2.2.1(换底公式及对数运算的应用)第三课时

x
log 2 5 x ，则 思考1:假设 log 2 3
进一步可得到什么结论？
x log 3 5
log 2 5 log 3 5 log 2 3
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
lg 3 log 2 3 lg 2
思考3:一般地，如果a>0，且a≠1； c>0，且c≠1；b>0，那么 与哪个 对数相等？如何证明这个结论？
.
3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？
18 18 4.由 1.01 得 x log1.01 ，但这只 13 13 是一种表示，如何求得x的值？
x
知识探究（一）：对数的换底公式
log 2 5 x log 2 3 log 2 3 ，从而有 3x 5 .
[题后感悟] (1)应用换底公式时，究竟换成以 什么为底？ ①一般全都换成以 10 为底的对数．如(1)的方 法一与(2)的解法． ②根据情况找一个底数或真数的因子作为 底．如(1)的方法二与(3)． (2)直接利用换底公式的下面几个推论， 加快解 题速度． 1 m m n logab＝ ，loganb ＝ n logab，loganb ＝logab. logba
log 2n 3
) （log9
n
32
)
[解题过程] (1)方法一(换成以 10 为底)： 3 lg 27 lg 3 3lg3 3 log927＝ ＝ ＝ . 2＝ lg 9 lg 3 2lg3 2 3 log327 log33 方法二(换成以 3 为底)： log927＝ ＝ 2 log39 log33 3log33 3 ＝ ＝ . 2log33 2 m m 方法三(利用 loganb )＝ n (logab)： 3 3 3 log927＝log323 ＝ log33＝ . 2 2
2
5
2．计算 log225· log32 2· log59 的结果为( A ． 3 B ． 4 2．计算 log225· log32 2· log59 的结果为( ) C ． D A ．5 3 B． 4．6
C．5 D．6
)
解 析 ：
lg 25 lg 2 2 lg 9 原 式 ＝ · · ＝ lg 2 lg 3 lg 5
练习:
p68第4题
• P75习题B组第11题
例2．已知
log 2 3 a, log 3 7 b
用a, b 表示
log 42 56
练习:
1．若 log 3 4 log 4 8 log 8 m log 4 2 ,求m 2．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
2.2.1 第三课时
对数与对数运算 换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质？ （1）log a M log a N log a ( M N ) M log a M log a N log a （2 ） N n （3 ） log a M n log a M 2.对数运算有哪三个常用结论？ （1）log a a 1; （2） log a 1 0 ; log a N （3 ） a N.
解:(2)
由M lg A lg A0可得
A A M lg 10 M A A0 10 M . A0 A0
当M=7.6时,地震的最大振幅为 A1 A0 10
7.6
当M=5时,地震的最大振幅为 A2 A0 10
所以,两次地震的最大振幅之比是
A1 A0 10 7.6 5 2.5 10 10 398. 5 A2 A0 10
1 1 x 5730 ( ) 2 2
1 5730
1 , P ( ) 2
5730
t 5730
,写成对数Βιβλιοθήκη 为t log1 2P
当P=0.767时,
t log
5730
1 2
0.767
用计算器计算得
t 2193
所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址.
7.6
5
答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地 震的最大振幅的398倍.
例4 生物机体内碳 14的“半衰期”为 5730年，湖南长沙 马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量 约占原始含量的 76.7％，试推算马 王堆古墓的年代.
解:设生物体死亡时,体内每克组织的 碳14的含量为1, 1年后的残留量为x, t年后含量为P=xt, 又由题意得:1/2=x5730,
解: (1) M lg 20 lg 0.001
20 lg 0.001 lg 20000 lg 2 lg10 4.3.
4
因此,这是一次约为里氏4.3 级的地震.
例3 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍（精确到1）.
知识探究（二）：换底公式的变式
两个重要的推论:
m (2). log a n b log a b n
m
(1).log a b logb a 1
例1 计算： (1) log 9 27; (2) ; (3)（log23＋log49＋log827+„+
log 8 9 log 27 32
n
例3 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常 说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－ lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是 “标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20， 此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地 震的震级（精确到0.1）；
3 lg 2 2lg 5 2 2lg 3 · · ＝6. lg 2 lg 3 lg 5
答案： D
lg 9 lg 32 lg 32 lg 25 (2)log89· log2732 ＝ · ＝ 3 · 3 ＝ lg 8 lg 27 lg 2 lg 3 2lg 3 5lg 2 10 · ＝ . 3lg 2 3lg 3 9 2log 3 3log 3 n log 3 2 2 2 log 3 ＋ ＋ ＋ „ ＋ (3) 原式＝ 2 2log22 3log22 nlog22 n ×log9 32 n ＝(log23＋log23＋log23＋„＋log23)×log9 32 5 1 5 ＝n×log23×n× log32＝ . 2 2
lg 9 lg 32 lg 3 lg 2 (2)log89· log2732 ＝ · ＝ 3 · 3 ＝ lg 8 lg 27 lg 2 lg 3 2lg 3 5lg 2 10 · ＝ . 3lg 2 3lg 3 9 2log 3 3log 3 n log 3 2 2 2 (3) 原式＝ log23＋2log 2＋3log 2＋„＋nlog 2 2 2 2 n ×log9 32 n ＝(log23＋log23＋log23＋„＋log23)×log9 32 5 1 5 ＝n×log23× × log32＝ . n 2 2
log c b 思考4:我们把 log a b log c a
log c b log c a
（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0） 叫做对数换底公式，该公式有什么特征？
思考5:通过查表可得任何一个正数的常用
18 对数，利用换底公式如何求 log1.01 的值？ 13
18 lg 18 lg18 lg13 13 log1.01 13 lg1.01 lg1.01 1.255 1.1139 32.8837 0.0043 33