2020-2021学年上海市曹杨二中高二上学期期中考试数学试题 word版

上海市曹杨二中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
2020.11
一、填空题
1. 已知0120A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1201B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则2A B +=________.
2. 若{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则7a =________.
3. 设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若533a a =，则
6
4
S S =________. 4. 行列式1
01
2
1
313
1
---中元素3的代数余子式的值为________. 5. 已知0120A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，1801B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则AB =________. 6. 在无穷等比数列{}n a 中，若()121
lim 3
n n a a a →∞
+++=，则1a 的取值范围为_________.
7. 若数列{}n a 满足，111n
n n
a a a ++=
-，12a =，则数列{}n a 前2022项的积等于________. 8. 已知数列(){}
2log 1n a -为等差数列，且13a =，25a =，则21
32111
1
lim n n n a a a a a a →∞+⎛
⎫++
+
=
⎪---⎝⎭
________.
9. 已知数列{}n a 的通项公式是231n n a n +=+，若n N >时，恒有1
2100
n a -<成立，则正整数N 的最小值为_________.
10. 已知函数()1x
f x x
=+，在7行7列的矩阵1112
1317212223277172
73
77a a a a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
中，ij i a f j ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则这个矩阵中所有数之和为_________.
11. 等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈，且2
1526a a =，则使1212
11
1
n n
a a a a a a ++
+>
+++
成立的正整数n 的取值范围为_________.
12. 已知数列{}n a 满足：12a =，{}()*112,,
,n n n a a a a a n N +-∈∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
对所有满足条件的列数{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 二、选择题
13. 已知列数{}n a 为等比数列，则“公比1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ） A. 192里
B. 96里
C. 48里
D. 24里
15. 用数学归纳法证明不等式：
11
113
12
14
n n n n +++
>+++，从k 到1k +，不等式左边需要（ ） A. 增加一项
1
2(1)
k +
B. 增加两项
1
21k +、12(1)
k + C. 增加
12(1)k +，且减少一项1
1
k +
D. 增加
121k +、12(1)k +，且减少一项1
1
k + 16. 已知集合{}0,2M =，无穷数列{}n a 满足n a M ∈，设3
100
1223
100
3333a a a a t =++++
，则实数t 一定不属于（ ） A. [)0,1 B. (]0,1
C. 12,33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D. 12,33
⎛⎤ ⎥⎝⎦
三、解答题
17. 已知关于x 、y 的二元一次方程组()21
1
ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=+⎩.
（1）写出系数矩阵和增广矩阵； （2）讨论解的情况.
18. 如图，1P 是一块直径为2的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形3P ，4P ，…，n P ，…，记纸板n P 的面积和周长分别为n S 、n L ，求：
（1）lim n n S →∞
；
（2）lim n n L →∞
.
19. 我们要计算由抛物线2
y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积S ，可用x 轴上的分点0、1
n
、2n 、…、1
n n -、1将区间[]0,1成n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线2
y x =上，这么矩形的高分别为0、21n ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22n ⎛⎫ ⎪⎝⎭、…、2
1n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
、1，矩形的底边长都是1n ，设所有这些矩形面积的总和为n S ，就无限趋近于S ，即lim n n S S →∞
=.
（1）求数列n S 的通项公式，并求出已知S ； （可以利用公式2222(1)(21)
1236
n n n n +++++
+=
）
（2）利用上述方法，探求有函数x
y e =、x 轴、y 轴以及直线1x =和所围成的区域的面积T .（可以利用
公式：1lim 11n n n e →∞
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
）
20. 在列数{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成2m 为公差的等差数列. （1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设22
2
23
23n n
n S a a a =++
+，试问当n →∞时，数列{}2n S n -是否在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由. 21. 给正有理数
i i m n 、j j
m n （i j ≠，*,i j N ∈，*
,,,i i j j m n m n N ∈，且i j m m =和i j n n =不同时成立），按以下规则排列：①若i i j j m n m n +<+，，则i i m n 排在j j
m n 前面；②若i i j j m n m n
=++，且i j n n <，则i i m
n 排
在
j j
m n 的前面，按此规则排列得到数列{}n a （例如11，
21，12
）. （1）依次写出数列{}n a 的前8项；
（2）对数列{}n a 中小于1的各项，按以下规则排在前面：①各项不做约分运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{}n b ，求数列{}n b 的前10项的和10S ，前2021项的和2021S ；
（3）对数列{}n a 中所有整数项，由小到大取前2021个互不相等的整数项构成集合{}123
2021,,,A c c c c =，
A 的子集
B 满足：对任意的,x y B ∈，有x y B +∉，求集合B 中元素个数的最大值.
参考答案
一、填空题 1. 1441⎛⎫
⎪⎝⎭ 2.15 3. 9
2 4.
3 5. 01216⎛⎫
⎪⎝⎭
6. 1120,,333⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭ 7. -6 8. 1 9. 99 10. 49
2
11. {}1,2,3,4,5,6 12. 1078 二、选择题
13. D 14. B 15. D 16. C 三、解答题
17.（1）系数矩阵11a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，增广矩阵12111a a a a +⎛⎫
⎪+⎝⎭； （2）1a =±，无解；1a ≠±，有唯一解22211a x a -=-，221
1
a a y a --=-.
18.（1）
3
π
；（2）2π. 19.（1）2(1)(21)6n n n S n ++=，1
3
S =
；（2）1e -.
20.（1）证明略；（2）
2
2
1
2
2
n
n
n
a
n
n
⎧-
⎪⎪
=⎨
⎪
⎪⎩
为奇数
为偶数
；（3）存在，极限为
1
2
.
21.（1）1
1
，
2
1
，
1
2
，
3
1
，
2
2
，
1
3
，
4
1
，
3
2
；（2）
10
5
S=，
2021
3
1008
13
S=；（3）1011.。