3mjt-上海市曹杨二中2019-2020学年上学期高二期末考试数学试题(简答)
上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题
上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______.2．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 3．已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图A B C ，'''则A B C '''的面积为_________.4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为________5．正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.6．设正三棱锥V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.7．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=，，，则ΔBCD 是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)．9．设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.10．如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.11．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．12．如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）．二、单选题13．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中真命题的编号是（ ） A ．③④B ．①②C ．①③④D ．①④14．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．116．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的（ ） A ．棱长 B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离三、解答题17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证BD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB 求异面直线PB 与AC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．18．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1A C 与下底面所成角的大小为60°.(1)求三棱锥1A ACB -的体积； (2)求异面直线1A B 与OC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，2AC BC ==，1CC AC ＞，异面直线1AC 与1BA 所成角大小为arccos 10(1)求三棱柱111ABC A B C -的高；(2)设D 为线段11A B 的中点,求二面角11A C D A --的大小(结果用反三角函数表示)； (3)求点1B 到平面1AC D 的距离.20．已知正三棱锥A BCD -的底面边长为3，侧棱长为2，E 为棱BC 的中点．(1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求三棱锥A BCD -的体积；(3)在三棱锥A BCD -的外接球上,求A 、B 两点间的球面距离．21．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)． (1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的几何意义．参考答案1．相交或异面 【解析】 【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交， //AB DC ，1ABAA A =，DC 与1AA 异面，∴直线//a b ，b c A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面 【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 2．15π 【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．3【分析】由已知中正ABC ∆的边长为1，可得正ABC ∆的面积，进而根据ABC ∆的直观图△A B C '''的面积S '=，可得答案． 【详解】 解：正ABC ∆的边长为1，故正ABC ∆的面积231S ==设ABC ∆的直观图△A B C '''的面积为S '则36S '==【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S '与原图面积S 之间的关系S '=，是解答的关键． 4．32 【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积. 【详解】四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱∴四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD∴直线1B C 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠= 1224BB BC AB ∴=== ∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32 【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题. 5．94π 【分析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD =而经过点D 的球O 的截面，当截面与OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值． 【详解】解：设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上， 1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，1O C =又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，1112O D O C ==Rt ∴△1OO D 中，OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径32r ==，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为：94π． 【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题． 6．45︒ 【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案． 【详解】 解：如图，三棱锥V ABC -是正三棱锥，V ∴在底面ABC ∆上的投影为ABC ∆的中心O ，连接VO ，AO ，则VAO ∠即为侧棱VA 与底面ABC ∆所成的角，三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为 高2VO =，则底面三角形一边BC 上的高3AD =， 2AO ∴=，2tan 12VO VAO AO ∴∠===． ∴侧棱与底面所成角的大小为45︒．故答案为：45︒ 【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题． 7．必要不充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α， 向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件， 故答案为：必要不充分 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键． 8．锐角 【分析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角． 【详解】 解：22()()0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=>，∴cos 0||||BC BDB BC BD ⋅=>⋅,故B 是锐角，同理D ∠，C ∠都是锐角，故BCD ∆是锐角三角形， 故答案为：锐角 【点睛】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，属于基础题． 9．23R π 【分析】甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离． 【详解】由于甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上， 它们的纬度差是：120︒，就是大圆周的13则甲、乙两地球面距离为：23R π 故答案为：23R π 【点睛】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．103 【分析】取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，折起后的图形中，2DE BE ==，又知BD a =，由此三角形BDE 三边已知，求出BED ∠，解出三角形BDE 的面积，可求得三棱锥D ABC -的体积。
