中考数学复习《正方形》必做经典解答题型20题汇编
中考数学考点28正方形总复习(解析版)
正方形【命题趋势】在中考中.正方形主要在选择题.填空题.解答题考查为主.并结合相似.锐角三角函数结合考查.；其中正方形常考4种模型是中考中的重难点。
【中考考查重点】一、正方形的性质及判定二、正方形常考模型考点：正方形性质及判定一、正方形的概念和性质1.概念：有一组邻边相等.并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角.四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形.有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
二、正方形的判定判定方法：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形.再证明它是菱形（或矩形）.最后证明它是矩形（或菱形）。
1.（2020秋•法库县期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分【答案】A【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分.故本选项正确；B、只有矩形.正方形的对角线相等.故本选项错误；C、只有菱形.正方形的对角线互相垂直.故本选项错误；D、只有菱形.正方形的对角线互相垂直平分.故本选项错误．故选：A．2.（2020秋•武功县期末）如图.在正方形ABCD中.AB＝2.P是AD边上的动点.PE⊥AC于点E.PF⊥BD于点F.则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．2【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中.OA⊥OB.∠OAD＝45°.∵PE⊥AC.PF⊥BD.∴四边形OEPF为矩形.△AEP是等腰直角三角形.∴PF＝OE.PE＝AE.∴PE+PF＝AE+OE＝OA.∵正方形ABCD的边长为2.∴OA＝AC＝＝．故选：C．3.（2010秋•金口河区期末）如图.在正方形ABCD中.E是DC上一点.F为BC延长线上一点.∠BEC＝70°.且△BCE≌△DCF．连接EF.则∠EFD的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠BCE＝∠DCF＝90°；由旋转的性质知：CE＝CF.∠BEC＝∠DFC＝70°；则△ECF是等腰直角三角形.得∠EFC＝45°.∴∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC＝25°．故选：D．4.（2020春•沙坪坝区期末）如图.正方形ABCD中.AB＝.点E是对角线AC上一点.EF⊥AB于点F.连接DE.当∠ADE＝22.5°时.EF的长是（）A．1B．2﹣2C．﹣1D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝CD＝BC＝.∠B＝∠ADC＝90°.∠BAC＝∠CAD＝45°.∴AC＝AB＝2.∵∠ADE＝22.5°.∴∠CDE＝90°﹣22.5°＝67.5°.∵∠CED＝∠CAD+∠ADE＝45°+22.5°＝67.5°.∴∠CDE＝∠CED.∴CD＝CE＝.∴AE＝2﹣.∵EF⊥AB.∴∠AFE＝90°.∴△AFE是等腰直角三角形.∴EF＝＝﹣1.故选：C．5.（2021•罗湖区校级模拟）如图.在平面直角坐标系xOy中.正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3.0）.B（2.b）.则正方形ABCD的面积是（）A．20B．16C．34D．25【答案】C【解答】解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形.∴AD＝AB.∠DAB＝90°.∴∠DAO+∠BAM＝90°.∠BAM+∠ABM＝90°.∴∠DAO＝∠ABM.∵∠AOD＝∠AMB＝90°.∴在△DAO和△ABM中.∴△DAO≌△ABM（AAS）.∴OA＝BM.AM＝OD.∵A（﹣3.0）.B（2.b）.∴OA＝3.OM＝2.∴OD＝AM＝5.∴AD＝＝.∴正方形ABCD的面积＝34.故选：C．6.（2020春•老城区校级月考）如图.点P是正方形ABCD的对角线BD上一点.PE⊥BC于点E.PF⊥CD于点F.连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图.连接PC.延长AP交EF于H.延长FP交AB于G.在正方形ABCD中.∠ABP＝∠CBP＝45°.AB＝CB.∵在△ABP和△CBP中..∴△ABP≌△CBP（SAS）.∴AP＝PC.∠BAP＝∠BCP.又∵PE⊥BC.PF⊥CD.∴四边形PECF是矩形.∴PC＝EF.∠BCP＝∠PFE.∴AP＝EF.∠PFE＝∠BAP.故①④正确；只有点P为BD的中点或PD＝AD时.△APD是等腰三角形.故③错误；∵PF∥BC.∴∠AGF＝∠ABC＝90°.∵∠BAP＝∠PFE.∠APG＝∠FPH.∴∠AGP＝∠AHF＝90°.∴AP⊥EF.故②正确.故选：C．7.（2021秋•南海区月考）如图.点B在MN上.过AB的中点O作MN的平行线.分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．（1）试判断四边形ACBD的形状.并证明你的结论．（2）当△CBD满足什么条件时.四边形ACBD是正方形？并给出证明．【答案】（1）四边形ACBD是矩形（2）△CBD满足CB＝BD时.四边形ACBD是正方形【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形.证明：∵CD平行MN.∴∠OCB＝∠CBM.∵BC平分∠ABM.∴∠OBC＝∠CBM.∴∠OCB＝∠OBC.∴OC＝OB.同理可证：OB＝OD.∴OA＝OB＝OC＝OD.∵CD＝OC+OD.AB＝OA+OB.∴AB＝CD.∴四边形ACBD是矩形；（2）△CBD满足CB＝BD时.四边形ACBD是正方形.证明：由（1）得四边形ACBD是矩形.∵CB＝BD.∴四边形ACBD是正方形．1．（2021秋•武侯区期末）下列说法中.是正方形具有而矩形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线互相垂直C．四个角都为直角D．对角线互相平分【答案】B【解答】解：因为正方形的对角相等.对角线相等、垂直、且互相平分.矩形的对角相等.对角线相等.互相平分.所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．2．（2017春•柳州期末）边长为4的正方形ABCD中.P是边AD上的动点.PE⊥AC于点E.PF⊥BD于点F.则PE+PF的值为（）A．2B．4C．2D．6【答案】A【解答】解：如图.∵四边形ABCD为正方形.∴∠CAD＝∠BDA＝45°.∵PE⊥AC于点E.PF⊥BD于点F.∴△APE和△PDF为等腰直角三角形.∴PE＝AP.PF＝PD.∴PE+PF＝（AP+PD）＝×4＝2．故选：A．3．（2021秋•普宁市期末）下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线平分每组对角B．菱形的对角线相等且互相垂直C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】C【解答】解：A、矩形的对角线平分每组对角.