高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——西姆松定理
ABC P BC AB AC D E F D E F ∆西姆松定理：若从外接圆上一点作、、的垂线，垂足分别为、、，则、、三点共线；9090180DE DF BDE FDC BDP BEP B E P D BDE BPE FDC PFCBEP PFC PCF PBA PBEBPE FPC BDE FDC D E F ∠=∠∠=∠=︒∴∴∠=∠∠=∠∠=∠=︒∠=︒-∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴证明：连接、，显然，只需证明即可；、、、四点共圆，同理可得：又且、、三点共线 ()P ABC L M N P ABC ∆∆西姆松的逆定理：从一点向的三边或它们的延长线作垂线，若其垂足、、在同一直线上，则在的外接圆上；ABC O O E C D Q R S O F B D P Q R P Q R S ∆∴证明：设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有：、、三点共线又、、、四点共圆且由西姆松定理有：、、三点共线、、、四点共圆1.ABC AD BE CF D E F D AB BE CF AC P Q R S P Q R S ∆例设的三条垂线、、的垂足分别为、、；从点作、、、的垂线，其垂足分别为、、、，求证、、、在同一直线上；ABC O O E C D Q R S O F B D P Q R P Q R S ∆∴证明：设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有：、、三点共线又、、、四点共圆且由西姆松定理有：、、三点共线、、、四点共圆2.ABCD D B AC AD E F EF BD ∠例四边形是圆内接四边形，且是直角，若从作直线、的垂线，垂足分别为、，则直线平分线段。
,90BG DC F E G BFD FDG DGB BFDG FG BD ⊥∠=∠=∠=︒∴∴证明：作由西姆松定理有：、、共线，又四边形为矩形对角线平分另一条对角线3.例求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；180AB BC CD AD AB CD E BC AD F BCE CDF GBGF BGC CGF BEC CDABGF A ABF G AED GBCE CDF ABF AED G ∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠=︒∴证明：如图，设四条直线、、、中，交于点，交于点，圆与圆的另一个交点为，即圆过点同理圆也过点圆、圆、圆、圆交于同一点G AB BC CD DA E L M N P L M N M N P L M N P 若点向、、、所作垂线的垂足分别为、、、、，由西姆松定理可知、、在一条直线上，、、在一条直线上，故、、、在同一条直线上4.ABC PQ P Q ∆例设的外接圆的任意直径为，则关于、的西姆松线是互相垂直的。
必备速看！高联中最常用的146个重要定理、公式、概念！（赶紧转给你身边即将参加联赛的数竞党）
必备速看！高联中最常用的146个重要定理、公式、概念！（赶紧转给你身边即将参加联赛的数竞党）在2008年之前，高中数学联赛第一试有选择题6道（占36分），填空题6道（占54分），解答题3道（占60分），第二试有3道解答题，各50分，其中一道为平面几何题，而从2009年起，其高联题型结构发生了较大的调整，其一试换成了8道填空题（每道8分，共64分）和3道解答题，分别为16分、20分、20分（共56分，满分120分），二试题量增加到了4道，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面，分值分别为40分、40分、50分、50分（满分180分），调整后的一试题量较少，难度向高考靠拢，二试题量增加，难度向国际竞赛靠拢，而高联的试题由各省（区、市）数学会提供，经精选出所需题量的2-3倍后，再由全国命题工作会议定稿，离今年联赛的时间越来越近，在最后这个阶段巩固基础、清理盲点、补漏重要定理、公式、概念是重中之重，而下方是联赛中最常用到的146个重要定理、公式、概念，其包含了代数中的集合、三角函数、不等式、数列、计数原理、复数、几何中的常用定理、面积与面积比、勾股定理与线段长度、共线点与共点线、圆、交比与调和点列、圆的幂和根轴、几何变换、几何不等式与极值、立体几何、三角法、解析几何、向量、复数几何，初等数论中的唯一分解定理、裴蜀恒等式、费马小定理、欧拉定理、中国剩余等定理以及组合中的抽屉原理、容斥原理、算两次、极端原理.曾有人说，高联是一场属于数竞党的高考，短短的半天，薄薄的两张试卷，却包含了数竞党坚持了无数个日日夜夜的努力，我们越过无数的坎坷荆棘，我们用一个个数学符号写下青春的诗性，我们走过无数的苦乐时光，我们用成堆的卷子、成箱的废笔让我们的数学梦想展开翅膀！—over如果需要这一份联赛中最常用到的146个重要定理、公式、概念的电子版，只要你答应小数君，能在9号狠狠地揍高联那家伙一顿的话，能把它揍的皮青脸肿的话，那就给小数君留下邮箱来吧！听说点赞的都能狠揍高联一顿☟。
高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理：1l ABC ABC BC CA AB BP P Q R 1PC CQ ARQA RB∆∆⋅⋅=定理：若直线不经过的顶点，并且与的三边、、或它们的延长线分别交于、、，则1A B C C B AC A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；1//ABC CK CE ACK E AK D AC F DE CK BF CE ∆∠例：若直角中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。
,901EBC B BH EBC ACK HBC ACE HBC HCB ACE HCB BH CE EBC BC EP CK EPCD AE KFACK D E F DA EK FCKF EK CK EP BP BK KF BK FC AE AC AC BC BE FC BEKF BKFKB KC KE∆∠∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠=︒⊥∴∆=∆⋅⋅=====∴∆≅证：在中，作的平分线则：即：为等腰三角形作上的高，则：对于和三点、、依梅涅劳斯定理有：于是＝即：＝依分比定理有：＝//CKE BF CE∆∴ 2P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021PC P Q R CQ AR QA RB∆∆⋅⋅=定理：设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，这时若，求证：、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R BQA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设'''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；1111112.P ABC A B C P BC CA AB A B C ∆例点位于的外接圆上；、、是从点向、、引的垂线的垂足，证明点、、共线；111111111111111cos ,cos cos cos ,cos cos ,,1BA BP PBCCA CP PCB CB AC CP PCA AP PABAB AP PAC BC PB PBAPAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC A B C CA AB BC ⋅∠=-⋅∠⋅∠⋅∠=-=-⋅∠⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=⋅⋅证：易得：将上面三条式子相乘，且可得＝，依梅涅劳斯定理可知、、三点共线；1111111111111::K A B C DACA D AC AD ABCD BC BD B C B D =【练习】从点引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于、、、和、、、，试证：2ABC BC CA AB DEF EF BC FD CA DE AB X Y Z ∆【练习】设不等腰的内切圆在三边、、上的切点分别为、、，则与，与，与的交点、、在同一条直线上；1111121121122223AA BB CC O AB A B C BC B C A AC A C B A B C 【练习】已知直线，，相交于，直线和的交点为，直线与的交点是，直线与的交点是，试证：、、三点共线；4E C A B F D AB ED CD AF CD AF EF BC L M N L M N 【练习】在一条直线上取点、、，在另一条上取点、、，记直线和，和，和，和的交点依次为、、，证明：、、共线11111111111111111111111111111111//11111:AD A D AD A D L A AL B BL LD A K A C LC B KAD LC AK BC LD A D AK AC A K LC LC B C BK B D LD BK BD B K LD A C B D AD BC AC BD A D B C A AC AD BC BD ∆∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅==练习的证明证：若，结论显然成立；若与相交与点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：将上面四条式子相乘可得：即：1111111:C AD B C B D21112BX CE AFABC XFE XC EA FBBX FBAE AF XC CE CY DC AZ EAYA AF ZB BDBX CY AZXC YA ZBX Y Z ABC X Y Z ∆⋅⋅==⋅⋅=∆练习的证明证：被直线所截，由定理可得：又代人上式可得：＝同理可得：＝＝将上面三条式子相乘可得：又、、都不在的边上，由定理可得、、三点共线2221111111121121121121121121121121123(,),(,),(,)111A B C BC B C AC A C AB A B OAB A B C OBC B C A OAC A C B AA OB BC OC BB CA OA CC AB OA BB AC CC OB BA AA OC CB BC ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=练习的证明证：设、、分别是直线和，和，和的交点，对所得的三角形和在它们边上的点：和，和，和，应用梅涅劳斯定理有：将上面的三条式子相乘可得：2222222221,,AB CA AC CB BA A B C ⋅⋅=由梅涅劳斯定理可知共线4(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)11111EF CD EF AB AB CD U V W UVW L D E A M F B C N A C E B D F UE VL WD VA UF WM UN WC VBVE WL UD WA VF YM VN UC WB WA UC VE WB UD VFVA WC UE VB WD UFVL W WL ∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅练习的证明证：记直线和，和，和的交点分别为、、，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有将上面五条式子相乘可得：1,,,M UNL M N UM VN⋅=∴点共线。
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集1.梅涅劳斯定理出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/D C)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。
如百科名片中图。
※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理△ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A.当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。
《定理2》余弦定理△ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；（*）b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有=（bcosA-c2）+(bsinθ)2即a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。
《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。
在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则EACEBD BC =代入已知式：1=⋅⋅FB AF BD BC DC BD 于是 CBDCFB AF =， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF（Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得1='⋅⋅B F AF EA CE DC BD 而已知1=⋅⋅FB AFEA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FBAF AFB F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+' AF F A =' 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则证明简介：在△ABD 和△ABC 中，由余弦定理，得《定理7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BD AC AD BC CD AB •=•+•的充要条件是共圆ABCD《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
高中数学竞赛平面几何常用定理
（高中）平面几何常用基本定理1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=．4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p ah a sin sin sin ))()((2===---=．5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DCBD=；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp cb t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 张角定理：ABDAC ACBAD ADBAC ∠+∠=∠sin sin sin ．7． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．8． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 9． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 10． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 11． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．12． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 13． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ． 14． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．15． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．16． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．17． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;18． （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．19． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．20． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d2=R2－2Rr ．21． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．22． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(CB AC B A y y y x x x G ++++23． 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；24．（2）设G 为△ABC 的重心，则ABCAC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；25． （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；26． （4）设G 为△ABC 的重心，则27．①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+；28． ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；29．③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；30．④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；31． ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．32． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C cB b A a yC cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++33．垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； 34． （2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；35． （3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； 36． （4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．37． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；38． ),(c b a cy by ay c b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++39． 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然； 40．（2）设I 为△ABC 的内心，则CAIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；41．（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；42．（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则a cb KD IK KI AK ID AI +===； 43．（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．44． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； 45．)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O CB AC B A ++++++++46． 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；47． （2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；48． （3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．49．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ． 50． 三角形面积公式：C B A R R a b cC ab ah S a ABCsin sin sin 24sin 21212====∆)c o tc o t (c o t4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=．51．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===52． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立）53． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．54． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．55．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．56．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．57．塞瓦定理的逆定理：（略）58．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．59．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．60．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．61．西摩松定理的逆定理：（略）62．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．63．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．64．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P 的西摩松线通过线段PH的中心．65．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC的镜象线．66．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．67．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．68．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．69．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A 和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．70．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．71．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R 关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．72．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．73．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．74．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．75．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．76．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．77．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．78．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）79．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．80．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．81．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．82．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．83．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．84．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L 两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．85．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．86．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．87．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．88．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．89． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的（或延长线的）交点共线．90． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆． 91． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．92． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．93． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．94． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC ＝BC·DC·BD 。
奥林匹克数学竞赛简介名词解析
奥林匹克数学竞赛简介名词解析“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年和1935年，苏联开始在列宁格勒和莫斯科举行中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举行第一届国际数学奥林匹克。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
有关专家以为，只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学，而能一途经关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。
