2019届苏教版(文科数学) 指数函数及其性质 单元测试
2019届苏教版(文科数学) 数学文化 单元测试(1)
1．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数 家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数 中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案）B解析）2cos2sin2ie i =+，∵22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos210∈-（，），sin201∈（，），∴2ie 表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B ．2．2018河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考）中国传统文化中很多内容体现了数 的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“等周面函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“等周面函数”有无数个；②函数()()22ln 1f x x x =++可以是某个圆的“等周面函数”；③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“等周面函数”；④函数()y f x =是“等周面函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）．答案）①③考向2 渗透数 文化的数列题2）2018安徽模拟）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数 著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 （ ）A．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．12尺 答案）B ．解析）设增量为d ，由等差数列前n 项和公式得：3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =，故选B ． 3）2018甘肃兰州西北师大附中调研）在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案）C4）江西省赣州市2018届期中）《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数 著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两分之和，则最小的1份为（ ） A ．56 B ．103 C ．53 D ．116答案）C解析）设等差数列{}n a 的公差是0d >，首项是1a ，由题意得，()1345125451002{ 17a d a a a a a ⨯+⨯=++⨯=+，则()111510100{ 13927a d a d a d +=+⨯=+，解得153{ 556a d ==，所以最小的一份为53，故选C ． ！跟踪练习）1．2018百校联盟联考）我国古代数 著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案）C2．2018湖南永州高三二模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．505 答案）D解析）n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522nn n NN+⨯+=∴==，故选D ．3．2018福建南平高三一模）中国古代数 著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第4天走了（ ）A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 答案）D解析）试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C ．4．2018河北廊坊八中高三模拟）《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是（ ） A ．6766升、4133升 B ．2升、3升 C ．322升、3733升 D ．6766升、3733升 答案）D点睛：对于数 文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数 知识去解决．5．2018四省名校高三联考）中国人在很早就开始研究数列，中国古代数 著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*N n ∈，等比数列 {}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =（ ）A ．4B ．5C ．9D ．16解析）由题意可得：211221214b a aS =+==⨯=，22234421142344b a a S S =+=-=⨯-⨯=， 则：等比数列的公比21331b q b ===，故32339b b q ==⨯=． 本题选择C 选项．6．2018湖北模拟）《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ． 答案）26:59解析）因为前两天大小老鼠共穿5.45.0121=+++尺，所以第三天需要穿5.05.4-5=尺就可以碰面，第三天大老鼠要穿4尺，小老鼠要穿41尺，设大老鼠打了x 尺，小老鼠则打了)5.0(x -尺，所以415.04xx -=，解得178=x ，小老鼠打了3411785.0=-，三天总的来说大老鼠打了175917821=++（尺），小老鼠打了17263415.01=++，进度比：26:59． 7．2018河北衡水中 高三二调）在我国古代著名的数 专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．12日B ．16日C ．8日D ． 9日 答案）D考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．8．2018湖北稳派教育高三上 期联考二）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数 家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈，记其前n 项和为2018=n S a t ，设 (t 为常数)，则2016201520142013=S S S S +--___________ (用t 表示)．考向3 渗透数 文化的几何题5）辽宁省沈阳市2018年质监）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面ABCD 为矩形，棱EFAB ．若此几何体中，4,2AB EF ==，ADE ∆和BCF∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A ．83B ．883+C ．6223+D ．86223++ 答案）B6）甘肃省会宁2018届月考（12月））如图所示是古希腊数 家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A．32，1 B．23，1 C．32，32D．23，32答案）C7）2018辽宁瓦房店高三一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺答案）B8）2018贵州黔东南州高三一模）我国古代数名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步B．6步C．4步D．8步答案）B9）（1）2017湖南模拟）“牟合方盖”是我国古代数 家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a ,C ．b c ,D ．d b ,（2）2018湖南模拟）我国古代数 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式()13V S S S S h =++下下上上） A ．2寸 B ．3寸 C ．4寸 D ．5寸 答案）（1）A ；（2）B ．名师点睛）“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数 思想方法解决数 问题的代表之一．试题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查 生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力等．我国古代数 中含有丰富的立体几何模型和数 原理，是数 文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等．10）广西贵港市2018届12月联考）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A． 2129B ．2329C ．1112D ．1213答案）A11）辽宁省凌源市2018届12月联考）我国古代数 名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数 用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A 42B 82C ．163πD ．43π答案）B12）2018河南商丘高三山 期一模）我国南宋著名数 家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 3sin c A C =，()224a c b -=-，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为__________． 