7 Frequency Response Methods2013(频率响应方法)
频率响应法
频率响应法一、概述频率响应法（Frequency Response Method）是一种用于分析和设计线性时不变系统的方法。
它通过研究系统对不同频率的输入信号的响应来揭示系统的特性和行为。
频率响应法广泛应用于信号处理、控制系统、通信系统等领域。
二、频率响应的基本概念2.1 频率响应函数频率响应函数是描述系统对不同频率输入信号响应的函数。
通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数可以分为幅频特性和相频特性两个部分。
2.2 幅频特性幅频特性描述了系统对不同频率输入信号的幅度变化情况。
常见的表示幅频特性的方法有Bode图和Nyquist图。
Bode图将系统的增益和相位角随频率变化的曲线绘制在共享横轴的图上，直观地展示了系统的频率响应特性。
Nyquist图则是将系统的频率响应绘制在复平面上，可以用于分析系统的稳定性和相位裕度等指标。
2.3 相频特性相频特性描述了系统对不同频率输入信号的相位差变化情况。
相频特性通常用Bode图来表示，通过绘制系统的相位角随频率变化的曲线，可以分析系统的相位延迟、相位裕度等指标。
三、频率响应法的应用3.1 系统分析频率响应法可以用于对系统进行稳定性分析、频率特性分析等。
通过分析系统的频率响应曲线，可以判断系统是否稳定、是否存在共振现象，从而指导系统的设计和调整。
3.2 控制系统设计频率响应法在控制系统的设计中起到重要作用。
通过分析系统的频率响应特性，可以选择合适的控制器参数，设计出满足性能要求的控制系统。
3.3 信号处理在信号处理领域，频率响应法广泛应用于滤波器设计和信号增强等方面。
通过分析信号在系统中的频率响应，可以设计出满足要求的滤波器，对信号进行有效处理和增强。
3.4 通信系统频率响应法在通信系统中的应用也非常广泛。
通过分析通信系统的频率响应特性，可以优化系统的传输性能，提高信号的传输质量和可靠性。
四、频率响应法的优缺点4.1 优点•频率响应法可以直观地展示系统的频率响应特性，便于分析和设计。
频响曲线实例
浅谈耳机频响曲线及其作用对于非耳机行业的朋友来说频响曲线大家觉得比较陌生且较神秘。
大家也喜欢说的一句话，管它什么曲线，耳朵收货即可。
其实对于不是从事此行业的朋友，没兴趣的话其实没必要学浪费时间去了解自己不喜欢的东西，有兴趣的话多了解一些也没什么坏处。
一、认识频响曲线：频率响应简称频响，英文名称是Frequency Response。
频响曲线简单说就是通过电声测试仪内的信号发生器的输出稳定的电压及产生连续变化的频率（即扫频），通过耳机发出声音由L、R传声器输入回到电声测试仪处理，然后通过显示器显示出各频点的声压（或电平）形成的曲线。
（如图一、二、三、六）图一图二图三国际电工委员会IEC581-10标准中高保真耳机频率响应不小于50Hz--12500Hz。
目前市场上的耳机基本上频率响应范围20-20KHZ,有些优秀的耳机甚至达到6-51KHZ（Sennheiser HD800）。
人耳能听到的频率范围20-20KHZ，低于20HZ次声波，高于20KHZ超声波，超出20-20KHZ人耳不易察觉。
我们常说耳机低、中、高三频,根据国际电工协会IEC581-10标准,和我国的GB/T14277-93国家标准, 频段划分为: 30－150Hz为低频段， 150－500Hz为中低频段， 500－5KHz为中高频段， 5K-16KHz高频段。
在20-20kHZ中如果细分可为7个频段，分别：极低频、低频、中低频、中频、中高频、高频、极高频。
耳机各乐器和人声对应频率范围见如下图（图四），从下图可看出，低频比较典型的乐器大鼓，延伸到高频乐器如钢琴、管风琴、小提琴等等，还有乐器的泛音也是落在高频。
中频范围比较广，人声，乐器的基音基本上落在中频，而且是会相互影响。
图四二、简单看频响曲线：图五1.以上是最常见的频响曲线图（如图五），首先简单介绍一下耳机电声测试仪，不管是丹麦B&K还是国产电声测试仪（原浙大电声测试仪），功能都非常齐全，可以测试很多项目，两者精度也相差很小，比如说B&K与吉高电声测试仪误差约0.5-1dB。
第8章 频率响应法
2. 3. 4. 5. 6.
