经典动力学及其发展
6.6 经典力学的局限性
三、从弱引力到强引力
阅读教材P50-P51，思考： 1. 经典力学与行星轨道的矛盾是什么？
2
m0为物体静止时的质量 m是物体速度为v时的质量 c是真空中的光速
光在真空中的 c 3.0 108m / s
【例1】 如果真空中的光速为c=3.0×108 m/s,当一个物体的 运动速度为v1=2.4×108 m/s时，质量m1= 3 kg。当它的速度 为v2=1.8×108 m/s时，质量m2为多少？
从低速到高速---速度变换公式
例：一列火车正以v＝50 m/s的速度高速行驶，列车内一乘客以相对列车u′＝ 5 m/s的速度向前跑，站台上的观察者测得该乘客的速度是u＝v＋u′＝55 m/s. 若列车的速度是0.9c，乘客的速度是0.5c，那么站台上的观察者测得该乘客的 速度是0.9c＋0.5c＝1.4c吗？
答案 不是，光速c是极限速度.
相对论认为： 同一过程的位移和时间测量在不同参考系中是不同的，因 此上式不能成立，经典力学也就不适用了。
从低速到高速---相对论速度变换公式
v
u
车对地的速度为v，人对车的速度为u/
地面上的人看到车上人 相对地面的速度为：
u
u v
1
uv c2
注：如果车上人运动方向与火车运动方向相反，则u/ 取负值
普朗克常数 h 6.631034 J s
旧量子论：普朗克，爱因斯坦，玻尔；
新量子论：海森堡，狄拉克，薛定谔，泡利，德布罗意，玻恩，费米，狄拉克，康普 顿
物理学的“全明星”合影
1927年索尔维会议照片（彩色为后期技术处理）
力学的探究与经典力学的成就
力学的探究与经典力学的成就力学知识最早起源于对自然现象的观察和在生产劳动中的经验。
人们在建筑、灌溉等劳动中使用杠杆、斜面、汲水等器具，逐渐积累起对平衡物体受力情况的认识。
古希腊的阿基米德对杠杆平衡、物体重心位置、物体在水中受到的浮力等作了系统研究，确定它们的基本规律，初步奠定了静力学即平衡理论的基础。
古代人还从对日、月运行的观察和弓箭、车轮等的使用中，了解一些简单的运动规律，如匀速的移动和转动。
但是对力和运动之间的关系，只是在欧洲文艺复兴时期以后才逐渐有了正确的认识。
伽利略在实验研究和理论分析的基础上，最早阐明自由落体运动的规律，提出加速度的概念。
牛顿继承和发展前人的研究成果(特别是开普勒的行星运动三定律)，提出物体运动三定律。
伽利略、牛顿奠定了动力学的基础。
牛顿运动定律的建立标志着力学开始成为一门科学此后，力学的研究对象由单个的自由质点，转向受约束的质点和受约束的质点系。
这方面的标志是达朗贝尔提出的达朗贝尔原理，和拉格朗日建立的分析力学。
其后，欧拉又进一步把牛顿运动定律用于刚体和理想流体的运动方程，这看作是连续介质力学的开端。
从牛顿到汉密尔顿的理论体系组成了物理学中的经典力学。
在弹性和流体基本方程建立后，所给出的方程一时难于求解，工程技术中许多应用力学问题还须依靠经验或半经验的方法解决。
这使得19世纪后半叶，在材料力学、结构力学同弹性力学之间，水力学和水动力学之间一直存在着风格上的显著差别。
这时的先导者是普朗特和卡门，他们在力学研究工作中善于从复杂的现象中洞察事物本质，又能寻找合适的解决问题的数学途径，逐渐形成一套特有的方法。
从20世纪60年代起，计算机的应用日益广泛，力学无论在应用上或理论上都有了新的进展。
力学在中国的发展经历了一个特殊的过程。
与古希腊几乎同时，中国古代对平衡和简单的运动形式就已具备相当水平的力学知识，所不同的是未建立起像阿基米德那样的理论系统。
到明末清初，中国科学技术已显著落后于欧洲。
动力学演变牛顿第二定律的推导与应用
