2019届人教B版(文科数学) 离散型随机变量的均值与方差 单元测试
2.3 离散型随机变量的均值与方差-学易试题君之课时同步君2019学年高二数学人教版(选修2-3)(解析版)
无故障使用时间 （小时）
频数
以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率．
所以 ，故选B．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望
A． B．
C． D．
【答案】B
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
6．现有10件产品，其中3件是次品，任取2件，若 表示取到次品的个数，则 ________________．
【答案】8
【解析】易知 ，所以 ，解得 ，所以 ．
10．设随机变量X~B(2，p)，随机变量Y~B(3，p)，若P(X≥1)= ，则D(3Y+1)=________________．
【答案】6
【解析】因为随机变量 ，所以 ，
解得 ( 舍去)，故 ，所以 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
【解析】每次取球时，取到红球的概率为 、黑球的概率为 ，
所以 服从二项分布，即 ，所以 ．
8．若随机变量 服从二项分布 ，且 ， ，则 ________________．
【答案】
【解析】因为随机变量 服从二项分布，所以 ， ，
则 ，解得 ．学科!网
9．设随机变量 的分布列为 ， 0，1，2，…， ，且 ，则 ________________．
离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）
离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义.教材复习1.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+2.数学期望:则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望3.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平4.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .5.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 7.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 8.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .9.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.10.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-11.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. 12.正态分布密度函数：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（0σ>）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) ,(2σμN。
离散型随机变量的均值与方差
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(3)设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为 Ex＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋ x＋(－2)×0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29)，9分 依题意，Ex≥4.73， 即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%. 12分
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(2)EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3 ＝2×(－13)＋3＝73； DY＝D(2X＋3)＝4DX＝4×59＝290. 【名师点评】 ξ是一个随机变 量，则η＝f(ξ)一般仍是一个随机变 量，在求η的期望和方差时，要应用期 望和方差的性质．
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考点四 均值与方差的实际应用
利用期望和方差比较随机变量的 取值情况，一般是先比较期望，期望 不同时，即可比较出产品的优劣或技 术水平的高低，期望相同时，再比较 方差，由方差来决定产品或技术水平 的稳定情况．
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P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
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考点二 求离散型随机变量的期记与方差
求离散型随机变量X的均值与方差 的步骤：
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(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投 篮得分超过3分与选择上述方式投篮 得分超过3分的概率的大小．
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【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
人教版高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差试卷1
2．3．2离散型随机变量的方差一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：1..则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课：1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？(探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。
我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
（三）、基础训练1、已知随机变量X 的分布104332221111+++++++++=X 21014102310321041=⨯+⨯+⨯+⨯=])()()[(122212x x x x x x ns n i -++-++-= 1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(101)23(102)22(103)21(104-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=s ∑=-=ni ii p EX x 12)(求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （四）、方差的应用例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
离散型随机变量的均值与方差基础练习题.docx
离散型随机变量的均值与方差基础练习题一、填空题1．若随机变量X 的分布列如下表：则EX ＝_______.解析 由分布列的性质，可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝118. ∴EX ＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5x ＝40x ＝209. 答案2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．解析ξ＝0时，P =: ξ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；ξ＝2时，P ＝C 23C 210，∴E ξ＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35. 答案 353．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是________．解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2；2.4 4．已知X 的概率分布为则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝2327； ③P (X ＝0)＝13.正确的序号是________． 解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确． 由分布列知③正确． 答案 ①③5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E ξ1=E ξ2，D ξ1>D ξ2，则自动包装机 的质量较好．6．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________．答案 1257．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________． 答案：238．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)，∴E (Y )＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (Y )＝200. 答案 2009．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________．解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 5.25 二、解答题10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，求随机变量X 的分布列与均值. 解: 由已知条件P (X ＝0)＝112 即(1－p )2×13＝112，解得p ＝12，随机变量X 的取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝2×23×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.因此随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×3＋2×12＋3×6＝3.11．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量ξ的概率分布表； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 解 (1)(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝52；12.随机变量ξ的方差D (ξ)＝920.在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有1个头奖，奖金10000元；2个二等奖，奖金各5000元；500个三等奖，奖金各100元，10000个四等奖，奖金各5元．试求每张奖券奖金的期望值．如果每张奖券2元，销售一张平均获利多少？（假设所有奖券全部售完）解：每张奖券可获得的奖金数ξ的分布列为每张奖券的期望值 E ξ= 10000×100000+5000×100000+100×500100000+5×10000100000=1.2元. 如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元．。
离散型随机变量的均值与方差(含答案)