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程是______.3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9.1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10.已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11.已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12.已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A.1个B.2个C. 3个D.4个16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.10. 5052 11. 5 12. ①③二、选择题 13-16：BCBB 三、解答题17.32z i =+或12z i =-+. 18.()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=.21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22.椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎫⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； （3）由（2）知，2222212i m x x k-=+， 而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT ∆∆⇒⋅==:.。
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(学生版)
上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程为________．3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______. 5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______. 9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．10.已知一族双曲线22:2019n n E x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.11.已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标绝对值最大．12.已知椭圆C：)222106x y m m +=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP 最大值为6，其中正确命题的序号是______. 二、选择题 13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A. 43B. 5C. 5D. 3215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 16.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.172 D. 10三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221i z i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5. .（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 的距离是13时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C 的参数方程是222412t x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程； （2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.。
2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 【答案】B【解析】先化简条件“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”，结合k 的范围进行判定. 【详解】因为方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；因为211k k -<<-⇒<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.2．双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A ．BCD ．2【答案】C【解析】根据双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直可求k ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知0k >，因为双曲线221kx y -=的渐近线为y =，且一条渐近线与直线210x y ++=垂直，12=，即14k =；此时双曲线为2214x y -=，224,5a c ==,. 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确,,a b c 的关系式，或者,,a b c 的值，侧重考查数学运算的核心素养.3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得. 【详解】对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得()()1122220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故②不正确； 对于③：当0z =时，满足22z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.二、填空题5．若复数()1231i z i +=-，则z =______.【解析】先化简求解z ，然后再求解模长. 【详解】因为()1231i z i +=-，所以()()()()3i 112i 3i 155i1i 12i 12i 12i 5z ---+====+++-，所以z ==【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．抛物线2y x =的准线方程为________．【答案】14x =-【解析】抛物线2y x =的准线方程为14x =-；故填14x =-. 7．椭圆2236x y +=的焦距是______. 【答案】4【解析】先把椭圆方程化为标准形式，结合,,a b c 的关系可求焦距. 【详解】2236x y +=可化为22162x y +=，所以226,2a b ==，因为2224c a b =-=，所以2c =，焦距24c =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的方程求解焦距，从给定的方程中求解,,a b c 是关键，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.【答案】1【解析】根据集合相等的含义，分别求解复数,a b ，然后可求ab . 【详解】因为1b b ≠+，{}{}2,,1a b a b -=+，所以21a b b a-=+⎧⎨=⎩， 即有210a a ++=，解得12212a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或12212a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 所以1ab =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.9．计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______. 【答案】56i +【解析】先求解n i ，然后再根据复数的加法规则进行求解. 