山东省淄博市实验中学2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案
山东省淄博市实验中学高考数学三模试卷文(含解析)
山东省淄博市实验中学2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=（1﹣i）（1+2i），其中i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．1 C．﹣1 D．i2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}3．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣4=04．（5分）设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3 D．35．（5分）设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相较于A、B两点，=+，且点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．06．（5分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则w=a﹣2b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣，0）C．（0，）D．（﹣，）7．（5分）在等差数列{a n}中，满足3a4=7a7，且a1＞0，S n是数列{a n}的前n项的和，若S n取得最大值，则n取值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知等差数列{a n}中，a3=6，a6=3，则a9=．12．（5分）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是．13．（5分）已知x，y满足，则|x+y+1|的最大值为．14．（5分）某班级54名学生第一次考试的数学成绩为x1，x2，…，x54，其均值和标准差分别为90分和4分，若第二次考试每位学生的数学成绩都增加5分，则这54位学生第二次考试数学成绩的均值与标准差的和为分．15．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个交点发射的光线，经椭圆反射后，反射光先经过椭圆的另一个交点，现设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程+=1，点A和B是它们的两个交点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A，B，C是△ABC的内角（1）求角C的大小；（2）求sinA+2sinB的取值范围．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（1）求三棱锥A﹣BCF的体积．（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．18．（12分）一个袋中有4个大小质地相同的小球，其中红球1个，白球2个（分别标号为1，2），黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取1个．（1）求连续取两次都没取到白球的概率；（2）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个回球记0分，连续取两次球，求分数之和为2或3的概率．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．20．（13分）已知点B是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，直线BF1，BF2与椭圆分别交于E，F两点，△BEF为等边三角形．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知点（1，）在椭圆C上，且直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，若直线F1M，F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．山东省淄博市实验中学2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=（1﹣i）（1+2i），其中i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．1 C．﹣1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵复数z=（1﹣i）（1+2i）=3+i，∴=3﹣i的虚部为﹣1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴A={0，1}，由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，即x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，则A∩B={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣4=0考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：设圆心C（2，0），连接PC，由P（3，﹣1）为圆的弦的中点可得AB⊥PC，由可求K AB=1，从而可求直线AB的方程．解答：解：设圆心C（2，0），连接PC由P（3，﹣1）为圆的弦的中点可得AB⊥PC∵∴K AB=1直线AB的方程为x﹣y﹣4=0故选D．点评：本题主要考查了利用直线垂直关系求解直线的斜率，主要应用了圆的性质：垂直于（平分）弦的直径平分（垂直于）弦4．（5分）设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3 D．3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔，即可得出tanα，再利用两角差的正切公式即可得出．解答：解：∵，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．∴=，故选B．点评：熟练掌握⇔、两角差的正切公式是解题的关键．5．（5分）设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相较于A、B两点，=+，且点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得四边形OAMB为菱形，弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N 的弦的弦长最小值为2，由此能求出结果．解答：解：由题意可得，四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，∴△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0，故选：D．点评：本题考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于基础题．6．（5分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则w=a﹣2b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣，0）C．（0，）D．（﹣，）考点：简单线性规划的应用；二元一次不等式的几何意义；直线的斜率．专题：不等式的解法及应用．分析：点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，那么把这两个点代入2x+3y ﹣1，它们的符号相反，结合a＞0，b＞0，画出可行域，则w=a﹣2b的取值范围．解答：解：点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，可得：，可行域如图：w=a﹣2b经过可行域的A与B时分别取得最大值与最小值．∵A（），B（），∴w A=，w B=，∴w∈（﹣，）．故选：D．点评：本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．7．（5分）在等差数列{a n}中，满足3a4=7a7，且a1＞0，S n是数列{a n}的前n项的和，若S n取得最大值，则n取值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：把a1和d代入3a4=7a7，求得a1=﹣d，进而可判断a9＞0，a10＜0，故可知数列前9项均为正数，进而可知答案．解答：解：∵3a4=7a7，且a1＞0，∴数列的公差d＜0∵3a4=7a7∴3（a1+3d）=7（a1+6d）整理得a1=﹣ d∴a9=a1+8d＞0，a10=a1+9d＜0∴前9项和S n最大．故选C．点评：本题主要考查了等差数列的性质．数列的单调性．属基础题．8．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：化为a==，b==，c=，即可比较出大小．解答：解：∵a==，b==，c=，36e2＞49e＞64，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可．解答：解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点（0，），可得b=，a=2，双曲线方程为：，它的渐近线方程为：，即：，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：k=，，可得=．△=，解得p=±4．∵p＞0，∴p=4．故选：A．点评：本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．10．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知等差数列{a n}中，a3=6，a6=3，则a9=0．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，设出公差为d，根据a3=6，a6=3，求出公差和首项，然后求出等差数列的通项公式，从而求解．解答：解：在等差数列{a n}中，a3=6，a6=3，a1+2d=6①，a1+5d=3②，联立①②可得，3d=﹣3，d=﹣1；a1=8，∴a n=a1+（n﹣1）d=8+（n﹣1）×（﹣1）=9﹣n；∴a9=0，故答案为：0．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及其应用，考查解方程的运算求解能力，属于基础题．12．（5分）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当直线经过原点时满足条件，直接得出；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入即可得出．解答：解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入可得：=1，解得a=5．∴直线方程为x﹣y﹣5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．故答案为：3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．点评：本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（5分）已知x，y满足，则|x+y+1|的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=x+y+1得y=﹣x+z﹣1，平移直线y=﹣x+z﹣1，由图象可知当直线y=﹣x+z﹣1经过点A（1，0）时，直线y=﹣x+z﹣1的截距最小，此时z最小．此时z=1+1=2，当直线经过点B时，直线截距最大，由，解得，即B（2，3），代入目标函数z=x+y+1得z=2+3+1=6．即2≤z≤6，则2≤|x+y+1|≤6，故|x+y+1|的最大值为6．故答案为：6．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）某班级54名学生第一次考试的数学成绩为x1，x2，…，x54，其均值和标准差分别为90分和4分，若第二次考试每位学生的数学成绩都增加5分，则这54位学生第二次考试数学成绩的均值与标准差的和为99 分．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：利用标准差、均值的性质即得结论．解答：解：当每位学生的数学成绩都增加5分时，由标准差的性质可知：标准差不变，但均值增加5，即均值与标准差的和增加了5，故答案为：99．点评：本题考查标准差、均值的性质，注意解题方法的积累，属于基础题．15．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个交点发射的光线，经椭圆反射后，反射光先经过椭圆的另一个交点，现设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程+=1，点A和B是它们的两个交点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2或18或20．