祁阳二中高三理科数学周考
【解析】湖南省永州市祁阳县2016届高三上学期第二次模拟数学试卷(理科) Word版含解析[ 高考]
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2015-2016学年湖南省永州市祁阳县高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）一.选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=( )A．（﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．已知i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，则|z|=( )A．25 B．7 C．5 D．13．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为( )A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．34．命题p：“非零向量，，若•＜0，则，的夹角为钝角”，命题q：“对函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是( )A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）5．已知sin（α﹣）=，则cos（α+）的值等于( )A．﹣B．C．﹣D．6．已知矩形ABCD中，，BC=1，则=( )A．1 B．﹣1 C．D．7．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( )A．2 B．4 C．4 D．88．已知命题是真命题，则实数a的取值范围是( )A．B． C．[2﹣ln2，+∞）D．（﹣∞，2﹣ln2]9．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=( )A．B．C．0 D．﹣10．已知||=1，||=2，，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设=m+n （m，n∈R）则等于( )A．1 B．2 C．D．11．已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=( ) A．0 B．﹣100 C．100 D．1020012．已知函数f t（x）=﹣（x﹣t）2+t（t∈R），设a＞b，f（x）=，若函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，则b﹣a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2﹣）B．（﹣∞，2﹣）C．（﹣2﹣，0）D．（2﹣.0）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置）13．已知函数，则f（1）的值是__________．14．（理）__________．15．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x）的单调增区间是__________．16．定义在R上偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3﹣3x；奇函数g（x）当x＞0时g（x）=|1﹣x|﹣1，若方程：f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为a，b，c，d则a+b+c+d=__________．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：∃x∈（1，]使f（x）=1n（mx2+2x ﹣2）有意义．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．18．已知数列是等差数列，且，．（1）求{a n}的通项公式（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC 的面积的最大值．20．已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λ•3ax﹣4x的义域为[0，1]．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．21．设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y=x﹣1上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列{}的前n项和T n，并求使T n+成立的正整数n最大值．22．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年湖南省永州市祁阳县高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）一.选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=( )A．（﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算进行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．2．已知i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，则|z|=( )A．25 B．7 C．5 D．1【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数两边直接求模，即可得到结果．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，|iz|=|3+4i|==5．则|z|=5．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为( )A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．4．命题p：“非零向量，，若•＜0，则，的夹角为钝角”，命题q：“对函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是( )A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：当向量，的夹角为180°时，•＜0，∴非零向量，，若•＜0，则，的夹角不一定为钝角，命题p是假命题；关于命题q：譬如函数y=x3，它的导数在x=0时为0，但x=0不是它的极值点，∴命题q是假命题，故￢p是真命题，￢q是真命题，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查向量、导数问题，是一道基础题．5．已知sin（α﹣）=，则cos（α+）的值等于( )A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴cos（α+）=cos（α+）=﹣cos（）=﹣sin[﹣（）]=﹣sin（﹣α）=sin（α﹣）=．故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题．6．已知矩形ABCD中，，BC=1，则=( )A．1 B．﹣1 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】法一、以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，得到点的坐标，进一步求得向量的坐标得答案；法二、以为基底，把用基底表示，则可求．【解答】解：法一、如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），，，D（0，1），∴，，则．故选：A．法二、记，，则，，，∴=．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此类问题常用两种方法，即建系法或利用平面向量基本定理解决，建系法有时能使复杂的问题简单化，是中档题．7．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( )A．