动力学演变牛顿第二定律的推导与应用牛顿第二定律是经典力学中最重要的定律之一，描述了物体在外力作用下的运动规律。
本文将对牛顿第二定律进行推导，并探讨其在实际问题中的应用。
一、牛顿第二定律的推导牛顿第二定律可以表述为：物体的加速度等于作用在它身上的力与物体质量的乘积。
即 F = m·a，其中 F 表示力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
我们将从牛顿第一定律和牛顿第二定律的定义入手进行推导。
根据牛顿第一定律，一个物体如果受到合力为零的作用，则物体将保持静止或匀速直线运动。
假设现在有一个质量为 m 的物体受到一个合力 F，根据牛顿第一定律，物体将产生加速度 a。
根据牛顿第二定律的定义，我们有 F = m·a。
通过对物体质量和加速度的定义以及力的定义进行代入，可以推导出牛顿第二定律的表达式。
二、牛顿第二定律的应用牛顿第二定律广泛应用于许多实际问题中，下面将介绍其中两个常见的应用。
1. 自由落体运动自由落体是指只受重力作用下的运动，没有其他外力干扰。
在自由落体运动中，牛顿第二定律可以简化为 F = m·g，其中 m 表示物体的质量，g 表示重力加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出物体的下落距离和时间的关系。
设物体从初始位置下落至某一位置所经过的时间为 t，下落距离为 h。
由于自由落体运动中只有重力作用，根据牛顿第二定律，有 F = m·g，代入质量的定义，得到 F = mg。
根据牛顿第二定律的定义，有 F = m·a，代入自由落体的加速度 g，得到 mg = m·g。
通过对时间 t 的定义，有 h = (1/2)·g·t^2。
因此，我们可以得出自由落体运动下物体的下落距离和时间的关系为 h = (1/2)·g·t^2。
2. 斜面上的运动考虑一个物体沿着光滑斜面下滑的情况。
在斜面上，物体既受重力作用，也受到斜面的支持力作用。
经典分子动力学的理论及应用研究
经典分子动力学的理论及应用研究经典分子动力学（Classical Molecular Dynamics，CMD）是研究原子或分子运动的一种计算方法，其基本思想是根据牛顿力学和能量守恒定律，通过数值集成求解微分方程来模拟分子运动。
自20世纪50年代以来，CMD已经成为研究分子运动和相互作用的重要工具，并在许多领域得到广泛应用，如材料科学、药物设计、天体物理学等等。
本文将从理论和应用两个方面介绍CMD的相关内容。
一、理论基础1.牛顿第二定律与分子运动牛顿第二定律描述了物体受力时的加速度与作用于物体上的力的关系。
在CMD中，每个原子或分子都被视为一个动点，在运动过程中会受到其他原子或分子施加的力的作用，从而发生加速度变化。
根据牛顿第二定律，可以得到每个原子或分子的运动方程式，如下所示：m_i * a_i = F_i其中，m_i为第i个原子或分子的质量，a_i为其加速度，F_i为作用于其上的力矢量。
在CMD中，通常假设原子或分子之间的作用力可表示为二体积分的形式，如势能函数，因此可以通过计算相互作用力来求解每个原子或分子的运动状态。
2.数值集成与时间步长由于原子或分子的运动方程式是微分方程式，因此需要在时间轴上进行数值集成，来模拟分子运动轨迹。
在CMD中，通常采用Verlet算法或Leapfrog算法进行数值集成，其中Verlet算法是最常用的数值集成算法之一。
时间步长是指数值集成的时间间隔，它决定了CMD的时间分辨率和计算时间。
通常选择较小时间步长可以提高计算的准确性，但也会增加计算时所需的时间，因此需要在计算时间和准确性之间进行平衡。