答案）2解析）由2sin 3sin c A C =可得：ac 3=， 由()224a c b -=-可得：2222a c b +-=∴()22222211912424a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：2 跟踪练习）1．2018河南中原名校联考）《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形 格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8答案）C解析）由题意知，该“堑堵”的正视图为三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且斜边长为4，故其面积为4．选C ．2．2018安徽皖南八校12月联考）榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中 格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654ππ++，C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++， 答案）C方法点睛）本题利用空间几何体的三视图重点考查 生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查 生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．3．2018吉林长春高三二模）堑堵，我国古代数 名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何?”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少?”(注：一丈=十尺)，答案是 ( )A ．25500立方尺B ．34300立方尺C ．46500立方尺D ．48100立方尺答案）C解析）由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=．故选C ． 4．2018河北模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A ．4B ．642+C ．442+D ．2答案）B5．2018山西高三一模）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．答案）B解析）以为边，将图形补形为长方体，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即，故球的表面积为．选B ．6．2018百校联盟高三3月联考）我国古代数 名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ）A ．5尺B ．9尺C ．10.6尺D ．21.2尺答案）D7．2018甘肃兰州高三一诊）刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案）B点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．8．2018湖南衡阳高三一模）刍薨( chu hong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“当薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，若用茅草搭建它，则覆盖的面积至少为．A．B．C．D．答案）C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．9．2018贵州遵义高三联考二）《数书九章》是中国南宋时期杰出数 家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，现有周长为1027+的ABC ∆满足sin :sin :sin 2:3:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为 __________．答案）6310．2018湖北八校高三12月联考）我国南北朝时期的数 家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，一个焦点为()5,0．直线0y =与3y =在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．答案）3π考向4 渗透数 文化的统计与概率题13）2018湖南株洲高三质检一）如图所示，三国时代数 家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)．设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A ．134B ．866C ．300D ．500 （ ） 答案）A14）2018河北衡水金卷高三一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．316B．38C．14D．18答案）A15）2018山西孝义高三一模）我国古代数名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石答案）B考点：用样本的数据特征估计总体．16）2018江西高三二模）欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A ．49πB ．14πC ．19πD ．116π答案）B17）2011年，国际数 协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数 节， 是中国古代数 家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数 嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个 豆、10个 豆、20个 豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的 豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部 豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为321,,432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响． （1）求选手获得5个 豆的概率；（2）求选手甲第一关闯关成功且所得 豆为零的概率． 答案）（1）38；（2）316． 解析）（1）()3135428P X ==⨯=． （2）设甲“第一关闯关成功且所得 豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A ，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A ，则12,A A 互斥，()()()()()121231213121111131,1,4238423221681616P A P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-==⨯⨯⨯⨯-=∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 名师点睛）1．弘扬中华传统文化在数 中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数 知识的结合点；二是将数 落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌．2．从古代文化经典选取素材，如2017年新课标Ⅰ卷第4题以《易经》八卦中的太极图为载体，丰富了数 文化的取材途径、试题插图的创新是本题的亮点．其一，增强了数 问题的生活化，使数 的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数 试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数 问题直观化的范．跟踪练习）1．2017新疆奎屯市一中高三上 期第二次月考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16答案）A2．2017福建省数 基地校高三模拟）《九章算术》是人类 史上应用数 的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石答案）B解析）设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得281534254x =，得x ≈169．故选B ． 3．2018安徽芜湖高三一模）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数 家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6απ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）A．312-B．32C．434-D．34答案）A考向5 渗透数文化的推理题18）2018北京朝阳区高三一模）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同中只有一位同中奖，且只有一位同的预测结果是正确的，则中奖的同是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案）A解析）由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲✔✖✖✖乙✔✖✔✔丙 ✖ ✖ ✔ ✔丁 ✖ ✔ ✖ ✔1．若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；2．