高中数学新学案同步必修2苏教版第一章立体几何初步 1.3.1

2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2

第1课时直线与平面垂直

1．理解线线垂直、线面垂直的概念． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．

3．能应用性质定理证明空间位置关系．

1．直线与直线的垂直

两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

2．直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)

(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．

3．直线与平面垂直的性质

(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．

垂直于同一条直线的两个平面平行．

1．下列命题正确的是( )

A．垂直于同一条直线的两直线平行

B．垂直于同一条直线的两直线垂直

C．垂直于同一个平面的两直线平行

D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行

解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．

2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：

如图取BD的中点E，

连接AE，EC．

因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．

又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．

高中数学新学案同步必修2苏教版第一章立体几何初步滚动训练一

滚动训练一(1.2.1～1.2.4)

一、填空题1．下列命题错误的是________．(填序号)

①两两相交的三条直线可确定一个平面；

②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行；

③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行；

④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线．

考点异面直线的判定

题点异面直线的判定

答案①②④

解析对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；对于②，两个

平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；对于③，过平面

外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；对于④，和两条异

面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故④错误．

2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为

真命题的是________．

①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平

面．

考点线、面平行、垂直的综合应用

题点平行与垂直的判定

答案②③

解析对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三

条棱：

对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质

定理可知正确；

对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线

的两个平面平行可知正确；

对于④，X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．

3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是

________．(填序号)①若m⊂α，α⊥β，则m⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；

④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

考点线、面平行、垂直的综合应用

题点平行与垂直的判定

答案④

解析由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在①中，若m⊂α，α⊥β，

2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示学案含解

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

新课程标准

学业水平要求

1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示．

2．掌握空间向量的数量积的坐标表示． 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)

2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)

3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)

必备知识·自主学习

导思 1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？

2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？

1.空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，

λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．

2．空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)；

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝aa＝a+aa ；

cos 〈a，b〉＝a·b|a||b| ＝112233222222123123abababaaabbb＋＋＋＋＋＋.

若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有a1b1

＝a2b2 ＝a3b3 成立吗？

提示：不一定，只有当b1，b2，b3均不为0时，a1b1 ＝a2b2 ＝a3b3 成立．

3．空间两点间的距离

在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则12PP＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；

P1P2＝|12PP |＝222212121(xx)(yy)(zz)．

高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案

数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B版必修2）

第一章《立体几何初步》单元小结导航

知识链接

点击考点

（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

名师导航

1.学习方法指导

（1）空间几何体

①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由1()2Scch正棱台侧和()3hVssss正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。

（2）点，线，面之间的位置关系

①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行直线与平面平行

平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直

平面与平面垂直。

2.思想方法小结

在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。

高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2

- 1 - 1.2.2 空间两条直线的位置关系

学

习目标核心素养

1．会判断空间中直线与直线的位置关系．(重点)

2．能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题．(难点)

3．了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角．(难点) 通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

1．空间两直线的位置关系

2．公理4及等角定理

(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示： a∥bb∥c⇒a∥c.

(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

3．异面直线的判定及其所成的角

(1)异面直线的判定定理

定理文字语言符号表示图形语言

异面直

线的判

定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若lα，Aα，B∈α，Bl，则直线l与AB是异面直线

思考：不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？

提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．

(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有aα，bβ，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．

(2)异面直线所成的角

①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．

②异面直线所成的角θ的取值范围：0°

1.思考辨析

(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c. ( )

(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．

( )

(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交． ( )

(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

苏教版必修二：第一章立体几何初步 1.1.4

1.1.4 直观图画法

学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

知识点斜二测画法

思考1 边长为2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

★★答案★★ A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，

A′D′＝12AD.

思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

★★答案★★ 没有都画成正方形.

梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(2)立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.

类型一平面图形的直观图

例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.

解 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示.

(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连结B′C′，如图②.

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.

引申探究

若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

解画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画出对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

连结B′C′，D′A′，如图②所示.

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1 第一章立体几何初步

特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线）

chS直棱柱侧面积

'21chS正棱锥侧面积

')(2121hccS正棱台侧面积

rhS2圆柱侧 lrrS2圆柱表

rlS圆锥侧面积 lrrS圆锥表

lRrS)(圆台侧面积 22RRlrlrS圆台表

柱体、锥体、台体的体积公式

VSh柱

13VSh锥

''1()3VSSSSh台

2VShrh圆柱

hrV231圆锥

''2211()()33VSSSShrrRRh圆台

（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R ； S球面=24R

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1 平面含义：平面是无限延展的

2 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表示为

A∈L

B∈L => l

A∈α

B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

L A

· α

C · B · A

· α

P

· α L β

2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1

空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2020高中数学第1章立体几何初步单元测试苏教版必修2

1 第1章立体几何初步

(时间：120分钟，满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)

1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．

①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．

解析：①错误，异面直线也可能垂直．

②错误，应有无数条．

③错误，可能平行，相交或异面．

④正确．

答案：1

2．给出下列命题，其中正确的命题的序号是________．

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；

②直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；

③a、b是异面直线，则存在惟一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．

解析：①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；②错误，直线n可能在平面α内；③正确，如图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是惟一确定的．

答案：③

3．P为△ABC所在平面外一点，AC＝2a，连结PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________．

解析：如图所示，由题意知，

PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，

取AC中点D，连结PD、BD，

则PD⊥AC，BD⊥AC，则∠BDP为二面角P-AC-B的平面角，

又∵AC＝2a，∴PD＝BD＝22a，

在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2，

∴∠PDB＝90°.

答案：垂直

4．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．

高中数学必修2全册课时同步练习题及答案

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第一章空间几何体

§1.1 空间几何体的结构

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．

4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．

5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．

(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．

一、选择题

1．棱台不具备的性质是( )

A．两底面相似 B．侧面都是梯形

C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点

2．下列命题中正确的是( )

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台

3．下列说法正确的是( )

A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体

高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.1