高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2
第1课时 直线与平面垂直
1．理解线线垂直、线面垂直的概念． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．
3．能应用性质定理证明空间位置关系．
1．直线与直线的垂直
两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)
(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．
3．直线与平面垂直的性质
(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．
垂直于同一条直线的两个平面平行．
1．下列命题正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．垂直于同一条直线的两直线垂直
C．垂直于同一个平面的两直线平行
D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．
2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD． 证明：
如图取BD的中点E，
连接AE，EC．
因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．
又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.1.1
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.
知识点一 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
★★答案★★ (1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形.
梳理 棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：平移起止位置的两个面，侧面：多边形的边平移所形成的面，
侧棱：相邻侧面的公共边，
顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
知识点二 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
★★答案★★ (1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
梳理 棱锥的结构特征
名称
定义 图形及表示 相关概念 分类
棱
锥 当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面，
侧面：有公共顶点的各个三角形面，
侧棱：相邻侧面的公共边，
顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……
知识点三 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
★★答案★★ (1)区别：有两个面相互平行.
(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.
梳理 棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱
台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台
如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面，
近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1平面的基本性质及推论习题苏教版必修2(
2018高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题 苏教版必修2
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2018高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题 苏教版必修2
2 / 42 平面的基本性质及推论
（答题时间:40分钟）
＊1。 （福州检测）下列说法正确的是________。
①三点可以确定一个平面
②一条直线和一个点可以确定一个平面
③四边形是平面图形
④两条相交直线可以确定一个平面
*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.
＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。
(2)共点的三条直线可以确定________个平面.
＊4。（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号）
①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点
＊＊5。（梅州检测)如图所示的正方体中，P、Q、M、N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。（把正确图形的序号都填上）
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 滚动训练一
滚动训练一(1.2.1～1.2.4)
一、填空题1．下列命题错误的是________．(填序号)
①两两相交的三条直线可确定一个平面；
②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行；
③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行；
④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线．
考点异面直线的判定
题点异面直线的判定
答案①②④
解析对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；对于②，两个
平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；对于③，过平面
外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；对于④，和两条异
面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故④错误．
2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为
真命题的是________．
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平
面．
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
答案②③
解析对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三
条棱：
对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质
定理可知正确；
对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线
的两个平面平行可知正确；
对于④，X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．
3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是
________．(填序号)①若m⊂α，α⊥β，则m⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
答案④
解析由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在①中，若m⊂α，α⊥β，
高中数学 第1章 立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案 苏教版必修2
- 1 - 高中数学 第1章 立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案 苏教版必修2
【课时目标】 1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
1．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
位置
关系 直线a在
平面α内 直线a与
平面α相交 直线a与
平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个
公共点 没有公共点
符号
表示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形
表示
我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为__________________，记作________．
2．直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．
用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．
一、填空题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b⊂α，则a∥b．
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
- 1 - 1.2.2 空间两条直线的位置关系
学
习 目 标 核 心 素 养
1．会判断空间中直线与直线的位置关系．(重点)
2．能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题．(难点)
3．了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角．(难点) 通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1．空间两直线的位置关系
2．公理4及等角定理
(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表示： a∥bb∥c⇒a∥c.
(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
3．异面直线的判定及其所成的角
(1)异面直线的判定定理
定理 文字语言 符号表示 图形语言
异面直
线的判
定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若lα，Aα，B∈α，Bl，则直线l与AB是异面直线
思考：不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？
提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有aα，bβ，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
(2)异面直线所成的角
①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．
②异面直线所成的角θ的取值范围：0°
1.思考辨析
(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c. ( )
(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．
( )
(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交． ( )
(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
金版学案高中数学第1章立体几何初步章末知识整合苏教版必修2
1 金版学案高中数学第1章立体几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、函数与方程思想
函数与方程思想是一种重要的数学思想．在立体几何中，若一个量未知求另一个量的最值时，可利用函数思想去解决．
[例1] 如图所示，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，AA1＝AC＝CB＝2.