3.统计力学与能量计算分子的物理性质可以通过分子能量进行描述，并且在CMD中，分子能量是一个重要的参量。
在CMD中，可以通过计算分子的动能和势能来得到其总能量，其中动能可以通过分子速度的平方和质量来求解，势能则通过分子间相互作用力和分子间距离来计算。
根据统计力学原理，分子的物理性质可以通过这些能量参数来计算，例如温度、压力、密度等。
经典电动力学理论应用解析
经典电动力学理论应用解析近年来，随着科技的不断进步，物理学研究的深度和广度也得到了极大的拓展。
而电动力学，作为现代物理学中研究电荷粒子和它们之间相互作用的一种学科，近年来在科研领域中的应用也越来越广泛。
其中，经典电动力学理论的应用解析尤为重要，下面进行详细分析。
一、经典电动力学理论经典电动力学理论是电场、磁场和电荷粒子的相互作用的经典理论，是对电磁现象的宏观描述。
其主要内容包括库仑定律、电场、磁场的产生和性质、安培定律、法拉第电磁感应定律、马克斯韦方程组等。
它主要是利用数学方法来建立电场、磁场和电荷粒子之间的相互作用关系，并对它们的运动状态作出预测。
二、经典电动力学理论在实际中的应用1. 电荷运动的康普顿散射康普顿散射是粒子物理学的重要研究内容之一，通过它可以研究原子和分子的内部结构以及电子的运动状态。
在康普顿散射中，经过入射前的光子与物质中的电子发生相互作用而发生散射。
此时，经典电动力学理论可以描述电子与电磁波之间的相互作用过程，并推导出散射角度与光子入射角度之间的关系。
2. 电磁波传播的麦克斯韦方程电磁波在通信、雷达等领域中得到了广泛应用。
麦克斯韦方程是描述电磁波性质的方程组，它包含了电场、磁场及其变化之间的相互影响。
通过该方程组，可以计算出电磁波在空间中的传播速度、功率、波长等指标，进而为电磁波在通信中的运用提供理论基础。
3. 等离子体的微观模拟等离子体是由离子和自由电子构成的气体，也是现代科技中的一项重要领域。
在等离子体物理学中，经典电动力学理论可以模拟等离子体中的物理过程。
例如，等离子体在高能激发下可产生电子与离子的离子化反应，可以利用经典电动力学理论模拟等离子体微观下的离子化过程。
4. 磁共振成像磁共振成像是一种非侵入性的断层扫描成像技术，也是现代医学诊断的重要方法。
在磁共振成像中，经典电动力学可以发挥出重要的作用。
通过电场及磁场的作用，将磁共振剂同样能在溶液中运动的水分子构成的体系分别搭载到血管系统和组织细胞中，通过电磁信号的相互作用进而进行成像，得到清晰的人体内部图像。
经典力学的建立和发展
经典⼒学的建⽴和发展第⼆章经典⼒学的建⽴和发展⽜顿在“原理”⼀书中⼀开始便说:我把这部著作叫做《⾃然哲学的数学原理》，因为哲学的全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种⾃然之⼒，⽽后⽤这些⼒去论证其他的现象。
本章主要四⽅⾯内容:1.近代科学诞⽣是从天⽂学的突破开始 —— 哥⽩尼⽇⼼说。
2.经典⼒学是从伽利略和开普勒时代开始的，到⽜顿时代到达成熟阶段。
3.⽜顿的哲学思想、科学研究⽅法和⼒学机械观。
4.具体知识 —— 着重⼏个守恒定律。
§2.1 坐标系、位置⽮量、速度先介绍在⼒学中的基本物理量:1.⼒学是定量的科学，为了描写物体运动，必须引⼊基本量位置、时间、速度。
2. 在⽜顿⼒学中，坐标和时间是独⽴的，且测量长度的尺在不同参考系中“长度是不变的”和所⽤的钟测得的是“绝对时间”（即不同参考系中钟的快慢⼀样）。
3. 速度是⽮量，速度合成⽤平⾏四边形法则。
4.在数学和物理中，作图法很重要，可帮助我们理解。
希望同学们在学习中重视图形的⽤处，体会⽤图形来分析说明问题的重要性和必要性。