2 B．4 C．4 D．8【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值．【解答】解：∵点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，tanθ=，∴解得：tanθ=4，∴==2tanθ=8，故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．8．已知命题是真命题，则实数a的取值范围是( )A．B． C．[2﹣ln2，+∞）D．（﹣∞，2﹣ln2]【考点】全称命题．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】命题是真命题，可得a≤﹣lnx，求出右边的最小值，即可得出实数a的取值范围．【解答】解：∵命题是真命题，∴a≤﹣lnx，令y=﹣lnx，则y′=x﹣，∵x∈[1，2]，∴y′＞0，∴函数单调递增，∴y min=，∴a≤，故选：B．【点评】本题考查全称命题，考查函数的单调性，正确分离参数是关键．9．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=( )A．B．C．0 D．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．10．已知||=1，||=2，，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设=m+n （m，n∈R）则等于( )A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，则A（1，0），B（0，2）．设C（x，y）．∵=m+n（m，n∈R），∴（x，y）=m（1，0）+n（0，2）=（m，2n）．∴x=m，y=2n．∵∠AOC=45°，∴==，解得．故选B．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．11．已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=( ) A．0 B．﹣100 C．100 D．10200【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式．【专题】压轴题．【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解．【解答】解：∵，由a n=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n•n2+（﹣1）n+1•（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1•（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选B【点评】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力．12．已知函数f t（x）=﹣（x﹣t）2+t（t∈R），设a＞b，f（x）=，若函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，则b﹣a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2﹣）B．（﹣∞，2﹣）C．（﹣2﹣，0）D．（2﹣.0）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】解方程f a（x）=f b（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点，由图象知，点P在l下方，由此解得b﹣a的取值范围．【解答】解：作函数f（x）的图象，且解方程f a（x）=f b（x）得，﹣（x﹣a）2+a=﹣（x﹣b）2+b，解得x=，此时y=﹣（﹣b）2+b=﹣（）2+b，即交点坐标为（，﹣（）2+b），若y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即f（x）﹣x+a﹣b=0有四个根，即f（x）=x+b﹣a，分别作出f（x）与y=x+b﹣a的图象如图：要使函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点．由图象知，点P在下方，所以﹣（）2+b＜+b﹣a，即（）2＞，设t=a﹣b，则t＞0，则方程等价为＞，即t2﹣4t﹣1＞0，即t＜2，或t＞2+，∵t＞0，∴t＞2+，故b﹣a=﹣t＜﹣2﹣，即b﹣a的取值范围是（﹣∞，﹣2﹣），故选：A【点评】本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置）13．已知函数，则f（1）的值是．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数，则f（1）=f（2）=f（3）==．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．（理）π+2．【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案为π+2．【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．15．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x）的单调增区间是[kπ﹣，]．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据图象的两个点A、B的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的单调增区间．【解答】解：由图象可以看出正弦函数的四分之三个周期是，∴T==π∴ω=2，又由函数f（x）的图象经过（，2）∴2=2sin（2×+φ）∴+φ=2kπ+，（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又由﹣＜φ＜，则φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：[kπ﹣，]．故答案为：[kπ﹣，]．【点评】本题主要考查了由部分图象确定函数的解析式，正弦函数的图象和性质，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相，属于中档题．16．定义在R上偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3﹣3x；奇函数g（x）当x＞0时g（x）=|1﹣x|﹣1，若方程：f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为a，b，c，d则a+b+c+d=26．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得a，b，c，d，进而可得答案．【解答】解：由题意，f（x）=0的根为0，±，由f（f（x））=0知f（x）=0或±，∴a=3+2+4=9．同理，由f（g（x））=0，得g（x）=0或±，∴b=3+2=5；g（x）=0的根为0，±2，由g（g（x））=0，知g（x）=0或±2，∴c=3+2=5，由g（f（x））=0，知f（x）=0或±2，0时对应有三个根，2时有2个，﹣2时2两个，∴d=7，∴a+b+c+d=26，故答案为：26【点评】本题考查函数函数的图象及其应用，考查方程根的个数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：∃x∈（1，]使f（x）=1n（mx2+2x﹣2）有意义．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则mx2+2x﹣2＞0，m＞求出h（x）==﹣=2﹣在（1，]的最小值即可，显然x=时：h（x）最小，最小值是：﹣，∴m＞﹣，①若p假q真，则，解得：﹣＜m≤2；②若p真q假，则，无解，综上所述：m∈（﹣，2]．【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．18．已知数列是等差数列，且，．（1）求{a n}的通项公式（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由{}为等差数列可知，先求数列的通项公式，再求{a n}的通项公式；（2）化简b n=a n a n+1=，易知利用裂项求和法即可．