分子动力学模拟方法-11.
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a i (t) mi
r(t) r(0) vi (0) t
缺点：Verlet算法处理速度非常笨拙
Verlet算法的表述：
算法启动
① 规定初始位置 ② 规定初始速度
③ 扰动初始位置：
④ 计算第n步的力
r(t) r(0) vi (0) t
⑤ 计算第n+1步的位置：
计算第n步的速度： 重复④至⑥
v
t-Δt/2
r
t t+Δt/2 t+Δt
v
t+3Δt/2 t+2Δt
Leap-frog算法的表述：
算法启动
① 规定初始位置
② 规定初始速度
③ 扰动初始速度： ④ 计算第n步的力 ⑤ 计算第n+1/2步的速度： ⑥ 计算第n+1步的位置： ⑦ 计算第n步的速度： ⑧ 重复④至⑦
v i (t 1 1 t) v i (t - t) a i (t) t 2 2
v(t/2) v(0) ai (0) t/2
1 ri (t t) ri (t) v i (t t) t 2
分子动力学方法是确定性方法，一旦初始构型和速度确定了， 分子随时间所产生的运动轨迹也就确定了。
分子动力学的算法：有限差分方法
一、Verlet算法
粒子位置的Taylor展开式：
ri (t t) ri (t) v i (t) t 1 1 a i (t) t 2 b i (t) t 3 2 6
•1985年：第一原理分子動力学法（→Car-Parrinello法）
•1991年：巨正则系综的分子动力学方法（Cagin and Pettit）
课程讲解内容：经典分子动力学 (Classical Molecular Dynamics)
粒子的运动取决于经典力学 (牛顿定律（F=ma）
分子动力学方法基础：
ri
t 0
ri (0)
dri dt
t 0
v i (0)
分子动力学方法特征：
分子动力学是在原子、分子水平上求解多体问题的重要的计 算机模拟方法，可以预测纳米尺度上的材料动力学特性。 通过求解所有粒子的运动方程，分子动力学方法可以用于模 拟与原子运动路径相关的基本过程。 在分子动力学中，粒子的运动行为是通过经典的Newton 运动 方程所描述。
第四章 分子动力学模拟方法
分子动力学简史
•1957年：基于刚球势的分子動力学法（Alder and Wainwright）
•1964年：利用Lennard-Jone势函数法对液态氩性质的模拟（Rahman）
•1971年：模拟具有分子团簇行为的水的性质（Rahman and Stillinger） •1977年：约束动力学方法（Rychaert, Ciccotti & Berendsen; van Gunsteren） •1980年：恒压条件下的动力学方法（Andersen法、Parrinello-Rahman法） •1983年：非平衡态动力学方法（Gillan and Dixon） •1984年: 恒温条件下的动力学方法(Berendsen et al.) •1984年：恒温条件下的动力学方法（Nosé -Hoover法）
2. 计算下一步长时刻的位置：
开始运动时需要v(-Δt/2)：
1 ri (t t) ri (t) v i (t t) t 2
v(t/2) v(0) ai (0) t/2
1 1 v (t t) v (t t) 3. 计算当前时刻的速度： i i 2 2 v i (t) 2
原理： 计算一组分子的相空间轨道，其中每个分子各自服从 牛顿运动定律：
1 N pi2 N 1 N H U (rij ) 2 i 1 mi i 1 j i 1
dri p i mi mi v i dt
初始条件：
N 1 N U (r ) dpi N 1 N ij F(rij ) Hale Waihona Puke Baidu dt i 1 j i 1 i 1 j i 1 rij
ri (t t) 2ri (t) ri (t - t) ai (t)t 2
v i (t) ri (t t) ri (t - t) 2t
Verlet算法程序：
Do 100 I = 1, N RXNEWI = 2.0 * RX(I) RXOLD(I) + DTSQ * AX(I) RYNEWI = 2.0 * RY(I) RYOLD(I) + DTSQ * AY(I) RZNEWI = 2.0 * RZ(I) RZOLD(I) + DTSQ * AZ(I) VXI = ( RXNEWI – RXOLD(I) ) / DT2 VYI = ( RYNEWI – RYOLD(I) ) / DT2 VZI = ( RZNEWI – RZOLD(I) ) / DT2 RXOLD(I) = RX(I) RYOLD(I) = RY(I) RZOLD(I) = RZ(I) RX(I) = RXNEWI RY(I) = RYNEWI RZ(I) = RZNEWI 100 CONTINUE
Verlet算法的优缺点：
优点： 1、精确，误差O(Δ4) 2、每次积分只计算一次力 3、时间可逆
缺点： 1、速度有较大误差O(Δ2) 2、轨迹与速度无关，无法与热浴耦联
二、蛙跳(Leap-frog)算法：半步算法
1. 首先利用当前时刻的加速度，计算半个时间步长后的速度：
1 1 v i (t t) v i (t - t) a i (t) t 2 2
1 1 ri (t t) ri (t) v i (t) t ai (t) t 2 b i (t) t 3 2 6
+
2
ri (t t) 2ri (t) ri (t - t) ai (t)t 粒子位置 ： r (t t) ri (t - t) v i (t) i 粒子速度 2t ： 开始运动时需要r(t-Δt)： Fi (t) 粒子加速度：