若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意；3．若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意；4．若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意；故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，选．19）（原创题）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数 家、数 教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第3个数；（2）若第n 行中从左到右第13与第14个数的比为1322，求n 的值； （3）写出第12行所有数的和，写出n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和；（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现136101535++++=，事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第1m +斜列中第k 个数．试用含有(),,m k m k *∈N的数 式子表示上述结论，并证明．证明：左边11112112mm m m m m m mm k m m m k C C C C C C ----+-+++-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+1221m m mm k m k m k C C C -+-+-+-=⋅⋅⋅=+==右边．名师点睛）杨辉三角与二项式定理是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了．求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题．用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”． 跟踪练习）1．在我国南宋数 家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数 家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N ．请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．图1图2探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数 著作，它的出现标志着中国古代数 形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数 名著和欧洲数 有解的结合在一起，进行和合理命题．2．2018湖南模拟）如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字。
精选最新2019年《指数函数和对数函数》单元测试完整题(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．下列大小关系正确的是（ ）（A ）30.440.43log 0.3<< (B)30.440.4log 0.33<<(C) 30.44log 0.30.43<< (D)0.434log 0.330.4<< (2005山东文)2．已知函数f (x )=|lg x |．若0<a <b,且f (a )=f (b ),则a +2b 的取值范围是3．如果log a 3＞log b 3＞0，那么a 、b 间的关系是（ ）A ．0＜a ＜b ＜1B ．1＜a ＜bC ．0＜b ＜a ＜1D ．1＜b ＜a （1996上海3）4．已知x=ln π，y=log 52，21-=e z ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x5．有下列命题：○1log (0,1)a N b a a =>≠与(0,1)b a N a a =>≠是同一个关系式的两种不同表达形式； ○2对数的底数是任意正数； ○3若(0,1)b a N a a =>≠，则log a N a N =一定成立；○4在同底的条件下，log a N b =与b a N =可以互相转化． 其中，是真命题的是 （ ）A ．○1○2B ．○2○4C ．○1○2○3D ．○1○3○4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．计算：()2151515log 5log 45log 3⋅+7．若方程1n 2100x x +-=的解为0x ，则大于0x 的最小整数是 ．8． 设函数f (x )=ax +b ，其中a ，b 为常数，f 1(x )＝f (x )，f n +1(x )＝f [f n (x )]，n ＝1，2，…. 若f 5(x )=32x +93, 则ab ＝ ▲ .9．已知函数()()x x f a-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调减区间是10．lg 2lg50lg5lg 20lg100lg5lg 2+-=________________11．若函数(2)x f 的定义域是[1,1]-,则2(log )f x 的定义域为 ;12．已知函数2122(),[1,)x x f x x x++=∈+∞， ⑴试判断()f x 的单调性，并加以证明；⑵试求()f x 的最小值. 【例1】⑴增函数；⑵72. 13．用分数指数幂表示下列各式: (1))0()(43≥++b a b a (2)m n m 3 (3)53ab ab14．函数)0(121)(≠+-=x a x f x 是奇函数,则a = . 15．已知11223a a-+=，求下列 （1）1a a -+ （2） 22a a -+的值。
2019届苏教版(文科数学) 指数函数及其性质 单元测试
（十三）指数函数及其性质层级一学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝⎝⎛⎭⎫12x1－；②y＝a x(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝⎝⎛⎭⎫12 2x－1.A．0个B．1个C．3个D．4个解析：选B由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝2x－1的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D. (0，＋∞)解析：选C由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D. (1,0)解析：选C当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．4．函数f(x)＝a x与g(x)＝－x＋a的图象大致是()解析：选A当a＞1时，函数f(x)＝a x单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则()A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1,0＜b＜1解析：选C由图象知，函数y＝a x在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝b x在R上单调递增，故b＞1.6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______.解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 答案：78．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，－2－x ，x ＞0，则函数f (x )的值域是________． 解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－x ＜1，∴－1＜－2－x ＜0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1.(2)y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－2x 2－2. 解：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x －1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫ 1 3 2x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－的值域为(0,9]． 10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知函数为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝⎛⎭⎫ 1 2 x －1≤⎝⎛⎭⎫ 1 2 －1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二 应试能力达标1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x ≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．2．函数y ＝2-x x1－1的定义域、值域分别是( )A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝2-x x1－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1x ，则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2-x x1－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2-x x1－1的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．