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是18；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．解答：解：依题意可知+=1中，a=5，b=3，c=4，设A，B分别为左、右焦点，则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程是2；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是18；小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×5=20．故答案为：2或18或20．点评：本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A，B，C是△ABC的内角（1）求角C的大小；（2）求sinA+2sinB的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标运算结合两角和的余弦化为关于cosC的一元二次方程求得cosC，从而得到角C的大小；（2）用A表示B，借助于辅助角公式化简，则sinA+2sinB的取值范围可求．解答：解：（1）=cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B），∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，即2cos2C+cosC﹣1=0．故cosC=或cosC=﹣1．又0＜C＜π，∴C=；（2）sinA+2sinB=sinA+2sin（﹣A）=2sinA+cosA=sin（A+θ），其中θ为锐角，且tanθ=．∵0＜A＜，0＜θ＜．∴θ＜A+θ＜+θ．当A+θ=时，sinA+2sin有最大值；又∵A=0时，sinA+2sinB=，A=时，sinA+2sinB=，故sinA+2sin2B的取值范围是．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数值域的求法，关键是对角范围的讨论，是中档题．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（1）求三棱锥A﹣BCF的体积．（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面FBC，FC⊥平面ABCD，再利用体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理即可证明．解答：解：（1）在△ABC中，因为AC=，AB=2，BC=1，所以AC⊥BC，∠ABC=60，∠ADC=120°．在△ADC中，由余弦定理可得DC=1，又因为AC⊥FB，BC∩FB=B，所以AC⊥平面FBC．因为FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC，因为CDEF为正方形，所以DC⊥FC，FC=1，因为AC∩DC=C，所以FC⊥平面ABCD，即FC⊥BC，所以V A﹣FBC===；（2）M为线段AC的中点，EA∥平面FDM．连结CE，与DF交于点N，连接MN．因为CDEF为正方形，所以N为CE中点．在△ACE中，EA∥MN．因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，所以EA∥平面FDM．点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，考查体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．18．（12分）一个袋中有4个大小质地相同的小球，其中红球1个，白球2个（分别标号为1，2），黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取1个．（1）求连续取两次都没取到白球的概率；（2）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个回球记0分，连续取两次球，求分数之和为2或3的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）利用列举法写出连续取两次的事件总数情况，共16种，从中算出连续取两次都不是白球的种数，最后求出它们的比值即可；（2）从中数出连续取二次分数之和为2或3的种数，根据互斥事件的概率公式，计算即可．解答：解：（1）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数16个，设事件A：“连续取两次都没有取到白球”，则事件A所包含的基本事件有：（红，红），（黑，红），（红，黑），（黑，黑）4个基本事件，所以P（A）==，（2）设事件B：“连续取两次分数之和为2“，则事件B由（红，黑），（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2），（黑，红），6个基本事件组成，则P（B）==，设事件C：“连续取两次分数之和为3“，则事件C由（红，白1），（红，白2），（白1，红）；（白2，红），4个基本事件组成，则P（C）==，设事件D，“连续取两次分数之和为2或3”，且B与C互斥，则P（D）=P（B）+P（C）=+=．点评：本题考查了古典概型的概率问题，关键是列举基本的事件，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．解答：解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n=a n+1=S n+3n，即S n+1=2S n+3n，由此得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）．（4分）因此，所求通项公式为b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣a n=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．20．（13分）已知点B是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，直线BF1，BF2与椭圆分别交于E，F两点，△BEF为等边三角形．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知点（1，）在椭圆C上，且直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，若直线F1M，F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据三角形为等边三角形，列式求解离心率．（Ⅱ）先求得椭圆方程，直线l：y=kx+m与椭圆C联立，得所以（k2﹣1）x1x2+（mk+1）（x1+x2）+m2﹣1=0，依条件求解．解答：解：（Ⅰ）B（0，b）F1（﹣c，0），F2（c，0）．又△BEF为等边三角形，所以，△BF1F2为等边三角形．∴2c=，①又a2=b2+c2②由①②解得椭圆C的离心率．…（3分）（Ⅱ）由题意椭圆方程为3x2+4y2=3a2，由于点（1，）在椭圆C上，因此a2=4，b2=3，因此椭圆方程为．…（4分）联立，消去y，得（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12=0．设M（x1，y1）．N（x2，y2），则，由，得sinα=cosβ，cosα=sinβ，…（7分）因此tanαtanβ=1，即，因此（kx 1+m）（kx2+m）=（x1﹣1）（x2﹣1），所以（k2﹣1）x1x2+（mk+1）（x1+x2）+m2﹣1=0，…（9分）因此+m2﹣1=0，整理，得m2+8mk+16k2﹣9=0，即（m+4k）2=3，m=﹣4k±3．…（11分）于是直线方程为y=k（x﹣4）±3，因此直线过定点（4，3）或（4，﹣3）．…（13分）点评：本题主要考查了椭圆离心率的求法和直线和圆锥曲线的综合应用，属于中档题，2015届高考经常涉及．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．。
山东省淄博市高三数学一模试卷文(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A 为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．解答：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A和B，再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B．解答：解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，集合B={y|y=log2x，x＞0}=R，因为A⊆B，所以A∩B=A={x|x≥0}，故选：C．点评：本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题．3．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（） A．﹣1 B． 1 C．﹣5 D． 5考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．解答：解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A． x= B． x= C． x= D． x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．已知命题p：a≠1或b≠2，命题q：a+b≠3，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案．解答：解：∵命题q：a+b≠3，命题p：a≠1或b≠2，￢p：a=1且b=2，￢q：a+b=3，∴￢p⇒￢q，反之不成立，例如a=，b=．因此命题q是p的充分不必要条件．故选：B．点评：本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．7．函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）==﹣f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，再研究函数x﹣sinx单调性选出答案．解答：解：f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴当x＞0时，函数x﹣sinx单调递增，故单调递减，D不符合，A符合，故选：A点评：本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题．8．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A． B． C． D． 2考点：点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用．分析： f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由e s+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．解答：解：f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则e s+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．点评：本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，从而求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体；∵正方体的体积为V正方体=1×1×1=1，正四棱锥的体积为V正四棱锥=×1×1×=；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V正四棱锥=1﹣=．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A． b﹣a=|MO|﹣|MT| B． b﹣a＞|MO|﹣|MT| C． b﹣a＜|MO|﹣|MT| D． b﹣a=|MO|+|MT|考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．解答：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．点评：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3个．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．点评：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是7 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时z min=3×1+2×2=7，故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13．