2017-2018年上海市曹杨二中高二上期末
2018年上海市曹杨二中数学高二上期末
在等腰三角形 OAB 中，球心角 AOB = ，利用球面距离公式得出：球面距离为 ．
3
3
12. 设集合 M n = {n 位纯小数 0. a1a2 an | ai 0,1(i = 1, 2, n −1), an = 1} ，Tn 是 M n 中元素的个数，
Sn
是
M
n
中所有元素的和，则
lim
n→
Sn Tn
A. 258 cm2
【解析】 S = 1 + 1 + 1 = 1 − 1 = 2 2 3 3 4 9 10 2 10 5
10. 半径为 R 的两个球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线长为____________ 【解析】将球的相交情形，转化为球的两个大圆相交的情形，由题意易得交线为半径为 3 R 的圆周，其长
C. S10
D. S11
【解析】由 a3
=
3a8
得 a1
=
− 19 2
d
，
Sn
=
na1
+
n(n −1) 2
d
=
d 2
n(n
−
20)
，所以 S10
最大，故选：C
15. 将长度分别为 2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（所有木棒都要用到），组成长方体共顶点
的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）
2018 年曹杨二中高二上期末试卷
本卷解析：青浦新视角教育胡成老师
2018.1.17
一、填空题 1. 已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形，则该圆柱的体积为____________
【解析】由题意知，圆柱的高和底面圆的周长均为 2 ，则底面圆的半径为 1，故体积为 2 2 .
上海市曹杨二中2018-2019学年高二上学期数学期末试卷(含精品解析)
4，圆 的面积为 12 ，则圆 的面积为__________；
【答案】14
【解析】
【分析】
由圆 M 的面积可得圆 M 的半径，通过勾股定理，可得 O 到圆 M 的距离，由题意得
，可得
ON 长，即可求出圆 N 的半径，代入公式，可得结果。
【详解】 由题意知，圆 M 的面积为 ，所以圆 M 的半径为 ，
又因为球的半径为 4，所以球心 O 到圆 M 的距离=
，
所以
，
所以圆 N 的半径为
所以圆 N 的面积
，故答案为 。
【点睛】本题考查球内点、线、面的位置关系，难点在于找到 OM 与 ON 之间的关系，考查学生空间想象，
分析计算能力，属基础题
12.如图，棱长为 3 的正方体的顶点 在平面 上，三条棱
都在平面 的同侧，如顶点 到平面 的
试题分析：设两球半径分别为 ，由 考点：球的表面积，体积公式．
可得 ，所以
．即两球的表面积之比为 ．
3.若正方体
中，异面直线 和 所成角的大小为_____；
【答案】 【解析】
【分析】
根据题意，
，
所成的角。
，所以 平面 ，根据面面垂直的性质定理可得
，即可求 和
【详解】 如图，连接
，因为正方体
又正方形 ABCD，
距离分别为 ，则顶点 到平面 的距离为___________；
【答案】直角
【解析】
【分析】
根据斜二测画法，
，直接判断 的形状。
【详解】
如图所示
，且
，
，将
还原可得
，所以
，所以
为直角三角形。
【点睛】本题考查斜二测画法中直观图的还原，属基础题。
上海市曹杨第二中学2018-2019学年高二上期末数学复习试卷2(无答案)
曹杨二中2018-2019学年度第一学期高二年级期未数学复习试卷2一、填空题(本大题满分54分，本大题共有12题,第1题到第6题每题4分,第7题到第12题每题5分)1.若，，∥A c b b a =⋂则c a 、的位置关系是_______.2.已知圆锥的底面半径为3，体积为12π，则圆锥侧面积为________.3.已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图，△'''C B A 则'''C B A △的面积为_________.4.正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长AB=2，若直线C B 1与底面ABCD 所成角的大小为，2arctan 则四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为________. 5.正△ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.6.如果一个正三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为，π6那么它的侧面与底面所成角的大小为________. 7.已知非零向量b n 、及平面，α向量n 是平面α的一个法向量,则0=∙b n 是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足，，，000=∙=∙=∙则ΔBCD是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)。
9.设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.10.如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥ABC D -的体积是________.l1.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是__________.12.如图,由编号n ，，，⋯21(*N n ∈且3≥n )的圆柱自下而上组成,其中每一个圆柱的高与底面圆的直径相等,且对于任意两个相邻圆柱,上面圆锥的高是下面圆柱的一半,若编号1的圆柱高位4,则所有圆柱的侧面积之和S 为_________.二、选择题(本大题满分20分，本大题共有4题,每题5分)13.下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
上海市曹杨二中2018学年度第一学期高二年级期末考试物理(等级考)试卷
上海市曹杨二中2018学年度第一学期高二年级期末考试物理（等级考）试卷一、单选题1、下列说法正确的是（）A. 物体的温度升高，物体内所有分子热运动的速率都增大B. 物体的温度升高，物体内分子的平均动能增大C. 物体吸收热量，其内能一定增加D. 物体放出热量，其内能一定减少2、如图所示的情况中，a、b两点的电场强度和电势均相同的是（）A. 甲图：离点电荷等距的a、b两点B. 乙图：两个等量异种点电荷连线的中垂线上，与连线中点等距的a、b两点C. 丙图：两个等量同种点电荷连线上，与连线中点等距的a、b两点D. 丁图：带电平行金属板两板间分别靠近两板的a、b两点3、闭合电路中电源不变，调节外电阻，使电路总电流变大。
那么下列说法错误的是（）A. 路端电压变小B. 电源的总功率变大C. 电源输出功率变大D. 电源内部的发热功率变大。