【解答】解：（1）∵{}为等差数列，∴设其公差为d，∵，∴，∵=5d，解得，于是，∴a n=．（2）∵b n=a n a n+1=，∴S n==．【点评】本题考查了等差数列的应用，同时考查了裂项求和法的应用．19．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC 的面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】综合题；解三角形．【分析】（Ⅰ）先化简函数，利用三角函数的性质求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（Ⅱ）利用f（B+C）=，求出A，根据a=1，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos（2x+）+1，∴f（x）的最大值为2，此时2x+=2kπ，∴x=kπ﹣，∴使f（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（Ⅱ）∵f（B+C）=，∴cos[2（B+C）+]+1=，∴B+C=，∴A=．∵a=1，∴1=b2+c2﹣2bc•≥2bc﹣bc，∴bc≤1，∴S==bc≤，∴△ABC的面积的最大值为．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦定理，三角形的面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λ•3ax﹣4x的义域为[0，1]．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）由条件f（a+2）=18建立关于a的等量关系，求出a即可；（2）将第一问的a代入得g（x）=λ•2x﹣4x，g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，可利用函数单调性的定义建立恒等关系，分离出λ，求出2x2+2x1的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得3a+2=18⇒3a=2⇒a=log32（Ⅱ）此时g（x）=λ•2x﹣4x设0≤x1＜x2≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数所以g（x1）﹣g（x2）=（2x2﹣2x1）（﹣λ+2x2+2x1）≥0成立∵2x2﹣2x1＞0∴λ≤2x2+2x1恒成立由于2x2+2x1≥20+20=2所以实数λ的取值范围是λ≤2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题，属于中档题．21．设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y=x﹣1上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列{}的前n项和T n，并求使T n+成立的正整数n最大值．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）先利用点（a n，S n）在直线y=x﹣1上得S n=a n﹣1，再写一式，两式作差即可求数列{a n}的通项；（Ⅱ）先把所求结论代入求出数列{T n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵由题设知，S n=a n﹣1，①∴a1=S1=a1﹣1，解得a1=2n≥2时，S n﹣1=a n﹣1﹣1，②①﹣②可得：a n=a n﹣a n﹣1，∴a n=3a n﹣1（n≥2），即数列{a n}是等比数列∴a n=2•3n﹣1，（Ⅱ）由（I）得，a n+1=2•3n，a n=2•3n﹣1，∵a n+1=a n+（n+1）d n，∴d n=，，令T n=++++…+，∴T n=+++…+，∴T n=+（++…+）﹣，=+×﹣=﹣，∴T n=﹣．∴即，3n≤81，得n≤4．∴使T n+成立的正整数n最大值是4．【点评】本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值，从而得到f（2）的值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2 …（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e …u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t时，y最小=t2﹣t …②当u=≥e即t时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t …③当0＜＜e即时，y最小=y=﹣…（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增…∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），…∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．…②当m≤0时，，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符…③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．…（13分）∴综合①、②、③得m∈（0，1）…（14分）说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．。
祁阳县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
祁阳县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 2． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位3． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．34． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0）上的一点，且=0，tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知平面向量与的夹角为3π，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ．6． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 定义运算，例如．若已知，则=（ ）A ．B ．C ．D ．8． 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．9． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.10．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A ．36种 B ．18种 C ．27种 D ．24种 11．棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）A ．=B ．0S =C ．0122S S S =+D ．20122S S S =12．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2B ．C ．D ．13二、填空题13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 14．已知函数()ln a f x x x =+，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒 成立，则实数的取值范围是 ．15．若函数2(1)1f x x +=-，则(2)f = ．16．已知抛物线1C ：x y 42=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：12222=-by a x（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.17．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 三、解答题18．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.19．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。