若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k= ±2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．解答：解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得△=36k2﹣32（k2+1）=0，解得k=±2故答案为：±2点评：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．14．已知向量满足，，则的夹角为．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算及其性质即可得出．解答：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解答：解：①f（x）=，x∈时，f（x）∈，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈时，f（x）∈，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈时，f（x）∈，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．解答：证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，则有FG∥AB且FG=AB=2，又因为DC∥AB，CD=2，所以FG∥DC，FG∥DC，所以四边形CFGD是平行四边形．所以CF∥GD，又因为GD⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE；（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，所以BD=．同理EA⊥ED，EA=ED=2，所以AD=．又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面EAD，又因为AE⊂平面EAD，所以BD⊥AE．点评：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，∴该小组有20÷0.25=80（人）∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）；（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，∴所求概率为P==点评：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差后可得数列{a n}是首项为，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式得，代入S n=a n+1﹣求得S n；（Ⅱ）把S n代入b n=log2（2S n+1）﹣2，结合c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn求得c n，然后利用裂项相消法及等比数列的前n项和得答案．解答：解：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1（n≥2），∴，又，得a2=1，∴，∴数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，则，；（Ⅱ）b n=log2（2S n+1）﹣2=，∴c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，即，，+（2﹣1+20+…+2n﹣2）===．由4T n＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．∴使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和、裂项相消法求数列的和及等比数列的前n项和，是中档题．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题．解答：解：依题意f′（x）=，（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，当时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（）=﹣．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+﹣a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0＜a＜2，所以f′（x）=2x+﹣a＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（Ⅲ）当a∈（0，）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．故问等价于：当a∈（0，）时，不等式1﹣a＜mlna恒成立，即m＜恒成立．记g（a）=，则g′（a）=，令M（a）=﹣alna﹣1+a，M′（a）=﹣lna＞0，所以M（a）在a∈（0，）上单调递增，M（a）＜M（）=，故g′（a）＜0，所以g（a）=在a∈（0，）上单调递减，所以M=﹣，即实数m的取值范围为（﹣]．点评：本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M， N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用求得a和b的值，确定椭圆的方程．（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）进一步求出②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出．（ii）设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：，进一步求出OT的直线方程为：，则直线TF2的斜率为：，进一步化简得到；，从而得到结论．解答：解：（Ⅰ）因为点P（，m）在抛物线上，且|PF2|=，抛物线的准线方程为x=﹣，所以：解得：P=2所以抛物线的方程为：y2=4x将点P（，m）代入y2=4x解得：m=，所以P（）点P在椭圆上，且椭圆的焦点F2（1，0），所以：解得：a2=4，b2=3所以：椭圆的方程为：（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2）则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以：（x1+x2）+1]=由于k2≥0所以：所以的取值范围：（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：OT的直线方程为：，得到：T（4，﹣）直线TF2的斜率为：所以；则：TF2⊥MN点评：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．。
山东省淄博实验中学高三数学上学期第一次诊断考试试题
淄博实验中学高三年级第一学期第一次诊断考试试题 2015.10数学（人文）第I卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A.∅B.{x|＜x≤1}C.{x|x＜1}D.{x|0＜x＜1}2．若，其中a，b∈R，则|a＋b i|＝( )．A．＋i B． C． D．3．已知函数，则的值是（）A． B． C． D．4．设R，则“>1”是“>1”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5．在等差数列和中，，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．7．已知非零向量满足则的夹角为（）A． B． C． D．8．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ( )A． B．C． D．9．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）10．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是 ( )．A．①② B．②③ C．②④ D．③④第II卷二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．设是周期为的偶函数，当时, ,则12．数列的前80项的和等于．13．已知，则= ．14．计算：＝________．15．有下列命题：①的图象中相邻两个对称中心的距离为；②的图象关于点对称；③关于的方程有且仅有一个实根，则；④命题对任意，都有；则存在，使得.其中真命题的序号是_________________________ .三、解答题：（本大题共6个小题，共75分。
山东省淄博市实验中学2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
山东省淄博市实验中学2015届高三上学期期末考试（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：（每小题5分，共60分.下列每小题所给出选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.） 1. 复数2a ii+-为纯虚数，则实数a =( ) A. 2- B.12- C. 2 D. 122.设集合{}15M x x =<<，{N x y ==，则M N ⋂=( )A.[)2,5B.()1,5C.(]2,5D. [)1,53.下列说法中正确的是 ( )A.命题“若x y >，则x y -<-”的逆否命题是“若x y -<-，则x y >”B.若命题2:,10p x R x ∀∈+>，则2:,10p x R x ⌝∃∈+>C.设l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβD.设,x y R ∈，则“()20x y x -⋅<”是“x y <”的必要不充分条件4. 定义R 在上的偶函数()y f x =的部分图像如图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是 ( )A.21y x =+B.1y x =+C.321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩ D. ,0,0x x e x y e x -⎧≥=⎨<⎩5. 若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A.0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为二项式 ( )A.36πB.94π C.9π D. 92π7. 如图，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C 的方程为()()229224x y -+-=，则黄豆落在图中阴影部分的概率为 ( )A.964πB.9164π-C.14π-D.4π8. 运行右面的程序框图，若输入2015n =，则输出的a = ( )A.40304029B.20154029 C.40304031 D.201540319.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1桶需耗A 原料3千克，B 原料1千克；生产乙产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元.公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元） ( )A. 1600B. 2100C.2800D. 4800 10. 设方程440x ax +-=的各实根为()123,,,...4k x x x x k ≤.若点()4,1,2,...,i i x i k x ⎛⎫= ⎪⎝⎭均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是 ( )A.()4,+∞B. ()(),66,-∞-⋃+∞C.()6,+∞D. ()(),44,-∞-⋃+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.若向量,a b 的夹角为0150，3,4a b ==，则2a b += . 12.已知42,ln x x a ==，则x = .13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c 分别为.已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为 .14.已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 为双曲线右支上的一点，且122PF PF =.若12PF F ∆为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 15. 设函数()f x 的定义域为D ，若任取1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，满足()()122f x f x C +=，则称C 为函数()y f x =在D 上的均值.