奈奎斯特定理1
香农奈奎斯特采样定理
香农奈奎斯特采样定理
香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist Sampling Theorem）是一项基本的信号处理原理，它规定了一个连续时间信号的采样频率应该至少是该信号中最高频率成分的两倍，以便在离散时间中完整地重构原始信号。
这个定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）和哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出的。
具体来说，香农-奈奎斯特采样定理表述如下：
如果一个连续时间信号的最高频率成分为f_max，那么为了在离散时间中准确地重建原始信号，采样频率f_s（采样率）必须满足：
f_s ≥ 2 * f_max
这意味着采样频率应至少是信号中最高频率的两倍。
如果采样频率不满足这个条件，就会出现所谓的"混叠"或"奈奎斯特折叠"，导致信号在离散时间中无法准确还原。
香农-奈奎斯特采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理和各种数据采集应用中具有重要作用。
它强调了适当选择采样频率的重要性，以避免信息丢失和混叠问题，确保准确的信号重建。
因此，合理的采样频率选择是数字信号处理的基本原则之一。
奈奎斯特第一准则公式
奈奎斯特第一准则公式奈奎斯特第一准则是奈奎斯特定理的基础，用于描述信号在时域和频域之间的关系。
奈奎斯特第一准则可以用一个简单的公式来表示，即：Nyquist First Criterion: 传输速率 R 不大于信道带宽 B 的两倍。
这个准则是由美国科学家哈里·尼科拉斯·奈奎斯特（Harry Nyquist）在1928年提出的。
他的研究主要关注信息理论和通信工程，奈奎斯特第一准则是他在这一领域的重要贡献之一。
该公式的含义是，为了在不产生信号失真的情况下传输数据，传输速率必须小于信道带宽的两倍。
这个规定源于奈奎斯特的观察和分析，他发现如果超过该速率，则信号的频谱将会发生重叠，导致信息丢失。
奈奎斯特第一准则的一个重要应用是在数字通信中。
数字通信通常使用调制技术将数字信号转化为模拟信号进行传输。
在传输过程中，信号会受到噪声和失真的影响。
为了尽可能地减少这些干扰，必须选择合适的传输速率。
根据奈奎斯特第一准则，如果一个信道的带宽为B，那么最高可靠传输速率R的上限为2B。
超过这个速率，信号的频谱会重叠，导致信号在接收端无法恢复原始的数据。
在实际应用中，为了保证可靠的数据传输，通常会选择一个比2B略小的传输速率，以留有一定的余量来应对噪声和信号失真。
这个余量被称为奈奎斯特保护带宽。
虽然奈奎斯特第一准则在传输速率的选择上提供了一个重要参考，但它并不能完全解决信号传输中的所有问题。
在实际应用中还需要考虑其他因素，如信号编码、调制技术、误码率等。
总之，奈奎斯特第一准则是在信号传输中非常重要的一个原理。
它提醒我们在选择传输速率时要考虑信道带宽的限制，以保证数据的可靠传输。
在实际应用中，可以借助这个准则来确定适当的传输速率，并采取相应的措施来提高数据传输的质量。
奈奎斯特采样定理的公式
奈奎斯特采样定理的公式奈奎斯特采样定理在数字信号处理领域中可是个相当重要的概念，它有个关键的公式呢。
咱先来说说啥是奈奎斯特采样定理。
简单讲，就是为了能完美地从采样后的信号中还原出原始信号，采样频率得大于原始信号最高频率的两倍。
这就好比你要给一个快速奔跑的人拍照，如果快门速度太慢，拍出来的照片就会模糊，看不清他的动作；但如果快门速度够快，就能清晰地记录下他的每个瞬间。
那奈奎斯特采样定理的公式就是：$f_s \geq 2f_{max}$ 。
这里的$f_s$ 表示采样频率，$f_{max}$ 表示原始信号的最高频率。
我还记得有一次给学生们讲这个定理的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我就给他举了个例子。