2025届永州市祁阳县高三数学上学期8月第一次月考试卷
2025届永州市祁阳县高三数学上学期8月第一次月考试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i - C.1i-- D.13.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（）A.3B.3或-3C.27D.27或-274.已知向量(1,2),(1,1),(4,5)a b c ==-= ．若a 与b c λ+平行，则实数λ的值为（）A.114 B.114-C.1D.1-5.某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（）A.32π3B.124π3C.224π3D.256π36.已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，3π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.5 B.5C.3D.37.已知函数()1ln f x a x x=+，在点()()1,1f 处的切线方程为0x y -=，则a =（）A.1eB.eC.D.28.已知12,F F 分别是双曲线22:1412x y E -=的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 为坐标原点，则||ON =（）A .4B.2C.3D.1二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．两个选项的，部分选对的每一个得3分．三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分．）9.下列说法中，正确的是（）A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32B.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N δ，()40.84P ξ<=；则()240.34P ξ<<=C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程ˆˆˆy a bx=+，若1ˆ2,,3b x y ===，则ˆ1a =D.若样本数据1210,,,x x x ⋯的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为410.若,a b 为正实数，且a b >，则下列不等式成立的是（）A.11a b> B.ln ln a b >C.ln ln a a b b> D.e e -<-a ba b 11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足5PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（）A.曲线C 与y 轴的交点为()0,1-，()0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是[]1,3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为______.13.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x +=-，若[]0,1x ∈，()2xf x =，则()2023f =_______．14.现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i ，j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且4cos cos cos a B b C c B -=.（1）求cos B 的值；（2）若ABC V 的面积为,2b =，求ABC V 的周长.16.已知直线l 过椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的右焦点(1,0)F ，且交C 于41,,33A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求C 的离心率；（2）设点(3,1)P ，求ABP 的面积．17.如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B ===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.（1）求证：1C P //平面1A AB.（2）求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.18.已知函数()e 1,xf x ax a =--∈R .（1）讨论的单调性；（2）已知函数()()()1ln 1g x x x a =---，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.19.设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a ta t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.（1）若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；（2）对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？（3）已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.。
祁阳二中高三第一次月考理科数学试题
祁阳二中高三第一次月考理科数学试题时量120分钟 满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．只有一项是符合题目要求的．） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则()U B C A =（ ）A.{}5B. {}125， ，C. {}12345， ， ， ，D.∅2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A. 2y x -= B. 1y x -= C.22y x =- D.12log y x =3. 设3.0log ,9.0,5.054121===cb a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.b c a >> B. c a b >> C.c b a >> D. b a c >>4、设0x x =是函数21log (1)y x x=--的零点，则0x 的取值范围是（ ） A ． (0,1) B ． (1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．执行如图所示的程序框图，若输入x=3， 则输出y 的值为（ ）A.5B.9C.17D.336.给出下列命题： ①3,x R x x ∃∈>②若“p q ∧”是真命题，则“p q ∨”也是真命题；③命题“32,210x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,210x R x x ∃∈-+>”④命题“若22,am bm a b <<则”的逆命题是真命题。