说法错误.故本选项不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直.故本选项不符合题意；C、有一组邻边相等的矩形是正方形.正确.故本选项符合题意；D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故本选项不符合题意．故选：C．4．（2020•眉山）下列说法正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形.可以是平行四边形.故选项A不合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形.故选项B符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形.故选项C不合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.故选项D不合题意；故选：B．5．（2021秋•海州区期末）如图.在正方形ABCD中.点E在对角线AC上.EF⊥AB于点F.EG⊥BC于点G.连接DE.若AB＝10.AE＝3.则ED的长度为（）A．7B．2C．D．【答案】C【解答】解：如图.连接BE.∵四边形ABCD是正方形.∴∠BAC＝∠DAC＝45°.AB＝AD.∵AE＝AE.∴△ABE≌△ADE（SAS）.∴BE＝DE.∵EF⊥AB于点F.AE＝3.∴AF＝EF＝3.∵AB＝10.∴BF＝7.∴BE＝＝.∴ED＝．故选：C．6．（2021秋•铁锋区期末）如图.已知在正方形ABCD中.AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米.∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.点E在边AB上.且AE＝4厘米.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动.同时.点Q在线段CD上由C点向D点运动.设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时.t的值为（）A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2【答案】D【解答】解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒.若△BPE≌△CQP.则BP＝CQ.BE＝CP.∵AB＝BC＝10厘米.AE＝4厘米.∴BE＝CP＝6厘米.∴BP＝10﹣6＝4厘米.∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等.∴BP≠CQ.∵∠B＝∠C＝90°.∴要使△BPE与△OQP全等.只要BP＝PC＝5厘米.CQ＝BE＝6厘米.即可．∴点P.Q运动的时间t＝＝（秒）.故选：D．7．（2021春•海淀区校级期末）如图.点E是正方形ABCD对角线AC上一点.EF⊥AB.EG ⊥BC.垂足分别为F.G.若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时.四边形BFEG是正方形？【答案】（1）略（2）20cm （3）AF＝5cm【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形.∴AB⊥BC.∠B＝90°．∵EF⊥AB.EG⊥BC.∴∠BFE＝90°.∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°.∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm.∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形.∴△AEF为等腰直角三角形.∴AF＝EF.∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形.只需EF＝BF.∵AF＝EF.AB＝10cm.∴当AF＝5cm时.四边形BFEG是正方形．1．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形.添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形.再添加d即一个角是直角的菱形是正方形.故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形.再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形.故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形.添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形.再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形.不能得到四边形是正方形.故③不正确；故选：C．2．（2019•毕节市）如图.点E在正方形ABCD的边AB上.若EB＝1.EC＝2.那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠B＝90°.∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3.∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．3．（2021•重庆）如图.正方形ABCD的对角线AC.BD交于点O.M是边AD上一点.连接OM.过点O作ON⊥OM.交CD于点N．若四边形MOND的面积是1.则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠MDO＝∠NCO＝45°.OD＝OC.∠DOC＝90°.∴∠DON+∠CON＝90°.∵ON⊥OM.∴∠MON＝90°.∴∠DON+∠DOM＝90°.∴∠DOM＝∠CON.在△DOM和△CON中..∴△DOM≌△CON（ASA）.∵四边形MOND的面积是1.四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积.∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积.∴△DOC的面积是1.∴正方形ABCD的面积是4.∴AB2＝4.∴AB＝2.故选：C．4．（2021•湖北）如图.在正方形ABCD中.AB＝4.E为对角线AC上与A.C不重合的一个动点.过点E作EF⊥AB于点F.EG⊥BC于点G.连接DE.FG.下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE.交FG于点O.如图.∵EF⊥AB.EG⊥BC.∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°.∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE.OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中..∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE.交FG于M.交FB于点H.