【详解】因为2349i 1,i i,i 1,,i i =-=-==L ，所以23912i 3i 4i 10i 12i 34i 10i =5+6i ++++⋅⋅⋅+=+--+⋅⋅⋅+.故答案为：56i +. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确4414243i 1,i i,i 1,i i nn n n +++===-=-是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______. 【答案】[)4,+∞【解析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得12y y +，然后把PQ 用12y y +表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线:1l x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得2440y ty --=，12124,4y y t y y +==-，22112212()41441P y Q x x x x t y t ++=++===++++；因为20t ≥，所以4PQ ≥. 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】(-∞【解析】把所求问题转化为求点P 到直线2y x =+的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，而直线2y x =+与y x =平行，平行线间的距离d ==由题意可知点P 到直线2y x =+；所以m ≤故答案为：(-∞. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.12．平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.【答案】【解析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求. 【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由1,2a c ==可得23b =，所以机器人的运动轨迹方程为221(1)3y x x -=≥；直线3(y k x -=，即(3y k x =+，联立22(313y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩得2222(3)6)3120k x k k x -+-+--=， 当230k -=时，若k =则此时直线(3y k x =-+=恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若k =.当230k -≠时，由∆<0得22226)4(3312)0k k k -----<，k <<综上可得k的取值范围是.故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______． 【答案】3 【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ∆为正三角形，且PQ x ⊥轴，设2PF t =，可得1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.【详解】因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上，则1PF PQ =，160F PQ ∠=oQ ，1F PQ ∴∆为正三角形，11F Q F P ∴=，又1212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=Q ， 所以PQ x ⊥轴，设2PF t =，则1122,3PF t F F t=， 即2332323323c c t c t e a a t a t⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩，故答案为33. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．14．已知一族双曲线22:2019n nE x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与nE 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.【答案】5052【解析】设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】 设()00,n A x y ， 双曲线22:2019n nE x y -=的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C，则n n n n A B A C ==易知n n n A B C V为直角三角形，22001=2420194n n nA B C x y nS -==⨯V 即20194n na =⨯为等差数列，其前2019项的和为()12019201912019201920195052019420194=222a a S ⎛⎫+⨯ ⎪+⨯⨯⨯⎝⎭==【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.15．已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u v =2PB u u u v ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.16．已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______. 【答案】①③【解析】利用椭圆的定义先求解P 的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确. 【详解】由题意，点P 在椭圆C ：)222106x y m m+=>>上，所以1212PF PF PB PB +=+=所以点P 也在以12,B B 为焦点的椭圆222166y x m+=-上， 所以点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆222166y x m +=-的交点，共4个，故①正确，②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=， 22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，所以OP ，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知复数z 满足2274z z i -=+，求z . 【答案】32z i =+或12z i =-+.【解析】设出复数,,z a bi a b R =+∈，代入已知条件，利用复数相等的含义可求. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，222i,z z a a b b =-=+， 因为2274z z i -=+，所以222(i)=7+4i a a b b +--，2227a b a +-=且24b =，解得2b =，1a =-或3，所以32z i =+或12z i =-+. 【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -55≥. 【解析】（1）先对复数进行化简，然后结合z 是纯虚数可求m 的值； （2）结合复数的模长公式，表示出1z -，利用二次函数的知识求解. 【详解】（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，22214(1)521z m m m m -=+-=-+，因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45； 所以1z -25≥. 【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 13弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）(22,22k ∈-. 【解析】（1）根据题意可得2,6a c a c -=+=，从而可求椭圆C 的标准方程； （2）根据与轨道中心O 13P 的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线320kx y k -+-=的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于,,a b c 的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20．已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）.（1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）22240x x y y --+=. 【解析】（1）先把24x t=+12t t =+，然后两式平方相减可得曲线C 的普通方程；（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求. 