3．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．.直线y ＝－x 对称解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x＝⎝⎛⎭⎫1πx的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝525，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝525得，a -32＝512－2＝5-32，∴a ＝5，∴f (x )＝5x . 答案：5x6．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案：[1，＋∞)∪{0} 7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |x |－1. (1)作出f (x )的简图；(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13 x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，如图所示．(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－13＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x 的最大值和最小值．解：设t ＝3x ，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.。
2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数单元测试苏教版必修
2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数单元测试苏教版必修一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在横线上)1．碘131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间，有一半的碘131会衰变为其他元素)．今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘131，到3月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘131，则3月1日凌晨，放入该容器的碘131的是__________毫克．2．函数y＝0.5x、y＝x－2、y＝log0.3x的图象依次是下图中的__________．3．下列函数中，值域为(－∞，＋∞)的是__________．①y＝2x；②y＝x2；③y＝x－2；④y＝log a x(a＞0，a≠1)．4．下列函数中，定义域和值域都不是(－∞，＋∞)的是__________．①y＝3x；②y＝3x；③y＝x－2；④y＝log2x.5．若指数函数y＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的和为，则底数a＝__________.6．当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是________．①＞(1－a)b；②(1＋a)a＞(1＋b)b；③(1－a)b＞；④(1－a)a＞(1－b)b.7．已知函数则的值是__________．8．若0＜a＜1，f(x)＝|log a x|，则，和f(2)的大小关系是________．9．若f(x)＝log2x＋1，则它的反函数f－1(x)的图象大致是__________．10．在，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x，f4(x)＝四个函数中，当x1＞x2＞1时，使[f(x1)＋f(x2)]＜成立的函数是__________．11．已知函数则不等式f(x)≥1的解集是________．12．已知函数f(x)＝a x，g(x)＝－log b x且lg a＋lg b＝0，a≠1，b≠1，则f(x)与g(x)的图象关于__________对称．13．化简1111321684(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)----，结果是__________．14．已知函数f(x)，对任意实数m，n满足f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且f(1)＝a(a≠0)，则f(n)＝__________(n∈N*)．二、解答题(本大题共3小题，共30分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)计算： (1)()11011120.25334730.0081381100.02788--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯⋅3-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦－-－－+()；(2)log 5[－－]．16．(10分)求函数在[－3,2]上的值域． 17．(12分)设，试求：(1)f (a )＋f (1－a )(0＜a ＜1)的值； (2)1232010+2011201120112011f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．参考答案1．答案：16 2．答案：②①③ 3．答案：④ 4．答案：③ 5．答案：或4 6．答案：④ 7．答案：8．答案：＞f (2) 9．答案：③ 10．答案：11．答案：{x |x ≥3或x ＝0} 12．答案：直线x －y ＝0 13．答案：14．答案：a n15．解：(1)原式＝0.3－1－3－1·－10×0.3＝－3＝0. (2)原式＝·log 5[2log 210－－7log 72] ＝·log 5(10－3－2) ＝.16．解：＝2211113+1=22224x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而x ∈[－3,2]，则； 当时，；当时，y max ＝57. 所以值域为.17．解：(1)f (a )＋f (1－a ) ＝＝44444224aa a a+++ ＝ ＝ ＝.(2)设1232010+2011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则有2010200920081+2011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以1201022009201012+201120112011201120112011S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝1＋1＋…＋1＝2 010，则S ＝1 005.即1232010+10052011201120112011f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数章末综合测评苏教版必修一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx，log 2 x x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是________．【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 12＝f (－1)＝2－1＝12.【答案】 122．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号) ①y ＝1x；②y ＝e －x ；③y ＝－x 2＋1；④y ＝lg|x |.【解析】 ①项，y ＝1x是奇函数，故不正确；②项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；③④两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数，故选③.【答案】 ③3．f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x＋log 2 016 x ，则函数f (x )的零点的个数是________．【解析】 作出函数y 1＝2 016x ，y 2＝－log 2 016x 的图象，可知函数f (x )＝2 016x＋log 2016x 在x ∈(0，＋∞)内存在一个零点，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )在x ∈(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以函数f (x )的零点的个数是3个．【答案】 34．把函数y ＝a x向________平移________个单位得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－x ＋2的图象，函数y ＝a 3x －2(a >0且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2＝a x －2可由y ＝a x 向右平移2个单位得到．令3x －2＝0，即x ＝23，则y ＝1，∴y ＝a3x －2的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1. 【答案】 右 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 5．设12 015<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015a <1，那么a b ，a a ，b a 的大小关系为________．