∵△ABE≌△ADE.∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF.∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°.∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°.∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点.∴根据垂线段最短.当DE⊥AC时.DE最小．∵AD＝CD＝4.∠ADC＝90°.∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE.∴FG的最小值为2.∴④错误．综上.正确的结论为：①②③．故选：C．5．（2020•陕西）如图.在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝8.延长BA至E.使AE＝AB.以AE为边向右侧作正方形AEFG.O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积.并分别交EF、BC于点M、N.则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图.连接AC.BD交于点H.过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积.交AD于S.取AE中点P.取AB中点Q.连接OP.HQ.过点O作OT⊥QH于T.∵四边形ABCD是矩形.∴AH＝HC.又∵Q是AB中点.∴QH＝BC＝4.QH∥BC.AQ＝BQ＝2.同理可求PO＝AG＝2.PO∥AG.EP＝AP＝2.∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH.EP＝AP＝AQ＝BQ.∴MO＝OS＝SH＝NH.∠OPQ＝∠PQH＝90°.∵OT⊥QH.∴四边形POTQ是矩形.∴PO＝QT＝2.OT＝PQ＝4.∴TH＝2.∴OH＝＝＝2.∴MN＝2OH＝4.故答案为：4．6．（2021•邵阳）如图.在正方形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E.F是对角线AC上的两点.且AE＝CF．连接DE.DF.BE.BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4.AE＝2.求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°.在△ADE和△CBF中..∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝.∴BD＝＝＝8.由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8.DO＝BO＝4.OA＝OC＝4.又AE＝CF＝2.∴OA﹣AE＝OC﹣CF.即OE＝OF＝4﹣2＝2.故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°.∴DE＝＝＝2．∴4DE＝.故四边形BEDF的周长为8．1．（2021•云岩区模拟）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具.此时测得∠D＝60°.对角线AC长为16cm.改变教具的形状成为图2所示的正方形.则正方形的边长为（）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm【答案】C【解答】解：如图1.图2中.连接AC．图1中.∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝DC.∵∠D＝60°.∴△ADC是等边三角形.∴AD＝DC＝AC＝16cm.∴正方形ABCD的边长为16cm.故选：C．2．（2021•石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放.其中四边形ABCD 为矩形.连接PQ.MN.甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形.则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形.则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确.乙不正确B．甲不正确.乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确【答案】B【解答】解：若ABCD是正方形.可设AB＝BC＝CD＝AD＝x.∴AQ＝4﹣x.AP＝3+x.∴PQ2＝AQ2+AP2.即PQ＝＝＝.x取值不同则PQ的长度不同.∴甲不正确.若四边形PQMN为正方形.则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5.且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QP A＝90°.在△QMD和△PQA中..∴△QMD≌△PQA（ASA）.∴QD＝AP.同理QD＝AP＝MC＝BN.又∵BP＝MD＝AQ.∴QD﹣AD＝P A﹣AB.∴AB＝AD.同理AB＝CD＝AD＝BC.即四边形ABCD为菱形.∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°.则四边形ABCD为正方形.∴乙正确.故选：B．3．（2021•临沂模拟）如图.AD是△ABC的角平分线.DE.DF分别是△ABD和△ACD的高.得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时.四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④【答案】D【解答】解：如果OA＝OD.则四边形AEDF是矩形.没有说∠A＝90°.不符合题意.故①错误；∵AD是△ABC的角平分线.∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD中..∴△AED≌△AFD（AAS）.∴AE＝AF.DE＝DF.∴AE+DF＝AF+DE.故④正确；∵在△AEO和△AFO中..∴△AEO≌△AFO（SAS）.∴EO＝FO.又∵AE＝AF.∴AO是EF的中垂线.∴AD⊥EF.故②正确；∵当∠A＝90°时.四边形AEDF的四个角都是直角.∴四边形AEDF是矩形.又∵DE＝DF.∴四边形AEDF是正方形.故③正确．综上可得：正确的是：②③④.故选：D．4．（2020•宁津县一模）下列说法正确的是（）A．对角线相等且相互平分的四边形是矩形B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是正方形D．对角线相互垂直的四边形是平行四边形【答案】A【解答】解：A、对角线相等且相互平分的四边形是矩形.故该选项正确；B、对角线相等且相互垂直的四边形不一定是菱形.故该选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形.不是正方形.故该选项错误；D、对角线相互垂直的四边形不是平行四边形.故该选项错误.故选：A．5．（2021•南浔区模拟）如图.E.F是正方形ABCD的边BC上两个动点.BE＝CF．连接AE.BD交于点G.连接CG.DF交于点M．