅--πα精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
《三角函数的诱导公式》教案新人教A版
数学：1.3《三角函数的诱导公式》教案（新人教A版必修4）第一章三角函数4-1.3三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容"诱导公式（二）、（三）、（四）"是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一)限时规范训练新人教A版
第1课时 三角函数的诱导公式（一）【基础练习】1．化简1－sin 21 180°的结果是( ) A ．cos 100° B ．cos 80° C ．sin 80° D ．cos 10°【答案】B【解析】原式＝1－sin 21 180°＝1－sin 2100°＝cos 2100°＝cos 280°＝cos 80°.故选B ． 2．(2018年福建厦门校级月考)已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限的角，则cos(α－2π)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35【答案】A【解析】由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，而cos(α－2π)＝cos α且α是第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝45.故选A ．3．下列等式恒成立的是( ) A ．cos(－α)＝－cos α B ．si n(360°－α)＝sin α C ．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D ．cos(π＋α)＝cos(π－α) 【答案】D【解析】根据诱导公式可得cos(－α)＝cos α，sin(360°－α)＝－sin α，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A ，B ，C 都不正确，再由cos(π＋α)＝－cos α＝cos(π－α)，可得D 正确．故选D ．4．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2α【答案】B【解析】原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.故选B ． 5．化简sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．cos αD ．1cos α【答案】A【解析】sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?＝sin 2α·?－cos α??－cos 3α?·tan 2α＝sin 2αcos 2α·sin 2αcos 2α＝1.故选A ． 6．(2019年江西南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．【答案】32【解析】因为3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.7．(2019年江苏苏州期末)已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是________． 【答案】13【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin (π－α)＝－3sin α，所以－3sin α＝cos α，则tan α＝sin αcos α＝－13.所以tan(π－α)＝－tan α＝13.8．求值：(1)sin 1 650°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3. 【解析】(1)sin 1 650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π＋2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.9．已知cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝lg 1310，求cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?的值．【解析】∵cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝－cos α?sin αsin?180°＋α?－sin?180°＋α?cos?180°＋α?＝－cos α?sin α?－sin α?sin α?－cos α?＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg1310＝lg 310＝13.∴cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?＝－cos αcos α?－cos α－1?＋cos αcos α?－cos α?＋cos α＝1cos α＋1＋11－cos α＝?1－cos α?＋?1＋cos α?1－cos 2α ＝2sin 2α＝18. 【能力提升】10．(2018年湖南株洲期中)已知tan(π－α)＝－23，则cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37C ．15D ．37【答案】A【解析】tan(π－α)＝－tan α＝－23，可得tan α＝23，∴cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α9tan α－1＝1－3×239×23－1＝－15.故选A ．11．已知角α与角β终边关于y 轴对称，有四个等式：①sin α＝sin(π＋β)；②sin α＝sin β；③cos α＝cos(π＋β)；④cos α＝cos(－β)，其中恒成立的是( )A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④ 【答案】A【解析】设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则P ′(－x ，y )在β的终边上，由三角函数的定义得sin α＝y r ，sin β＝y r，cosα＝x r ，cos β＝－xr，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β.故①④错误，②③正确．故选A ．12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 018)＝－1，则f (2 019)＝________.【答案】1【解析】∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋2 018π＋α)＋b cos(π＋2 018π＋β)＝－a sin(2 018π＋α)－b cos(2 018π＋β)＝－f (2 018)，又f (2 018)＝－1，∴f (2 019)＝1.13．化简：1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°.【解析】原式＝1＋2sin?360°－80°?·cos?360°＋80°? sin?180°＋80°?＋cos?720°＋80°?＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin280°＋cos280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 80°－cos 80°2－sin 80°＋cos 80°＝|sin 80°－cos 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1.。
