1-1 二、三阶行列式
三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式：
1、矩阵行列式：当一个矩阵中元素按行（列）排列时，这个矩阵的行（列）式就是由这个矩阵中各元素的多元一次积组成的式子。
2、三阶矩阵行列式计算公式：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式的计算公式为：
△=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32 -
（a13·a22·a31+a11·a23·a32+a12·a21·a33）
其中aij表示矩阵的第i行第j列的元素的值。
3、三阶矩阵行列式的展开计算方法：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式一般用展开的方法来计算。
展开是把一元二次方程表达式分解成多个定义同等的一元二次式。
三阶矩阵行列式计算步骤如下：
（1）选取矩阵中一行或一列，并写出矩阵行列式的展开式；
（2）把选出的行或列换成与其他行（列）不同的其他行（列）；
（3）根据求行列式的性质，把展开式中系数的符号颠倒；（4）重新组合，用得到的新式子计算矩阵行列式的值；（5）经过几次混合计算，最终可以求得矩阵的行列式的值。
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
第1章 1、2、4、3节 行列式定义
„—‟三元素乘积取“+”号；
‘…‟三元素乘积取“-”号。
例2 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
思考与练习（三阶行列式） 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).
例6
3421 1423 1243 1234
( 31)
( 42)
( 43)
5 2 1 0
结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一 系列对换互变.
① 的证明 对换在相邻两数间发生，即
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
(123 n )
课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。 4、线性代数作为大学理工科的一门主要的数学基础课， 也是硕士研究生入学考试的一门重要课程。
教材与参考书
•1、教材：《线性代数》第五版，同济大学数学教研室 •2、参考书: 《线性代数附册 》学习辅导与习题选解 （同济第五 版），同济大学数学系， 高等教育出版社，2007.6
二阶、三阶行列式
1 − 2 =
例5用三阶行列式解线性方程组ቐ2 − 3 = 的值。
1 + 3 =
解
由于
1
= 0
1
−1 0
1 −1 =1+1=2≠ 0
0
1
1
2 = 0
1
0
−1 =b−a+c
1
1 =
−1
1
0
1 −1
3 = 0 1
1 0
0
−1 =a+b+c
1
=c−b−a
定行列式等于零。
线 性 代 数
31 32 33
−1322131 −122133 −112332
11 12 13
= 21 22 23 称为三阶行列式，它由三行、三列共9个元素组成，
31 32 33
是6项的代数和，每一项都是三个元素的乘积并适当附上正号或负号，而且
这三个元素必须来自不同的行和不同的列。如图1-2所示，可用对角线法则
2
(1)当λ 为何值时，D=0;
解
λ
1
，问：
(2)当λ 为何值时，D≠0。
λ2 λ
因为 =
= λ2 − λ = λ(λ − 2)，所以
2 1
(1)当λ=0或λ=2时，D=0；
(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。
3 − 42 = 2
例3用二阶行列式解线性方程组ቊ 1
1 + 22 = 4
解
=
表示a11a22-a12a21，称为
21 22
二阶行列式，即
a11
a12
D
a11a22 - a12 a21
D1_1二阶与三阶行列式
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1
1 1 1 5, 0
1 1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2
2 2 1 1
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
机动
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D2 a21 b2 a31 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
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结束
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
由方程组的四个系数确定.
（3）
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（）所确定的二阶 4 行列式，并记作 a11 a21 a12 a22 ( 5)
即
D
a11
a12
a21 a22
记
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
机动
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线性代数1-1 二、三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式的计算
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
(1)沙路法 D a 21
a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则
x 2 3,
有否统一的公式？
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
(6)
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标 行标
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
1.定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A =-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
1-3 n阶行列式的定义
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
二、n阶行列式的定义
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a11a22 ann . 下三角形行列式 a n1 a n 2 a n 3 a nn
例1
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
记忆如下行列式——三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n a11a22 ann . 0 0 ann
上三角形行列式
一、概念的引入
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（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 2. 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
公式不好记，引入行列式的记号
（3）
2. 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 4 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22
即
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a13 a23 , a33
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
第一节
二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式
一、二阶行列式的引入
1. 引例 用消元法解二元线性方程组
3x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
1 2
x1 2,
1 (2) 2 : 7 x1 14,
, (1) 2 2 3 : 7 x2 21
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
二阶行列式的计算
主对角线
副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
a22
3. 二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 解 按对角线法则，有
1 -3 4 -2
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 D 2 1
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
例3
解
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
1
1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2 1 1 1 5, 0
2 2 1 1
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
1 1
思考 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
有否统一的公式？
x2 3,
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
二、三阶行列式
1.定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a21 a22
记 a11
a13 a23 a33 ( 5)
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13a21a32 (6) a32 a33 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32