4、关于电场强度和磁感应强度，下列说法错误的是（）A.电荷在某处不受电场力作用，则该处电场强度一定为零B.某点的电场强度的方向，与该检检验正电荷受到的电场力方向一致C.一小段通电导线在某处不受磁场力作用，则该处磁感应强度一定为零D.某点磁感应强度的方向，与该点一小段通电导线受到的磁场力方向不一致。
5、有两条长直导线垂直水平纸面放置，交纸面于a、b两点，通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，a、b的连线水平.c是ab的中点，d点与c点关于b点对称。
已知c点的磁感应强度B1，d点的磁感应强度为B2，则关于a处导线在d点的磁感应强度的大小及方向，下列说法正确的是（）A. B1/2+B2，方向竖直向上B. B1/2−B2，方向竖直向下C. B1+B2，方向竖直向下D. B1−B2，方向竖直向上6、质量为m的金属导体棒置于倾角为θ的导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数为μ，当导体棒通以垂直纸面向里的电流时，恰能在导轨上静止，如图所示的四个图中标出了四种可能的匀强磁场方向，其中棒与导轨间的摩擦力不可能为零的是（）7、如图所示,光滑的“π”形金属导体框竖直放置,质量为m的金属棒MN与框架接触良好。
2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(二)数学试题(解析版)
上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线 【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确； 命题B 显然正确； 若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。
2017-2018年上海市曹杨二中高二上12月月考
2017学年曹杨二中高二数学12月月考试卷满分100分，考试时间50分钟2017.12.13一、填空题（每小题4分，共40分）1、直线l 与平面a 相交于点A ，用集合符合表示 ；2、若直线a // b ，b//c ，则直线a 与直线。
的位置关系是 ；3、空间两直线所成的角大小的取值范围是 ；4、正方体1111ABCD A B C D -中，1AD 与平面ABCD 所成的角为 ；5、在ABC ∆中，已知AB ＝6,BC=8,AC =10,SB=5，且SB ⊥平面ABC ，则S 到AC 的距离是 ；6、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3=S 6，6=S 3，则lim n n S →∞= ；7、在ABC ∆中，∠ACB 二900，D 是BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，如果PB,PC 与平面ABC 所成的角分别是300,600，那么PD 与平面ABC 所成角的大小是 ；8、一条与平面相交的线段，其长度为I 0cm 。
，两端点到平面的距离分别是2cm 、3cm ，这题线段与平面a 所成的角是 ；9、已知正四棱锥P-ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的重担分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是 ；10、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2nn nS b n =⋅，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 ；11、在三棱锥D 一ABC 中，AB=DC=4,BC=AD=3,AD ⊥DC,AD ⊥BC,AB ⊥BC ，则异面直线AD 和BC 的距离为 ；12、平面a 过正四棱柱1111ABCD A B C D -的顶点A ，底面边长为3，侧棱长为4, a//平面CB 1D 1, a 平面ABCD ＝m ，a平面11ABB A ＝n,，则m,n 所成角的正弦值为 ；二、选择题（每题4分，共16分）13、若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b,b ⊥C,则直线a 与C ( ) A 、一定平行B 、一定相交C 、一定是异面直线。
上海市曹杨二中高二上数学期末试卷(精品解析)
2018-2019学年曹二高二上期末数学试卷2019.1一、填空题：1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位值关系是________； 答案：平行或异面2、若两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为____； 答案：493、若正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线AC 和'BD 所成角的大小为_____； 答案：2π 4、若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；答案：2π5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 答案：1636、若增广矩阵1111a a -⎛⎫⎪-⎝⎭对应的线性方程组为无穷多紹，则实数a 的值为________；答案：-17、有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，12为公比的等比数列，设它们的体积依次为12,,,n V V V ，则()12lim n n V V V →∞+++=__________；答案：878、已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）. 答案：直角9、在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________； 答案：3π10的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD ，其三组对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______；答案：211、已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心M 且与平面α呈45°二面角的平面β截该球面得圆N ，若球的半径为4，圆M 的面积为12π，则圆N 的面积为__________； 答案：14π 12、如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，如顶点,B C 到平面α的距离分别为D 到平面α的距离为___________；二、选择题13、“直线l 垂直于ABC ∆的边,AB AC ’’是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件答案：A14、如果三棱锥S ABC -的底面不是等比三角形，网组对棱互相垂直，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的（）A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心 答案：B15、底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A 、一点时增三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥 答案：D16、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱长一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为（）A. 0B.3C.4D.6 答案：B三、解答题：17、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求三棱锥1D A BE -的体积； （2）求异面直线BE 与1CC 所成角大小.解：（1）因为11D A BE B A DE V V --=，121224A DEa a Sa ==，并且1AB A DE ⊥平面， 所以11231133412D A BE A DE a a V a S a -=⋅==（2）因为11//CC DD ，所以异面直线BE 与1CC 所成角为直线BE 与直线1DD所成角，即BED ∠，因为2a BE =，BD ==，所以32a BE ==，所以12332aCOS BED a ∠==，所以 1arccos()3BED ∠=，所以异面直线BE 与1CC 所成角为1arccos()3.18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(一)数学试题(解析版)
上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习（一）数学试题一、单选题1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l P 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．已知正方体''''ABCD A B C D -记过点A 且与三直线AB AD 、 、'AA 所成的角都相等的直线的条数为m ,过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则（ ）A.11m n ==，B.41m n ==，C.34m n ==，D.44m n ==，【答案】D【解析】根据正方体的结构特征、空间中线线角、线面角定义,即可得到答案.【详解】作图如下:过点A 与三条直线'AB AD AA 、、所成角都相等的直线有：'AC ,过A 作'BD 的平行线,过A 作'A C 的平行线，过A 作'B D 的平行线,共4条,故4m =；过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线'AC ;第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条；故4n =.故选：D【点睛】本题考查空间直线与平面所成角和直线与直线所成角;结合正方体的结构特征,准确找出符合题意的线线角和线面角是求解本题的关键;注重考查学生的空间想象能力;本题属于抽象型、难度大型试题.3．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为1，过顶点A 作一平面α与侧面11BCC B 交于EF ，且EF ∥BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角的大小为06x x π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭＜，四边形BCEF 面积为y ，则函数()y f x =的图像大致是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】先作出平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角为x ，如图为GAH ∠,在直角三角形AGH 中用x ,及3AH =表示出GH ,再利用四边形BCEF 面积为y BC GH =⨯求出()f x ,根据解析式，作出简图，即可得到答案.【详解】作图如下：过A 作AM BC P ,,H G 分别是,BC EF 中点,则AH BC ⊥,所以AH AM ⊥,在等腰三角形AEF ∆中,AG EF ⊥，//EF BC Q ,AG AM ∴⊥,所以GAH ∠是平面α与底面ABC 所成角的平面角.GAH x ∴∠=,tan GH x AH =, 3tan GH x ∴=,所以四边形BCEF 面积为： ()y f x =BC GH =⨯23tan x =根据正切函数图象可知C 符合.故选:C【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明GAH ∠是平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.4．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在截面1A DB 上,则线段AP 的最小值为（ ）A.13B.12 3 D.22【答案】C【解析】由已知可得,1AC ⊥平面1A DB ,可得P 为1AC 与截面1A DB 的垂足时线段AP 最小,然后利用等体积法求解即可.【详解】如图所示:连接1AC 交截面1A DB 于P ,由1CC ⊥底面ABCD ,可得,1CC BD ⊥,由AC BD ⊥,可得,BD ⊥面11A ACC ,则1AC BD ⊥.同理可得,11AC A B ⊥,1AC ∴⊥面1A DB ,此时线段AP 最小.由棱长为1,可得等边三角形1A BD 2,116322A BD S ∆∴==由11-ABD A A A BD V V -=,可得,1113111323AP ⨯⨯⨯⨯=， 可得3AP =. 故选:C【点睛】本题考查点、线、面间距离的计算和线面垂直的判定;利用等体积法间接地求出AP 的距离是求解本题的关键;属于中档题;二、填空题5．直线l 和平面α相交于点A ,用集合符号表示_________.【答案】l A α=I【解析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解.【详解】由题意可得,答案为：l A α=I【点睛】本题考查直线与平面相交的符号表示,属于基础题,解题时注意符号的合理运用. 6．ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等,那么点P 在平面α内的射影一定是ABC ∆的_______.