运筹学ABC2线性规划建模课
运筹学 第二章 线性规划课件
ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
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运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
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运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙
运筹学中线性规划建模的教学
运筹学中线性规划建模的教学
线性规划建模是运筹学的一个重要方面。
它的最终目的是满足客观函数的最优解，并在有限的条件下进行有效地解决问题。
一般来说，在线性规划建模过程中，需要包括的内容有三个方面：一是建立模型，建立模型是指将所需解决的实际问题用线性模型等数学模型来描述；二是解决模型，解决模型是指采用数学解法来求解该模型；三是验证模型，验证模型是指比较模型的解与实际情况的符合程度，并从中发现模型的优缺点。
在线性规划建模过程中，除以上三个方面外，还应注意保证模型的准确性、有效性以及易用性。
模型的准确性指能否准确描述实际问题；模型的有效性指是否能够由计算机有效地解决；模型的易用性指是否对使用者友好易用。
同时，还应利用一些数据分析技术，如灵敏度和可行性分析，来指导和改进模型，这种分析技术既能帮助模型建模者认识正确的模型，也能帮助模型的使用者正确的使用模型。
综上所述，线性规划建模是运筹学的重要组成部分，它的准确性、有效性以及易用性都非常重要，为此，使用者要掌握各种数学分析技术，做到建模和求解同样重要。
运筹学线性规划基本性质及建模PPT课件
数 m，
XN 含
n-m 个 0
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某厂拟生产甲乙两种适销产品，每件利润为3、5百元。甲 乙产品的部件各自在A、B两个车间分别生产，每件甲乙产品的部 件分别需要A、B车间的生产能力1、2工时；两种产品的部件最 后都要在C车间装配，装配每件甲乙产品分别需要3、4工时,A、 B、C三个车间每天可用于生产这两这种产品的工时分别为8、12、 36，应如何安排生产才能获利最多？
max z 3x1 5x2
x1 8
s.t.
2x2 3x1
12 4x2
36
x1 0, x2 0
其中max是英文maximize(最大化)的缩写；s.t.是subject to(受约束于)的 缩写。
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1.2 线性规划的一般模型
（1）可用一些变量表示这类问题的待定方案，这 些变量的一组定值就代表一个具体方案。因此可将 这些变量称为决策变量，并要求它们为非负。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用 关于决策变量的线性不等式或等式来表示。 （3）有一个期望达到的目标，这些目标能以某种 确定的数量指标刻画出来，而这种数量指标可表示 为关于决策变量的线性函数，按所考虑问题的不同， 要求该函数op值t 最z 大c1化x1 或 c最2 x小2 化。这cn x类n 问题(1就1)是线性 规划问题。一般LP模型可表示如下：
称 式
为 称
目 为
标 函
函 数
数 约
， 束
opt称 ；(1-
为其优化， 3)式中的
也z 可c称1x1为目c2标x2要求
称为非负性
；(c1n-x2n)
约束；
运筹学线性规划模型及目标规划模型
问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。
1、问题的提出1.1基本情况某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。
已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：表1T项目B1配件种类资源限制B2B3资金（百元）412200劳动力/工时643360设备台时（小323210时）产品利润（元/754件）1.2提出问题1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。
2、模型的建立2.1确定决策变量因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。
因此可以设尤，x ,x来表示B1，B2, B3的产量。
1 2 32.2确定目标函数该问题归结为求效益最大化的问题。
这里所追求的利润s应是最大（简写为max）max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 32.3确定约束条件考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1_1数值有'4x + x + 2x < 200<6x + 4x + 3x < 360I3x + 2x + 3x < 210侦1 2 32.4建立模型综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。
求变量气(i = 1,2,3)使得目标函数：max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 3取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：4x + x + 2x < 2001 2 36x + 4x + 3 x < 360s.t. < 1 2 3|3x i+ 2x2 + 3x3 < 210I x , x , x > 0v 1 2 33、模型的求解分析上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
管理运筹学第二章-线性规划应用(建模)ppt课件
方案1 1 0 3 7.4
0
方案2 2 0 1 7.3
0.1
方案3 0 2 2 7.2
0.2
方案4 1 2 0 7.1
0.3
方案5 0 1 3 6.6
0.8
方案6 1 1 1 6.5
0.9
方案7 0 3 0 6.3
1.1
方案8 0 0 4 6.0
1.4
9
精选
LOGO
二、套裁下料问题
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
11
精选
LOGO
三、生产计划的问题
[例3] 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，
都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、 乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生 产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据 如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、 丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸 造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h， 问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又 配备最少司机和乘务人员?