§2.2 从哥⽩尼到开普勒⼀、向地⼼说挑战——哥⽩尼创⽴⽇⼼说1.为什么近代科学诞⽣是从天⽂学的突破开始的？早在公元前4世纪，古希腊哲学家亚⾥⼠多德就已提出了“地⼼说”，即认为地球位于宇宙的中⼼。
公元140年，古希腊天⽂学家托勒密发表了他的13卷巨著《天⽂学⼤成》，在总结前⼈⼯作的基础上系统地确⽴了地⼼说。
根据这⼀学说，地为球形，且居于宇宙中⼼，静⽌不动，其他天体都绕着地球转动。
这⼀学说从表观上解释了⽇⽉星⾠每天东升西落、周⽽复始的现象，⼜符合上帝创造⼈类、地球必然在宇宙中居有⾄⾼⽆上地位的宗教教义，因⽽流传时间长达1300余年。
2. ⽇⼼说提出的科学根源、哲学根源和历史根源是什么？(1) 科学根源：随着天⽂学观察数据越来越多，为了给予解释，托勒密的地⼼说不断修补，越来越复杂，难以使⼈信服。
(2) 哲学根源：他接受毕达哥拉斯学派提出的“宇宙是和谐的，可⽤简单的数学关系来表达宇宙规律”的基本思想。
化学物理学中的动力学反应方程
化学物理学中的动力学反应方程动力学反应方程是化学物理学中极为重要的一个内容，它描述了化学反应的速率与反应物浓度、温度等关系。
尽管化学反应的机理非常复杂，但动力学反应方程可以有效地概括化学反应的速率规律，为工业生产以及环境保护等领域提供了强有力的理论支持。
本文将介绍动力学反应方程的基础知识、应用范围以及发展历程，以期深入了解化学反应规律的研究。
一、动力学反应方程的基础知识动力学反应方程是指描述化学反应率与反应物浓度、反应温度等变量之间关系的方程式。
反应速率是指单位时间内消耗或生成反应物或生成物的速率，通常表示为V。
反应速率和反应物浓度之间的关系可用速率常数k（或反应速率系数）表示，其单位为L/mol.s。
速率常数k体现了化学反应的特异性，不同反应具有不同的k值。
动力学反应方程描述了k与反应物浓度的关系，通常为：V = k[A]^m [B]^n [C]^p...其中，m、n、p为反应物对应的反应级数。
反应级数是指反应物在反应中的实际反应程度，它与实验测量的k值直接相关，通常用实验数据来确定。
动力学反应方程描述了反应速率和反应物浓度的关系，并据此预测了反应速率与反应物浓度和温度等变量之间的数学关系，通常用数值求解方法来计算。
二、动力学反应方程的应用范围动力学反应方程在化学、生物学、材料科学等广泛领域得到了应用。
从化学反应速率的研究，到工业反应及环境保护等领域的控制，都离不开动力学反应方程的支持。
其中，最重要的应用场景之一是工业反应的优化和设计，比如化工、制药、电子等领域，需要通过动力学反应方程来优化反应工艺及降低成本。
另外，动力学反应方程还可以用来研究生物化学过程中的酶催化和调控机制，探索和预测肿瘤细胞扩散的机理等。
三、动力学反应方程的发展历程动力学反应方程是化学动力学研究的基础内容，追溯其历史可以追溯到十九世纪初。
早期的动力学反应方程主要是基于实验数据的经验公式，无法精确预测理论值。
到了20世纪，许多学者开始探索反应机理，建立了一系列包含复杂化学反应机理的动力学模型。
物理学中的动力学理论
物理学中的动力学理论动力学是物理学中一个重要的分支，其研究的是物体运动的规律和动力学定律。
在牛顿力学中，动力学被赋予了重要的地位，牛顿的三大定律正是动力学的基础。
而在现代物理学中，动力学依然占据着重要的地位，成为了现代科学和技术发展的重要基础。
一、牛顿动力学牛顿动力学是经典的动力学理论，是现代物理学的基础之一。
牛顿三大定律是牛顿动力学的重要内容，这三大定律描述了物体运动的基本规律。
牛顿第一定律：一个物体将保持原有的匀速直线运动状态，直到有外力作用使其改变状态。
牛顿第二定律：物体所受合力等于物体的质量乘以加速度。