【解析】 根据指数函数的性质，可知0<a <b <1，根据指数函数的单调性，可知a b<a a，根据幂函数的单调性，可知a a<b a，从而有a b<a a<b a.【答案】 a b<a a<b a6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2 x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝________.【解析】 ∵x >1，∴y ＝log 2 x >log 2 1＝0， ∴A ＝(0，＋∞)，又∵x >1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <12，∴B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. ∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 7．已知y ＝f (2x)的定义域为[－3,3]，则f (x 3)的定义域为________.【解析】 由题知，x ∈[－3,3]时，2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x 3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.即f (x 3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，下一个有根区间是________．【解析】 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．【答案】 (2,3)9．若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点________．(填序号)(1)y ＝f (－x )e x ＋1；(2)y ＝f (x )e x＋1； (3)y ＝f (－x )e －x－1；(4)y ＝f (x )e x－1.【解析】 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，∴f (x 0)＝e x 0，将－x 0代入各函数式，代入(2)时，可得y ＝f (－x 0)e －x 0＋1＝－f (x 0)e －x 0＋1＝－e x 0e －x 0＋1＝0，因此－x 0是函数y ＝f (x )e x＋1的零点．【答案】 (2)10．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为________．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＜10%，得 n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8， 所以n ≥21. 【答案】 2111．下列说法中，正确的是________．(填序号) ①任取x >0，均有3x >2x； ②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称； ⑥图象与y ＝3x的图象关于y ＝x 对称的函数为y ＝log 3 x . 【解析】 对于①，可知任取x >0,3x >2x一定成立． 对于②，当0<a <1时，a 3<a 2，故②不一定正确． 对于③，y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，因为0<33<1，故y ＝(3)－x是减函数，故③不正确． 对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，故正确． 对于⑤，y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称是正确的． 对于⑥，根据反函数的定义和性质知，⑥正确． 【答案】 ①④⑤⑥12．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f (x )＝a x－x －a (a ＞0)有两个零点，即a x－x －a ＝0有两个根， ∴a x＝x ＋a 有两个根．∴y ＝a x与y ＝x ＋a 有两个交点． 由图形知，a ＞1.【答案】 (1，＋∞)13．若存在x ∈[2,3]，使不等式1＋axx ·2x ≥1成立，则实数a 的最小值为________．【解析】 因为x ∈[2,3]，所以不等式可化为a ≥2x －1x ，设y ＝2x －1x，因为y ＝2x和y＝－1x 在区间[2,3]上为增函数，所以函数y ＝2x－1x在区间[2,3]上为增函数，则其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，233，由题意得a ≥72，所以实数a 的最小值为72. 【答案】 7214．已知函数f (x )＝log 3 x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的最大值为________.【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3，故y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(log 3 x ＋2)2＋2(log 3 x 2＋2)＝(log 3 x )2＋8log 3 x ＋8＝(log 3 x ＋4)2－8，当x ∈[1,3] 时，log 3 x ∈[0,1]，∴y ∈[8,17]． 【答案】 17二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算下列各式的值： (1)3－π3＋4－π4；(2)2log 5 10＋log 5 0.25；【解】 (1)原式＝(3－π)＋(π－2)＝1.(2)原式＝2log 5 (2×5)＋log 5 0.52＝2(log 5 2＋log 5 5)＋2log 5 12＝2(log 5 2＋1－log 52)＝2.＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.16．(本小题满分14分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． 【解】 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以幂函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．17．(本小题满分14分)(1)已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x的值域；(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2 x 2·log 2 x4的值域．【解】 (1)f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6·3x ＋3，令3x ＝t ，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 取得最小值－24，即f (x )的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x )的值域为[－24,12]．(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴－3≤log 2x log 212≤－32，即－3≤log 2x －1≤－32，∴32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －log 2 2)·(log 2x －log 24) ＝(log 2x －1)·(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3，f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－14. ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log 131＋x1＋ax(a ≠1)是奇函数， (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值； (3)若g (m )>g (n )(m ，n ∈(－1,1))，比较m ，n 的大小.【解】 (1)∵f (x )为奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即log 131－x 1－ax ＋log 131＋x 1＋ax ＝log 131－x21－a 2x 2＝0，∴a ＝±1，由条件知a ≠1，∴a ＝－1.(2)∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，令 h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. (3)f (x )＝log 131＋x 1－x＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 随x 增大，1－x 减小，∴21－x 增大，∴1＋x1－x 增大，∴f (x )单调递减，又h (x )＝21＋2x 也随x 增大而减小，∴g (x )单调递减．∵g (m )>g (n )，∴m <n .19．(本小题满分16分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系式； (2)求日销售额S 的最大值． 【解】 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t ≤50，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，当t ＝20时，S 的最大值为6 400； 当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，当t ＝31时，S 的最大值是6 210.∵6 210<6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S 取最大值6 400元．20．(本小题满分16分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．图1(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【解】 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋P ，－32P ＋P ≤2， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋P －－P ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －－P ，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