给出下列五个函数：①y x =；②2y x =；③4sin y x =；④lg y x =；⑤2x y = .则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()211cos sin cos2,22f x x x x x x R =-++∈（Ⅰ）求函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像.已知()6411,,536g ππαα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.求cos 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值..17.（本小题满分12分）某中学举行了一次“社会主义核心价值观知识竞赛”活动，为了解本次竞赛中学生成绩情况，从全体学生中随机抽取了部分学生的分数（得分取整数且不低于50分，满分100分），作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出茎叶图（图中仅列出了[)50,60，[]90,100这两组的数据）（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y ；（Ⅱ）在选取的样本中，从样本中竞赛成绩80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动.求所抽取的2名同学来自不同组的概率.18. （本小题满分12分） 如图，四边形ACDF 为正方形，平面ACDF ⊥平面BCDE, 平面ACDF ⊥平面ABC,BC=2DE ，DE//BC,M 为AB 的中点. （Ⅰ）证明：BC AD ⊥； （Ⅱ）证明：//EM 平面ACDF.19. （本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()1,*n n a a n N +∈在函数3y x =的图象上，且326S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的一个焦点和抛物线2y =的焦点相同，过椭圆右焦点F 且垂直x 轴的弦长为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若与直线1:2l x y t o -+=相垂直的直线l 与椭圆C 交于B,D 两点，求OBD ∆的最大值.21. （本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212f x x g x a x f x ==---. （Ⅰ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意()10,,02x g x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的最小值；（Ⅲ）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同两点，线段AB 中点为()00,C x y ,直线AB 的斜率为k .证明：()0`k f x >.。
2015年山东省淄博七中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2014-2015学年山东省淄博七中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．把答案填在答题卡相应位置．1．（5分）已知全集U=R，，则∁U A=（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]2．（5分）设p、q是简单命题，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）向量，，且∥，则=（）A．B．C．D．4．（5分）在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（）A．10000 B．1000 C．100 D．105．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．6．（5分）对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若m∥α，m⊥n，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[﹣8，+∞）D．（﹣8，+∞）9．（5分）将直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心10．（5分）方程的根所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）11．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10] D．[3，11]12．（5分）已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．（1，）D．（1，]二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程是．14．（4分）若椭圆的离心率为，则m为．15．（4分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（4分）下列命题：（1）若函数f（x）=lg（x+），为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；（3）已知，其中θ∈（π，），则（4）在△ABC中，=a，=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形（5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．以上命题为真命题的是．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程填写在答题卡的相应位置17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．18．（12分）已知等比数列{a n}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且，公比q≠1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=2n﹣1（n∈N*），求数列{b n}的前n 项和S n．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，的中点，N是CC1的中，M是棱BB点，AC1与A1N相交于点E．（I）求三棱锥A﹣MNA1的体积；（II）求证：AC1⊥A1M．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．21．（13分）已知函数f（x）=ax2+1nx（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）如果在公共定义域D上的函数g（x），f1（x），f2（x）满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x）、f2（x）的“活动函数”，已知函数，，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x）、f2（x）的“活动函数”，求实数a的取范围．22．（13分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．2014-2015学年山东省淄博七中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．把答案填在答题卡相应位置．1．（5分）已知全集U=R，，则∁U A=（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]【解答】解：∵，∴=[0，+∞），且全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，0）．故选：B．2．（5分）设p、q是简单命题，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p、q是简单命题，若“p∧q为真”正确，则p与q都为真，若“p∨q为真”正确，则p或q中至少一个为真，因此“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分但不必要条件．故选：A．3．（5分）向量，，且∥，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，得sinα=，由此可得=﹣sinα=．故选：B．4．（5分）在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（）A．10000 B．1000 C．100 D．10【解答】解：由正项等比数列{a n}可得：．∵lga3+lga6+lga9=6，∴lg（a3a6a9）=6，∴，解得．∴a1a11==104．故选：A．5．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=log a x，的图象过（1，0），A选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，a＞1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；B选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；C选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，符合题意；D选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＞1，不符合题意；观察图象知，只有C正确．故选：C．6．（5分）对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若m∥α，m⊥n，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）由m∥α，m⊥n，不一定推出n⊥α．反例如图：（2）由m⊥α，m⊥n，不一定推出n∥α．反例如图：（3）由α⊥β，γ⊥β，不一定得到α∥γ．反例：正方体相邻的三面．（4）由于m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β．（面面垂直的判定定理）故选：A．7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，则=f（﹣+1）﹣1=f（﹣）﹣1=f（）﹣2=cos﹣2=﹣，故选：D．8．（5分）已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[﹣8，+∞）D．（﹣8，+∞）【解答】解：设f（x）=x2+2x+a，要使∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0，据二次函数的图象与性质得：只要：f（2）≥0即可，∴22+2×2+a≥0，∴a≥﹣8．故选：C．9．（5分）将直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心【解答】解：根据题意得：直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°的直线方程为x+y=0，∵圆心（2，0）到直线x+y=0的距离d===r，∴所得直线与圆的位置关系是相切．故选：A．10．（5分）方程的根所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：方程的根就是函数和y=x+2的交点的横坐标．在同一坐标系中画出这两个函数的图象，可知其交点在第二象限，其横坐标为负，应在区间（﹣1，0）内，故选：A．11．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10] D．[3，11]【解答】解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选：D．12．（5分）已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．（1，）D．（1，]【解答】解：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为b、c，斜边为a，由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：b+c＞a，∴＞1，又∵=≤=2，∴1＜≤，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程是x+2y﹣5=0．【解答】.解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为，所以由点斜式方程得：，化简得：x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．14．（4分）若椭圆的离心率为，则m为3或．