比如说咱们听音乐，音乐里有各种高低不同的声音频率，如果采样频率不够，高音部分就可能会丢失或者变得模糊不清，那咱们听到的音乐就会走样啦。
再说在通信领域，要是手机信号的采样不符合奈奎斯特采样定理，那通话的时候声音可能就会断断续续，甚至完全听不清对方在说啥。
想象一下，你正跟朋友煲电话粥，结果对方的声音一会儿有一会儿没有，那得多抓狂！在图像处理中也是一样，如果对图像的采样频率不够，图像就会出现锯齿、模糊等问题。
就像咱们看老电影，有时候画面不清晰，就是因为当时的技术达不到足够的采样频率。
回到这个公式，它虽然看起来简单，就几个字母和符号，但背后蕴含的意义可深远着呢。
它就像是一把尺子，衡量着我们在数字世界中捕捉和还原真实信息的能力。
咱们在实际应用中，得时刻记住这个公式，根据不同的信号特点，合理地选择采样频率。
不然，就可能会出现各种让人头疼的问题。
总之，奈奎斯特采样定理的这个公式虽然简洁，但却威力无穷，是数字信号处理领域的重要基石。
咱们可得好好掌握它，才能在这个数字化的世界里游刃有余呀！。
采样定理和奈奎斯特定理
采样定理和奈奎斯特定理1 采样定理采样定理又称为抽样定理或者采样-再构建定理，是数字信号处理和声学认知中重要的定理。
它指出，只要采样信号的频率高于Nyquist 频率，就可以从采样信号中恢复原始信号。
采样定理可以说是数字信号处理中的经典成果之一。
采样定理的发现最早属于美国科学家Harry Nyquist，他于1928年提出了采样定理，他的定理又称为Nyquist定理，他明确的指出了采样和记录信号的条件，要求采样信号的频率必须大于称之为Nyquist 频率的二倍才能精确的采样出信号描述的形状。
采样定理的核心精神是这样的，只要待采样的信号具有有限的频带，并且采样频率超过该信号的Nyquist频率，就能够通过采样频率正确得采样出信号，这样采样出来的信号就没有任何失真。
在NJQ频率(Nyquist频率)可以称为最低保真度频率，任何高于NJQ频率的采样都可以保证无失真，任何低于NJQ的采样将产生失真。
2 奈奎斯特定理奈奎斯特定理是由乔治·梅克尔·奈奎斯特于 1947年发现的，它是数字信号处理的概念，主要指出了数字信号处理系统中滤波器的特性。
它是采样定理的推广，是信号处理领域当之无愧的重要定理。
奈奎斯特定理指出，任何有限带宽的滤波器都可以通过采样和再构造技术被完全模拟，而且采样频率只需要比滤波器的有效频带宽度大一倍即可。
在实际的数字信号处理系统中，滤波器的频率和时间的信息表示在数字空间中就会消失不见，因为它们的分量频率没有被采样到，而奈奎斯特定理恰好可以解决这个问题，滤波器就可以在数字空间重新被模拟出来，这就可以恢复数字信号处理系统中分量频率的时间和频率的信息表示。
因此，奈奎斯特定理可以为数字信号处理系统提供了完美的模拟滤波器，可以实现信号的恢复。
而且，奈奎斯特定理具有无失真、精度远超传统数字信号处理的优点，因此它在数字信号处理的领域中得到了广泛的应用。
奈奎斯特采样定理和香农采样定理
奈奎斯特采样定理和香农采样定理
一、奈奎斯特采样定理
1、奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem）指出，对
任何一个连续的时间函数，如果它在时间轴上有频率不超过一个上限，则只要把它采样频率设计在该上限的两倍以上即可完全重建出这个
函数。
奈奎斯特采样定理是数字信号处理的基本原理之一，该定理指出如果采样频率大于两倍最高信号频率，则可以完全重建出信号的完整信息。
该定理的意义在于，在信号数字化时，我们只需要采样频率大于信号最高频率两倍即可精确无损地重建信号，因此也可称其为“无损采样定理”。
2、基于奈奎斯特采样定理，在模拟信号转换为数字信号时，需
要将模拟信号先做低通滤波，使阻带范围不超过采样频率的一半，被称为“奈奎斯特限制频率”，与此同时，将采样频率设置在奈奎斯特
限制频率的两倍以上，这样可以保证数字信号重建时无损传输。