专题07 第四章《指数与对数》单元测试卷(A)高一数学必修一期末复习(苏教版2019)
专题07 第四章《指数与对数》单元测试卷（A）班级：___________姓名：___________得分：___________一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.√a⋅3a⋅√a的分数指数幂表示为()A. a32B. a3C. a34D. 都不对【答案】C【解析】解：√a⋅3a⋅√a=√a⋅3a32=√a⋅a12=√a32=a34．故选：C．从内到外依次将根号写成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质化简．考察分数指数幂的运算性质，属基础题2.若log2a+log12⁄b=2，则有A. a=2bB. b=2aC. a=4bD. b=4a【答案】C【解析】【分析】本题考查对数运算，由对数运算法则即可求解．【解答】解：因为log2a+log12b=log2a+log2blog212=log2a−log2b=log2ab=2，所以ab=4，所以a=4b．故选C．3.下列运算中正确的是()A. √(3−π)2=3−πB. (m14n−38)8=m2n3C. log981=9D. lg xyz =lgxylgz【答案】B【解析】解：对于A，3−π<0，所以√(3−π)2=π−3，故A错，对于B，(m14n−38)8=(m14)8(n−38)8=m2n3，故B正确，对于C，log981=log992=2，故C错，对于D，lg xyz=lg x+lg y−lg z，故D错，故选：B．当二次根式化简即可判断A；由有理数指数幂运算进行化简即可判断B；由对数运算性质进行化简即可判断C，D．本题主要考查有理数指数幂、根式及对数的运算性质，属于基础题．4.已知ln(log4(log2x))=0，那么x−12=()A. 4B. −4C. 14D. −14【答案】C【解析】解：由ln(log4(log2x))=0，得log4(log2x)=1，则log2x=4，可得x=16．∴x−12=16−12=√16=14．故选：C．由已知求解对数方程可得x值，再由有理指数幂的运算性质求x−12的值．本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础的计算题．5.现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，至少经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3=0.477，1g2=0.301)()A. 44B. 45C. 46D. 47【解析】解：设x 小时后，细胞总数为y ，则y =100⋅(32)x ， 令100⋅(32)x >1010，可得(32)x >108， 两边取对数可得：xlg 32>8， 又lg 32=lg3−lg2=0.176， ∴x >80.176≈45.45．故选：C ．得出细胞总数y 关于时间t 的函数，再列不等式解出t 的范围． 本题考查了指数与对数运算性质，不等式的解法，属于中档题．6. (2a −3b −23)⋅(−3a −1b)÷(4a −4b −53)=( )A. −32b 2B. 32b 2C. −32b 73D. 32b 73【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查指数与指数幂的运算，属于基础题． 利用同底数幂的运算性质即可求出结果． 【解答】解：(2a −3b −23)⋅(−3a −1b)÷(4a −4b −53)=[2×(−3)÷4]·a −3+(−1)−(−4)·b −23+1−(−53)=−32a 0b 2 =−32b 2．故选A ．7. 已知a m =4，a n =3，则(a m−2n )−12的值为( )A. 23B. 6C. 32D. 2【答案】C本题考查指数式化简求值，考查指数运算的性质，考查运算求解能力，是基础题． 利用指数运算法则直接求解． 【解答】解：∵a m =4，a n =3， ∴(am−2n )−12=(a m a 2n )−12=√a 2n a m =√324=32．故选：C ．8. 下列等式成立的是( )A. √m 2+n 23=(m +n)23 B. (b a )2=a 12b 12C. √(−3)26=(−3)13D. √√43=213【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题．分别利用指数幂的运算法则进行判断，得出正确的选项． 【解答】解：A ．2+n 23不能进行化简成(m +n)23，故错误； B .(b a )2=a −2b 2，故错误；C .√(−3)26=313，故错误； D .√√43=(223)12=213，故正确．故选D ．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有 选错的得0分.） 9. 下列命题是真命题的是( )A. lg (lg10)=0B. e lnπ=πC. 若e =lnx ，则x =e 2D. ln (lg1)=0【分析】本题考查命题真假的判定，根据对数的运算法则逐个判断即可，属于基础题． 【解答】解：对于A ，lg (lg 10)=lg1=0，故正确； 对于B ，e lnπ=π，正确；对于C ，因为e =lnx ，则x =e e ，故错误； 对于D ，ln (lg 1)=ln0，不存在，故错误． 故选AB ．10. (多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )A. e 0=1与ln 1=0B. 8−13=12与log 812=−13 C. log 39=2与912=3D. log 77=1与71=7【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考察指数和对数运算的基本规律，属于基础题． 【解答】解：e 0=1⇔ln1=0，故A 正确； 8−13=12⇔log 812=−13，故B 正确；log 39=2⇒32=9，912=3⇒log 93=12，故C 不正确；log 77=1⇔71=7，故D 正确． 故选ABD ．11. 下列根式、分数指数幂的互化中，错误．．的是( ) A. −√x =(−x)12 B. x −13=−√x 3 C. (x y)−34=√(yx )34(x,y ≠0)D. √y 26=y 13【答案】ABD【分析】本题考查了指数幂的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 利用指数幂的运算法则即可得出． 【解答】A .−√x =−x 12(x ≥0)，因此不正确； B .x −13=√x3≠0)，因此不正确；C .(x y )−34=√(xy )4=√(yx)34(xy >0)，因此正确；D .√y 26=|y|13，因此不正确． 故选：ABD ．12. 设a =log 30.4，b =log 23，则下列选项不正确的是 ( )A. ab >0且a +b >0B. ab <0且a +b >0C. ab >0且a +b <0D. ab <0且a +b <0【答案】ACD 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查对数的运算、对数函数的性质，属于基础题．根据对数的性质可知a ∈(−1,0)，b =log 23>1，进而求出结果， 【解答】解：根据对数函数的单调性可知： −1=log 313<log 30.4<log 31=0所以a ∈(−1,0)，b =log 23>log 22=1∴ab <0且a +b >0，则A 、C 、D 不正确，B 正确。