其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件8．如图是导函数()y f x '=的图像，则下列命题错误的是（ ）A ．导函数()y f x '=在1x x =处有极小值B ．导函数()y f x '=在2x x =处有极大值C ．函数3()y f x x x ==在处有极小值D ．函数4()y f x x x ==在处有极小值二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分9. 设A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 ．10．函数+ln(1-x)的定义域为______ _. 11.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为_ _.12．定积分12n x e dx ⎰的值为 ．13.已知函数求()[]{}1-f f f 的值是 ．14．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)=1，f (2)＝ _. 15. 已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． 则函数()y f x =的单调递增区间是 _.三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知集合{|37},{|410},A x x B x x C x x a =≤<=<<=< （1）求;B A （2）求B C A R17、（本小题满分12分）已知命题P ：∀x ∈[1,2]，a x -2≥0；命题:q ∃0x ∈R ，使得01)1(020<+-+x a x若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围。
湖南省永州市祁阳县2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题
祁阳县2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）（时量：120分钟分值：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合{}223|0A x x x =--≤，[]2,2B =-，则A B =（ ）A.[]1,3-B.[]2,2-C.[]1,2-D.[]2,32.若复数11z i =+，23z i =-，其中i 是复数单位，则12z z ⋅=（ ） A.42i +B.2i +C.22i +D.33.下列命题中的假命题是（ ） A.1,20x x R -∀∈>B.*2,(1)0x N x ∀∈-> C.,lg 1x R x ∃∈<D.,tan 2x R x ∃∈=4.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1233a a a =，7899a a a =，则456a a a =（ ）A.B.C.8D.275.若()f x 是R 上周期为6的奇函数，且满足()11f =-，()22f =，则()()54f f -=（ ） A.-1B.-2C.2D.36.角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =-上，则sin 2θ=（ ） A.45-B.35-C.35D.457.已知0ω>，函数()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D.113,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠.若CB a =，CA b =，2a =，3b =，则CD =（ ） A.1233a b +B.3321a b + C.3552a b + D.2355a b + 9.数列{}n a 的首项为1，{}n b 为等差数列且1n n n b a a +=-，若则21b =，915b =，则7a =（ ） A.24B.25C.36D.3810.已知422log 0.3log 3.4log 4.618,4,8a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则有（ ） A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.c a b >>11.设函数212log (2),0()log (2),0x x f x x x -+>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a <-，则实数a 的取值范围是（ ） A.()()2,00,2- B.()(),22,-∞-+∞ C.()()1,01,-+∞D.()(),20,2-∞-12.已知函数()ln f x x x x =+，若()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，则整数k 的最大值是（ ） A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.11edx x =⎰_________________.14.曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为______________.15.已知平面向量,,a b e ，已知1e =，1a e ⋅=，2b e ⋅=-，且22a b +=，则a b ⋅的最大值是________；16.已知函数()12log (2),1|1|1,x x t f x x t x a--≤≤⎧⎪=⎨⎪--+<≤⎩，若存在实数t ，使()f x 值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知命题[]:1,3p x ∈；命题:23q m x m <≤+. （1）若命题p 是命题q 的充分条件，求m 的取值范围；（2）当2m =时，已知p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求x 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD .（1）求证：CD AM ⊥；（2）若2AM BC ==，求直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,1),3cos ,2m x n x ⎛⎫==- ⎪⎭，函数()()f x m n m =-⋅. （1）求函数的最小正周期T 和单调递增区间；（2）已知角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，A 为锐角，b =()a f A =是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，求ABC S ∆.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，112n n n a a -+-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 21.（本小题满分12分）已知函数()x x af x e e=+是定义在R 的奇函数，其中a 是常数. （1）求常数a 的值；（2）设关于x 的函数()()22()432x x F x f b f b +=++-+有两个不等的零点，求实数b 的取值范围； （3）求函数()()222xx g x ee f x λ-=+-在[)0,x ∈+∞上的值域.22.（本小题满分12分）（1）讨论函数1()1xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(1)10x x e x -++>； （2）证明：当(]1,0a ∈-时，函数2e ()(0)(1)x ax ag x x x ++=>+有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.祁阳县2020年高考第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. CABADABCBADC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14.21y x =+ 15.32-16.1,34⎛⎤- ⎥⎝⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤. 17.（1）01m ≤<……………………………………………………6分 （2）{}1237x x x ≤≤<≤或…………………………………………12分18.