若正方形的边长为1.则线段BM的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图.在正方形ABCD中.AB＝AD＝CB.∠EBA＝∠FCD.∠ABG＝∠CBG.在△ABE和△DCF中..∴△ABE≌△DCF（SAS）.∴∠BAE＝∠CDF.在△ABG和△CBG中..∴△ABG≌△CBG（SAS）.∴∠BAG＝∠BCG.∴∠CDF＝∠BCG.∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°.∴∠CDF+∠DCM＝90°.∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°.取CD的中点O.连接OB、OF.则OF＝CO＝CD＝.在Rt△BOC中.OB＝＝＝.根据三角形的三边关系.OM+BM＞OB.∴当O、M、B三点共线时.BM的长度最小.∴BM的最小值＝OB﹣OF＝＝．故选：D．6.（2021•平凉模拟）如图.在矩形ABCD中.M、N分别是边AD、BC的中点.E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：BM＝CM．（2）当AB：AD的值为多少时.四边形MENF是正方形？请说明理由．【答案】（1）略（2）当AB：AD＝1：2时.四边形MENF是正方形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.∴AB＝DC.∠A＝∠D＝90°.∵M为AD中点.∴AM＝DM.在△ABM和△DCM中..∴△ABM≌△DCM（SAS）.∴BM＝CM；（2）解：当AB：AD＝1：2时.四边形MENF是正方形.理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点.∴NE∥CM.NE＝CM.∵MF＝CM.∴NE＝FM.∵NE∥FM.∴四边形MENF是平行四边形.由（1）知△ABM≌△DCM.∴BM＝CM.∵E、F分别是BM、CM的中点.∴ME＝MF.∴平行四边形MENF是菱形；∵M为AD中点.∴AD＝2AM.∵AB：AD＝1：2.∴AD＝2AB.∴AM＝AB.∵∠A＝90°.∴∠ABM＝∠AMB＝45°.同理∠DMC＝45°.∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°.∵四边形MENF是菱形.∴菱形MENF是正方形．7．（2021•沂水县二模）如图.四边形ABCD是正方形.△ABE是等边三角形.M为对角线BD（不含B点）上的点．（1）当点M是CE与BD的交点时.如图1.求∠DMC的度数；（2）若点M是BD上任意一点时.将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN.连接EN.CM.求证：EN＝CM；（3）当点M在何处时.BM+2CM的值最小.说明理由．【答案】（1）60°（2）略（3）当M点位于BD.CE交点时.BM+2CM的值最小【解答】（1）解：∵△AEB是等边三角形.∴EB＝AB＝AE.∠EBA＝60°.∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝BC.∠ABC＝90°.∴EB＝CB.∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°+90°＝150°.∴∠BCE＝（180°﹣∠EBC）＝×（180°﹣150°）＝15°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠DBC＝45°.∵∠DMC是△BMC的外角.∴∠DMC＝∠DBC+∠BCE＝45°+15°＝60°；（2）证明：由旋转可知.BM＝BN.∠MBN＝60°.∵∠MBA＝45°.∴∠ABN＝∠MBN﹣∠MBA＝15°.∵∠ABE＝60°.∴∠NBE＝∠ABE﹣∠ABN＝45°.在△BMC和△BNE中..∴△BMC≌△BNE（SAS）.∴CM＝EN；（3）当M点位于BD.CE交点时.BM+2CM的值最小.理由如下：在△ADM和△CDM中..∴△ADM≌△CDM（SAS）.∴AM＝CM.将BM绕点B旋转60°.得到BN.∵∠EBN+∠NBA＝60°.∠NBA+∠ABM＝60°.∴∠EBN＝∠ABM.在△ENB和△AMB中..∴△ENB≌△AMB（SAS）.∴AM＝EN.∵BM＝BN.∠NBM＝60°.∴△BMN是等边三角形.∴BM＝NM.∴BM+2CM＝BM+AM+CM＝MN+EN+CM＝EN+MN+CM.即E.N.M.C四点共线时.有最小值．8．（2022•南昌模拟）已知正方形ABCD与正方形AEFG.正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图1.连接BG、CF.①求的值；②求∠BHC的度数．（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时.连接CF、BE.分别取CF、BE的中点M、N.连接MN.猜想MN与BE的数量关系与位置关系.并说明理由．【答案】（1）①＝②45°（2）BE＝2MN.MN⊥BE【解答】解：（1）①如图1.连接AF.AC.∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形.∴AC＝AB.AF＝AG.∠CAB＝∠GAF＝45°.∠BAD＝90°.∴∠CAF＝∠BAG..∴△CAF∽△BAG.∴＝；②∵AC是正方形BCD的对角线.∴∠ABC＝90°.∠ACB＝45°.在△BCH中.∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ACF）＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ABG）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（2）BE＝2MN.MN⊥BE.理由如下：如图2.连接ME.过点C作CQ∥EF.交直线ME于Q.连接BH.设CF与AD 交点为P.CF与AG交点为R.∵CQ∥EF.∴∠FCQ＝∠CFE.∵点M是CF的中点.∴CM＝MF.又∵∠CMQ＝∠FME.∴△CMQ≌△FME（ASA）.∴CQ＝EF.ME＝QM.∴AE＝CQ.∵CQ∥EF.AG∥EF.∴CQ∥AG.∴∠QCF＝∠CRA.∵AD∥BC.∴∠BCF＝∠APR.∴∠BCQ＝∠BCF+∠QCF＝∠APR+∠ARC.∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°.∠BAE+∠DAG＝180°.∴∠BAE＝∠BCQ.又∵BC＝AB.CQ＝AE.∴△BCQ≌△BAE（SAS）.∴BQ＝BE.∠CBQ＝∠ABE.∴∠QBE＝∠CBA＝90°.∵MQ＝ME.点N是BE中点.∴BQ＝2MN.MN∥BQ.∴BE＝2MN.MN⊥BE．。
中考数学专题复习《正方形中的常考题型》知识点梳理及典例讲解课件
上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为（ C ）
典例1图
A. 15
B. 4
C. 17
D. 3 2
典例2 如图，E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为
边向左侧作正方形AEFG，P为AD的中点，连接PG，在点E运动的过程
中，PG长的最小值是（ C ）
典例2图
A. 2
∠EOF＝90°，
∴ ∠COCOE≌△DOF.∴ CE＝DF.
