消去法解题

消去法解题

消去法解题

〖数学广角〗

在一些应用题中，会同时出现两个或两个以上并列的未知数，并给出相应的几个等量

关系。这类习题适合列出一次方程组求解，但在小学阶段常用消去法解答此类应用题。即

根据题中数据特点，通过分析比较，去同存异，设法抵消掉其中的一个或两个未知数，只

剩下的一个未知数。先求出剩下的这个未知数，再根据题中数量关系，求出其它的未知数。这种解决问题的策略方法就叫做消去法。消去法是一种很重要的数学思想方法，也是初中

解答一次方程组的主要方法之一。适当渗透，有利于孩子的后续学习。

应用消去法解答较复杂的的应用题，需要运用到等式的基本性质：

在等式的两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。

根据这个性质可以将题目中所给的条件适当转化，设法使题中某一项在前后不同的等

量关系中，具有相等的数量，从而可以抵消掉这一项。

解题策略：先梳理好题目给出的条件，列出相应的等量关系式，在每个等量关系式中

按相同的顺序排列不同的未知项，便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。

〖智慧密码〗

例1：买3条毛巾6把牙刷要花12.3元，买同样的3条毛巾9把牙刷要花14.7元，

每条毛巾和每把牙刷各多少元？

思路点睛：

通过比较，毛巾条数相同，14.7元与12.3元的差就是3把牙刷的钱，这就容易求出

每把牙刷0.8元，每条毛巾2.5元。这就是消去法的简单应用。

解题过程：每把牙刷的单价：（14.7-12.3）÷3=0.8(元) 每条毛巾的单价：

(14.7-0.8×9)÷3=2.5(元)

答：每条毛巾0.8元，每把牙刷2.5元。

例2：学校买来11根跳绳和9个皮球共用去69元，后来又买了同样的7根跳绳和3

个皮球共用去33元，每根跳绳和每个皮球各多少元？

思路点睛：

先根据题中的条件列出等量关系式：⑴11根跳绳的钱＋9个皮球的钱＝69元⑵7根跳绳的钱＋3个皮球的钱＝33元

⑴式中皮球的个数恰好是⑵式中皮球个数的3倍。我们把⑵式中的每一部分都扩大3倍，将这个条件转化为：

⑶（3×7）21根跳绳的钱＋（3×3）9个皮球的钱＝（3×33）99元

比较⑴式和⑶式，皮球的钱数抵消了。⑶式比⑴式左边多出了（21－11）10根跳绳，右边多出了（99－69）30元钱，即10根跳绳需要30元钱。

解题过程：求出跳绳的单价：

（3×33－69）÷（3×7－11）=3（元）

根据跳绳的单价和⑵式条件，可以求出每个皮球的价格为：（33－7×3）÷3＝4（元）

答：每根跳绳3元，每个皮球4元。

例3：5件上衣和6条裤子共值1670元，同样的6件上衣和5条裤子共值1740元，每件上衣和每条裤子各多少元？

思路点睛：

先根据题中的条件列出等量关系式：⑴5件上衣的钱＋6条裤子的钱＝1670元⑵6件上衣的钱＋5条裤子的钱＝1740元

则1670元＋1740元，可以买（5＋6）11件上衣和（6＋5）11条裤子。

解题过程：

1件上衣加上1条裤子共需要钱：（1670＋1740）÷（5＋6）＝310（元）

根据⑴式条件，用1670元减去5件上衣和5条裤子的钱，即可求得一条裤子的单价为：1670－310×5＝120（元）

所以，一件上衣的单价为：310－120＝190（元）答：1件上衣310元，1条裤子190元。

例题4：买3枝钢笔和2瓶墨水要付25.5元，如果买同样的5枝钢笔和4瓶墨水要付44.5元，每枝钢笔和每瓶墨水各多少元？

思路点睛：

这一题的解法与上面【模仿训练，练习1】的解法相似。先根据题中的条件列出等量关系式：⑴3枝钢笔的钱＋2瓶墨水的钱＝25.5元⑵5枝钢笔的钱＋4瓶墨水的钱＝44.5元

⑵式中墨水的瓶数恰好是⑴式中墨水瓶数的2倍。我们把⑴式中的每一部分都扩大2倍，将这个条件转化为：

⑶（3×2）6枝钢笔的钱＋（2×2）4瓶墨水的钱＝（25.5×2）51元

比较⑵式和⑶式，墨水的钱数抵消了。⑶式比⑵式左边多出了（6－5）1枝钢笔的钱，右边多出了（51－44.5）6.5元钱。

解题过程：每枝钢笔6.5元钱：

（2×25.5－44.5）÷（3×2－5）=6.5（元）

根据钢笔的单价和⑴式条件，可以求出每瓶墨水的价格为：（25.5－6.5×3）÷2＝

3（元）答：每枝钢笔6.5元，每瓶墨水3元。

〖牛刀小试〗

1.8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，3头牛和8只羊每天共吃青草106千克，

每条牛和每只羊每天各吃青草多少千克？

2.3袋大米和5袋面粉一共重135千克；9袋大米和4袋面粉共重240千克。求每袋

大米和每袋面粉各重多少千克？

3.买3枝钢笔和2瓶墨水要付25.5元，如果买同样的5枝钢笔和4瓶墨水要付4

4.5元，每枝钢笔和每瓶墨水各多少元？

4.妈妈去商店买水果，第一次买回苹果、橘子、梨各2千克，共用14元；第二次买

回苹果4千克、橘子3千克、梨2千克，共用21.5元；第三次买回苹果5千克、橘子4

千克、梨2千克，共用26元，求三种水果的单价各是多少元？

5.篮球、足球、排球三种球。篮球3个，足球2个，排球1个共值196元；篮球1个，足球3个，排球2个共值200元；篮球2个，足球1个，排球3个共值168元。每种球的

单价各是多少元？

6.甲顾客买了3千克苹果、2千克梨，乙顾客买了4千克苹果、3千克梨，丙顾客买

了3千克苹果、4千克梨，乙顾客比甲顾客多花了7元钱，甲顾客比丙顾客少花了5元钱，每个顾客各花了多少钱？

〖俱乐部〗

消元法

早在东汉以前，中国古代著名的数学著作《九章算术》中就有了用消元法解方程组的

方法。直到今日，消元法仍是解线性代数方程组的一个很重要的方法。在一些国家的数学

著作中也常用高斯消去法这一名词。数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性

代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电

脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。

消元法解线性代数方程组时，将某一方程乘以某些常数分别加到其他方程上，以消去这些

方程中的某一未知量。重复施行这一步骤，就可逐步消去未知量，最后只剩下一个未知量。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。