【详解】 （1）因为24x t=+12t t =+，所以有2222221121,144t t x t y t =++=+-，两式相减可得2222x y -=，即2212y x -=.（2）设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，则222212121,122y y x x -=-=，两式相减得12121212()()()()02y y y y x x x x -+-+-=，即121212122()x x y y y y x x +-=+-. 因为M 为PQ 的中点，所以12122,2x x x y y y +=+=，因为,M A 均在直线上，所以121212y y y x x x --=--，整理可得22240x x y y --+=，经检验知符合题意，即线段PQ 中点M 的轨迹方程22240x x y y --+=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养. 21．由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =;（2）存在实数12k =+QBA PBA ∠=∠. 【解析】（1）通过点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上可求a 的值；（2）根据题意得出1QB QA k k ⋅=，结合斜率公式即可求出k 的值. 【详解】（1）由题意易知，点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上，所以()2321a =-，即1a =.（2）假设存在，由题意可知QBA PBA ∠=∠，90APB ∠=︒， 所以90QBA BAP ∠+∠=︒，所以1QB QA k k ⋅=.设()200,1Q x x -，其中00x >，22000000111,111QBQA x x k x k x x x --==-==++-， 所以2011QB QA k k x ⋅=-=， 因为00,x >所以0x =所以1QA k k ==+.故存在实数实数1k =+QBA PBA ∠=∠. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围； （3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=;（2）λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U ;（3）是定值，23AT BT ⋅=. 【解析】（1）把两点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -代入方程可得椭圆C 的方程； （2）先根据直线和圆相切，求出223220m k --=，然后联立方程，结合韦达定理求出1212,x x y y ++，结合平行四边形性质和Q 在椭圆上可得实数λ的取值范围； （3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把AT BT ⋅转化为AT TB ⋅u u u r u u r，结合向量运算及韦达定理可求. 【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -， 所以222121411a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l ：y kx m =+与圆2223x y +=3=， 即223220m k --=①.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ()()1212y y kx m kx m =++++()122x x m k =++2212mk =+.由向量加法的平行四边形法则，得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r， 因为,OP OQ λ=u u u r u u u r 所以OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r .由题意易知0λ≠，设00(,)Q x y ，则()()()112200,,,x y x y x y λ+=，()()0121211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即()()0202412 212km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以()()222242221212kmmk k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得()222412m k λ=+②由>0∆可得2212k m +>，所以2224m m λ>， 204λ<<，即20λ-<<或02λ<<.由①②可得2228(1)3(12)k k λ+=+，令212t k =+，则2811()322t λ=+， 因为0,t ≥所以24833λ<≤，解得33λ-≤<-或33λ<≤，综上可得λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U . （3）由（2）知223220m k --=，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++222212m k k -=+设33(,)T x y ，则33y kx m =+，由T 为切点可知OT AB ⊥,所以330x ky +=， 解得321kmx k =-+. ()()31312323,,AT BT AT TB x x y y x x y y ⋅=⋅=--⋅--u u u r u u r()()31212121222333x x x y x x x y y y y y ++--+=--22332243222123my kmx m k k --++=-+ 22232222()22221123123kmm km m kmx k k k ---+=-=-++ 222242213333m k =-=-=+.所以AT BT 是定值且定值为23. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.。
【解析】上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题
2019-2020年曹二高二上10月月考试卷一、填空题.1.在数列－1，0，211298n n-L ，，，，…中，0.08是它的第________项． 【答案】10 【分析】根据通项公式列方程，解得结果. 【详解】令22n n-＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.2.若数列{}n a 满足1*1204,2,nn a a a n n N -=-⎧⎨=+≥∈⎩，则该数列从第____项起为正值； 【答案】7 【分析】根据2n ≥时的递推公式可知,该数列为等差数列,由1a 和d 可得该等差数列的通项公式,进而得解.【详解】因为当2n ≥时满足14n n a a -=+ 即14n n a a --=,所以数列{}n a 为等差数列,120a =-,4d =所以通项公式为()11n a a n d +-=()2014n =-+-⨯424n =-所以当4240n ->时,解得6n > 即从第7项开始,数列{}n a 为正值 故答案为:7【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.3.若3a > ，则113lim 3n nn n n a a++→∞-+=______； 【答案】1a- 【分析】对要求极限的数列分子分母同时除以n a ,根据指数函数的性质即可求得极限值. 【详解】对数列分子分母同时除以n a 可得113lim 3n nn n n a a++→∞-+ 31lim 33nn n aa a →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭因为3a >所以301a <<,根据指数函数的性质可知当n →∞时, 30na ⎛⎫→ ⎪⎝⎭所以31011lim 033nn n a a a a a →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-+⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1a-【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题. 4.观察下式：211=，22343++=， 2345675++++=，2456789107++++++=，则可归纳出一般结论：________．【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L根据所给式子，归纳第n 个式子左边应该为()()()1232n n n n +++++⋯+-，右边为()221n -，所以填()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-.5.