【答案】外心【解析】由ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等可得,斜线,,PA PB PC 在底面的射影相等;由三角形外心的性质可得是ABC ∆的外心.【详解】作图如下:由题意可得,PA PB PC ==,PO ⊥面ABC ,,,PO OA PO OB PO OC ∴⊥⊥⊥,故POA POB POC ∆≅∆≅∆,OA OB OC ∴==,故答案为:外心【点睛】本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义;属于中档题；三角形外心是三角形外接圆的圆心,亦是三角形三边垂直平分线的交点;其性质:到三角形三个顶点的距离相等.7．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】 2R =Q ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.8．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==． 【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．9．已知地球的半径为R ，在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是 ．(飞机的飞行高度忽略不计) 【答案】3R π【解析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【详解】解：由已知地球半径为R ，则北纬45°，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L 2=R =R ， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角∠AOB 3π=， 则A 、B 两地之间的距离是3R π． 故答案为：3R π．【点睛】 本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．10．设α表示平面,a b 、表示直线,给定下列四个命题：①a a b b αα⊥⇒P P ，；②a b a b αα⊥⇒⊥P ，；③a a b b αα⊥⊥⇒P ，；④.a b a b αα⊥⊥⇒P ，其中正确的命题是___________(填序号).【答案】②④【解析】利用线面垂直的判定方法、线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法、性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.【详解】对于①,,a a b α⊥⇒P b 与α平行、相交或b α⊂，故①错误;对于②,a b a α⊥∥，,由直线与平面垂直的性质：两条直线平行,其中一条直线垂直与一个平面,则另外一条直线也垂直此平面.b α∴⊥.故②正确;对于③,,α⊥⊥a a b ,由线面垂直的性质可得,b αP ，或b α⊂,故③错误;对于④,,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两直线平行,a b ∴∥，故④正确;故答案为: ②④【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直的判定、线面垂直的性质和线面平行的判定、线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;11．已知点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点(包括边界)，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】建立空间直角坐标系,设(),,0P x y ,[](),0,1x y ∈.可得,()()22111111222PA PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，即可得出答案. 【详解】如图所示：建立空间直角坐标系.则()()()10,0,0,0,0,1,1,1,1A A C . 设(),,0P x y ，[](),0,1x y ∈.则(),,1PA x y =--u u u v ，()1,1,1PC x y =--u u u v .()()111PA PC x x y y ∴⋅=----+u u u v u u u v22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. [],0,1x y ∈Q ,∴当11,22x y ==时, PA PC ⋅u u u v u u u v 有最小值12. 当点P 取()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0时,PA PC ⋅u u u v u u u v 有最大值1.故答案为:1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】 本题考在空间直角坐标系中两向量数量积的坐标表示:121212+a b x x y y z z ⋅=+v v 及其取值范围的求解;建立合适的空间直角坐标系是求解本题的关键;着重考查学生的运算能力和知识迁移能力; 属于中档题.12．半径为R 的两个球,其中一个球的球心在另一个球的球面上,则两球的交线长为_____. 3R π【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,容易求得CD 的长为3R.从而求得其周长即可.【详解】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示:由题意得,,AB R AC R==，故22232RCD R R⎛⎫=-=⎪⎝⎭.所以两球交线所在圆面的半径为3r R =,所以所求的交线长为3232l R Rππ=⋅=.故答案为:3Rπ【点睛】本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力;把空间立体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题. 13．已知正四棱锥P ABCD-的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．【答案】25【解析】如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN 于E ，则PE=EO ， 又BD ⊥AC ，∴BD ⊥面PAC ，过A 作直线l ∥BD ，则l ⊥EA ，l ⊥AO ， ∴∠EAO 为所求二面角的平面角． 又EO=12AO=24a ，AO=22a ，∴AE=104a ∴cos ∠EAO=255． ∴截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是255． 14．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． 15．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。