（1）证明：取CD 的中点O ，连接,OB OM . ∵BCD ∆是等边三角形，∴OB CD ⊥………………………………………………………………1分 ∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，∴OM CD ⊥…………………………………………………………2分 ∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ，∴OM ⊥平面BCD ，……………………………………………………3分 ∵AB ⊥平面BCD ， ∴//OM AB .∴,,,O M A B 四点共面，…………………………………………………………4分 ∵,,OBOM O OB CD OM CD =⊥⊥，∴CD ⊥平面OMAB .………………………………………………………………5分 ∵AM ⊂平面OMAB ，∴CD AM ⊥.……………………………………………………………………6分（2）作MN AB ⊥，垂足为N ，则MN OB =.∵BCD ∆是等边三角形，2BC =，∴2OB CD ==.在Rt ANM ∆中，1AN ==，………………7分∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，∴112OM CD ==. ∴2AB AN NB AN OM =+=+=.………………………………………………………………8分如图，以点O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，BO 所在直线为y 轴，OM 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标O xyz -，则(0,0,1),(0,(1,0,0),(0,2)M B D A -.∴(0,3,1),(0,3,1),(1,AM BM BD =-==-. 设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =， 由0,0n BM n BD⋅=⋅=，得z x +=-+=⎪⎩ …………………………………………………………………………9分令1y =，得x z ==.∴(3,1,n =是平面BDM 的一个法向量.………………………………………………10分 设直线AM 与平面BDM 所成角为θ，则||23sin cos ,7||||27AM nAM n AM n θ⋅====⨯⨯11分 ∴直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值为7.…………………………………………12分 19.（1）25()()sin cos sin 2326f x m n m x x x x π⎛⎫=-⋅=+=-++ ⎪⎝⎭，……………4分 ∴22T ππ==，令3222262k x k πππππ+≤+≤+得2()63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.………………………………………………7分 （2）解：()sin 236f A A π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 因为72,666A πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当6A π=时，有最小值为2a =.由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，解得2c =或4c =，……………………………………11分则1sin 2S bc A =，S =S =……………………………………………………………12分 20.解：（1）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+⎡⎤⎣⎦()12221221n n n --=++++=+.……………………4分而12a =，所以数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+.…………………………………………6分 （2）由12n n n b na n n -==⋅+知()01211222322(12)n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++++，令01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅，①①×212321222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，②①-②得 231122222212,(1)21n n n n n n n T n n T n --=+++++-⋅=--⋅=-⨯+，22(1)22nn n n S n ++=-⨯+.……………………………………………………………………12分21.解：（1）已知函数()x x af x e e=+是定义在R 的奇函数，()010f a =+=，1a =-， 1()x x f x e e =-，11()()x x x x f x e e f x e e---=-=-=-，符合题意，故1a =-；………………4分（2）由()()22()4320x x F x f b f b +=++-+=，()f x 是奇函数，有()()22432x x f b f b ++=-， 又()0xxf x e e-=+>，故()f x 在R 上单调递增，由()()22432x x f b f b ++=-，得22432x x b b ++=-，即22342x x b b ++=-+，令20x t =>，得方程2234b b t t +=-+有两解，有2034b b <+<，求得01b <<或43b -<<-；………………………………………………8分 （3）22221()2()2xx x x x xg x e e f x e e e e λλ--⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭， 令10x xe m e-=≥，则222()22()2g x m m m λλλ=-+=--+， 当0λ≥时，m λ=时，()g x 有最小值22λ-+，()g x 的值域是)22,λ⎡-++∞⎣；当0λ<时，0m =时，()g x 有最小值2，()g x 的值域是[)2,+∞.…………………………12分22.解：（1）证明：1()1xx f x e x -=+，()()2221121(1)(1)x x x e x f x e x x x +⎛⎫-'=+= ⎪+++⎝⎭， ∵当()(),11,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>，∴()f x 在(),1-∞-和()1,-+∞上单调递增（不能取并集！）， ∴0x >时，1()e (0)11xx f x f x -=>=-+，∴(1)10x x e x -++>；…………………………5分 （2）()()()2432e (1)e (1)2(1)e e (1)(1)1(1)(1)(1)x x x x x a a x x ax a x a x x g x x x x --++-+++--++'===+++， 令(1)()()1x e x G x a f x a x -=-=-+，(1)()1x e x f x x -=+在()0,+∞上单调递增，…………………7分()f x 的值域是()1,-+∞，(]1,0a ∈-，()()G x f x a =-恒有唯一的零点(]()()0000010,1,01x e x x G x a x -∈=-=+，当()00,x x ∈时，()0G x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0g x '>，()g x 单调递增.()g x 在0x 处取极小值也是最小值，()()()000002200()11x x e ax ax e h a g x x x ++===++，…………………………10分记()()21tte k t t =+，在(]0,1t ∈时，()231()0(1)t e t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()0,4e h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦.…………………………………………………………………………12分。