典例8图
类型4 半角模型
模型解读：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，延长CB到点G，使
BG＝DF，连接EF，AG，则△AEF≌△AEG，EF＝EG＝BE＋DF.
典例9 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝
B. 2
C. 2 2
D. 4 2
典例3 （2023·池州东至一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q
分别为边BC，AB上的动点，且AQ＝BP，AP与DQ交于点E，则线段BE
长的最小值为
3 －3 .
典例3图
类型2 十字模型
模型解读：如图①，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点.若
AE⊥BF，则AE＝BF.如图②，E，F，G，H分别是正方形ABCD的边
AB，BC，CD，AD上的点.若EG⊥FH，则EG＝FH.
典例4 如图，在正方形ABCD中，AE＝BF，则下列结论中，一定成立的
是（ D ）
A. ∠BEC＝60°
B. ∠CFD＝60°
C. AB＝2AE
D. CE⊥DF
典例4图
90°，∠EPF的两边分别交直线AB，BC于点E，F.
（1） 当点E，F分别在边AB，BC上时，如图①，求证： 2（AE＋CF）
正方形定理常考题、易错题、压轴题集锦
正方形定理常考题、易错题、压轴题集锦
正方形定理是数学中一个非常重要的定理，它广泛应用于几何学和代数学中的许多问题。
在考试中，往往会出现与正方形定理相关的题目。
下面是一些常考题、易错题和压轴题的集锦，供您复和参考。
常考题：
1. 已知一个正方形的边长为a，求其面积。
2. 若正方形的对角线长为d，求其边长a。
3. 若一个正方形的面积为A，求其边长a。
易错题：
1. 一个正方形的周长为b，求其面积。
2. 若一个正方形的面积增加到原来的n倍，求其边长的增加倍数。
3. 一个正方形的面积是另一个正方形面积的k倍，求它们边长的比值。
压轴题：
1. 一个正方形与一个等边三角形的面积相等，求三角形的边长。
2. 一个正方形和一个圆的面积相等，求圆的半径。
3. 若正方形的面积与边长相等，求正方形的对角线长。
以上题目涉及正方形的面积、边长、对角线等相关知识点，解
题需要运用正方形定理及相关几何运算。
希望能够帮助您在考试中
更好地应对这些题目。
祝您取得好成绩！
注意：本文档中所有内容均为参考资料，如有需要，请在考试
前确保准确性。
正方形几何综合专题---40道题目(含问题详解)
01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)假如正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝6 6，∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．如下结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A B CD FE G 10题图考点：翻折变换〔折叠问题〕；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比拟即可．解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ； ②正确．因为：EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，如此CG =6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得〔6﹣x 〕2+42=〔x +2〕2，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ， ∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ， ∴FH GC =EF EG， EF =DE =2，GF =3，∴EG =5， ∴FH GC =EF EG =25， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =12×3×4﹣12×4×〔25×3〕=185≠3． 应当选C ．点评：此题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．A B C D F EG 10题03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，〔1〕求证：△BEC≌△DEC：〔2〕延长BE交AD于点F，假如∠DEB=140°．求∠AFE的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形角和定理；全等三角形的判定与性质。
(名师整理)最新人教版数学中考《正方形》专题精练(含答案解析)
正方形一选择题：1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为（）A.45°B.55°C.60°D.75°2.如图,四边形ABCD,AEFG都是正方形,点E，G分别在AB,AD上,连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4,AE=1,则BH的长为( )A.1B.2C.3D.33.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD 并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A. B.2 C.2 D.14.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．3 C．D．5.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A.2B.3C.D.1+6.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A. B. C. D.7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A. B.2 C.2D.8.如图,正方形的边长为4，动点在正方形的边上沿运动，运动到点停止，设，的面积，则关于的函数图象大致为9.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18D．1911.如图,正方形ABCD边长为2,点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合）,,过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（）A．与m、n的大小都有关 B．与m、n的大小都无关C．只与m的大小有 D．只与n的大小有关13.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF值为（）A． B．4 C．D．214.如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：（1）∠E=22.50.(2) ∠AFC=112.50.(3) ∠ACE=1350. （4）AC=CE. (5) AD∶CE=1∶.其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个15.如图，E为正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为一边作正方形AEFD，对角线AF交边CD于H，连EH．①BE+DH=EH；②EF平分∠HEC；③若E为BC的中点，则H为CD的中点；④．其中正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③ D.①②③④16.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N从A点出发沿折线AD→DC→CB以每秒３cm的速度运动，到达B时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm），运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）17.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得正方形，交CD 于点E，AB=,则四边形的内切圆半径为( )A．B．C．D．18.如图所示，正方形顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为S，则S关于t函数图象大致是（）19.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF 中点，那么CH长是（）A．2.5 B．C．D．2 20.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，.下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④.其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④D．②③④二填空题:21.如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．22.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC 对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．23.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．24.