2019—2020年苏教版高中数学必修一《函数》单元综合试题及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第六讲 函数综合应用江苏省昆山中学 戈峰一、【基础训练】1．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为．2．若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =．3．函数2122x x y +-=的值域为． 4．已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则z y x ,,的大小关系为．5．若}2,0,1,32{--∈α，为使幂函数y x α=与y x ,轴无交点且为偶函数的α值为．6．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ．7．已知⎩⎨⎧>--<=0,1)1(0,sin )(x x f x x x f π则=)661(f ．8．已知函数()3||log )(31+-=x x f 的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[－1,0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．二、【思维拓展】1．已知函数f (x )＝12lg (kx )，g (x )＝lg (x ＋1)．(1) 求f (x )－g (x )的定义域；(2) 若方程f (x )＝g (x )有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围．2．已知函数()f x x a a x =++，a 为实数．(1) 当[]1,1,1a x =∈-时，求函数()f x 的值域；(2) 设,m n 是两个实数，满足m n <，若函数()f x 的单调减区间为(),m n ，且3116n m -≤求a 的取值范围．3．设a 为实数，函数||)(2)(2a x a x x x f --+=．(1) 若1)0(≥f ，求a 的取值范围； (2) 求)(x f 的最小值；(3) 设函数()+∞∈=,),()(a x x f x h ，求不等式1)(≥x h 的解集．三、【能力提升】1.设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是．2.已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=．3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f(x －2)＝f(x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f(x)＝(12)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f(x)－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是_____．4．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为．一、基础训练 1. 答案：(0 6⎤⎦，提示：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660006112log 0log 6=620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩2. 答案：2提示：因为101>，所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.3. 答案：]4,0(提示：22)1(2122≤+--=-+x x x ，又xy 2=为增函数，所以2122x x y +-=]4,0(∈4. 答案：y z x <<提示：ln ln 1e π>=，551log 2log 52<=，1211124z e e -==>=5. 答案：32-或0 提示：利用幂函数的图像和性质即可得到答案． 6. 答案：1-提示：因为函数2)(xx f y +=为奇函数，所以221)1()1()1(--=-+-f f ，则32)1()1(-=--=-f f ，所以12)1()1(-=+-=-f g .7. 答案：223- 提示：22311)65sin(11)65(10)61()661(-=--=--=-=πf f f 8. 答案：5提示：由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1,0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0,2]，∵ 定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，∴符合条件的(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．二、思维拓展1.解：(1) 由⎩⎨⎧>+>010x kx ，若k >0，则定义域为(0，＋∞)；若k <0，则定义域为(－1,0)．(2) 由f (x )＝g (x )，得kx ＝x ＋1，此方程在定义域内有且仅有一个解， 考查y ＝kx 与 y ＝x ＋1的图象，当k >0时，解得k ＝4； 当k <0时，恒成立，所以k 的取值范围是k ＝4或k <0． 2.解：设||)(x a a x x f y ++==，a 为实数。
指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)
指数函数及其性质 知识点一 指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结 底数 a >1 0<a <1图象性质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数题型一 指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二 比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三 指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二 指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型 函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。
(完整版)指数函数及其性质习题(含答案)
指数函数及其性质习题（含答案）一、单选题的图象可能是( ) 1．在同一坐标系内，函数y=x a(a≠0)和y=ax+1aA．B．C．D．−1，若f(a)=1，则f(−a)=（）2．已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+xA．1B．−1C．3D．−33．已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x ＋b的图象大致是( )A．B．.C．D．4．已知a=log40.7，b=log23，c=0.20.6，则a,b,c的大小关系是( )A．c<b<a B．a<c<b C．b<a<c D．a<b<c5．函数y=a x+1−3（a>0，且a≠1）的图象一定经过的点是( )A．(0，−2)B．(−1,−3)C．(0，−3)D．(−1,−2)6．在同一坐标系中，函数y=2−x与y=−log2x的图象都正确的是（）A．B．C．D ．7．设a =20.5,b =0.52,c =log 20.5，则a,b,c 的大小关系为A ． c >a >bB ． c >b >aC ． a >b >cD ． b >a >c8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，）A ．B ．C ．D ．9．若a ，b ，c 满足2a =3，b =log 25，3c =2，则（ ）A ． c <a <bB ． b <c <aC ． a <b <cD ． c <b <a二、填空题10．已知： 12a a -+=，则22a a -+=__________．11．函数()2x f x =在[]1,3-上的最小值是__________． 12．函数y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.13．求值：2log 323−log 3427−31+log 32=__________．14．函数f(x)=(12)−x2+2x+1的单调减区间为________． 15，.16．计算：． 17．若函数()()23x f x a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________18．已知函数()x f x a b =+ ()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．三、解答题19．（1）计算：(−3)−(1−0.5−2)÷(338)13；（2）已知a =log 32,3b =5用a,b 表示log 3√30．20．(1)(2)已知15a a-+=,求22a a -+和.21．计算： （1）)213013210.027163217---⎛⎫--+-+⋅ ⎪⎝⎭. （222．化简求值 (1) (827)23+(0.008)−23×225(2) 12523+(12)−2−(127)−13+10012+lg3+14lg9−lg √3lg81−lg2723．已知定义在R 上的函数f(x)=b−2x2x +a 是奇函数．⑴求a ， b 的值，并判断函数f(x)在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．24．若函数f(x)=a x −1(a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值.25．（本小题满分10分）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数．（1）求实数k 的值;（2）设g(x)=log 4(a ⋅2x +a),若f(x)= g(x)有且只有一个实数解,求实数a 的取值范围．26．计算：(1) (−338)−23+0.002−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06. 27．已知f(x)=4x−1−2x +5,x ∈[−2,2]．（1）求f(x)的值域．（2）若f(x)>3m 2+am +2对任意a ∈[−1,1]和x ∈[−2,2]都成立，求m 的取值范围．28．计算下列各式的值;(1)(2)参考答案1．B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若a>0,y=x a在(0,+∞)递增，排除A,B选项，y=ax+1a递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即a>0时，不合题意；若a<0，y=x a在(0,+∞)递减，可排除C,D选项，由y=ax+1a递减可排除A，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→0+,x→0−,x→+∞,x→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．D【解析】分析：先化简f(a)=1得到(e a+e−a）ln1+a1−a=−2，再求f(−a)的值.详解：由题得(e a+e−a）ln1−a1+a −1=1,∴(e a+e−a）ln1−a1+a=2,∴−(e a+e−a）ln1+a1−a=2,∴(e a+e−a）ln1+a1−a=−2.所以f(−a)=(e−a+e a）ln1+a1−a−1=−2−1=−3.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象得到−1<b<0,a>1,继而得到g(x)=a x+b的图象经过一二三象限，问题得以解决.【详解】因为a,b 是二次函数的零点，由二次函数f (x )=(x −a )(x −b )（其中a >b ）的图象可知−1<b <0,a >1， 所以g (x )=a x +b 的图象经过一二三象限，只有选项D 符合题意，故选D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4．B【解析】【分析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。