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2018年曹杨二中高二上期末试卷 2018.1.17
一、填空题
1. 已知圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，则该圆柱的体积为____________
2. 若无穷等比数列{}n a 的首项及公比均为
1
2
，则数列{}n a 的各项和为____________ 3. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是121002-⎛⎫
⎪⎝⎭
，则x y +=____________
4. 若已知数列{}n a 为等比数列，且62a =，则
375
9
a a a a -=____________
5. 已知等边ABC 的边长为1，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ，则'''A B C 的面积为
____________
6. 设()f n 表示()
2*n n N ∈的各位数码之和，例如2864=，6+4=10，则f(8)=10，记()()1f n f n =，
()()()*
1k k f n f f n k N +=∈⎡⎤⎣⎦，则()20187f =____________
7. 已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n kn =+，若对任意的正整数n ，都有1n n a a +>，则实数k 的取值范围
是____________
8. 以棱长为1的正方体的各个面中心为顶点的凸多面体的体积为____________ 9. 执行如图的程序框图，若p=9，则输出的S 的值为____________
10. 半径为R 的两个球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线长为____________ 11. 长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点均在同一个球面上，若11AB AA ==
，BC =A 、B 两
点的球面距离为____________
12. 设集合{n M n =位纯小数0.{}()12
|0,11,2,1,1}n i n a a a a i n a ∈=-=，n T 是n M 中元素的个数，
n S 是n M 中所有元素的和，则lim
n
n n
S T →∞=____________
二、选择题
13. 设“1P 、2P 、3P 、4P 为空间中有三点在同一条直线上”是“1P 、2P 、3P 、4P 在同一个平面上”的（ ） A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 在等差数列{}n a 中，10a >，且383a a =，设{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n S 中的最大项是（ ） A. 5S
B. 6S
C. 10S
D. 11S
15. 将长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（所有木棒都要用到），组成长方体共顶点
的条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A. 2582cm
B. 4142cm
C. 4162cm
D. 4182cm
16. 已知数列1234,,,a a a a 的各项均不等于零，此数列前n 项的和为n S ，且满足()2
214n n n S a a n =+≤≤，则满足条件的数列个数为（ ） A. 4 B. 5
C. 6
D. 7
三、解答题
17. 如图，1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体，M 、N 分别是1BB ，CD 的中点. （1）求三棱锥B-AMN 的体积；
（2）求异面直线MN 与1DD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）.
SO ，AB=4，P是母线SA的中点，C 18. 如图，已知AB是底面SO的底面直径，O是底面圆心，23
是底面圆周上一点，∠AOC=60°.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线PC与底面所成的角的大小.
19. 如图，在底面是棱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，∠ABC=60°，点E在线段
PD上，且PE:ED=2:1.
（1）求二面角E-AC-D的大小；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面AEC?证明你的结论.
20. 如图，四边形ABCD 和ABEF 均为边长为1的正方形，且二面角C-AB-E 的大小为3
π. （1）证明：直线AE 和直线BD 是异面直线； （2）求点B 到平面ACE 的距离；
（3）求异面直线AE 和BD 所成角的大小（结果用反三角函数值表 示）.
21. 记{}1,2,3,
,100U =，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T=∅，定义0T S =；若
{}123,,,k T t t t t =，定义1
2
n t t t t S a a a =+++，例如：{}1,3,6T =时，136T S a a a =++.
设数列{}()
*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()199k k ≤≤，若{}1,2,3,
,T k ⊆，求证：1T k S a +<；
（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.
参考答案
一、填空题
1. 22π
2. 1
3. 7
4. 8
5. 16
6. 16
7. ()3,-+∞
8. 16
9. 2
5
R 11.
3
π
12.118
二、选择题
13. A 14. C 15. C 16. C
三、解答题
17.（1）
2
3
（2）arctan arcsin arccos 66== 18.（1）8π（2）4
π
19.（1）
6
π
（2）F 为PC 的中点
20.（1）证明略（2（3）1arccos 4
21.（1）1
3n n a -=（2）证明略（3）证明略。