8.2 频率响应图（The Diagram of Frequency Response)
频率特性的基本内容(The basic content of the frequency characteristics): 极坐标图（Nyquist图）； 对数频率特性图（Bode图）； 对数幅值相位图（Nichols图）。
五. 增加零极点对Nyquist图的影响
1） 增加极点对Nyquist图的影响
原始曲线
增加一个极点
−90 °
−180 °
基本环节： G ( jω ) =
K 1 + T1 jω K (1 + T1 jω )(1 + T2 jω ) K (1 + T1 jω )(1 + T2 jω )(1 + T3 jω )
i =1 j =υ +1
G ( j 0) = −90° ×υ
波德图的主要优点
1. 横轴按频率的对数lg ω做标尺刻度，但标出的是频率ω本身的数 值，因此，横轴的刻度是不均匀的。 横轴压缩了高频段，扩展了低频段。 在ω轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程，例如ω从1 到2，从2到4，从10到20等，其长度均相等。对应于频率每增 大十倍的频率范围，称为十倍频程(dec)，所有十倍频程在横轴 上的长度均相等。 可以将幅值的乘除运算化为加减运算。 可以采用分段线性的方法绘制近似的对数幅频曲线，从而使得 频率特性的绘制大为简化。
5
GH1 ( jω ) =
jω (1 + j 0.5ω )(1 + jω / 6) 5(1 + j 0.1ω ) GH 2 ( jω ) = jω (1 + j 0.5ω )(1 + j 0.6(ω / 50) + ( jω / 50) 2
7 Frequency Response Methods2013(频率响应方法).
Frequency Response Methods
Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础
目录
• 7.1 引言 • 7.2 频率响应图 • 7.3 绘制Bode图举例 • 7.4 频率响应测量 • 7.5 频域性能指标 • 7.6 对数幅相图 • 7.7 设计实例：雕刻机控制系统 • 7.8 用MATLAB绘制频率响应图 • 7.9 循序渐进设计示例：磁盘驱动读取系统 • 7.10 小结
()
tan1(
2u)
u2
) 1
(u 1)
u∞, Ø(ω) = -180°
• u = ω/ωn=1, 20 log| G| = -20 log (2), , | G|
•
=0.5, 20 log| G| = 0
Ø(ω) = -90°
2019/5/8
张秦艳
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Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础
lim
t
(ki
e
pit
)
0
• 当 t → ∞ 时(即稳态时)
lim
t
y(t)
lim
t
L1
s s2 2
AT ( j) sin(t )
• 其中 T(jω)Biblioteka 2019/5/8张秦艳
5
定义
条件 研究 对象
Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础
G( j) G( j) e j( j) G( j) ()
频率响应函数估计方法综述
为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
计 ,而且易证明 H3 Ε H4 ,这样可得 H1 ～ H4 估计的关系
为 H1 Φ H4 Φ H3 Φ H2 。
1.