二、香农采样定理
1、香农采样定理（Shannon Sampling Theorem）又称“总变换
定理”，由Shannon于1949年提出，表明任何一个带宽有限的连续信号都可以通过取样的方式近似表示，而且取样频率满足一定条件时，信号可以完整的重建。
2、香农采样定理的条件是采样频率为该信号的频率范围的两倍
以上，并且频率范围的宽度要大于频谱中峰值频率的两倍，此时采样
时的取样频率叫做重建阈值，即信号可以完整重建所需要的最低采样频率。
香农采样定理是分析数字信号的基础原理，它解决了模拟信号数字化的问题，指出任何一个带宽有限的连续信号都可以通过取样的方式近似表达，并且只要实现正确的采样取样频率，就可以完整重建数字信号。
奈奎斯特定理内容
奈奎斯特定理内容奈奎斯特定理是世界上最重要的数学定理之一，也称为欧几里得定理，也被称作永恒定理。
它由希腊数学家艾克索斯奈奎斯特于四至五世纪发现，指出任何一个大于等于三的自然数的平方加一都可以分解成两个质数的乘积。
定理表述如下：设p,q为两个质数,则任意的正整数n>2的平方加一都可以写成p×q的形式，即：n^2+1=(p×q)即存在两个正整数p,q，使得：n^2+1=pq经过多年实践只有少数几种情况，甚至怀疑奈奎斯特定理是否成立，直到1770年拉普拉斯发现通过费马定理可以有效证实这一定理，这成为数学史上的一大里程碑。
奈奎斯特定理的证明拉普拉斯在费马定理的基础上证明了奈奎斯特定理，费马定理可以简单地表述为：如果p是一个质数，且a不是p的整数倍，那么a^(p-1)=1 (mod p)。
令a=n^2，那么根据费马定理可以得到：n^2^(p-1)=1 (mod p)。
注意这里的p是一个质数，所以可以将p-1表示为由若干个质数相乘，如：p-1=2×3×5……，因此可以将n^2^(p-1)=1 (mod p)个等式化简为：n^(p-1)=（1/n^2）(mod p)根据上述的表达式，可以推出：n^2×n^(p-1)=1 (mod p)由此，可以得出：n^2+1=n^2×（1+n^(p-1)）=n^2×(1+（1/n^2）) (mod p) 根据二项式定理可以知道：（n^2+1）/（1+n^(p-1)）=（n-1）×（n+1）由此可以得出：（n-1）×（n+1）=n^2×（1+（1/n^2））(mod p)而（n-1）和（n+1）即为n^2+1的分解，其中（n-1）和（n+1）均为p的因子，所以可以说，任意的大于等于三的自然数的平方加一都可以分解成两个质数的乘积。
奈奎斯特定理的重要意义奈奎斯特定理的发现具有深远的影响，它证明了一个长期被怀疑的定理，同时也为当时古希腊数学家创造出一种无限增长的方法，而且它也是比特币的基础原理来源之一，去中心化货币有非常广泛的应用。
简述奈奎斯特时域采样定理的内容
简述奈奎斯特时域采样定理的内容
奈奎斯特时域采样定理是由美国信号处理理论家尼尔萨维奈特（N.E.Sviatot）和他的同事彼得库卡（P.Kurka）于1949年分别发
布的两个独立定理。
它深刻改变了时间域信号处理的理论基础，成为现代数字信号处理的理论基石。
定理一：如果一个时间域信号的加权积分（即信号与时间函数之间的乘积）大于或等于零，则其有限频率范围内的频谱必定是连续函数。
定理二：光滑的时域信号（即瞬时加权积分大于或等于零的信号）的两次连续采样，即采样频率大于两倍的信号的全频率成分准确重构，即通过两个采样点就可以准确确定一个光滑时域信号。
这两个定理在数字信号处理和数字通信系统中有着重要应用。
它们指出当我们将一个光滑的时域信号进行两次采样，我们可以准确地确定它的全部频率范围内的所有成分，这意味着我们可以通过采样频率大于两倍的信号频率来重构原始信号，而不用在原始信号的所有频率成分上进行采样。
因此，根据这两个定理的理论，我们可以以较低的采样频率进行采样，从而节约存储空间和采样时间，而做到不损失信号精度。
奈奎斯特时域采样定理在数字技术领域中有着广泛而深远的影响。