在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），点D在反比例函数y=（k＜0）图象上，将正方形沿x 轴正方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则m的值是．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．26.如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=4，BM=2，则MN的长为．27.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD 于点E，若M是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）．28.如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为cm．29.如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：①∠1=∠2=22.5°；②点C到EF的距离是；③△ECF的周长为2；④BE+DF ＞EF．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）30.如图，四边形是正方形，是等边三角形，EC=，则正方形ABCD的面积为.三简答题：31.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.32.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．33.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．34.正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE．（1）求证：AE=CE．（2）求证：△CAN为直角三角形．（3）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．35.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？36.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．37.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．38.感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF 的面积之和为．39.如图所示，四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，D在BC边上，连接CF．（1）求证：BC⊥CF；（2）若△ABC的面积为16，BD：DC=1：3，求正方形ADEF的面积；（3）当（2）的条件下，连接AE交DC于G，求的值．40.问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD 边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF 交EG于点P.独立思考：（1）AE=_______cm，△FDM的周长为_____cm;（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论.②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）.参考答案1、C2、C3、B4、A5、A6、A．7、B8、A9、A 10、B 11、B 12、D 13、A；14、A. 15、A 16、B 17、B 18、C 19、B 20、A 21、5 22、 23、8 ． 24、125、7． 26、 27、 28、π29、①②③ 30、831、（1）略；（2）AE⊥CG；32、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．33、【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴CE=2，∴OE=2．34、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；（2）证明：∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN为直角三角形；（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2，∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．35、【解答】解：（1）OE=OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．∴OE=OF．四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．36、略；37、【解答】解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=（∠AOC﹣∠MON）=（90°﹣45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°﹣22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．38、【解答】拓展：证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）．应用：解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．39、【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AD=AF=EF=DE，AB=AC，∠DAF=∠BAC=∠DEF=∠ADE=90°，∠B=∠ACB=45°，AD∥EF．∴∠DAF﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC，∴∠DAB=∠FAC．在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠B=∠ACF，BD=CF，∴∠ACF=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF=90°．∴BC⊥CF；（2）设AB=BC=x，由题意，得=16，∴x=4．∴BC=8．∵BD：DC=1：3，∴BD=8×=2，CD=8﹣2=6．作DH⊥AB于点H，∴∠DHB=∠DHA=90°，∴∠BDH=45°，∴∠B=∠BDH，∴BH=DH．设BH=DH=a，由勾股定理，得a=，∴AH=4﹣=3．在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2=20．∴AD=2．∵S正方形ADEF=AD2，∴正方形ADEF的面积为20；（3）设EF交BC于点M，设CM=x，则DM=6﹣x．∵BD=CF，∴CF=2．在Rt△CMF中，由勾股定理，得FM=．∵∠DEF=∠FCM=90°，∠DME=∠FMC，∴△FCM∽△DEF，∴，∴，∴，解得：x1=1，x2=﹣4（舍去）∴CM=1，FM=，∴ME=．DM=5∵AD∥EF．∴△AGD∽△EGM，∴，∴=2，∴DG=2GM，设GM=b，DG=2b，∴b+2b=5，∴b=，∴GC=，∴DG=6﹣=．∴=．答：的值为．40、（1）3， 16(2)EG⊥BF, EG=BF则∠EGH+∠GEB=90°由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称∴∠FBE=∠EGH∵ABCD是正方形∴AB=BC ∠C=∠ABC=90°四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB∴△AFB全等△HEG∴BF=EG(3)①△FDM的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴设AF为x，FD=8-x∴∴FMD的周长=∴△FMD的周长不变②（2）中结论成立。
中考数学总复习《正方形》专项测试卷带答案
中考数学总复习《正方形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对边相等B.对角线相等C.对角相等D.对角线互相平分2.如图,正方形ABCD中,点F为AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE,若∠BCF=20°,则∠AEF的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2024·邯郸模拟)如图,在正方形木框ABCD中,AB=10 cm,将其变形,使∠A=60°,则点D,B间的距离为( )A.10√2cmB.10√3cmC.10 cmD.20 cm4.如图,点E是正方形对角线AC上一点,过E作EF∥AD交CD于点F,连接BE,若BE=7,DF=6,则AC的长为( )A.9√2B.6√2+√22C.6√2+2√6D.6√2+√265.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是.6.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形,做成班刊刊头(如图所示).若菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则这张菱形纸片的边长为cm.7.如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为.8.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且BE∥DF.求证:△ABE≌△CDF.【B层·能力提升】9.