4 Ha rithm 和
估计 Hgeom
[1 - 2]
针对图 1系统输入输出均包含有加性噪声干扰的
情况 ,人们提出了很多平均方案来减小误差 , 包括很多
的非线性平均技术 。在文献 [ 1 ]中作者就针对多次系
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (编号 50605065 )重庆大学研究生 科技创新基金 ,项目编号 : 200701Y1B01000196 收稿日期 : 2007 - 07 - 27 修改稿收到日期 : 2007 - 09 - 10 第一作者 段虎明 男 ,博士生 , 1979年 1月生
谱 , Z ( f)为系统输入端的测量信号的频谱 , N ( f)为系 统输出端的随机噪声的频谱 , Y ( f)为系统输出端的测 量信号的频谱 。这样系统的频响函数就可以表示为
(2)
然而实测的输入输出信号中总是存在各种干扰噪声信
号 ,因此频响函数一般不能精确计算 。为了减小误差 , 提高频响函数的测量精度 , 学者们提出了一系列的频 响函数估计方法 ,下面对它们作简要介绍 。 111 H1 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示的系统 , 按照最小二乘估计原则可定 义 H1 估计为 :
加速度传感器主要技术指标
加速度传感器主要技术指标1. 测量范围（Measurement Range）：加速度传感器能够测量的加速度的范围。
常见的测量范围从几个g到几百g不等，其中1g等于地球上的重力加速度9.8m/s²。
2. 分辨率（Resolution）：加速度传感器能够区分的最小加速度变化。
通常以m/s²或g为单位。
3. 灵敏度（Sensitivity）：加速度传感器输出信号相对于输入加速度的变化率，常以mV/g或mV/m/s²表示。
灵敏度越高，传感器对于微小加速度的响应越快。
4. 零点偏移（Zero Offset）：在没有加速度作用下，传感器输出的信号不为零。
零点偏移指的是传感器输出信号与零点之间的差值。
通常以mV为单位。
5. 频率响应（Frequency Response）：加速度传感器能够测量的加速度变化的频率范围。
常见的频率范围从几Hz到几千Hz不等。
6. 噪声（Noise）：传感器输出信号的不确定性。
传感器噪声越小，对于微小加速度的测量越精确。
7. 非线性度（Nonlinearity）：传感器输出信号与输入加速度之间的偏差。
常表示为百分比或者以g为单位。
8. 温度稳定性（Temperature Stability）：传感器在不同温度下的输出信号的变化范围。
温度稳定性越好，传感器的测量精度越高。
9. 动态测量范围（Dynamic Range）：加速度传感器能够测量的最大加速度和最小加速度之间的比值。
动态测量范围越大，传感器能够测量的加速度范围越宽。
10. 失真（Distortion）：因非线性效应导致的传感器输出信号与实际加速度之间的偏差。
失真常以百分比表示。
此外，加速度传感器还可能具有以下特殊技术指标：11. 反向振动抑制特性（Anti-vibration Characteristics）：传感器在高频振动环境下的稳定性能。
反向振动抑制特性好的传感器能够减小振动对于测量结果的影响。
Frequency Response Analysis
Computation of Frequency Response, Coherence and Correlation Functions1. Frequency Response Function with Noise EliminationThe Cross Power Spectrum, G xy , is defined as taking the Fourier Transform of two signals separately and multiplying the result together as follows:()()()f S f S f G *y x xy =where * indicates the complex conjugate of the function. Basing on the CrossPower Spectrum and the Spectrum of the Input Channel, the Frequency Response Transfer Function, H(f), is defined as follows:()()()f G f H xx yx =where ()f G xy is the average of ()f G xy and ()f G xx is the average of ()f G xx which is the product of ()f S x and ()f S *x .Proofx n xx x n x x y yx S S S S H S S S +=+==hence()*x n xxyx S S f H G +=because S n and S x are uncorrelated, the second term will average to zero, makingthe resultant function a much better estimate of the Frequency Response Function.2. Frequency Response Function without Noise EliminationThe Frequency Response Function is defined as follows:()()()f f G f H xx yy 2=This is the ratio of two single channel, averaged measurements. Not only does this measurement not give any phase information, it also will be in error when there is noise in the measurement.ProofWith reference to following figure above, the output is:()()()()f S f H f S f S n x y +=hence2n n *x n x 2xx *y y yy S S *H S S H S H G S S G +++==In order to eliminate the noise, the RMS is averaged and the S x S n terms approach zero because S x and S n are uncorrelated. The 2n S term remains as an error and the Frequency Response Function becomes:xx2n2xxyy G S H G G +=Therefore, if the Frequency Response Function 2H is measured by this single channel technique, the accuracy of the measured value will be strongly influencedby the high by the noise to signal ratio.The Coherence Function, γ2, is derived from the Cross Power Spectrum by:()()()()()f G f G f G f G f yy *xy xx yx 2=γThe coherence function is a measure of the power in the output signal caused by the input. If the coherence is 1, then all the output power is caused by the input. If the coherence is 0, then none of the output is caused by the input.Influence of NoiseWith reference to above figure,2n **x*nx 2xx xy S S H S S H S H G G +++=*x n xx