已知等差数列{}n a 中，1591317117a a a a a -+-+=，则315a a +=_____； 【答案】234 【分析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得9a ,进而可求得315a a +. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列 由等差中项定义可知, 117513a a a a +=+所以159********a a a a a a -+-+==而315922117234a a a +==⨯=故答案为:234【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题. 6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,n n a a S +=-=，则n a =______； 【答案】122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥ 【分析】根据条件1n n a S +=,通过递推法,然后作差即可证明数列{}n a 为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为1n n a S += 当2n ≥时,1nn a S -=两式相减可得11n nn n a a S S +--=-即1n n n a a a +-=,变形后可得12n na a += 因为1n n a S +=,且12a =-所以当1n =时, 2112a S a ==-=所以数列{}n a 从第二项开始是以22a =-,2q =为公比的等比数列所以21222n n n a --=-⨯=-而12a =-不满足上式所以122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥故答案为: 122n --⎧⎨-⎩12n n =≥ 【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题. 7.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若10a >，且1520S S =，则当n =____时，n S 取得最大值； 【答案】17或18 【分析】根据等差数列1520S S =,可求得180a =,结合10a >可判断出等差数列为递减数列,进而可得n S 取得最大值时n 的值.【详解】因为{}n a 为等差数列,且1520S S = 所以16171819200a a a a a ++++=根据等差中项的性质可得180a =因为10a >所以等差数列{}n a 为递减数列, 180a =,从第19项开始为负数所以当17n =或18n =时, n S 取得最大值故答案为:17或18【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.8.若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n 次分裂之后共有______个细胞. 【答案】124n -+ 【分析】设n 次分类后共有n a 个细胞,则根据题意可得递推公式()122n n a a +=-,通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设n 次分类后共有n a 个细胞 则第1n +次分裂后共有细胞个数为()122n n a a +=-即124n n a a +=-,且15a =对数列等式两端同时减去4,可得()1424n n a a +-=-即1424n n a a +-=-,14541a -=-= 所以数列{}4n a -是以141a -=为首项,2q =为公比的等比数列所以1412n na --=⨯,化简可得124n n a -=+即n 次分裂之后共有124n -+个细胞 故答案为: 124n -+【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.9.已知数列{}n a 满足：112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2019a =_________；【答案】37【分析】通过列举法,可以根据数列{}n a 的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得2019a .【详解】因为数列{}n a 中167a =,满足112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩所以2165212177a a =-=⨯-= 3253212177a a =-=⨯-=43362277a a ==⨯=546521277a a =-=⨯= 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列 所以20196733337a a a ⨯=== 故答案为:37【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.10.平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成()f k 个区域，则1k +条直线把平面分成的区域数(1)()f k f k +=+____________. 【答案】1k +第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即()()1?1f k f k k +=++。
曹杨二中高二上期末详解(2020.1)
曹杨二中高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．三个平面最多把空间分成 个部分．2．若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += ． 3．若行列式31227314k--中元素1-的代数余子式的值为5，则k = ．4．已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为 ． 5．已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3A B =，则外接球面上 两点A 、B 间的球面距离是 ．6．在正方体1111A BCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为 ． 7．若正四棱锥的底面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为 ． 8．已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为 ． 9．若数列{}n a 满足112a =，212323,n n a a a na n a n *+++⋅⋅⋅+=∈N ，则20a = ． 10．某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1，2，3，则这条棱的长为 ．11．对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若1233n n n a ⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为 ．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里， 母线长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公里．为了发展旅游业， 要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后 首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里．二、选择题13．在学习等差数列时，我们由1121310,1,2,a a d a a d a a d =+=+=+L ，得到等差数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ） A ．不完全归纳法 B ．完全归纳法 C ．数学归纳法 D ．分析法14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．4- B ．6 C ．14 D ．1815．已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，P 是棱SA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ<16．已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面,αβ上 的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，则m 与n 的位置关系是（ ） A ．可能垂直，但不可能平行 B ．可能平行，但不可能垂直 C ．可能垂直，也可能平行 D ．既不可能垂直，也不可能平行三、解答题17．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米．（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用．