例如，许多视频编码标准，如MPEG-2，H.264和H.265，都依赖于奈奎斯特时域采样定理来重构视频流。
此外，它还可以用于模拟信号转换为数字信号，在时域信号处理和图像处理方面也有着可观的应
用前景。
总的来说，时域采样定理是数字信号处理的一个重要理论。
它的应用范围非常广泛，能够深刻地影响信号的存储和处理，帮助我们提高存储空间的效率，从而实现数字信号的精准处理。
奈奎斯特定理和香农公式(一)
奈奎斯特定理和香农公式(一)奈奎斯特定理和香农公式1. 奈奎斯特定理•奈奎斯特定理是一种关于采样和重构信号的定理。
它主要用于描述如何选择合适的采样频率，以避免采样信号时引入失真。
•奈奎斯特定理可表述为：如果一个信号的最高频率为f_max，那么它的采样频率f_s 必须满足 f_s > 2*f_max，才能完美还原信号。
2. 香农公式•香农公式是描述信号的采样频率与所需的比特率之间的关系。
•香农公式可表述为：对于理想采样和无噪声的情况下，要精确恢复比特率为R的信号，需要采样频率f_s满足 f_s > 2*R。
信号的比特率•信号的比特率是指单位时间内传输的比特数。
它反映了信号中携带信息的速率。
•以数字通信为例，比特率可以表示为每秒传输的bit个数。
采样频率和比特率的关系•根据香农公式，采样频率要能够完美还原比特率为R的信号，必须满足采样频率f_s > 2*R。
•在数字通信中，常用的调制方案包括二进制调制（BPSK）和四进制调制（QPSK）等。
对于二进制调制，每个比特表示一个二进制位，而对于四进制调制，每个比特表示两个二进制位。
•假设使用二进制调制传输信号，比特率为R，则采样频率f_s必须满足 f_s > 2*R。
•假设使用四进制调制传输信号，比特率为R，则采样频率f_s必须满足 f_s > 4*R。
3. 应用举例•假设有一个音频信号，它的最高频率为20 kHz。
为了能够完美还原该音频信号，根据奈奎斯特定理，采样频率必须大于40 kHz。
•如果该音频信号的比特率为16 kbps，则根据香农公式，采样频率必须大于32 kHz。
•因此，为了能够完美还原该音频信号，采样频率必须大于40 kHz 并且大于32 kHz，所以最低采样频率为40 kHz。
通过以上例子，可以看出奈奎斯特定理和香农公式在信号采样中的重要性，它们提供了选择合适采样频率的依据，以确保信号的高质量传输与还原。
在实际应用中，我们可以根据信号的最高频率和比特率来确定合适的采样频率，从而保证信号的准确传输和重构。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作者：安捷伦科技公司Phil Stearns
在针对某个测量需求而选择示波器时，我们首先考虑的第一件事就是需要多大的带宽才能精确地重建我们的信号。
毕竟，示波器的带宽能够告诉我们将保持多大的频谱频率以及能够兼容的最大信号跳变速度。
我们在指定某台示波器时都要指出它的额定带宽，例如“500MHz XYZ型”，有些示波器甚至在其型号中内嵌了带宽指标。
但是，这种“标题式”的指标仅仅给出了示波器前端电路所容许的最大带宽。
示波器的有效带宽，以及你所能捕捉、存储和显示的信号的最大频率分量取决于它的采样速率，而采样速率又受限于其采样存储器的深度。
简单分析带宽、采样速率和存储器深度三者之间的关系，有助于我们掌握选择示波器的权衡方法以及如何减轻它们对带宽的影响，从而实现更可信的测量。
快速回顾奈奎斯特定理
我们熟悉的奈奎斯特-香农定理指出，信号正确重构的条件是：采样率至少是信号最高频率的两倍。
如果我们假设所有的采样在时间上都是等间隔的，那么所有示波器的采样速率必须保持为其额定带宽的两倍，以避免被捕捉信号的带宽下降。
但是，奈奎斯特定理也在理论上假设了一个滤波器，称为“砖墙式”滤波器，它不仅能够通过所有低于带宽截止频率界限的频率分量，而且消除了所有高于此带宽的频率分量（如图1所示）。
具有硬件/软件砖墙式滤波功能的高性能滤波器可能能够兼容低达 2.5倍带宽的采样速率。
但是对于主流示波器，这种滤波器通常是不现实的，也是不需要的。