简介国际奥林匹克数学竞赛奖项名称: 国际奥林匹克数学竞赛其他名称: International Mathematics Olympiad开办时刻: 1959年主办单位: 由参赛国连番主办奖项介绍国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，活着界上阻碍超级之大。
国际奥林匹克竞赛的目的是：发觉鼓舞世界上具有数学天份的青青年，为各国进行科学教育交流制造条件，增进各国师生间的友好关系。
这一竞赛1959年由东欧国家发起，取得联合国教科文组织的资助。
第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。
以后国际奥林匹克数学竞赛都是每一年7月举行（中间只在1980年断过一次），参赛国从1967年开始慢慢从东欧扩展到西欧、亚洲、美洲，最后扩大到全世界。
目前参加这项赛事的代表队有80余支。
美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。
通过40连年的进展，国际数学奥林匹克的运转慢慢制度化、标准化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。
国际奥林匹克数学竞赛由参赛国连番主办，经费由东道国提供，但旅费由参赛国自理。
参赛选手必需是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生6人，另派2名数学家为领队。
试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。
东道国不提供试题。
试题确信以后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译本钱国文字。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理△ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A.当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。
《定理2》余弦定理△ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；（*）b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有=（bcosA-c2）+(bsinθ)2即a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。
《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。
在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则EACEBD BC =代入已知式：1=⋅⋅FB AF BD BC DC BD 于是 CBDCFB AF =， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF（Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得1='⋅⋅B F AF EA CE DC BD 而已知1=⋅⋅FB AFEA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FBAF AFB F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+' AF F A =' 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则证明简介：在△ABD 和△ABC 中，由余弦定理，得《定理7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BD AC AD BC CD AB •=•+•的充要条件是共圆ABCD《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
例题：1． 设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAFED AE 2=。
【分析】CEF 截△ABD→1=⋅⋅FABFCB DC ED AE （梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一 作CF 的平行线2、 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→（梅氏定理）例1例2DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】梅氏定理4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】塞瓦定理5．已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】托勒密定理过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
【分析】托勒密定理7．过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠求证：.DBQ PAC ∠=∠7． △ABC 的BC 边上的高AD 的延长线交外接圆于P ，作PE⊥AB 于E ，延长ED 交AC 延长线于F 。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
【分析】西姆松定理（西姆松线）8． 正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 分别被内分点M 、N 分成的比为AM ：AC=CN ：CE=k ，且B 、M 、N 共线。
求k 。
（23-IMO-5） 【分析】面积法例1 如图，G 是∆ABC 内一点AG ，BG ，CG 的延长线分别交对边于D ，E ，F ， ∆AGF ，∆BGF ，∆BGD 的面积分别为40，30，35。
求∆ABC 的面积。
例2，已知AC ，CE 是正六边行ABCDEF 的两条对角线，点M ，N 分别内分AC ，CE ，且使k CECNAC AM ==。
如果B ，M ，N 三点共线，试求 k 的值变式，已知AC ，CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点M ，N 分别内分AC ，CE ，G B AC E F D3530 40且使，33==CE CN AC AM 求证：B ，M ，N 三点共线。
例3，如图，过∆ABC 的三个顶点A ，B ，C 作它的外接圆的切线，分别和BC ，CA ，AB 的延长线交于P ，Q ，R 。
求证：P ，Q ，R 三点共线。
例4。
设AF ，BE ，CD 分别是∆ABC 的内角平分线，中线和高，且AC=b,AB=c,求证：AF ，BE ，CD 三线共点的充要条件是cosA=，)(c b c+例4，在凸四边形ABCD 中，∠CAB=∠CAD ，E 和F 分别是边CD ，BC 上的点，且满足∠CAF=∠CAE ，求证：AC ，BE ，DF 三线共点。
变式：在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。
在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于G ，延长DG 交BC 于F 。
求证：∠FAC=∠EAC 。
一、 圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠求证：.DBQ PAC ∠=∠{证明}如图，联结AB ，在△ADQ 和△ABC 中，∠ADQ=∠ABC ，∠DAQ=∠PBC=∠CAB ，故△ADQ ∽△ABC ，而有BC DQAB AD =，即BC AD AB DQ ⋅=⋅.……（10分）又由切割线定理知△PCA ∽△PAD ，故PC ACPA AD =；同理由△PCB ∽△PBD 得PC BCPB BD =.……………………………………（20分）B A D EC A又因PA=PB ，故AC BCAD BD =， 得AC BD BC AD AB DQ ⋅=⋅=⋅.………………………………………（30分）又由关于圆内接四边形的托勒密定理知AC BD BC AD AB CD ⋅+⋅=⋅.于是得2AB CD AB DQ ⋅=⋅，故12DQ CD=.即CQ DQ =………………………（40分）在△CBQ 与△ABD 中，,AD DQ CQBCQ BAD AB BC BC ==∠=∠，于是△CBQ ∽△ABD ，故CBQ ABD ∠=∠，即得DBQ ABC PAC ∠=∠=∠.…………………………………(50分)二．如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。
求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。
证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC 又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC ∴OB ⊥DF ．(2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2∴OH ⊥MN …………………………………………………………………… 50分。