（结果精确到1元）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3A D =，3PA =，AD BC ∥，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒．（1）求异面直线PC 与A D 所成角的大小； （2）求点A 到平面PCD 的距离．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*461,n n S n a n =--∈N ． （1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由．20．如图，在三棱柱111A BC A B C -中，12A C BC A B ===，1A B ⊥平面ABC ，1A C A C ⊥，,D E 分别是11,A C B C 的中点． （1）求证：11A C B C ⊥； （2）求证：DE ∥平面11A A B B ；（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小．21．对于给定的正整数(4)n n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤．（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，(0)d d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和．参考答案一、填空题1．8 2．12 3．4- 4．3π 5．23π6．2 7．24 82 9．35107 11．724 12．18 【第5题解析】由题意，记外接球球心为O ，半径为R ，则112R OC OD CD ====，在AOB △中，应用余弦定理，可求出球心角23A OB π∠=，从而A 、B 间的球面距离为»23AB A OB R π=∠⋅=． 【第8题解析】取AB 、CD 的中点分别为M 、N ，易证M N AB ⊥且M N CD ⊥， 则M N 即为异面直线AB 与CD 间的距离，计算得2M N =． 【第9题解析】记n n b na =，其前n 项和为n S ， 则11111(1)(1)nnn n n n n n n S nb b n b nb b b S n b +++++=⎧⇒=+-⇒=⎨=+⎩， ∴{}n b 为常数列，112012123112205n n b b a a a n ==⋅=⇒=⇒==． 【第11题解析】223133n n n ⎧⎪⎧⎫⎪=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，1121231333nn n n n n a n ++⎧⎪⎧⎫⎪=⋅=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，其奇数项和偶数项分别构成公比为211()39=的等比数列，∴其各项和为12712419a a S +==-． 【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ， 记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，¼2102AA A OA SA A OA ππ'''=∠⋅=⋅⇒∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+=，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的 距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ， 由Rt Rt SA B H SB '△∽△，可求出18HB =．二、选择题13．A 14．B 15．B 16．D三、解答题17．（1）32.1米；（2）220元．18．（1）；（2． 19．（1）114611461n n n n S n a S n a ++=--⎧⎨=+--⎩，作差得14155n n a a +=+，∴14111455115n n n n a a a a ++--==--， 对461n n S n a =--，令1n =，可求出112a =-， ∴数列{1}n a -是以13-为首项，公比为45的等比数列， ∴141135n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，从而141315n n a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭；（2）45101log 12.513n a n <⇒<+≈，∴当12n ≤时，0n a <，当13n ≥时，0n a >， ∴当12n =时，n S 取最小值．20．（1）∵1A B ⊥平面ABC 且A C Ü平面ABC ，∴1A B A C ⊥，又1A C A C ⊥且11,A B A C Ü平面11A B C ，∴A C ⊥平面11A B C ，∴11A C B C ⊥；（2）取AB 中点M ，联结1,DM M B ，可证1EB DM ∥，∴四边形1EDM B 为平行四边形， ∴1DE M B ∥，又1M B Ü平面11A A B B ，DE ⊄平面11A A B B ，∴DE ∥平面11A A B B ； （3）∵11A C B C ⊥且11BC B C ∥，∴AC BC ⊥，后续可建立空间直角坐标系进行求解， 具体过程略，直线DE 与平面11BB C C21．2019黄浦区一模21题【注】①本题答案非标准答案；②第（3）小问没有给出元素互异性证明！！！ （1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）由题意，111(1)(1)2(2)i j a a a i d a j d a i j d +=+-++-=++-， 又{2,3,4,,2}i j n +∈L 且0d ≠，∴i j a a +共有21n -个不同的值， 即集合B 中的元素个数为21n -；（3）i j a a +的所有不同的取值恰能得到如图的矩阵111213122232333n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++⎛⎫⎪+++⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭L L LLL ，即集合B 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=L 个，考虑到123,,,,n a a a a L 出现的次数均相同，其结果为(1)221n n n n+⨯=+， ∴集合B 中所有元素的和为11233(13)(1)(33)(1)()(1)132n n n n n a a a a n +-+-+++++=+=-L ．。
2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(二)数学试题(解析版)
上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线 【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确； 命题B 显然正确； 若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。
上海市曹杨二中高二上数学期末试卷(精品解析)
2018-2019学年曹二高二上期末数学试卷2019.1一、填空题：1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位值关系是________； 答案：平行或异面2、若两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为____； 答案：493、若正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线AC 和'BD 所成角的大小为_____； 答案：2π 4、若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；答案：2π5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 答案：1636、若增广矩阵1111a a -⎛⎫⎪-⎝⎭对应的线性方程组为无穷多紹，则实数a 的值为________；答案：-17、有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，12为公比的等比数列，设它们的体积依次为12,,,n V V V ，则()12lim n n V V V →∞+++=__________；答案：878、已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）. 