牛顿第三定律：对于任何相互作用的物体，作用力总是相等而反向的。
即对于物体A对物体B施加了一个力，那么物体B对物体A也会施加一个大小相同，但方向相反的力。
基于这三大定律，牛顿动力学可以描述物体在不同的运动状态下所受到的力的作用，进而推导出物体的运动规律。
二、量子力学中的动力学理论量子力学是20世纪最重要的科学之一，是现代物理学的基础。
在量子力学中，动力学的研究对象是微观粒子的运动规律和动力学定律。
量子力学中的动力学理论受到波动力学的影响。
在波动力学中，粒子的行为可以被描述为波动函数，波动函数可以用薛定谔方程来描述。
在薛定谔方程中，波动函数的演化规律可以被描述为哈密顿量作用下的时间演化。
动力学定律在量子力学中同样适用，其中包括牛顿第二定律。
但是，由于量子力学中的粒子具有波粒二象性，因此动力学中的某些概念和原则需要重新考虑。
三、相对论中的动力学理论相对论是现代物理学的另一重要分支，主要研究物体在高速运动状态下的特性和运动规律。
在相对论中，动力学理论不再适用牛顿的三大定律，而是采用了爱因斯坦的相对论动力学。
相对论动力学基于爱因斯坦的质能关系式 E=mc²，当物体的速度接近光速时，其质量将增加，从而导致牛顿定律不再适用。
相对论动力学中的定律包括：守恒定律，质点运动规律和速度叠加原理等。
在相对论中，动力学定律的推导依赖于洛伦兹变换和洛伦兹因子等概念。
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相对论和量子力学
狭义相对论
• 观察事实与经典物理学的矛盾：
– 运动物体的电磁感应 – 麦克斯韦方程对伽利略变换非协变 – 光传播的媒质
• 区别于牛顿绝对时空观的新时空观； • 适用于惯性系的理论，低速宏观运动时，
与牛顿力学一致；
基本假定
• 相对性假定：一切物理定律在所有惯性 系中形式保持不变；
– 力学适用的惯性系中，电动力学、光学定律 也适用；
• 光速不变假定：光的传播与光源运动与 否无关，与所处惯性系无关；与频率无 关；光速各向同性；（可以校准空间各 点的时钟，确定同时性）；
Lorenz 变换
Minkovskii space
dx2 dy2 dz2 c2dt2 in var iant
非惯性系中的运动
• 达朗贝尔原理－惯性力 • 离心力－重力偏心 • 科氏力
– 落体造牛顿引力理论的动力
– 不能解释水星近日点进动； – 不能研究大范围宇宙学； – 不符合狭义相对论
• 广义相对论
– 研究时间、空间中引力相互作用的理论 – 联系物质与时空的弯曲性质
– 扫过面积为常数
– 周期平方与长轴立方 成正比
u 1 , r2ˆ h
r F mh2u2 ( d 2u u)
d 2
mh2u2 p
• 万有引力的导出
2 ab Th
T2 a3
4 2b2
h2a
4 2
h2
p
质点系动力学
• 质心运动定理 • 动量定理 • 动量矩定理 • 能量定理
变质量体力学
• 密歇尔斯基方程
应用（3）
• 振动
– 简谐振动 – 阻尼振动 – 强迫振动 – 非线性振动
幅频、相频曲线
非线性振动
• 亚谐、超谐共振 • 频率的振幅依赖 • 同步或锁频 • 激振（自激振动、参变激振） • 跳跃 • 混沌
跳跃现象
基本原理
• 等效原理
– 引力质量与惯性质量相等（厄缶实验） – 局部惯性系无法区分引力的存在 – 引力与物质的关系
• 广义相对论的意义
– 推广牛顿的引力理论； – 推广惯性系到任意坐标系；
引力场理论
• 牛顿引力场方程
• 爱因斯坦引力场方程
广义相对论的成就
• 解释行星近日点进动； • 光线的弯曲； • 引力波； • 黑洞理论； • 大爆炸宇宙论；