【解答】解：（1）当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=，b=2，c=，==，∴m=，（2）当椭圆的焦点在y轴上时，∵a=2，b，c=，==∴m=3．综上知，则m为3或．故答案为：3或15．（4分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．16．（4分）下列命题：（1）若函数f（x）=lg（x+），为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；（3）已知，其中θ∈（π，），则（4）在△ABC中，=a，=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形（5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．以上命题为真命题的是（1）（2）（3）（5）．【解答】解：若函数f（x）=lg（x+）为奇函数，则f（0）=lg（0+）=lg=0，解得a=1，故（1）成立；由正弦函数的图象知函数f（x）=|sinx|的周期T=π，故（2）成立；∵，其中θ∈（π，），∴=sinθ+=sinθ﹣sinθ=0，∴，故（3）成立；在△ABC中，=，=，•＜0，则∠BAC是锐角，△ABC不一定是钝角三角形，故（4）不成立；如图，在△ABC中，由==2R（R为三角形ABC外接圆半径），所以sinC=，sinB=，所以=+λ（+）=+λ（+）=+2Rλ（+），即=2Rλ（+），所以直线AP一定通过△ABC的内心．故（5）正确．故答案为：（1）（2）（3）（5）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程填写在答题卡的相应位置17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．（12分）已知等比数列{a n}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且，公比q≠1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=2n﹣1（n∈N*），求数列{b n}的前n 项和S n．【解答】解：（1）由已知条件得a2﹣a3=2（a3﹣a4）．即a1（q﹣q2）=2a1（q2﹣q3）整理得：2q3﹣3q2+q=0解得或q=1（舍去）或q=0（舍去）所以．（2）当n=1时，a1b1=1，∴b1=2，当n≥2时，a1b1+a2b2++a n﹣1b n﹣1+a n b n=2n﹣1（1）a1b1+a2b2++a n﹣1b n﹣1=2n﹣3（2）（1）﹣（2）得：a n b n=2∵．∴b n=2n+1（n≥2）因此当n=1时，S n=S1=b1=2；当．综上，S n=2n+2﹣6．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，的中点，N是CC1的中，M是棱BB点，AC1与A1N相交于点E．（I）求三棱锥A﹣MNA1的体积；（II）求证：AC1⊥A1M．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得C1C⊥底面ABC，∴C1C⊥BC，C1C⊥AC．∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．又BC∩CC1=C，∴AC⊥侧面BCC1B1，∴侧面BCC1B1⊥侧面ABB1A1．由侧面BCC1B1是矩形，M是棱BB1的中点，N是CC1的中点，∴四边形BCNM是矩形，∴MN=BC=1，MN⊥CC1．∴MN⊥侧面ABB1A1．在Rt△ABC中，AC==．∴==．∴====．（Ⅱ）先证明AC1⊥A1N．在Rt△ACC1中，sin∠AC1C===．在Rt△A1C1N中，cos∠A1NC1===，∴sin∠AC1C=cos∠A1NC1．∴，∴AC1⊥A1N．由（Ⅰ）可知：MN⊥侧面AA1C1C，∴MN⊥AC1．又∵A1N∩MN=N，∴AC1⊥平面A1MN，∴AC1⊥A1M．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y ﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．21．（13分）已知函数f（x）=ax2+1nx（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）如果在公共定义域D上的函数g（x），f1（x），f2（x）满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x）、f2（x）的“活动函数”，已知函数，，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x）、f2（x）的“活动函数”，求实数a的取范围．【解答】解：（I）当时，函数f（x）=x2+1nx，定义域为（0，+∞）求导函数可得f′（x）=x+＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数在（0，+∞）上单调增∴f（x）在区间[1，e]上单调增∵f（1）=，f（e）=∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为和最小值为；（II）由题意，＜0且＞0，在区间（1，+∞）上恒成立令（x＞1），则g′（x）=﹣，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调减∵g（1）=+2a，∴+2a≤0，∴a≤；令h（x）=f2（x）﹣f（x）=，则h′（x）=，又由x∈（1，+∞），且a≤，分析易得h′（x）=＜0，即h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）max=h（1），只要使h（1）≤0即可，即a﹣﹣2a≤0，解可得，a≥﹣，综合可得，﹣≤a≤．22．（13分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+由已知=0得：=，解得k=±（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，由=0，则又A（x1，y1）在椭圆上，所以S=所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b得到x1+x2=代入整理得：2b 2﹣k 2=4=所以三角形的面积为定值赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xOx(0,1)O（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
山东省淄博市2015年高三5月阶段性诊断考试文科数学试题及答案word
山东省淄博市2015届高三5月阶段性诊断考试（二模）文 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：1.如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).2.球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()11z i +=（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.12i+ B.12i- C.12i-+ D.12i-- 2.设{}{}21,,2,xP y y x x R Q y y x R ==-+∈==∈，则 A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. R C P Q ⊆D. R Q C P ⊆3.设命题21:32,:02x p x x q x --+<0≤-，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n= A.50 B.100 C.150 D.2005.已知不共线向量,,,a b a b a b a b a ---+r r r r r r r r r则与的夹角是A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π 6. ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=A.24B. 24-C.34D. 34-7.设函数()()()01x x f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为 A. 33πB.3πC.32πD. 3π9.已知函数()()f x x R ∈满足()()11,1f f x '=<且，则不等式()2211f g x g x <的解集为 A. 10,10⎛⎫⎪⎝⎭B. ()10,10,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D. ()10,+∞10.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 做与x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是A. 5B.52C.52D.54第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若x,y 都是锐角，且51sin tan ,53x y x y ==+=，则_________. 12.在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点M ，则满足90AMB ∠>o的概率为___________（结果保留π）.13.已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________.14.已知抛物线24y x =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____. 15.已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N *∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）已知向量()cos ,cos ,3sin cos ,2sin 6m x x n x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r r ，且满足()f x m n =⋅u r r.（I ）求函数()f x 的的对称轴方程； （II ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，当[]0,x π∈时，求函数()g x 的单调递增区间.17. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD BC EF AB ∠=∠===o，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点.将梯形ABCD 沿EF 折起，使得1,BM =连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体. （I ）证明：BC ⊥平面ABFE ； （II ）证明：AF//平面BMN.18. （本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上. （I ）若()33n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （II ）设2lg n n n c a a =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）某超市举办促销活动，凡购物满100元的顾客将获得3次模球抽奖机会，抽奖盒中放有除颜色外完全相同的红球、黄球和黑球各1个，顾客每次摸出1个球再放回，规定摸到红球奖励10元，摸到黄球奖励5元，摸到黑球无奖励.（I ）求其前2次摸球所获奖金大于10元的概率； （II ）求其3次摸球获得奖金恰为10元的概率.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到焦点距离的最大值为21+，离心率为22.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 交于A,B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP+=uu r uu u r uu u r（O 为坐标原点），当253PA PB -<uu r uu r 时，求实数t 的取值范围.21. （本小题满分14分） 已知函数()()()2121,ln 23f x x k x kg x x x =+--+=. （I ）若函数()g x 的图象在（1，0）处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值； （II ）当0k =时，证明：()()0f x g x +>；（III ）设()()()(),h x f x g x h x '=+若有两个极值点()1212,x x x x ≠，且()()1272h x h x +<，求实数k 的取值范围.。
山东省淄博市六中2015届高三上学期期末考试文科数学试题word版含答案