2021年高三下学期周考二数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期周考二数学（理）试题含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合，集合，则等于( )A． (1,2) B． (1,2] C．2．下面是关于复数的四个命题::，，的共轭复数为，的虚部为，其中真命题为( )A．B．C．D．3．下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”．其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是()．A．－4 B．－2 C．0 D．－2或06．已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是()A．B．C．D．7．对于函数，下列说法正确的是()A．是奇函数且在（）上递增 B.是奇函数且在（）上递减C．是偶函数且在（）上递增D．是偶函数且在（）上递减8．定义：在数列中，若满足（，d 为常数），称为“等差比数列”。
已知在“等差比数列”中，则()A．B．C．D．9．已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是()A．B．C．D．10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。
已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有() A．80 种B．70 种C．40 种D．10种11．已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A．B．C．D．12.已知实数满足其中是自然对数的底数, 则的最小值为()A．8 B．10 C．12 D．18二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
高三数学周测试卷(理科)
高三数学周测试题（理数）第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z −的虚部是( ) A. i B. −i C. 1 D. −1 2. 集合A ={x|x 2>2x}，B ={−2,−1,0,1,2}，则(∁R A)∩B =( ) A. {−1,0,1}B. {−1,1}C. {0,1,2}D. {1,2}3. 设x ∈R ，则“sinx =1”是“cosx =0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在△ABC 中，已知AB =5，BC =3，CA =4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 16 B. 9 C. −9 D. −16 5. 已知数列{a n }满足a n+1=2a n (n ∈N ∗)，S n 为其前n 项和．若a 2=2，则S 5=( )A. 20B. 30C. 31D. 626. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0))的焦距为2√5，且实轴长为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±√5xD. y =±√52x7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为( )A. 16B. 14C. 13D. 128. 先将函数f(x)=sin(x −π3)图象上各点的横坐标缩短为原来的12，再把所得函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法错误的是( )A. 函数g(x)是奇函数B. 函数g(x)的最小正周期是πC. 函数g(x)图像关于直线x =π4+kπ(k ∈Z)对称 D. 函数g(x)在(−π6,π3)上单调递增9. 已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )附：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973A. 0.1359B. 0.7282C. 0.8641D. 0.9320510. 己知F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点M 在椭圆E上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1=12，则椭圆E 的离心率为( ) A. √33B. √53C. 2√33D. √3211. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA ⊥平面ABC ，SA =4，∠BAC =2π3，AB =2√3，M 是边BC 上一动点，则直线SM 与平面ABC 所成的最大角的正切值为( )A. 3B. 4√33C. √3D. 3212. 已知函数f(x)=xlnx ，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+a −1=0有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−2e,1−e)B. (1−e,0)C. (−∞,1−e)D. (1−e,2e)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则P(A|B)=______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosAcosB +a =2c ，则角B =______． 15. 已知(1+x)n 的展开式中，唯有x 3的系数最大，则(1+x)n 的系数和为______．16. 在等腰梯形ABCD 中，已知AB//CD ，AB =4，BC =2，∠ABC =60∘，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =19λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当λ=______时，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值为______. 三、解答题（本大题共4小题，共50.0分。
2020届湖南省永州市祁阳县高三上学期第二次模拟数学（理）试题
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根据 平分 ，用 ， 表示出 ，然后再根据点D在 上，求出 .
【详解】
由题知 平分 ，
所以 ，
又因为点D在 上，
所以 ，
故 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的向量表示，平面向量基本定理，属于基础题.
(2)函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是 .
15．已知平面向量 ， ， ，已知 ， ， ，且 ，则 的最大值是________.
【答案】
【解析】不妨设 ，然后求出 ， 的坐标，再根据 求出 的最大值.
【详解】
设 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
有 ，因为 ，
所以 ，
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】首先对实数 进行分类讨论，利用 求出实数a的取值范围.
【详解】
由题知函数 ，
当 时， ， ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ， ，
因为 ，
所以 ，
综上 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性求参数取值范围，属于基础题.
12．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则整数k的最大值是（）
，
易知当 时 取最大值，
最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，二次函数的最值问题，属于基础题.
三、解答题
16．已知函数 ，若存在实数t，使 值域为 ，则实数a的取值范围为____________.
【答案】
【解析】首先求出参数 的取值范围，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可求出实数a的取值范围.