离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，0.1p =【答案】B【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】A考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易3．若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52D.53 【答案】A【解析】由题意可知，()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩解得5,1,3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.考点：n 次独立重复试验.【题型】选择题 【难度】较易4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ）ξ0 1Pm nA ．()()3,E m D n ξξ== B ．()()2,E m D n ξξ== C ．()()21,E m D m m ξξ=-=- D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )A.71 B.61 C.51D.41 【答案】A【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴149,7n p ==，故选A.考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）A ．252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254和1254【答案】C【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=⨯=ξE ，25.15.05.05=⨯⨯=ξD ，所以E η=252，D η=1254. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题 【难度】较易7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （ ）A ．－0.2B ．0.1C ．0.2D ．－0.4 【答案】A【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，0.2a b -=-，故选A.考点：随机变量的期望. 【题型】选择题 【难度】较易8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ） A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5【答案】B考点：随机变量的期望.【题型】选择题【难度】较易9．随机变量X的分布列如表所示，2EX=，则实数a的值为( )Xa234P 13b1614A.0B.13C.1D.32【答案】A【解析】11111,3644b b+++=∴=Q,又11112342,03464a a⨯+⨯+⨯+⨯=∴=Q.考点:随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易10．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布1(5,)4B，则()Eξ-的值为（）A．14B．14-C．54D．5 4 -【答案】D【解析】因为1(5,)4Bξ:，所以15()5.44E Eξξ-=-=-⨯=-故选D.考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题【难度】较易11．已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时 （ ） ξ1-0 1Pa12a - 12A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小 【答案】B考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般12．甲命题：若随机变量2~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则13p =，则正确的是（ ） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确 【答案】D考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定． 【题型】选择题 【难度】一般13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（ ）A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算 【答案】A 【解析】用1X 表示方案i （1,2i =）的损失，则1()300000.054000150040005500E X =⨯+=+=，2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知，采用方案一的平均损失大．考点：期望的实际应用． 【题型】选择题【难度】一般14．若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又42(),()39E X D X ==，则12x x +的值为（ ）A ．3B ．53C ．73D ．113【答案】A考点：离散型随机变量期望与方差．【题型】选择题 【难度】一般15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()519P X ≥=，则()31D Y +=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 【答案】C【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()20251101C 19P X P X p ≥=-==--=，解得13p =， ∴()1223333D Y =⨯⨯=，∴()231963D Y +=⨯=，故选C ． 考点：二项分布，方差． 【题型】选择题 【难度】一般16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故选B.考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题 【难度】一般17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（ ）X 1-0 1 2Pabc112A.51,248B.51,62C.31,53D.51,124【答案】D考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==⨯=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题 【难度】较易19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .X 1 2 3 P 0.2 0.40.4【答案】21.2 【解析】由分布列得()2.24.034.022.01=⨯+⨯+⨯=X E ，则()()2.218686=+=+X E X E .考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题 【难度】较易20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =，标准差()Y σ= ．【答案】1；455考点：二项分布，期望与标准差． 【题型】填空题 【难度】一般21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.ξ0 1 2p12p - p12【答案】1【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,201,p p ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=()()()22222111501112112224p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15144-+=.考点：离散型随机变量及其分布列.【题型】填空题【难度】一般三、解答题22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为23，每次考B科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）518（2）分布列见解析，期望()83Eξ=考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（2）分布列见解析，115 EX考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题 【难度】一般24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数 [5059)，[6069)，[7079)，[8089)，[90100)，甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13565（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计附：()()()()()()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” （2）分布列见解析，4 5考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.【题型】解答题【难度】一般25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.【题型】解答题【难度】一般26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题 【难度】一般27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.【题型】解答题【难度】一般28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]C B A 、、三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)9991000 （3）分布列见解析，94E ξ=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P12202722027552155()127272190123.22022055554Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题【难度】一般。
人教B版(文科数学) 离散型随机变量的均值与方差 单元测试
选择题1.若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)等于( )A.2B.2或C.D.1【解析】选C.由题意，+=1，a>0，所以a=1，所以E(X)=0×+1×=. 2.已知X的分布列为则在下列式子中①E(X)=-；②D(X)=；③P(X=0)=，正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.由E(X)=(-1)×+0×+1×=-，知①正确；由D(X)=×+×+×=，知②不正确；由分布列知③正确.3.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：若购进这种鲜花500束，则利润的均值为( )A.706元B.690元C.754元D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340，所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706元.4.已知X是离散型随机变量，P(X=1)=，P(X=a)=，E(X)=，则D(2X-1) = ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为X是离散型随机变量，P(X=1)=，P(X=a)=，E(X)=，所以由已知得1×+a×=，解得a=2，所以D(X)=1-2×+2-2×=，所以D(2X-1)=22D(X)=4×=.【变式备选】已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：随机变量η=2ξ+1，则η的数学期望为( )A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】选B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1，所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1，E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.二、简答题1.(2017·天津高考理科·T16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【命题意图】本题考查概率、离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=112⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭×114⎛⎫-⎪⎝⎭=14,P(X=1)=12×113⎛⎫-⎪⎝⎭×114⎛⎫-⎪⎝⎭+112⎛⎫-⎪⎝⎭×13×114⎛⎫-⎪⎝⎭+112⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭×14=1124,P(X=2)=112⎛⎫-⎪⎝⎭×13×14+12×113⎛⎫-⎪⎝⎭×14+12×13×114⎛⎫-⎪⎝⎭=14,P(X=3)=12×13×14=124.