2012级高三上学期学分认定考试（数学文）注意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）1、设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{2}B ．{5}C ．{1,2,3,4}D ．{1,3,4,5}2.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=23. 已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定4. “222a b ab+≤-”是“00a b ><且”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要 5. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下： 年龄x 6 7 8 9 身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为（ ）A .154B .153C .152D .1516.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）7.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （ ）A.3B.4C.5D. 68.定义式子运算为12142334a a a a a a a a =-将函数sin 3()cos 1xf x x=的图像向左平移(0)n n >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π 9.已知()f x 为R 上的可导函数，且满足()'()f x f x >，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是（ ）A.(0)()a f f a e >B. (0)()a f f a e<C. ()(0)a f a e f >D. ()(0)a f a e f <10.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )A.错误！未找到引用源。
淄博实验中学高三期末考试数学参考答案
高三数学参考答案ABBB ABBB ABD CD ABCD BD13. 14. 14 [0（1）当12a =时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12-）214=，当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +≥=2，当且仅当x ＝1时取等号，则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件． 若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤ 即实数a 的取值范围是[0]如图所示，由题意2c =，12PF PF =，由双曲线定义得122MF MF a -=，由圆的切线长定理可得222MP PF MF PQ +-==所以，121222MF MF MP PF MF MP PF MF -=+-=+-=2a ∴=即a =ce a== A.16. 2－4ln 2因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x －2(x －1)2， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2(1－x )x 2<0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2， 故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.12017.解4cos cos cos a A c B b C =+∴4sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C =sin(C +B )=sin A ， ∴cosA=14， 角18. 解.（1）对任意*n ∈N ，有()()126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2.当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=.而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=. 当11a =时，()13132n a n n =+-=-， 此时2429a a a =成立；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-242666n a a a =----()2426n a a a =-+++()246261862n n n n +-=-⨯=--.19. 解.（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，)B ，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,22OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,2{3120,2n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB ==. 所以cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,04CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭. 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH nθ⋅==⋅=. 20．解：依题意：123458101325243,1655x y ++++++++==== 故51()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑552211()411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑则552()()0.933)(x x y y r x y--===≈-∑∑，故管理时间与土地使用面积线性相关。
山东省淄博市实验中学高考数学三模试卷 文(含解析)
山东省淄博市实验中学2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=（1﹣i）（1+2i），其中i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．1 C．﹣1 D．i2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}3．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣4=04．（5分）设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3 D．35．（5分）设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相较于A、B两点，=+，且点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．06．（5分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则w=a﹣2b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣，0）C．（0，）D．（﹣，）7．（5分）在等差数列{a n}中，满足3a4=7a7，且a1＞0，S n是数列{a n}的前n项的和，若S n取得最大值，则n取值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知等差数列{a n}中，a3=6，a6=3，则a9=．12．（5分）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是．13．（5分）已知x，y满足，则|x+y+1|的最大值为．14．（5分）某班级54名学生第一次考试的数学成绩为x1，x2，…，x54，其均值和标准差分别为90分和4分，若第二次考试每位学生的数学成绩都增加5分，则这54位学生第二次考试数学成绩的均值与标准差的和为分．15．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个交点发射的光线，经椭圆反射后，反射光先经过椭圆的另一个交点，现设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程+=1，点A和B是它们的两个交点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A，B，C是△ABC的内角（1）求角C的大小；（2）求sinA+2sinB的取值范围．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（1）求三棱锥A﹣BCF的体积．（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．18．（12分）一个袋中有4个大小质地相同的小球，其中红球1个，白球2个（分别标号为1，2），黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取1个．（1）求连续取两次都没取到白球的概率；（2）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个回球记0分，连续取两次球，求分数之和为2或3的概率．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．20．（13分）已知点B是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，直线BF1，BF2与椭圆分别交于E，F两点，△BEF为等边三角形．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知点（1，）在椭圆C上，且直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，若直线F1M，F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．山东省淄博市实验中学2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=（1﹣i）（1+2i），其中i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．1 C．﹣1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵复数z=（1﹣i）（1+2i）=3+i，∴=3﹣i的虚部为﹣1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴A={0，1}，由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，即x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，则A∩B={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣4=0考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：设圆心C（2，0），连接PC，由P（3，﹣1）为圆的弦的中点可得AB⊥PC，由可求K AB=1，从而可求直线AB的方程．解答：解：设圆心C（2，0），连接PC由P（3，﹣1）为圆的弦的中点可得AB⊥PC∵∴K AB=1直线AB的方程为x﹣y﹣4=0故选D．点评：本题主要考查了利用直线垂直关系求解直线的斜率，主要应用了圆的性质：垂直于（平分）弦的直径平分（垂直于）弦4．（5分）设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3 D．3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔，即可得出tanα，再利用两角差的正切公式即可得出．解答：解：∵，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．∴=，故选B．点评：熟练掌握⇔、两角差的正切公式是解题的关键．5．（5分）设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相较于A、B两点，=+，且点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得四边形OAMB为菱形，弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N 的弦的弦长最小值为2，由此能求出结果．解答：解：由题意可得，四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，∴△OA M为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0，故选：D．