高中数学第一章三角函数1.3.1三角函数的诱导公式1教案新人教A版必修
1. 3.1三角函数的诱导公式（一）一、教学目标：1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；三、学法与教学用具：（1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；（2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．四、教学过程：创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2[ππ内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成 ︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos )3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。
那么它们的三角函数值有何关系呢？若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三）特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四）所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3 三角函数的诱导公式》3
1.2.3三角函数的诱导公式教学设计第1课时一、三维目标1．知识与技能（1）建构合理的问题情境，让学生体验公式的推导过程并能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）理解记忆的基本上，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由观察图形、直观感知探讨数量关系式的过程，培养学生的数学发现能力和概括能力；（2）通过对诱导公式的发现和探究、运用过程，培养学生的化归能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二、教学重点与难点教学过程中的重点是，探求－α的诱导公式推导过程。
π＋α，π－α与的诱导公式的推导，在小结－α的诱导公式发现过程的基础上，在教师的引导下由学生自己推出。
教学过程中的难点是，对角α的任意性的理解。
π＋α，π－α与角α终边位置的几何关系的发现以及表示。
以及发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，从而根据三角函数的定义发现三角函数的之间的关系即发现诱导公式的“路线图”。
三、教学方法与教学手段问题教学法、自主探究法，多媒体课，数学实验四、教学过程课堂脉络：温故知新——问题引导——特殊探路——动画感知自主探究——归纳方法——巩固反馈——开放小结（一）温故知新，问题提出师：如何求任意角三角函数的函数值？（定义法，三角函数线）师：如何将任意角三角函数求值问题转化为0°-360°角三角函数求值问题？ 问题1求390°的正弦、余弦值【设计意图】哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。
数学的课堂教学活动教学应当从问题开始。
教师通过设计合理的问题，把数学教学的“锚”，抛在学生最近发展区内，为教学的展开提供知识和思维的生长点。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第1课时)教学设计1 新人教A版必修4(2
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三角函数的诱导公式(第1课时）一、教学背景分析1。
教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用。
承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性)等内容。
同时,学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉。
这些构成了学生的知识基础。
诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想。
2。
目标定位诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大。
我们认为,诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一,感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式,即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质)的代数解析表示.第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解。
第三,领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法.第四，积累数学经验，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备。
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1.3三角函数的诱导公式
互动课堂
疏导引导
1.角a与n + a的二角函数关系
图1-3-3
如图1-3-1,设任意角a的终边与单位圆的交点坐标为的终
边关于原点对称，角n +a的终边与单位圆的交点
R(x,y),由于角n + a的终边与角a
P2与点P1关于原点0对称，因此P2的坐标是(-x,-y),由三角函数的定义得
sin a =y,cos a =x,tan a = ,
x
sin( n + a )=-y,cos( n + a )=-x,tan(
从而得公式(二)
sin( n + a )=-sin a cos( n + a )=-COs a
tan( n + a )=tan a
2.角a与-a的三角函数关系
)=
_ y =
_y
「X x
如图1-3-2,设单位圆与角 a ,角(-a )的终边的交点分别为P1和P2,容易看出点P1和P2关于x轴对称，已知点P1的坐标为(x,y),则P2的坐标为(x,-y).由三角函数的定义得
sin a =y,cos a =x,tan a = — ,si
n(- x
a )=-
•••公式(三)
sin(- a )=-sin a
cos(- a )=cos a
tan(- a )=-tan a
3.角a与n - a的三角函数关系
如图1-3-3,设单位圆与角a ,角n - a的终边的交点分别为R和P2,则R、P2关于y轴对称，已知P1(x,y),贝U P的坐标为(-x,y), 由三角函数的定义得
sin( n - a )=y,cos( n - a )=-x,tan(
y n -x)=-—
肿
7
图1-3-3
•••公式(四)
4. 角a与一-a的三角函数关系
2
如图1-3-4,设任意角a与单位圆的交点P i(X,y),由于角一-a的终边与角a的终边关于
2
直线y=x对称,角一-a的终边与单位圆的交点P2与P l关于直线y=x对称,因此点P2的坐标2
为
.R . n n
(y,x), 于是有cos a =x,sin a =y,cos( ——a )=y,sin( ——a )=x.