xy S S H G G +=Basing on the assumption that the signal and the noise are not related and by averaging the terms, the cross terms S n S x approach zero. Therefore the coherence function becomes:()()⎪⎭⎫⎝⎛+=γ2n xx 2xx 2yx 2S H G H f()2nxx 2xx 22S G H G H f +=γIf there is no noise, the coherence function is unity. If there is noise, then the coherence function will be reduced. Note also that the coherence function is a function of frequency. The coherence function can be unity at frequencies where there is no interference and low where the noise is high.Auto Correlation FunctionThe auto correlation function, R xx (τ), is a comparison of a signal with itself as a function of time shift. It is defined as:()()()⎰ττ-=τ∞→T T xx d t x t x T1R LimThat is, the auto correlation function can be found by taking a signal andmultiplying it by the same signal displaced by a time and averaging the product over all time. Alternatively, the auto correlation function can be computed as follows:()()(){}f S f S F R *x x 1xx -=τwhere F -1 is the inverse Fourier Transform and S is the Fourier transform of x(t).Cross Correlation FunctionThe cross correlation function, R xy (τ), is a computation of two signals as a function of a time shift between them. It is defined as:()()()⎰ττ-=τ∞→T T xy d t y t x T1R LimSimilarly, the cross correlation function can be computed from the cross powerspectrum, i.e.,()(){}f G F R xy 1xy -=τ4. Different Forms of Frequency Response FunctionsDifferent Forms of Frequency Responses4.Flow Chart of Frequency Response FunctionsDetermination6. Example of Frequency Response Function (FRF) PlotPlot of FRF vs U (mean wind speed) vs f (first 6 lateral flexural deck frequencies).。
（频率分析法）
8. Frequency Response Methods(频率分析法)本章主要知识点、重点：1、频率特性的概念(The Concept of Frequency Response)：幅频特性(Magnitude)，相频特性(Phase)；2、系统开环频率特性的绘制：极坐标图（polar plot ）or 奈氏曲线（Nyquist ），伯德图（Bode Diagram ），对数幅频特性(Log Magnitude Diagram)，对数相频特性(Log Phase Diagram);3、系统闭环频率特性与性能指标的关系（Performance Specifications In The Frequency Domain ）：谐振频率（r ω）、谐振峰值（p M ω）、带宽（B ω）时域法：列写微分方程，拉氏变换，拉氏反变换，得y(t); 性能指标：Tr ， Tp ， Ts ， P.O% 频率（域）法(1)克服系统分析上的困难；(2) 便于研究系统结构、参数变化对系统性能的影响； (3)频率法特性可通过实验获得； (4)图解法直观。
频率响应法的基本思想，是把控制系统中的各个变量看成是一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对各个频率的信号的响应的总合。
起源于通讯科学---音频、视频等是由不同频率正弦信号合成的，并以此观点进行处理和传递。
20世纪30年代引入控制科学，对控制理论发展起了强大推动作用，克服了直接用微分方程的种种困难，解决了许多理论和工程问题，迅速形成了分析和综合控制系统的一整套方法，是控制理论中极为重要的内容。
按频率响应的观点：一个控制系统的运动，无非是信号在一个一个环节之间依次传递，每个信号又是不同频率的正弦信号合成的，这些不同频率的正弦信号的振幅和相角在传递过程中，依一定的函数关系变化，就产生形式多样的运动。
近年来，还发展到可以应用于多输入多数出系统的多变量频域理论。
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G( ) [ R( )]2 [ X ( )]2
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控制工程基础
• 例8.1 RC滤波器的频率响应
1 1 G ( j ) , ( j ) tan ( / 1 ) 2 1 ( / 1 ) 1 1 2 R( ) X ( ) 2 2
20log G (1 ) 20log G ( 2 ) 20log1 (20log 2 ) 20log
1 2
20log( 110) 20dB
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• 当ω<< 1/τ:20 log |G| = −10 log(1) = 0 dB • 当ω>> 1/τ: 20 log|G| = −20 logωτ 20 log|G| = −20 logωτ = −20 logτ − 20 log ω. • 十倍频程（decade）：两个频率之比等于十。 令ω2 = 10ω1
2 2
ω |G(jω)|
0 1
ω1
∞
1/ 2 0
Φ(ω)
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0
-45
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-90
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• 例8.2 某传递函数的极坐标图
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• 转折频率 (corner frequency):
– 由于零点或极点的影响，幅频响应渐近线的斜率发 生变化时的对应频率。
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例8.3 RC滤波器的Bode图
• •
G ( j ) 1 1 j ( RC) 1 j 1
Ø(ω) = −tan−1ωτ
• ω<< 1/τ, 20 log| G| =20 log 1 = 0 dB • ω0, Ø(ω) = 0° • ω>> 1/τ, 20 log| G| =-20 log ωτ, k= -20 dB/dec • ω∞, Ø(ω) = -90° • at ω= 1/τ,20 log| G| = - 3 dB, Ø(ω) = -45° .
