1-1二阶与三阶行列式
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1-1 二、三阶行列式
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 2. 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
公式不好记，引入行列式的记号
（3）
2. 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 4 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22
即
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a13 a23 , a33
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
第一节
二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式
一、二阶行列式的引入
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
二、三阶行列式
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
例
解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
1
2 3
D= 4 0 5 −1 0 6
= 1× 0 × 6 − 2× 4× 6
+ 2 × 5 × ( − 1)
+ 3 × 4 × 0 − 3 × 0 × ( −1) = −58
− 1× 5 × 0
例4
实数 a , b 满足什么条件时有
a
b 0
D= −b a 0 =0 1 0 1
a 1
b 0 0 1
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
三阶行列式的计算
a13 a23 .列标 a33 行标
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
1_1行列式定义性质与计算
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阶下三角形行列式D的值 例3．计算 n 阶下三角形行列式 的值 ． 0 … 0 0 b1 0 … 0 b2 * D= … … … … … 0 bn-1 * * * bn * * * * 解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， 第一行只能取b 第二行只能取 2， ， n-1行只能 第一行只能取 1， 第二行只能取b 第 行只能 不为零的 取bn-1， n 行只能取 n .这样不为零的乘积项只有 第 行只能取b 这样不为零 乘积项只有 b1b2b3 bn， 所以 D = (1)τ(n n-1 21) b1b2b3 bn = (1)
… … … … …
a1n … ain . … ann
如果行列式的某一行(列 的元素为零 的元素为零， 如果行列式的某一行 列)的元素为零，则D＝0. ＝ . 如果D中有两行 列 成比例 成比例， 如果 中有两行(列)成比例，则D=0. 中有两行 .
《线性代数》
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1.3 n 阶行列式
n 阶行列式定义
定义3 定义 符号
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a 2n a nn
元素
ai j
列标
行标
称为n阶行列式 它表示代数和 阶行列式， 阶行列式
∑ ( 1)
《线性代数》
τ ( j1 j 2 ... j n )
… 0 … 0 … 0 = a11a22a33 ann. … … … ann … a1n … a2n … a3n = a11a22a33 ann . … … … ann … 0 … 0 … 0 = a11a22a33 ann . … … … ann
阶下三角形行列式D的值 例3．计算 n 阶下三角形行列式 的值 ． 0 … 0 0 b1 0 … 0 b2 * D= … … … … … 0 bn-1 * * * bn * * * * 解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， 第一行只能取b 第二行只能取 2， ， n-1行只能 第一行只能取 1， 第二行只能取b 第 行只能 不为零的 取bn-1， n 行只能取 n .这样不为零的乘积项只有 第 行只能取b 这样不为零 乘积项只有 b1b2b3 bn， 所以 D = (1)τ(n n-1 21) b1b2b3 bn = (1)
… … … … …
a1n … ain . … ann
如果行列式的某一行(列 的元素为零 的元素为零， 如果行列式的某一行 列)的元素为零，则D＝0. ＝ . 如果D中有两行 列 成比例 成比例， 如果 中有两行(列)成比例，则D=0. 中有两行 .
《线性代数》
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1.3 n 阶行列式
n 阶行列式定义
定义3 定义 符号
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a 2n a nn
元素
ai j
列标
行标
称为n阶行列式 它表示代数和 阶行列式， 阶行列式
∑ ( 1)
《线性代数》
τ ( j1 j 2 ... j n )
… 0 … 0 … 0 = a11a22a33 ann. … … … ann … a1n … a2n … a3n = a11a22a33 ann . … … … ann … 0 … 0 … 0 = a11a22a33 ann . … … … ann
1-1 二阶与三阶行列式
二、三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 3 1 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x1 = D , x2 = D2 , x3 = D , D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3, D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3−b1a21a33−a13b2a31, D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3−b1a22a31. a11 a12 a13 为了便于记忆和计算, 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
Henan Agricultural University
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b a22 −a12b2 a11b2 −b a21 1 1 . , x2 = x1 = a11a22 −a12a21 a11a22 −a12a21
3 1 令λ2−3λ=0, 则λ=0, λ=3. (1)当λ=0 或 λ=3时, D=0; (2)当λ≠0 且 λ≠3时, D≠0. 例3 1 2 4 0 −1 0 3 5 =1×0×6 +2×5×(−1) +3×4×0 6 −1×5×0−2×4×6−3×0×(−1) =−10−48 =−58.
线性代数 第六版 第一章 行列式
2
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1)
(2)
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得
(a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 ,
所以当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有唯一解
(a12a21 a11a22 ) x2 (a13a21 a11a23 ) x3 a21b1 a11b2 a32
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
3 4 2
解 按对角线法则，有 D 1 2(2) 21 (3) (4)(2) 4
12
1 2 4 例 计算三阶行列式 D 2 2 1
3 4 2
解 按对角线法则，有 D 1 2(2) 21 (3) (4)(2) 4
(4) 2(3) 2(2)(2) 114
14.
13
1 23 例3 4 0 5
解
3 D
2 3 (4) 7 0 ,
21
12 2
3 12
D1 1
1 14, D2 2
21, 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
7
(二) 三阶行列式
三元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
第一章 行列式
第一章行列式第一节二阶与三阶行列式1．二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当时，有（2）这就是二元方程组的解的公式。
但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号为二阶行列式，它表示两项的代数和：即定义（3）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即－＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有如果将D中第一列的元素a11，a21换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a12，a22换成常数项b1，b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为其中D≠02. 三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为（1）还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当时，有（2）这就是三元方程组的解的公式。
这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。
我们称记号为三阶行列式。
三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为于是有按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。
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a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
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三、小结
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二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
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故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
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2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
解 由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
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同理可得
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2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
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aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 a21 a22
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aa1211
x1 x1
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思考题解答
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解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c, 由题意得 f 1 a b c 0, f 2 4a 2b c 3, f 3 9a 3b c 28,
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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aa2111xx11
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
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11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
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则二元线性方程组的解为
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b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
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1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
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a11 b1 a13
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第一章 行列式
一，教学目标： 1，理解行列式的定义； 2，会求一个排列的逆序数，会判断行列式 的某一项的符号； 3，了解矩阵的对换及对换与排列的奇偶的 关系； 4，理解行列式的几种性质，并运用性质计 算行列式的值； 5，理解元素余子式和代数余子式的概念， 并会求解。
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
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二、三阶行列式
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定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
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例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
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a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
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例1 求解二元线性方程组
ห้องสมุดไป่ตู้
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
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6，会运用行列式按行（列）展开法则，并 结合行列式的性质，简化行列式的计算。 7，运用Cramer 法则求解线性方程组的解 8，学会简单判断线性方程组解的情况。
二、教学重点： 1，理解n阶行列式的概念，并能利用定义确 定行列式某一项的符号。 2，理解和熟悉行列式的几种重要性质； 3，运用Cramer 法则判断线性方程组的解； 4，学会求行列式的方法。
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,