点评：本题考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于基础题．6．（5分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则w=a﹣2b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣，0）C．（0，）D．（﹣，）考点：简单线性规划的应用；二元一次不等式的几何意义；直线的斜率．专题：不等式的解法及应用．分析：点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，那么把这两个点代入2x+3y ﹣1，它们的符号相反，结合a＞0，b＞0，画出可行域，则w=a﹣2b的取值范围．解答：解：点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，可得：，可行域如图：w=a﹣2b经过可行域的A与B时分别取得最大值与最小值．∵A（），B（），∴w A=，w B=，∴w∈（﹣，）．故选：D．点评：本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．7．（5分）在等差数列{a n}中，满足3a4=7a7，且a1＞0，S n是数列{a n}的前n项的和，若S n取得最大值，则n取值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：把a1和d代入3a4=7a7，求得a1=﹣d，进而可判断a9＞0，a10＜0，故可知数列前9项均为正数，进而可知答案．解答：解：∵3a4=7a7，且a1＞0，∴数列的公差d＜0∵3a4=7a7∴3（a1+3d）=7（a1+6d）整理得a1=﹣ d∴a9=a1+8d＞0，a10=a1+9d＜0∴前9项和S n最大．故选C．点评：本题主要考查了等差数列的性质．数列的单调性．属基础题．8．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：化为a==，b==，c=，即可比较出大小．解答：解：∵a==，b==，c=，36e2＞49e＞64，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可．解答：解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点（0，），可得b=，a=2，双曲线方程为：，它的渐近线方程为：，即：，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：k=，，可得=．△=，解得p=±4．∵p＞0，∴p=4．故选：A．点评：本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．10．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知等差数列{a n}中，a3=6，a6=3，则a9=0．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，设出公差为d，根据a3=6，a6=3，求出公差和首项，然后求出等差数列的通项公式，从而求解．解答：解：在等差数列{a n}中，a3=6，a6=3，a1+2d=6①，a1+5d=3②，联立①②可得，3d=﹣3，d=﹣1；a1=8，∴a n=a1+（n﹣1）d=8+（n﹣1）×（﹣1）=9﹣n；∴a9=0，故答案为：0．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及其应用，考查解方程的运算求解能力，属于基础题．12．（5分）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当直线经过原点时满足条件，直接得出；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入即可得出．解答：解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入可得：=1，解得a=5．∴直线方程为x﹣y﹣5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．故答案为：3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．点评：本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（5分）已知x，y满足，则|x+y+1|的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=x+y+1得y=﹣x+z﹣1，平移直线y=﹣x+z﹣1，由图象可知当直线y=﹣x+z﹣1经过点A（1，0）时，直线y=﹣x+z﹣1的截距最小，此时z最小．此时z=1+1=2，当直线经过点B时，直线截距最大，由，解得，即B（2，3），代入目标函数z=x+y+1得z=2+3+1=6．即2≤z≤6，则2≤|x+y+1|≤6，故|x+y+1|的最大值为6．故答案为：6．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）某班级54名学生第一次考试的数学成绩为x1，x2，…，x54，其均值和标准差分别为90分和4分，若第二次考试每位学生的数学成绩都增加5分，则这54位学生第二次考试数学成绩的均值与标准差的和为99 分．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：利用标准差、均值的性质即得结论．解答：解：当每位学生的数学成绩都增加5分时，由标准差的性质可知：标准差不变，但均值增加5，即均值与标准差的和增加了5，故答案为：99．点评：本题考查标准差、均值的性质，注意解题方法的积累，属于基础题．15．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个交点发射的光线，经椭圆反射后，反射光先经过椭圆的另一个交点，现设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程+=1，点A和B是它们的两个交点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2或18或20．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是18；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．解答：解：依题意可知+=1中，a=5，b=3，c=4，设A，B分别为左、右焦点，则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程是2；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是18；小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×5=20．故答案为：2或18或20．点评：本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A，B，C是△ABC的内角（1）求角C的大小；（2）求sinA+2sinB的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标运算结合两角和的余弦化为关于cosC的一元二次方程求得cosC，从而得到角C的大小；（2）用A表示B，借助于辅助角公式化简，则sinA+2sinB的取值范围可求．解答：解：（1）=cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B），∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，即2cos2C+cosC﹣1=0．故cosC=或cosC=﹣1．又0＜C＜π，∴C=；（2）sinA+2sinB=sinA+2sin（﹣A）=2sinA+cosA=sin（A+θ），其中θ为锐角，且tanθ=．∵0＜A＜，0＜θ＜．∴θ＜A+θ＜+θ．当A+θ=时，sinA+2sin有最大值；又∵A=0时，sinA+2sinB=，A=时，sinA+2sinB=，故sinA+2sin2B的取值范围是．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数值域的求法，关键是对角范围的讨论，是中档题．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（1）求三棱锥A﹣BCF的体积．（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面FBC，FC⊥平面ABCD，再利用体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理即可证明．解答：解：（1）在△ABC中，因为AC=，AB=2，BC=1，所以AC⊥BC，∠ABC=60，∠ADC=120°．在△ADC中，由余弦定理可得DC=1，又因为AC⊥FB，BC∩FB=B，所以AC⊥平面FBC．因为FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC，因为CDEF为正方形，所以DC⊥FC，FC=1，因为AC∩DC=C，所以FC⊥平面ABCD，即FC⊥BC，所以V A﹣FBC===；（2）M为线段AC的中点，EA∥平面FDM．连结CE，与DF交于点N，连接MN．因为CDEF为正方形，所以N为CE中点．在△ACE中，EA∥MN．因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，所以EA∥平面FDM．点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，考查体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．18．（12分）一个袋中有4个大小质地相同的小球，其中红球1个，白球2个（分别标号为1，2），黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取1个．（1）求连续取两次都没取到白球的概率；（2）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个回球记0分，连续取两次球，求分数之和为2或3的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）利用列举法写出连续取两次的事件总数情况，共16种，从中算出连续取两次都不是白球的种数，最后求出它们的比值即可；（2）从中数出连续取二次分数之和为2或3的种数，根据互斥事件的概率公式，计算即可．解答：解：（1）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数16个，设事件A：“连续取两次都没有取到白球”，则事件A所包含的基本事件有：（红，红），（黑，红），（红，黑），（黑，黑）4个基本事件，所以P（A）==，（2）设事件B：“连续取两次分数之和为2“，则事件B由（红，黑），（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2），（黑，红），6个基本事件组成，则P（B）==，设事件C：“连续取两次分数之和为3“，则事件C由（红，白1），（红，白2），（白1，红）；（白2，红），4个基本事件组成，则P（C）==，设事件D，“连续取两次分数之和为2或3”，且B与C互斥，则P（D）=P（B）+P（C）=+=．点评：本题考查了古典概型的概率问题，关键是列举基本的事件，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．解答：解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n=a n+1=S n+3n，即S n+1=2S n+3n，由此得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）．（4分）因此，所求通项公式为b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣a n=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．20．（13分）已知点B是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，直线BF1，BF2与椭圆分别交于E，F两点，△BEF为等边三角形．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知点（1，）在椭圆C上，且直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，若直线F1M，F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据三角形为等边三角形，列式求解离心率．（Ⅱ）先求得椭圆方程，直线l：y=kx+m与椭圆C联立，得所以（k2﹣1）x1x2+（mk+1）（x1+x2）+m2﹣1=0，依条件求解．解答：解：（Ⅰ）B（0，b）F1（﹣c，0），F2（c，0）．又△BEF为等边三角形，所以，△BF1F2为等边三角形．∴2c=，①又a2=b2+c2②由①②解得椭圆C的离心率．…（3分）（Ⅱ）由题意椭圆方程为3x2+4y2=3a2，由于点（1，）在椭圆C上，因此a2=4，b2=3，因此椭圆方程为．…（4分）联立，消去y，得（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12=0．设M（x1，y1）．N（x2，y2），则，由，得sinα=cosβ，cosα=sinβ，…（7分）因此tanαtanβ=1，即，因此（kx 1+m）（kx2+m）=（x1﹣1）（x2﹣1），所以（k2﹣1）x1x2+（mk+1）（x1+x2）+m2﹣1=0，…（9分）因此+m2﹣1=0，整理，得m2+8mk+16k2﹣9=0，即（m+4k）2=3，m=﹣4k±3．…（11分）于是直线方程为y=k（x﹣4）±3，因此直线过定点（4，3）或（4，﹣3）．…（13分）点评：本题主要考查了椭圆离心率的求法和直线和圆锥曲线的综合应用，属于中档题，2015届高考经常涉及．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．。