图1 在理想的砖墙式滤波器下，采样速率逼近奈奎斯特-香农采样定理的2倍以
上的理论限制
在通常的主流示波器中，其滤波器的衰减并不像这样迅速（如图2所示）。
这些滤波器的实现方式都比较经济，它们的时域响应都是比较容易预测的。
所需的权衡之处在于，必须采用更加保守的采样速率，过采样带宽要达到4倍以上。
只要
我们保持4倍的过采样速率，那么就可以保证示波器的额定带宽。
但是，任何会引起采样速率下降的因素都会导致低于额定带宽频率的失真问题。
图2 实际的示波器输入滤波器特征采用了更加保守的过采样速率，一般为4倍存储器的影响
存储器容量与采样速率是两个相互影响的指标。
因为在任何扫描时间（t/div）的设置下，示波器的显示窗口大小都是固定的，所以没有一种能够让时间和存储容量同时达到最大化的设置。
但是，更重要的是要保持数据采集（采样）的速率，即示波器的带宽，以便能够利用所有的存储器。
通过简单的计算即可得到填充显示窗口所需的数据点数量：
每波形点数= 采样速率×t/div×分区数目(armtt6)
例如，某个示波器具有5GS/s的采样速率，10时间分割设置为100ns/div。
那么每波形点数等于5×109点/s×100×109s/div×10div，即500点。
只要示波器有足够大的存储容量来填充显示窗口，那么采样速率就可以保持不变。
但是，如果保持这样高的采样速率，那么就会导致数据量超过存储器的最大容量，我们必须降低采样速率，以填充所分配的时间区间。
通过下列图形（如图3所示），我们很容易理解如何降低采样速率以达到较慢的扫描速度。
假设现在有两台500MHz带宽的示波器，其中具有较大存储容量的示波器可以在更多的设置下维持较高的采样速率。
这说明什么呢？让我们重新进行奈奎斯特分析。
图3 必须降低采样速率以便用足够的显示数据填充存储器
采样速率的降低限制了示波器的有效带宽
示波器1在500ns/div以上的所有t/div设置下采用最大8倍带宽的过采样速率，在500ns/div点之后采样速率开始下降。
但是，直到采样速率低于2GS/s（4倍过采样）时才会引起明显的失真现象。
这出现在1μs/div设置下。
这时，采样速率的任何下降都会导致示波器的有效带宽降低。
结论
我们从以上的分析中可以得出三个结论：带宽受限于示波器的有效采样速率。
在较慢的t/div（扫描时间）速度下采样速率会降低。
增大数据采集存储容量可以推迟采样速率开始下降的起始点。
这些结论对示波器的选择与调试方法有哪些影响呢？实际上这取决于你所观察
的信号。
如果你比较注重信号采样（例如信号上跳沿和瞬时事件），那么很容易将你的示波器时标设置与你所观察波形的频谱分量匹配起来——快速的条边沿需要快速的扫描速度。
如果你需要观察既包含慢事件又包含快事件的复杂信号（例如调制信号或趋势信号），你应该考虑将小存储容量的示波器（低于10万次采样）换成具有较大存储容量的示波器（至少1×106次采样）。
如果无法改变当前的设备选择，可以将整个分析过程分成几个便于管理的步骤。
利用较慢的t/div设置分析较慢的信号趋势；然后切换到较快的扫描时间设置分
析高带宽信号事件。
如果采用这一方法，可以采用上述计算过程画出示波器的t /div与带宽之间的关系。
对于单发探测（single-shot acquisition）而言，带宽和有效采样速率之间的权衡策略是相同的，但是它的思维模型和有关结论稍微有些不同。
在单发探测中，我们希望采样时间尽可能得长（和测量所需的时间一样长），采样的速度尽可能得快。
高采样速率对于保持信号保真度，同时放大单个跳变的信号细节是非常重要的。
它通过一次采样即可准确测量信号的大事件和微小事件。
如果无法保持高采样速率（带宽），那么应该通过单独的采样测量这些事件。
结束语
本文的分析有助于读者理解示波器性能的一些重要特征，值得注意的是，这里对带宽、采样速率和存储容量之间关系的分析仍然比较粗略。
实际的带宽问题更加复杂，其中有些因素，例如通带平坦度和频率衰减，需要更深入的分析。