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为.10.(1)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的点,BE=CF,AF,DE 交于点G,求证:AF⊥DE且AF=DE;(2)如图②,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,且BE=CF,(1)中结论是否也成立?如果成立,请写出证明;如果不成立,请写出理由;【C层·素养挑战】11.如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=5.2(1)△ADE的面积为;(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,则AG的长为√13.12.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.(1)若正方形ABCD的边长为2,E是AD的中点.①如图1,当∠FEC=90°时,求证:△AEF∽△DCE;时,求AF的长;②如图2,当tan∠FCE=23时,求证:AE=AF.(2)如图3,延长CF,DA交于点G,当GE=DE,sin ∠FCE=13参考答案【A层·基础过关】1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)A.对边相等B.对角线相等C.对角相等D.对角线互相平分2.如图,正方形ABCD中,点F为AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE,若∠BCF=20°,则∠AEF的度数为(D)A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2024·邯郸模拟)如图,在正方形木框ABCD中,AB=10 cm,将其变形,使∠A=60°,则点D,B间的距离为(C)A.10√2cmB.10√3cmC.10 cmD.20 cm4.如图,点E是正方形对角线AC上一点,过E作EF∥AD交CD于点F,连接BE,若BE=7,DF=6,则AC的长为(D)A.9√2B.6√2+√22C.6√2+2√6D.6√2+√265.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是45°.6.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形,做成班刊刊头(如图所示).若菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则这张菱形纸片的边长为13cm.7.如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为2.8.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且BE∥DF.求证:△ABE≌△CDF.【证明】∵四边形ABCD是正方形∴AB=CD,AD∥BC∵BE∥DF∴四边形BEDF是平行四边形∴BE=DF在Rt△ABE和Rt△CDF中{AB=CDBE=DF∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).【B层·能力提升】9.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为2dm2.10.(1)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的点,BE=CF,AF,DE 交于点G,求证:AF⊥DE且AF=DE;【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°.∵BC=DC,BE=CF,∴CE=DF∴△ADF≌△DCE(SAS).∴AF=DE,∠FAD=∠EDC∵∠ADC=90°∴∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠FAD=90°∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.(2)如图②,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,且BE=CF,(1)中结论是否也成立?如果成立,请写出证明;如果不成立,请写出理由;【解析】(2)(1)中结论仍然成立,证明如下:∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°.∵BC=DC,BE=CF∴CE=DF∴△ADF≌△DCE(SAS).∴AF=DE,∠FAD=∠EDC.∵∠ADC=90°,∴∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠FAD=90°.∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.【C层·素养挑战】.11.如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=52(1)△ADE的面积为3;(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,则AG的长为√13.12.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.(1)若正方形ABCD的边长为2,E是AD的中点.①如图1,当∠FEC=90°时,求证:△AEF∽△DCE;②如图2,当tan∠FCE=23时,求AF的长;【解析】(1)①∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠D=90°∵∠CEF=90°∴∠AEF+∠CED=90°,∠ECD+∠CED=90°∴∠AEF=∠ECD,∴△AEF∽△DCE;②如图2中,延长DA交CF的延长线于点G,过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H.∵∠H=∠D=90°,∠GEH=∠CED∴△GEH∽△CED∴GHCD =EH DE∵CD=2,AE=ED=1,∴GH=2HE设EH=m,GH=2m.∵CE=√DE2+CD2=√12+22=√5∴CH =m +√5 ∵tan ∠ECF =GH CH =23,∴m+√5=23∴m =√52,∴EH =√52,GH =√5∴EG =√GH 2+EH 2=√(√5)2+(√52)2=52∴AG =EG -AE =52-1=32DG =EG +DE =52+1=72∵AF ∥CD ,∴AF CD =AGGD∴AF 2=3272,∴AF =67; (2)如图3,延长CF ,DA 交于点G ,当GE =DE ,sin ∠FCE =13时,求证:AE =AF .【解析】(2)如图3中,过点G 作GH ⊥CE 交CE 的延长线于点H.设AD =CD =a ,GE =DE =t ,EH =x ,GH =y ,CE =n ∵∠H =∠D =90°,∠GEH =∠CED ∴△GEH ∽△CED ,∴GH CD =EH ED =EG EC∴y a =x t =tn,∴x =t 2n,y =atn在Rt △CGH 中,sin ∠ECF =13=GH CG∴CG =3GH ,CH =2√2GH ∴y x+n =2√2,∴2√2y =x +n ,∴2√2×at n=t 2n+n ,∴2√2at =t 2+n 2在Rt △CDE 中,n 2=t 2+a 2第 11 页 共 11 页 ∴2√2at =2t 2+a 2,∴a =√2t ∵AF ∥CD ,∴AF CD =AG DG ,∴AF a =2t -a 2t ∴AF =a (2t -a )2t =a -a 22t =a -t ∵AE =a -t ,∴AE =AF .。
2019年中考数学专题复习27——正方形(含答案解析)
2019年中考数学专题复习27——正方形（含答案解析）一、选择题1. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，若点的坐标为，则点的坐标为2. 若正方形的周长为A. B. C. D.3.C. D.4. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么A. B. C. D.5. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则A. B. C. D.6. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则A. B. C. D.7. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接．过点作，交于点，若，则A. B. C. D.8. 如图，正方形的边长为，在的延长线上，四边形也为正方形，则A. B. C. D.9. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使A. B. C. D.10. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是正方形的中心，则这A. B. C. D.二、填空题11. 如图，已知，相邻两条平行线间的距离都相等，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，与交于点，则与正方形的面积之比为．12. 如图，在正方形中，为对角线，点在边上，于点，连接，，的周长为，则的长为．13. 如图，边长为的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交，于，，则阴影部分的面积是．14. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则点的旋转路径长为（结果保留）．15. 如图，是正方形的一条对称轴，点是直线上的一个动点，当最小时，16. 