(1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
(2)设E，F分别为AC，BC上的动点，且CE＝BF＝x(0
(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，
又BC∩BB1＝B，所以AC⊥平面B1BCC1，
而AC⊂平面A1ACC1，
所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1. (2)解：因为CE＝BF＝x，所以CF＝2－x.
VC-EC1F＝VC1-ECF＝13S△ECF·CC1＝13·12x·(2－x)·2＝13(2x－x2)＝13[－(x－1)2＋1]，
又0
规律总结
将几何中的最值问题转化为二次函数是立体几何与代数相结合的典范，应体会此方法思想的应用技巧．
[变式训练]
1．圆锥的底面半径为2 cm，高为4 cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值．
解：如图所示，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r，母线长为l，S圆柱侧＝2π·lr. 2
因为r2＝4－l4，所以l＝4－2r.
所以S圆柱侧＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)
＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.
所以当r＝1时，圆柱的侧面积最大且Smax＝4π cm2.
二、转化与化归思想的应用
转化与化归就是处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决的问题，最终使问题得到解答的一种数学思想．转化与化归思想是立体几何中重要且常用的数学思想．
[例2] 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.3 第5课时
第5课时 线面垂直的综合应用
学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．
知识点一 直线与平面所成的角
思考 直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？
★★答案★★ 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．
直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．
梳理
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线PA
斜足 斜线与平面的交点，图中点A
射影 过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA就是斜线段PA在平面α内的射影
直线与平面
所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠PAO，
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
知识点二 两种距离
1．点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．
2．直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．
类型一 与线面角有关的问题
例1 已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上．
证明 如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.
PE⊥AB，PF⊥AC∠PAE＝∠PAFPA＝PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.
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第一章 立体几何初步
一、知识结构
二、重点难点
重点:空间直线,平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义,判定和性质。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言,图形语言和符号语言的转化。平行,垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】
知识网络
学习要求
1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法
4.了解多面体的概念和分类.
【课堂互动】
自学评价
棱柱的定义:
表示法:
思考:棱柱的特点:. 【答】
棱锥的定义:
表示法:
思考:棱锥的特点:.
【答】
3.棱台的定义:
表示法:
思考:棱台的特点:.
【答】
4.多面体的定义:
5.多面体的分类:
?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】 例1:设有三个命题:
甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;
丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。
以上各命题中,真命题的个数是 (A)
A.0 B. 1 C. 2 D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法:
?画上四棱柱的底面----画一个四边形;
?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;
?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点
互助参考7页例1
?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去. 互助参考7页例1
高中数学苏教版必修2讲义：第一章 1.3 空间几何体的表面积和体积
第1课时
空间几何体的表面积
(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．
(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．
(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥．
(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.
观察下列多面体：
问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？
提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．
问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？
提示：若干个全等的等腰三角形．
问题3：正棱台的侧面展开图是什么？
提示：若干个全等的等腰梯形．
几个特殊的多面体的侧面积公式 (1)S直棱柱侧＝ch(h为直棱柱的高)；
(2)S正棱锥侧＝12ch′(h′为斜高)；
(3)S正棱台侧＝12(c＋c′)h′(h′为斜高).
观察下列旋转体：
问题1：圆柱的侧面展开图是什么？
提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．
问题2：圆锥的侧面展开图是什么？
提示：扇形．
问题3：圆台的侧面展开图是什么？
提示：扇环．
几种旋转体的侧面积公式
(1)S圆柱侧＝cl＝2πrl．
(2)S圆锥侧＝12cl＝πrl．
(3)S圆台侧＝12(c＋c′)h＝π(r＋r′)l．
1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．
2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开．
3．柱、锥、台的侧面积之间的关系
(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系：
S正棱柱侧――→h′＝hc′＝cS正棱台侧――→c′＝0S正棱锥侧.
(2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系：
S圆柱侧――→r1＝r2S圆台侧――→r1＝0S圆锥侧.
[例1]
正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．
[思路点拨] 由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
[精解详析] 如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4·12·BC·PE＝2BC2.