r(t) r(0) vi (0) t
缺点：Verlet算法处理速度非常笨拙
Verlet算法的表述：
算法启动
① 规定初始位置 ② 规定初始速度
③ 扰动初始位置：
④ 计算第n步的力
r(t) r(0) vi (0) t
⑤ 计算第n+1步的位置：
计算第n步的速度： 重复④至⑥
v
t-Δt/2
r
t t+Δt/2 t+Δt
v
t+3Δt/2 t+2Δt
Leap-frog算法的表述：
算法启动
① 规定初始位置
② 规定初始速度
③ 扰动初始速度： ④ 计算第n步的力 ⑤ 计算第n+1/2步的速度： ⑥ 计算第n+1步的位置： ⑦ 计算第n步的速度： ⑧ 重复④至⑦
v i (t 1 1 t) v i (t - t) a i (t) t 2 2
v(t/2) v(0) ai (0) t/2
1 ri (t t) ri (t) v i (t t) t 2
分子动力学方法是确定性方法，一旦初始构型和速度确定了， 分子随时间所产生的运动轨迹也就确定了。
分子动力学的算法：有限差分方法
一、Verlet算法
粒子位置的Taylor展开式：
ri (t t) ri (t) v i (t) t 1 1 a i (t) t 2 b i (t) t 3 2 6
•1985年：第一原理分子動力学法（→Car-Parrinello法）
•1991年：巨正则系综的分子动力学方法（Cagin and Pettit）
课程讲解内容：经典分子动力学 (Classical Molecular Dynamics)
粒子的运动取决于经典力学 (牛顿定律（F=ma）
分子动力学方法基础：
ri
t 0
ri (0)
dri dt
t 0
v i (0)
分子动力学方法特征：
分子动力学是在原子、分子水平上求解多体问题的重要的计 算机模拟方法，可以预测纳米尺度上的材料动力学特性。 通过求解所有粒子的运动方程，分子动力学方法可以用于模 拟与原子运动路径相关的基本过程。 在分子动力学中，粒子的运动行为是通过经典的Newton 运动 方程所描述。
第四章 分子动力学模拟方法
分子动力学简史
•1957年：基于刚球势的分子動力学法（Alder and Wainwright）
•1964年：利用Lennard-Jone势函数法对液态氩性质的模拟（Rahman）
•1971年：模拟具有分子团簇行为的水的性质（Rahman and Stillinger） •1977年：约束动力学方法（Rychaert, Ciccotti & Berendsen; van Gunsteren） •1980年：恒压条件下的动力学方法（Andersen法、Parrinello-Rahman法） •1983年：非平衡态动力学方法（Gillan and Dixon） •1984年: 恒温条件下的动力学方法(Berendsen et al.) •1984年：恒温条件下的动力学方法（Nosé -Hoover法）
2. 计算下一步长时刻的位置：
开始运动时需要v(-Δt/2)：
1 ri (t t) ri (t) v i (t t) t 2
v(t/2) v(0) ai (0) t/2
1 1 v (t t) v (t t) 3. 计算当前时刻的速度： i i 2 2 v i (t) 2
原理： 计算一组分子的相空间轨道，其中每个分子各自服从 牛顿运动定律：
1 N pi2 N 1 N H U (rij ) 2 i 1 mi i 1 j i 1
dri p i mi mi v i dt
初始条件：
N 1 N U (r ) dpi N 1 N ij F(rij ) Hale Waihona Puke Baidu dt i 1 j i 1 i 1 j i 1 rij
ri (t t) 2ri (t) ri (t - t) ai (t)t 2
v i (t) ri (t t) ri (t - t) 2t
Verlet算法程序：
Do 100 I = 1, N RXNEWI = 2.0 * RX(I) RXOLD(I) + DTSQ * AX(I) RYNEWI = 2.0 * RY(I) RYOLD(I) + DTSQ * AY(I) RZNEWI = 2.0 * RZ(I) RZOLD(I) + DTSQ * AZ(I) VXI = ( RXNEWI – RXOLD(I) ) / DT2 VYI = ( RYNEWI – RYOLD(I) ) / DT2 VZI = ( RZNEWI – RZOLD(I) ) / DT2 RXOLD(I) = RX(I) RYOLD(I) = RY(I) RZOLD(I) = RZ(I) RX(I) = RXNEWI RY(I) = RYNEWI RZ(I) = RZNEWI 100 CONTINUE
Verlet算法的优缺点：
优点： 1、精确，误差O(Δ4) 2、每次积分只计算一次力 3、时间可逆
缺点： 1、速度有较大误差O(Δ2) 2、轨迹与速度无关，无法与热浴耦联
二、蛙跳(Leap-frog)算法：半步算法
1. 首先利用当前时刻的加速度，计算半个时间步长后的速度：
1 1 v i (t t) v i (t - t) a i (t) t 2 2
1 1 ri (t t) ri (t) v i (t) t ai (t) t 2 b i (t) t 3 2 6
+
2
ri (t t) 2ri (t) ri (t - t) ai (t)t 粒子位置 ： r (t t) ri (t - t) v i (t) i 粒子速度 2t ： 开始运动时需要r(t-Δt)： Fi (t) 粒子加速度：