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（十三）指数函数及其性质 层级一 学业水平达标
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 x 1－；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x
； ④y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 2x －1.
A ．0个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)
D. (0，＋∞)
解析：选C 由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.
3．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋
1－1的图象一定过点( )
A ．(0,1)
B ．(0，－1)
C ．(－1,0)
D. (1,0)
解析：选C 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是(
)
解析：选A 当a ＞1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
5．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则(
)
A ．a ＜0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．0＜a ＜1，b ＞1
D.0＜a ＜1,0＜b ＜1
解析：选C 由图象知，函数y ＝a x 在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝b x 在R 上单调递增，故b ＞1.
6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝______.
解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，
a ＋1≠1，解得a ＝1.
答案：1
7．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝1
2
，b ＝3，
所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 答案：7
8．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ＜0，
－2－x
，x ＞0，则函数f (x )的值域是________． 解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－
x ＜1，∴－1＜－2－
x ＜0.∴函数
f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．
答案：(－1,0)∪(0,1)
9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x
－1.(2)y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－2x 2－2.
解：(1)要使y ＝21x
－1有意义，需x ≠0，则21x
＞0且21x
≠1，故21x
－1＞－1且21x
－1≠0，故函数y ＝21
x －1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫ 1 3 2x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭
⎫ 1 3 x 222
－的值域为(0,9]． 10．已知函数f (x )＝a x －
1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．
(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝1
2
. (2)由(1)知函数为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝⎛⎭⎫ 1 2 x －1≤⎝⎛⎭⎫ 1 2 －1＝2，所以函数的值域为(0,2]．
层级二 应试能力达标
1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)
D ．(0,4)
解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x ≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝
16－4x 的值域为[0,4)．
2．函数y ＝2-x x
1－1的定义域、值域分别是( )
A ．R ，(0，＋∞)
B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}
C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}
D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝2
-x x
1－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1
x
，
则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2
-x x
1
－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2
-x x
1－1的定义域为
{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．
3．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx
的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．.直线y ＝－x 对称
解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π
－x
＝⎝⎛⎭
⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx
与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.
4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )
解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.
5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝5
25，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，
由f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝5
25
得，a -3
2＝51
2－2＝5-3
2，∴a ＝5，∴f (x )＝5x . 答案：5x
6．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．
解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.
答案：[1，＋∞)∪{0} 7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |x |
－1. (1)作出f (x )的简图；
(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫13 x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，
如图所示．
(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－1
3＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两
个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．
8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋
1－9x 的最大值和最小值．
解：设t ＝3x ，∵－1≤x ≤2，∴1
3≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x
＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.。