1-1二阶与三阶行列式

a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素
的乘积冠以负号。
12 2016/12/24
说明
1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 2.三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行， 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项 为负。
5
= 1× 0 − 3 × 7 = −21
2016/12/24
b1 a11 x1 + a12 x2 = 二元线性方程组 的解为： b2 a21 x1 + a22 x2 = b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = , x2 a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
2016/12/24
思考题
求一个二次多项式 f ( x ) ，使
f ( 1= ) 0, f ( 2= ) 3, f ( −3= ) 28
21
2016/12/24
思考题解答
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) = ax 2 + bx + c
由题意得
f ( 1) = a + b + c = 0 f ( 2 ) = 4a + 2b + c = 3 f ( −3 ) = 9a − 3b + c = 28
b1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 如果三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b3 32 2 33 3 31 1
的系数行列式
a11 D = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 ≠ 0 a33
D1 −2 −2 1 1 1 −3 = −5 0 1 −1
−2 x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 + x2 − 3 x3 = −x + x − x = 0 2 3 1
D2
1 −2 −2 1 −2 1 1 = −5 2 1 −3 = −10 D3 = 2 1 0 −1 1 −1 0 −1 D3 D1 D2 = x1 = 1, = x2 = 2, = x3 = 1 D D D
a13 a23 a33 a13 a23 a33
b1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b2 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a x + a x + a x = b3 32 2 33 3 31 1 a11 D3 = a21 a31 a12 a22 a32 a b a12 b1 11 1 a22 b21 b2 D1 = a 2 a32 a b31 b3 3 a13 a23 a33
13
2016/12/24
例
1 2 −4 计算三阶行列式 D = −2 2 1 −3 4 −2
解 按对角线法则，有
D = 1 × 2 × ( −2) + 2 × 1 × ( −3) + ( −4) × ( −2) × 4 −1 × 1 × 4 − 2 × ( −2) × ( −2) − ( −4) × 2 × ( −3) = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14
其中分母为由方程组系数所构成的二阶行列式
a11 D= a21 a12 a22
该行列式称为方程组的系数行列式。
6 2016/12/24
同样的，解的分子部分也分别是一个二阶行列式
b1 b1a22 − a12b2 = b2 a12 a22 a11b2 − b1a21 = a11 a21 b1 b2
这些行列式分别是用方程组右端的常数替换系数行列 式中对应的列所得到的行列式，如
则三元线性方程组的解为 D3 D1 D2 = x1 = , x2 = , x3 D D D 16
2016/12/24
其中D1，D2，D3分别是用方程组右端的常数替换掉 系数行列式中对应的列所得到的行列式，如
a11 D = a21 a31 a11 D2 = a21 a31
17
a12 a22 a32 b1 b2 b3
故方程组的解为
19
2016/12/24
小结
1.二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组 引入的。 2.二阶与三阶行列式的计算——对角线法则。
a11 a21 a11 a21 a31
20
a12 = a11a22 − a12a21 a22 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式。
10 2016/12/24
三阶行列式的计算
沙路法
a11 D = a21 a31 − − a12 a22 a32 −
a11 a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32 +
a13 a23 a33
a13 a11 a23 a21 a33 a31 +
得一个关于未知数a，b，c的线性方程组
22 2016/12/24
即
0 a + b + c = 3 4 a + 2b + c = 9a − 3b + c = 28
−40, D2 = 60, D3 = −20 又 D= −20 ≠ 0 , D1 =
算得
= a D = 2 1 D b = D2 D = −3 = c D = 1 3 D
3 2016/12/24
(3)
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称
列）的数表
a11 a21 a12 a22 (4)
表达式a11a22 －a12a21称为数表(4)所确定的二阶行列 式，并记作
a11 a21 a12 列标(j) a22 行标(i) (5)
a11 a12 = = a11a22 − a12a21 ，记为D＝det(aij)。 即D a21 a22
+
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
11 2016/12/24
对角线法则
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
例 解
7 x1 + 2 x2 = 解二元线性方程组 0 3 x1 − x2 =
8
7 2 1 7 1 2 = −7 D2 = = −21 D= = −7 ≠ 0 D1 = 0 −1 3 0 3 −1 D1 D2 = x1 = 1, = x2 = 3 2016/12/24 D D
例 解
0 3 x1 − 2 x2 − 12 = 求解二元线性方程组 0 2 x1 + x2 − 1 =
4 2016/12/24
二阶行列式的计算——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21 a12 a22 = a11a22 − a12a21
例
用对角线法则计算下列二阶行列式
2 3 −1 7 2 0 −1 = 7 × ( −1) − 0 × 2 = −7 1 3 7 0
解 1
= 1 × ( −1) − 3 × 2 = −7
故所求多项式为
f ( x ) = 2 x2 − 3 x + 1
23 2016/12/24
作业题
P21 1
24
b1 a11 x1 + a12 x2 = b2 a21 x1 + a22 x2 = a b11 1 a12 D1 = a22 a b21 2
7
a11 a b12 1 D2 = a21 a b22 2
2016/12/24
则二元线性方程组的解为
D1 x1 = = D b1 a12 b2 a22 D2 ,= x2 = a11 a12 D a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
两式相减消去 x2，得 (a11a22 －a12a21)x1 ＝ b1a22 －b2a12 类似的，消去 x1，得 (a11a22 －a12a21) x2 ＝ a11b2 －b1a21 当a11a22 －a12a21≠0时，方程组的解为 b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = , x2 a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 分母由方程组的四个系数确定
第一节 二阶与三阶行列式
二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组 a11x1+a12x2 ＝ b1 a21x1+a22x2 ＝ b2 (1) (2)
(1)×a22： a11a22 x1+a12a22 x2 ＝ b1a22 (2)×a12 ： a12a21x1+a12a22x2 ＝ b2a12
2
2016/12/24
12 −2 1 1 D1 14 x = = = = 2 1 3 −2 D 7 用此方法解方程组的前提 2 1
条件是系数行列式 D ≠ 0。 3 12 2 1 D2 −21 x2 = = = = −3 3 −2 D 7 2 1
9 2016/12/24
三阶行列式的定义
定义 设有9个数排成3行3列的数表
2016/12/24
例
−2 x1 − 2 x2 + x3 = 1 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = −x + x − x = 0 2 3 1
解 由于方程组的系数行列式
1 −2 1 = D 2 1 −3 = −5 ≠ 0 −1 1 −1
18
2016/12/24
于是
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 (5)
a11 记 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 (6) a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
14 2016/12/24
例
1 1 求解方程 2 3 4 9
1 x =0 x2
解 方程左端
D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12 = x − 5x + 6
2
由 x2 − 5 x + 6 = 0 解得
Baidu Nhomakorabea
x=2 或 x=3
15 2016/12/24
利用三阶行列式求解三元线性方程组