经典动力学及其发展
• 牛顿力学 • 经典力学的体系 • 相对论和量子力学 • 非线性动力学 • 若干应用
牛顿力学
牛顿力学
• 牛顿三大定律
– 惯性定律 – 运动定律 – 作用、反作用定律
• 万有引力定律
万有引力定律
• 开普勒对第谷行星运 r p ,
动观察事实的总结
1 e cos
– 椭圆轨道
v c ln m0 gI ln m0
mt
ms mp
多级火箭原理
• c＝3km/s, 即使有效载荷为零，单级火 箭速度最大为7km/s;
v c ln
m0
m0 (1 )mp
v c ln m0
m0 (1 )mp
最佳方案
n12345无 穷
初始 与有 效载 荷比
149 77 65 60 49
• 动量定理
• 动量矩定理
• 火箭速度公式
• 能量定理
刚体动力学
连续介质力学
• 连续介质力学 –连续介质假定 –流体力学 –固体力学
• 分子动理论 –分子动力学 –离散元方法 –斯托克斯动力学 –拟粒子方法
经典力学的体系
牛顿的力学体系
• 牛顿第二定律 • 欧氏空间 • 能量函数 • 无约束的力学系统
2u x2
2u y 2
2u z2
c2
2u t 2
狭义相对论的结论
• 长度变短 • 时间膨胀 • 多普勒频移 • 质速关系 • 质能关系
dp f dt
p
m0
v
1
v2 c2
E mc 2
核能利用
E mc2 E mc2 U 235 : 0.215[amu] D T : 0.00377[amu] Coal (1kg ) : 2.93*107 J U 235 (1kg ) : 8.2 *1013 J D T (1kg ) : 3.3 *1014 J TNT (1kg ) : 4.18 *109 J 1[amu] 1.66 *1027 kg Avg 6.02 *1023
统 – 混沌的特征：分维， 里氏指数，功率谱
• 应用
– 三体问题 – 气候可预报性
若干应用
• 多体动力学 • 柔体动力学 • 充液腔体的稳定性 • 实际工程应用
– 返地轨道和姿态控制 – 卫星、飞船、空间站（太阳能板） – 机器人 – 高速列车
轨道仓返回舱分离
• 宇宙速度
应用（1）
• 人造卫星运动
量子力学
• 与牛顿力学的区别：
– 满足薛定锷方程； – 分立的能谱； – 不确定性：测不准原理，几率波； – 微观世界的规律；
非线性动力学
• 微分方程的定性理论 x Ax,
– 庞加勒的几何方法 – 李雅普诺夫运动稳定
性理论
A
a11 a21
a12 a22
,
T
a11
a22, D
a11 a21
a12 , T 2 4D a22
• 伯克霍夫动力系统理 论
– 动力系统 – 分叉与突变 – 朗道方程
d A 2 2 A 2 l A 4 ,
dt
(R Rc ), 0
A * 0, 1
A * 2
2
l
( l 0)
A * 0, ( l 0) 1
• 混沌理论
– 确定性混沌 – 哈密顿系统和耗散系
– 符合开普勒定律 – 空气阻尼 – 引力非均匀 – 光压
应用（2）
• 变质量体系动力学(齐奥 尔可夫斯基公式)
d (mv) 0 dm dv mc v c ln m0
mt
• 有效载荷，结构质量，燃料质量
• 结构比 • 比冲
ms , 1 mf
ms m f
ms m f
ms (m0 mp )
m
d 2 xi dt 2
fi
E T V
拉格朗日的力学体系
• 最小作用量原理
L d L • 微分流形
（ ) F • q dt qˆ •
拉格朗日函数
L
理想约束的力学系统qi
d dt
L qi
Fi
i
i i
L T V
哈密顿的力学体系
• 哈密顿正则方程 • 辛空间 • 哈密顿函数 • 一般的动力系统