•公式(五)
由于一+ a =n -( 一- a ),由公式(四)及公式(五)可得公式(六)
2 2
5. 这六组公式必须注意的几个问题
(1) 公式中的角a可以是任意角；
(2) 这六组诱导公式可以叙述为：
① a +k22 n , n + a，- a , n - a的三角函数值等
于a的同名三角函数值，前面加上一个把a 看成锐角是原函数值的符号•为了便于记忆，也可简单地说成：“函数名不变，符号看象限•”
② a +…，-a +…的三角函数值,等于a 的余名三角函数值,前面加上一个把 a 看成锐角是
2 2
原函数值的符号，记忆口诀为：“函数名改变，符号看象限• ” ③ 这两套公式可以推广为：k2
+a (k € Z 的三角函数值,当k 为偶函数时,得a 的同名函
2
数值；当k 为奇数时，得a 的异名函数值，然后在前面加上一个把 a 看成锐角时原函数值的
符号.概括为：“奇变偶不变，符号看象限• ”这里的奇偶是指 k 的奇偶.
活学巧用
1.求下列各三角函数值• 19兀 37兀 (1)sin(
);(2)cos(
);(3)tan(- 405 ° ).
3
6
解析：可先利用公式(二)把负角的三角函数转化成正角的三角函数 ，再利用公式(一)把绝对
值大于2n (或360° )的角的三角函数转化成绝对值小于 2 n (或360° )的角的三角函数去求
值■
JI
-一 )-cos585° 2tan(
6
(1)方法一 :sin( 19二
j-s in
=-s in( 3 3 n
一 +6 n )=-sin
3
兀w'3
方法二：sin( 19二
JI
--- 6 n )
3
JI =si n(- — )=-si n 3 兀 <3 (2)cos( - 37
6
37兀 )=cos =cos( — +6 n )=cos — =
6 6 6 2
cos( 37 ~ )=cos(- 6
3 ——6 n )=cos(- — )=cos — =
. 6 6 6 2 (3)tan(- 405° )= - tan405 ° = -tan(45 ° +360° )= - tan45 °=-1; tan(- 405° )=tan( -45° -360° )=tan( -45° )= - tan45 ° =-1. 2.求下列三角函数式的值• (1)sin495 ° 2cos( -675° ); 兀 37兀 ⑵3sin(- 1 200 ° )2tan( - —)- cos585° 2tan(——) 6 4
解析:(1)sin495 ° 2cos( -675°) =sin(135 ° +360° )2cos675 ° =sin135 ° 2cos315°
=sin(180 ° -45° )2cos(360 ° -45°)
=sin45 ° 2cos45°
(2) .一 3 sin(- 1 200 ° )2tan(
37
二
4
答案：(1)
2
COS ： )(-...原式=(-
cos
： )tan
： n
： )=tan a =± 3.
4
1
4.若 f(sinx)=cos17x, 求 f( )的值.
2
解析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算 的意义，灵活运用诱导公式.
答案:--
2
=-.3sin1 200 ° 2(-三)-cos(720
3 -135° )2tan(
-8 n -兰)
4
=sin(1 080 ° +120°) -cos135° 2tan(
= 12-(-二)2(
2 2
-1)
5.若 sin(180 A.-竺。
+ a )+cos(90。
+ 3a
B.-
a )=-a,贝y cos(270 °
2a
a )+2sin(360 C.
D.
-a )的值是()
3a
3.
sin
2
5x -7x-6=0
sin( )2s in(
2
a )2tan (2 n - a )2tan(
n - a )
[cos( - a )2cos(
2
a 门的值.
2
解析:5x -7x-6=0
的两根为x=2或x=
/• sin a
3 —,cos
5
a
=± 一295
4 =± .
5
二 tan a
=± 3. 4
sin ： (-sin ：)
,在运算的过程中要理解函数表达式 f(丄)=f(sin
2
TI
17兀
—)=cos =cos(2
6 6
5 二 5 ■: n + )=cos ——
6 6
JI JI
=cos( n - — )=-cos — =
- 6
.3
- sin(180 + p )+cos(90 + p H —sin f2—sin p p p
H —
cos(90
JMMHCOSU8°+90。
，
a)+2sin(360。