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祁阳二中高三理科数学周考第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{(,)lg },{(,)}A x y y x B x y x a ====，若A B =∅，则是实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <B. 1a ≤C. 0a <D. 0a ≤2.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈为虚数单位）的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 3.执行如图所示的程序框图,输出的M 值是 （ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4.命题“x R ∃∈，使得()f x x =”的否定是 （ ） A. x R ∀∈,都有()f x x = B.不存在x R ∈,使()f x x ≠ C. x R ∀∈都有()f x x ≠ D. x R ∃∈使()f x x ≠5.已知等比数列{}n a 的前n 项积记为n ∏，若3488a a a =，则 9∏= ( ) A.512 B.256 C.81 D.166.如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是 ( )BAxx7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A. ()sin f x x x =+ B. cos ()x f x x =C. ()cos f x x x = D.3()()()22f x x x x ππ=--x8.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A.B. C. D. 29.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ),且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )= |x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3D.210.已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是 （ ）A.B. C. 37(,25)4 D. (5,25)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答)11.在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为 .12.∀x ∈R ，且x ≠0，不等式|x ＋1x|>|a －5|＋1恒成立，则实数a 的取值范围是13.如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝2，BC ＝6， ∠CAB ＝120°，则∠AOB 对应的劣弧长为 . (二)必做题(14～16题)14.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为________.15.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积为____________.俯视图侧视图正视图16.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足*()()2m ma f m N =∈,且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -=_____________. 【答案】8042 【解析】试题分析：20142006S S -=20072008200920102011201220132014a a a a a a a a +++++++.因为20072007()250122a f ==+⨯+，2008(1004)2502a f ==⨯，20092009()25022a f ==⨯，2010(1005)125022a f ==-+⨯+，2011250222a =-+⨯+，20122503a =⨯，201325032a =+⨯，2014125032a =-+⨯+.所以20142006S S -=8042.考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想. 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x =，21)(-⋅=x f . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =,1()22Af =, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.18．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，2PA =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值.20．（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=, 求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值.PFEA BD数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． DABCA DCBBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.ρcos θ＝2 3.12.(4,6) 13.22π 14. 2315．9 16．②③ 三、解答题：16. （本小题满分12分） 解: （Ⅰ）21sin )62sin()(2-++=x x x f π11cos 212cos 2222x x x -=++-x 2sin 23=……………………4分 所以()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.……………………5分 （Ⅱ）由1()22Af =和x x f 2sin 23)(=得: sin A =……………6分若cos 3A =，而C C C A sin 36cos 33)sin(+=+又C C A cos 2)sin(3=+,所以C C sin 2cos =因为π<<C 0，所以36cos =C若cos A =，同理可得：cos C =，显然不符合题意，舍去. …9分所以sin sin()3B A C C =+==……………………10分 由正弦定理得:sin sin a Bb A==……………………12分17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C …2分由题意知229512n C C =，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分故袋中原有白球的个数为6……………………6分 （Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. 2(1)3P X ==； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：……………10分所求数学期望为211110()12343414847E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点， 所以EF ∥PB ……………………2分 因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………4分 （Ⅱ）因为=1EA EB AB == 所以60ABE ∠= 又因为E 为BD 的中点所以ADE DAE ∠=∠所以2()180BAE DAE ∠+∠=得90BAE DAE ∠+∠=，即BA AD ⊥……………6分 因为=1EA EB AB ==，所以AD =分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系所以1(1,0,0),(0,0,2),(0,(,222B D P F E则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,2PB PD AE AF =-=-==………8分 设1111(,,)n x y z =、2222(,,)n x y z =分别是面PBD 与面AEF 的法向量则11112020x z z -=⎧⎪-=，令1n =又22220102y z x y +=⎨⎪=⎪⎩，令2(2n =-……………11分所以12121211cos ,19n n n n n n ⋅==……………12分 21．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c 由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=因1F 到直线AB 的距离为3,所以有31333=+--cc ,解得3=c ……………2分所以有3222==-c b a ……①由题意知:42221=⨯⨯b a ,即2=ab ……② 联立①②解得:1,2==b a所求椭圆D 的方程为1422=+y x ……………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为1422=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λλλλ+=+-=∴1,111my x ……………7分又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm 所以04)2)(23(2≥++=λλm解得：23λ≥-或2λ≤- ……………9分（Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182kk x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k+ 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k+ (1)当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴 于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………11分 (2) 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +-=+x k k k (14122)41822k k + 因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点 令0=x ,得:2416k kt +-=于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=由4)41()11516(4)(2222411=+-+=---=⋅k k k t y t x NQ NP ,解得:714±=k 代入2416k kt +-=,解得: 5142±=t 综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t . ……………14分。