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+1124×14=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.【反思总结】在(1)中,准确算出随机变量每个可能值的概率是列出分布列,求出数学期望的关键.计算随机变量每个可能值的概率时,比较琐碎、复杂,一定要耐心、细致,否则,其中有一个概率算错了,后面就全错了.2.(2017·江苏高考·T23)已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)<()()1nm n n +-.【命题意图】主要考查古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望的求法,突出考查考生利用数学相关知识解决实际问题的能力.【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:p=11n m n n m nC C -+-+=n m n +.(2)随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的期望为:E(X)=1m nk n k +=∑·11n k n m nC C --+=1m nk n k +=∑·()()()1!1!!k n k n --- .所以E(X)<()()()2!11!!m nnk n m n k C n k n +=+---∑=()()()()2!112!!m nn k n m n k n C n k n +=+----∑=()11nm nn C +-(1+21n n C --+2n n C -+…+22n m n C -+-) =()11nm nn C +-(11n n C --+21n n C --+2n n C -+…+22n m n C -+-) =()11nm nn C +-(1n n C -+2n n C -+…+22n m n C -+-) =…=()11nm nn C +-(12n m n C -+-+22n m n C -+-) =()111n m n nm n C n C -+-+-=()()1n m n n +- 所以E(X)<()()1nm n n +-.【反思总结】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.3.(2017·北京高考理科·T17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率.(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)【命题意图】本题主要考查统计中的概率与期望方差的知识,意在培养学生的识图能力与运算能力.【解析】(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y 的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为1550即310. (2)由图,A,C 两人指标x 的值大于1.7,而B,D 两人则小于1.7,可知在四人中随机选出两人,ξ的可能取值为0,1,2.且p(ξ=0)= 241C =16,p(ξ=1)= 112224C C C =23, p(ξ=2)=241C= 16, 分布列如下E(ξ)=0×16+1×23+2×16=1,即所求数学期望为1.(3)由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大.5.(2017·全国丙卷·理科·T18)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?【解析】(1)由题意得,X 的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知 P ()200X ==21690+=15,P ()300X ==3690=25,P ()500X ==257490++=25, 所以六月份这种酸奶一天的需求量X 的分布列为: (2)①当200≤n ≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P()8002Y n=-=1 5 .若X=300时,则Y=()64-n=2n,P()2Y n==2 5 ,若X=500时,则Y=()64-n=2n,P()2Y n==2 5 .所以Y的分布列为:所以E(Y)=15×()8002n-+25×2n+25×2n=65n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=1 5 .若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=2 5 .若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=2 5 .所以Y的分布列为:所以E(Y)=15×(800-2n)+25×(1200-2n)+25×2n=-25n+640<-25×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.6.(2017·山东高考理科·T18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的频率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.【命题意图】本题考查古典概型概率的求解以及随机变量期望求解,意在考查考生运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的事件为M,则P(M)=48510cc=518.(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则P(X=0)=56510cc=142,P(X=1)=4164510C CC=521,P(X=2)=3264510c cc=1021,P(X=3)=2364510C CC=521,P(X=4)=1464510c cc=142,因此X的分布列为X的数学期望是EX=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2.。
高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题(附答案)-文档资料
高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题（附答案）散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X的分布列是X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则E(X)和D(X)分别等于()A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8[答案] D[解析] E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8. 2．已知随机变量X的分布列为X 0 1 2P 715715115且＝2X＋3，且E()等于()A.35B.65C.215D.125[答案] C[解析] ∵E(X)＝0175＋1715＋2115＝35，E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6[答案] B[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.4．已知X的分布列为X 1 2 3 4P 14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712[答案] C[解析] ∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2912，E(X2)＝1214＋2213＋3216＋4214＝8512，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.5．已知X的分布列为X －1 0 1P 121316若＝2X＋2，则D()的值为()A．－13 B.59C.109D.209[答案] D[解析] E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋13212＋0＋13213＋1＋13216＝59，D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为() A.65 B.1825C.625D.18125[答案] B[解析] 由X～B3，25，D(X)＝32535＝1825.7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1[答案] B[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3s2 B．s2s3C．s1s3 D．s2s1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，s2s3，故选B.二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．[答案] 0.196[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq ＝100.02(1－0.02)＝0.196.10．(2019福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.[答案] nm[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．则E(X)＝n1m＝nm.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案] 48[解析] 设小王选对个数为X，得分为＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.12．若X的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14141414则D14X＝________.[答案] 564[解析] E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－52214＝54，D14X＝116D(X)＝564.三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．[解析] 由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6121316＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.所以P(＝0)＝P(＝3)＝C33133＝127，P(＝1)＝P(＝2)＝C2313223＝29，P(＝2)＝P(＝1)＝C1313232＝49，P(＝3)＝P(＝0)＝C03233＝827.故的分布列为0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝0127＋129＋249＋3827＝2.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝323＝2.15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．(1)求的分布列、均值和方差；(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．[解析] (1)的分布列为：0 1 2 3 4P 1212011032015E()＝012＋1120＋2110＋3320＋415＝1.5.D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2120＋(2－1.5)2110＋(3－1.5)2320＋(4－1.5)215＝2.75.(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．16．(2019湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，P(X＝3)＝C330.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．第 11 页。
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第6课时离散型随机变量的均值与方差
基础达标(水平一)
1.某袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球,现从中随机摸取1个球,有放回地摸取5次,设摸到的白球数为X,若E(X)=3,则D(X)=().