山东省淄博市2015届高三数学一模试卷文(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A 为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．解答：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A和B，再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B．解答：解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，集合B={y|y=log2x，x＞0}=R，因为A⊆B，所以A∩B=A={x|x≥0}，故选：C．点评：本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题．3．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（） A．﹣1 B． 1 C．﹣5 D． 5考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．解答：解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A． x= B． x= C． x= D． x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．已知命题p：a≠1或b≠2，命题q：a+b≠3，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案．解答：解：∵命题q：a+b≠3，命题p：a≠1或b≠2，￢p：a=1且b=2，￢q：a+b=3，∴￢p⇒￢q，反之不成立，例如a=，b=．因此命题q是p的充分不必要条件．故选：B．点评：本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．7．函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）==﹣f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，再研究函数x﹣sinx单调性选出答案．解答：解：f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴当x＞0时，函数x﹣sinx单调递增，故单调递减，D不符合，A符合，故选：A点评：本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题．8．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A． B． C． D． 2考点：点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用．分析： f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由e s+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．解答：解：f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则e s+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．点评：本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，从而求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体；∵正方体的体积为V正方体=1×1×1=1，正四棱锥的体积为V正四棱锥=×1×1×=；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V正四棱锥=1﹣=．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A． b﹣a=|MO|﹣|MT| B． b﹣a＞|MO|﹣|MT| C． b﹣a＜|MO|﹣|MT| D． b﹣a=|MO|+|MT|考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．解答：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．点评：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3个．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．点评：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是7 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时z min=3×1+2×2=7，故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13．若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k= ±2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．解答：解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得△=36k2﹣32（k2+1）=0，解得k=±2故答案为：±2点评：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．14．已知向量满足，，则的夹角为．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算及其性质即可得出．解答：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解答：解：①f（x）=，x∈时，f（x）∈，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈时，f（x）∈，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈时，f（x）∈，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．解答：证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，则有FG∥AB且FG=AB=2，又因为DC∥AB，CD=2，所以FG∥DC，FG∥DC，所以四边形CFGD是平行四边形．所以CF∥GD，又因为GD⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE；（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，所以BD=．同理EA⊥ED，EA=ED=2，所以AD=．又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面EAD，又因为AE⊂平面EAD，所以BD⊥AE．点评：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，∴该小组有20÷0.25=80（人）∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）；（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，∴所求概率为P==点评：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差后可得数列{a n}是首项为，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式得，代入S n=a n+1﹣求得S n；（Ⅱ）把S n代入b n=log2（2S n+1）﹣2，结合c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn求得c n，然后利用裂项相消法及等比数列的前n项和得答案．解答：解：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1（n≥2），∴，又，得a2=1，∴，∴数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，则，；（Ⅱ）b n=log2（2S n+1）﹣2=，∴c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，即，，+（2﹣1+20+…+2n﹣2）===．由4T n＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．∴使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和、裂项相消法求数列的和及等比数列的前n项和，是中档题．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题．解答：解：依题意f′（x）=，（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，当时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（）=﹣．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+﹣a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0＜a＜2，所以f′（x）=2x+﹣a＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（Ⅲ）当a∈（0，）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．故问等价于：当a∈（0，）时，不等式1﹣a＜mlna恒成立，即m＜恒成立．记g（a）=，则g′（a）=，令M（a）=﹣alna﹣1+a，M′（a）=﹣lna＞0，所以M（a）在a∈（0，）上单调递增，M（a）＜M（）=，故g′（a）＜0，所以g（a）=在a∈（0，）上单调递减，所以M=﹣，即实数m的取值范围为（﹣]．点评：本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M， N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用求得a和b的值，确定椭圆的方程．（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）进一步求出②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出．（ii）设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：，进一步求出OT的直线方程为：，则直线TF2的斜率为：，进一步化简得到；，从而得到结论．解答：解：（Ⅰ）因为点P（，m）在抛物线上，且|PF2|=，抛物线的准线方程为x=﹣，所以：解得：P=2所以抛物线的方程为：y2=4x将点P（，m）代入y2=4x解得：m=，所以P（）点P在椭圆上，且椭圆的焦点F2（1，0），所以：解得：a2=4，b2=3所以：椭圆的方程为：（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2）则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以：（x1+x2）+1]=由于k2≥0所以：所以的取值范围：（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：OT的直线方程为：，得到：T（4，﹣）直线TF2的斜率为：所以；则：TF2⊥MN点评：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．。