高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第10讲函数与方程实战演练理

2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 函
数与方程实战演练 理
1．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋
4a －3x ＋3a ，x <0，
log a x ＋1＋1，x ≥0
(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( C )
A ．⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，23
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 解析：要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a 2≥0，
0<a <1，
3a ≥1，
解得13≤a ≤3
4
，因为方
程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．
易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1
a －1≤2，故由图可知，直
线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2
＋(4a －3)x
＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－x 0＝x 2
0＋4a －3x 0＋3a ，
－1＝2x 0＋4a －3，整理可
得4a 2
－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|
的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34.
2．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x
D ．y ＝x 2
＋1
解析：y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数
也不是偶函数；y ＝x 2
＋1是偶函数，但不存在零点．故选A ．
3．(2015·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x
－a ，x <1，
4x －a
x －2a ，x ≥1.
(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为－1.
(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．
解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x
－1，x <1，
4x －1
x －2，x ≥1，
其大致图象如图所示．
由图可知f (x )的最小值为－1. (2)当a ≤0时，显然函数f (x )无零点；
当0<a <1时，易知f (x )在(－∞，1)上有一个零点，要使f (x )恰有2个零点，则当x ≥1时，f (x )有且只有一个零点，结合图象可知，2a ≥1，即a ≥12，则1
2≤a <1；当a ≥1时，2a >1，
由二次函数的性质可知，当x ≥1时，f (x )有2个零点，则要使f (x )恰有2个零点，则需要
f (x )在(－∞，1)上无零点，则2－a ≤0，即a ≥2.
综上可知，满足条件的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．
4．(2015·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 3
，x ≤a ，x 2
，x >a .
若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )
－b 有两个零点，则a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
解析：当a <0时，若x ∈(a ，＋∞)，
则f (x )＝x 2
，当b ∈(0，a 2
)时，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，分别是x 1＝－b ，
x 2＝b .
当0≤a ≤1时，f (x )的图象如图(1)所示． 易知函数g (x )＝f (x )－b 最多有一个零点． 当a >1时，f (x )的图象如图(2)所示．
图(1) 图(2)
当b∈(a2，a3]时，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，分别是x1＝3
b，x2＝b.综上，a
∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．。