A.B.C.D.
【解析】由题意知X B,因为E(X)=5×=3,解得m=2,所以X B,故D(X)=5××=.
【答案】B
2.设投掷一枚质地均匀的骰子的点数为ξ,则().
A.E(ξ)=,D(ξ)=
B.E(ξ)=,D(ξ)=
C.E(ξ)=,D(ξ)=
D.E(ξ)=,D(ξ)=
【解析】由题意知,ξ的可能取值为1,2,3,4,5,6.
P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=,
∴E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=,
D(ξ)=-+-+-+4-2+-+-×=.
【答案】B
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=-
,k=0,1,2,…,n,且E(ξ)=24,则D(ξ)的值为().
A.8
B.12
C.
D.16
【解析】由题意可知ξ B,
∴E(ξ)=n=24,∴n=36.
∴D(ξ)=n××-=36×=8.
【答案】A
4.某一供电络有n个用电单位,若每个单位在一天中使用电的机会是p,则供电络一天中平均用电的单位个数是().
A.np(1-p)
B.np
C.n
D.p(1-p)
【解析】由题意知,一天中用电单位的个数X服从二项分布,即X B(n,p),故E(X)=np.
【答案】B
5.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率为,乙、丙做对的概率分别为m、n(m>n),且三位学生是否做对相互独立,记X
则X的数学期望为.
---
【解析】由题意,得
又m>n,解得m=,n=.
由题意知,a=××+××+××=,
b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1---=.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
【答案】
6.一个人有n把钥匙,其中只有一把能打开他的房门,他随意地试开,并将打不开房门的钥匙除去,则打开房门所试开次数X的数学期望是.
【解析】由于每次打开房门的概率都是,因此E(X)=1×+2×+…+n×=.
【答案】
7.某市教育与环保部门联合组织该市中学生参加环保知识团体竞赛.根据比赛规则,某中学选拔出8名同学组成参赛队,其中初中部选出的3名同学中有2名女生;高中部选出的5名同学中有3名女生.竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.
(1)设“选出的4人中恰有2名女生,而且这2名女生来自同一个部”为事件A,求事件A的概率P(A);
(2)设X为选出的4人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(1)由已知得P(A)==,所以事件A的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
由已知得P(X=k)=-(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.
拓展提升(水平二)
8.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为().
A. B. C.D.
【解析】X的可能取值为0,1,2,3.
①大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3个面,所以P(X=3)=;
②大正方体每条棱上对应的小正方体除了两个顶点处的还有3个,一共3×12=36个小正方体涂有2个面,所以P(X=2)=;
③大正方体每个面上对应的小正方体除去棱上的还有9个,一共9×6=54个小正方体涂有1个面,所以P(X=1)=;
④还有125-(8+36+54)=27个没有涂漆的小正方体,所以P(X=0)=.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
【答案】B
9.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发3次球,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是().
A. B.C.D.
【解析】由已知可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,
则E(X)=1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<.
又p∈(0,1),所以p∈.
【答案】C
10.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为.
【解析】由题意得
即
--
解得或
∵x1<x2,∴∴x1+x2=3.
【答案】3
11.从一批产品中抽取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n,如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品
通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50 ,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
【解析】(1)设“第一次取出的4件产品中恰有3件优质品”为事件A,“第二次取出的4件产品都是优质品”为事件B,“第一次取出的4件产品中全为优质品”为事件C,“第二次取出的1件产品是优质品”为事件D,“这批产品通过检验”为事件E,
∴P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=×××+××=.
(2)X的可能取值为400,500,800,
并且P(X=400)=1-××-=,
P(X=500)==,
P(X=800)=××=,
∴X的分布列为
∴E(X)=400×+500×+800×=506.25.。