T (s)
m( s ) q( s)
m( s )
Y ( s)
k k1 s n 2 s pi s pn s 2
s p
i 1
n
i
y(t ) k1e
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p1t
k n e
pnt
s L 2 2 s
条件 研究 对象
0
f (t )e 1t dt
f (t ) dt
传递函数T（s）的零极 系统的幅值和相位特 点在 s-平面的位置 性
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7.2 频率响应图
• 极坐标图 (Polar plot): G(jω)的实部与虚部关系图。
1
• 其中
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T(jω)
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Laplace 变换对 & Fourier 变换对
Laplace 变换对 定义
F (s) L f (t ) f (t )e dt
st
2 2 2 2 2
20logG( ) 10log[( 1 u 2 )2 4 2u 2 ]
• 当 u << 1, 20 log │G│ = −10 log 1= 0 dB
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2.原点处的极点或零点(jω)
• 对于原点处的极点
20log 1 ＝－20logdB j
( ) 90O
– 原点处的极点项对应的对数增益曲线 为斜线，其斜率为 -20 dB/dec
• 对于原点处的多重极点
1 20log 20Nlog N （j）
( ) 90 N
第七章 频率响应方法
Frequency Response Methods
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控制工程基础
目录
• • • • • • • • • • 7.1 引言 7.2 频率响应图 7.3 绘制Bode图举例 7.4 频率响应测量 7.5 频域性能指标 7.6 对数幅相图 7.7 设计实例：雕刻机控制系统 7.8 用MATLAB绘制频率响应图 7.9 循序渐进设计示例：磁盘驱动读取系统 7.10 小结
控制工程基础
Bode图（Bode plot）
• Bode图:
– 传递函数的对数幅值与对数频率之间的关系图以及 传递函数的相角与对数频率之间的关系图。
G( j ) G( ) e j ( )
L( ) 20log 10 G( ) 20 log10 R 2 ( ) X 2 ( ) (dB )
G ( j ) G ( s ) s j R( ) jX ( )
R() Re[G( j)], X () Im[G( j)]
G( j) G( j) e j ( j) G( j) ()
( ) tan1
X ( ) , R( )
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7.1 引言
• 频率响应(frequency response):
– 系统对正弦输入信号的稳态响应。 Y(s) = T(s)R(s) r(t) = A sin t
R( s) A s2 2
其中τ = RC
1/ 2
1 20log G 20 log 幅值： 1 ( ) 2
10 log 1 ( ) 2
1 ( j ) tan • 相角:
• 当 ω =1/τ: 20 log| G| = −10 log 2 = −3.01 dB • 频率 ω =1/τ通常称作转折频率 corner frequency.
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常数增益项 Kb
• 常数项 Kb (>0)的对数增益 20 log| G| =20 log Kb = constant (dB) • 相角 （）＝0 o
Kb= 10
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频率特性函数的一般形式
G ( j ) (jω)
N
kb (1 jω i )
i 1 2 (1 j ω ) [(1 (2 ζ / ω )j ω (j ω / ω ) )] m k nk nk m 1 k 1
Q
Q
M
R
20logG ( ) 20 log kb 20 log1 j i
i 1
20 log ( j ) 20 log1 j m
N m 1
M
2 k 20 log1 n k 1 k
N
Q 1 O
j j n k
M 1
2
( ) tan i N (90 ) tan m tan 1
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• 如果增益是 -Kb • 20 log| G| =20 log Kb • Ø(ω) = -180°
-Kb= -10
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• 对于原点处的零点
20log j 20log
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( ) 90
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3.实轴上的极点或零点 (1 + jωτ)
• 对于实轴上的极点 • 1 20log 10log(1 2 2 ) • 1 j
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4.共轭复极点或复零点
[1 + (2ζ /ωn )jω + (jω/ωn)2] • 共轭复极点对应的2阶基本因子项的一般形式 为 1 1 u j 2u 1 j 2u ju 1 u 2u 其中 u = ω/ωn.
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