答案：直角9、在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________； 答案：3π10的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD ，其三组对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______；答案：211、已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心M 且与平面α呈45°二面角的平面β截该球面得圆N ，若球的半径为4，圆M 的面积为12π，则圆N 的面积为__________； 答案：14π 12、如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，如顶点,B C 到平面α的距离分别为D 到平面α的距离为___________；二、选择题13、“直线l 垂直于ABC ∆的边,AB AC ’’是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件答案：A14、如果三棱锥S ABC -的底面不是等比三角形，网组对棱互相垂直，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的（）A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心 答案：B15、底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A 、一点时增三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥 答案：D16、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱长一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为（）A. 0B.3C.4D.6 答案：B三、解答题：17、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求三棱锥1D A BE -的体积； （2）求异面直线BE 与1CC 所成角大小.解：（1）因为11D A BE B A DE V V --=，121224A DEa a Sa ==，并且1AB A DE ⊥平面， 所以11231133412D A BE A DE a a V a S a -=⋅==（2）因为11//CC DD ，所以异面直线BE 与1CC 所成角为直线BE 与直线1DD所成角，即BED ∠，因为2a BE =，BD ==，所以32a BE ==，所以12332aCOS BED a ∠==，所以 1arccos()3BED ∠=，所以异面直线BE 与1CC 所成角为1arccos()3.18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
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曹杨二中高二期末数学试卷
2020.01
一. 填空题
1. 三个平面最多把空间分成 个部分
2. 若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 若行列式312
27314k
--中元素1-的代数余子式的值为5，则k =
4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为
5. 已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3AB =，则外接球面上 两点A 、B 间的球面距离是
6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为
7. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为
8. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为
9. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a +++⋅⋅⋅+=，*n ∈N ，则20a =
10. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为
11. 对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若12{}33n
n n a =⋅， *n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为
12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为
10公里，侧棱长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公
里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B
的观光铁路，这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则
下坡段铁路的长度为 公里
二. 选择题
13. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）
A. 不完全归纳法
B. 完全归纳法
C. 数学归纳法
D. 分析法
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）
A. S
B. 6
C. 14
D. 18
15. 已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，
P 是棱SA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角
为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --
的平面角为γ，则（ ）
A. βγ<，αγ<
B. βα<，βγ<
C. βα<，γα<
D. αβ<，γβ<
16. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是
平面α、β上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，
则m 与n 的位置关系是（ ）
A. 可能垂直，但不可能平行
B. 可能平行，但不可能垂直
C. 可能垂直，也可能平行
D. 既不可能垂直，也不可能平行
三. 解答题
17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.
（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；
（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用.
（结果精确到1元）
18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3AD =，3PA =，AD ∥BC ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒.
（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；
（2）求点A 到平面PCD 的距离.
19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，*n ∈N .
（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由.
20. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D 、E 分别是AC 、11B C 的中点.
（1）求证：11AC B C ⊥；
（2）求证：DE ∥平面11AA B B ；
（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小.
21. 对于给定的正整数n （4n ≥），设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.
（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；
（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，d （0d >）为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；
（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和.
参考答案
一. 填空题
1. 8
2. 12
3. 4-
4. 3π
5.
23π 6. 7. 24 8. 2
9.
35 10. 11. 724 12. 18
二. 选择题
13. A 14. B 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）32.1m ；（2）220元.
18.（1）arccos
4；（2）5. 19.（1）45
q =；（2）12.
20.（1）证明略；（2）证明略；（3. 21.（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）元数个数为2n 个，和为29(31)4
n -.。