处，沿角画线，将正方形纸片分成部分，则中间一块阴影部分的面积为．17. 如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点是的中点，连接．过点作，垂足是，连接，则的长为．18. 正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，，和点，，，，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是．19. 如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在对角线上，且四边形和均为正方形，则的值等于．20. 如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，与相交于点，延长交于点．若正方形边长为，则．三、解答题21. 如图5，正方形的边长为，是对角线，平分，．（1）求证：．（2）求的长．22. 如图，正方形中，点在对角线上，连接、．（1）求证：；（2）延长交于点，若，求的度数．23. 如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在和上．（1）求证：；（2）若等边三角形的边长为，求正方形的周长．24. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由；25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．26. 已知：如图，平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：；（2）连接，，当时，四边形是正方形?请说明理由．27. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接．（1）观察猜想如图1，当点在线段上时，①与的位置关系为：．②，，之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接．若已知，，请求出的长．28. 如图，已知是的角平分线，交与点，交与点．（1）求证：四边形是菱形；（2）当满足什么条件时，四边形是正方形?并说明理由．29. 如图，在中，，是边上一点，，，垂足分别是，，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形．30. 在正方形中，对角线，交于点，点在线段上（不含点），，交于点，过点作，垂足为，交于点．（1）当点与点重合时（如图）．求证：；（2）结合图，通过观察、测量、猜想：，并证明你的猜想；（3）把正方形改为菱形，其他条件不变（如图），若，，直接写出的值．答案第一部分1. C 【解析】如图，过点作于点．是正方形，易证，，，所以．2. C3. A ，边长为，面积为．4. A 【解析】提示：连接，，延长交于点．易证，，，．，．5. C【解析】，的角度可求，为的外角．6. C 【解析】连接交于．四边形为正方形，，，．又，，．．7. C 【解析】．8. D 【解析】设正方形的边长为，则9. A 【解析】点关于的对称点为，连接于交于一点，即为满足条件的点，此时则．由正方形的面积为，可求出．10. B，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．第二部分11.12.【解析】设，根据正方形的性质及题意知，由的周长为，得，根据勾股定理得，解得．13.14.15.【解析】连接，交于点，此时最小，．16.【解析】延长小正方形的一边，与大正方形的一边交于点，连接，为直角边长为的等腰直角三角形，，阴影正方形的边长，阴影正方形的面积为：．17.【解析】在上截取，连接．四边形是正方形，，，．中，，．．在与中，．，．．在中，，，．．根据射影定理得：，则．解得：．．，．．在等腰直角中，，．18.【解析】点，且四边形，，为正方形，，，．．的坐标是．【解析】连接，四边形和四边形是正方形，．由旋转的性质得：，，．在和中，．，，，，．在中，，，．第三部分21. （1）证明：，；平分故又在中，故则（2）正方形的边长为对角线由（1）得，22. （1）正方形中，为对角线上一点，，．，（）．（2）由全等可知，．在中，，在正方形中，，有．23. （1）四边形是正方形，，．是等边三角形，，，．，．（2）在中，．设正方形的边长为，则，解得．正方形的周长．24. （1）四边形，四边形都是正方形，，，．．在和中．．（2）．，．，，，．25. （1）四边形是平行四边形，．是等边三角形，，即，四边形是菱形．（2）是等边三角形，．，．，，．四边形是菱形，，四边形是正方形．26. （1）四边形是平行四边形，．，．又，．（2）当时，四边形是正方形．，．又，四边形是平行四边形．，，．四边形是平行四边形，，．．平行四边形是菱形．，，．菱形是正方形．27. （1）①垂直．正方形中，，，.在与中..，即．②．，.，．（2）①成立②不成立．正方形中，，，.在与中，.， .，，..，即 .，．（3）过作于，过作于，于 .，，...由（2）证得，，四边形是正方形，， .，，，四边形是矩形.， .，..在与中，.， .， .，.是等腰直角三角形...．28. （1），，，．四边形是平行四边形．．又是的角平分线，．．四边形是菱形．（2）由（1）知，四边形是菱形．当四边形是正方形时，，即，的时，四边形是正方形．29. （1），，，，，，，，，，垂足分别是，，，在和中，．（2），，，，是边上的高，，，，，，，，四边形是矩形，，矩形是正方形．30. （1）四边形是正方形，与重合，，．，，，．．．（2如图，过作交于，交于．，．，．．，，．（）．．，，．，．又，（）．，即．，即．（3）．【解析】如图，过作交于，交于．，，．由（2）同理可得：，．，．．、为菱形对角线，，，．．．．．。
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。
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中考数学复习《正方形》必做经典解答题型20题汇编
1. 已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．
2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，
EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
3．（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB=3，EC=5，求EM的长．
4.（2019•黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF DG=FG．
5.如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：
(1)BE＝BF；
(2)OF＝1
2CE.
6.（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC 上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE=OF．
7.在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
8.（2019•内江）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD 延长线上的一点，且BE=DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE=5，请求出EF的长．
9.如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
10．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F．
求证：CE=CF．
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
12．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE=AF．
13．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证：
(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
14.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA=PF．
15.（2019•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD 上，且AF=CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB=4，AF=1，求四边形BEDF的面积．
16.已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
17.如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平
分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为正方形，△ABC应该满足条件：
______________________(直接添加条件，无需证明)．
18．P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．
19.（2019•天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE=CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
20.（2019•甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，证明：AB=FB．。