7
精选
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一、人力资源分配的问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建
立如下的数学模型。
目标函数：Min z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
运筹学中线性规划建模的教学
运筹学中线性规划建模的教学摘要高职数学教学应结合教学内容,向学生介绍一些“数学建模”案例,使学生从中感受数学建模的思想方法。
在建模理论指导下,将实际问题转化为图形、图表重新整合信息,建立数学模型,再借助Lindo软件快速解决问题。
促使学生更好地理解数学、应用数学、品味数学和热爱数学,提高学生应用意识和创新能力。
关键词建模策略;建模方法;模仿类比;软件运用当今数学的素质教育可归结为:“归纳、演绎、建模、创新”,同时数学的科学链是:“基本背景—基本技巧—基本应用”。
这就要求数学教师在教学中既要重视数学的建模过程的问题提出的基本背景分析,又要重视数学建模中数学基础知识和基本技巧的灵活转化和应用以及问题的快速解决。
下面就以线性建模教学为例,说明建模的策略和模型解决的方法。
1引导学生学习建立数学模型的思维策略。
1)抓关键词语联想转化。
线形规划问题的一个明显特征是文字叙述多,生活常识多,科技术语多,字母变量符号多,相关制约因素多。
正因为如此,分析题目时,首先要指导学生认真读题,准确地理解题意,梳理信息;其次要抓住题中的“关键词语”。
为此,不妨使用“主题词”浓缩题意,突出问题的实质。
2)借助直观图和流程图,以图助思。
柯尔莫格罗夫说:“只要有可能,数学家总是尽可能地把正在研究的问题从几何上视觉化。
”而线性规划问题多以现实的客观事物存在为背景,建模之前,若将文字语言译释为图形,通过直观图进行观察、分析,便可把陌生的背景转化为熟悉的情况,或通过流程图迅速地理清思路从而为建立数学模型铺平道路。
3)运用数据表格,整合信息。
线性规划最突出的特点是数据多,变量符号(字母)多,数量关系隐蔽,而且数据具有“生活实际”的本来面目,并非“纯数学化”的数据,学生对数据的感悟能力较差,对已知与所求之间的数量关系比较模糊。
因此应充分运用表格处理复杂的数据,把信息进行整合,理顺数量之间的关系,从而建立相应的数学结构,突显数学模型。
而列表法是将线性规划问题转化为数学模型的最重要的方法,要细致地将列表的方法步骤,以及列表中横列纵列分别代表什么讲清楚以示楷模。
运筹学线性规划数学模型PPT课件
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
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一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
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例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
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• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
运筹学ABC-2整数规划建模课
表4-8 产品资源需求量表
资源 原材料/吨 劳动力（人/月） 机器设备（台/月） 产品A 2 2 1 产品B 4 3 2 产品C 8 4 3
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.3 固定成本问题
此问题的数学模型如下：
把上述模型输入WinQSB软件中，得到如下结果：最大目 标函300，最优解为x1=100, x2=0, x3=0, 也就是说生产100台 A产品可获取最大利润300万元。
整 数 规 划 在 经 济指派问题
在工作任务的安排中，有n项不同的任务，有m个人分别承担 这些任务，但由于每个人特长不一样，完成各种任务的效率也 不相同。现假设必须指派每个人去分别完成一项任务，怎么样 把n项任务指派给m个人，使得完成n项任务的总效率最高，这 就是指派问题。 对于有m个人n项任务的一般指派问题，设： xij 并设cij为第i个人去完成j项任务的成本（如所需时间、费用 等），则一般指派问题的模型可以写成：
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.4 指派问题
约束条件：
因为m不一定等于n,当m>n时，即人多于任务时，就有人没有任 务，所以前面m个约束条件都是小于等于1，这就是说每人至多 承担一个任务，而后面的n个约束条件说明每项工作正好有一 个人承担，所以都是等于1。
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.2 选址问题
解：设0-1变量 这样我们可建立如下数学模型：
约束条件如下：
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.3 固定成本问题
【例4-10】某工厂生产三种类型的产品A、B、C，所用的资源为：原材料、劳动力 和机器设备。生产每个产品的资源需求量如表4-8所示。不考虑固定成本，每种产 品A、B、C的利润分别为4万元、5万元、6万元，可使用的材料总量为500吨，劳动 力300人/月，机器100台/月。此外，如果工厂开通该产品的生长线，不管生产多少 个A、B、C产品，工厂都需要付出一定量的固定成本，具体如下：A产品为100万， B产品为150万，C产品为200万元。现在要制定一个生产计划，使其获得利润最大。
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应用3：背包及配送问题
问题 1：物料装箱 一个物料箱最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每 种物品数量无限。每种物品每件的重量、价值如下表所示：
物品 1 重量（公斤/件） 10 价值（元/件） 17
xi≥0 (i=1,2,3)且为整数
这个问题的最优解是：x1=1(件), x2=0(件), x3=2(件), 最 高价值为：z=87（元）
问题 2 设某种物资从两个供应地A1，A2运往三个需求地B1，
B2，B3。各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供 应地到每个需求地的单位物资运价如下表所示。
饲料
1 2 3 4 5
蛋白质（g） 矿物质（g）维生素（mg） 价格（元/kg）
3
1
0.5
0.2
2
0.5
1.0
0.7
1
0.2
0.2
0.4
6
2
2
0.3
18
0.5
0.8
0.8
设xi为第i种饲料的数量（公斤），则
Min z=0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.8x5
St. 3x1+2x2+1X3+6X4+18X5>=700
生产每吨产品所需资源
劳动力所需工时占总工时比 所需原材例料（吨）
产
品
A
B
C
1/3
1/3
1/3
1/3
4/3
7/3
解：第一步——确定决策变量
x1为产品A的日产量
x2 为产品B的日产量 x3 为产品C的日产量
第二步——明确约束条件
劳动力的约束条件为： 原材料的约束条件为：
1 3
x1
1 3
x2
1 3
x3
1
物品 2 41 72
物品 3 20 35
问：要在物料箱中装入这三种物品各多少件， 使箱中的物品价值最高？
解：设装入物品1，物品2和物品3各为x1，x2，x3件，由于物品的 件数必须是整数，因此物料箱问题的线性规划模型是一个整数规 划问题：
Max z=17x1 +41x2 +35x3 s.t 10x1 + 41x2 + 20 x3 <= 50
设备 原材料A 原材料B
产品I
1 4 0
产品II
2 0 4
8台时 16kg 12kg
该生产计划问题可用数学模型表示为：
目标函数
max z＝2x1＋3x2
约束条件
x1＋2x2≤8 4x1 ≤16
4x2≤12 x1，x2 ≥0
• 问题 3
• 某制造企业有A、B、C、 D四种主要产品，所有产品 均需四道工序生产：第一 阶段是冲压，第二阶段是 成型，第三阶段是装配， 第四阶段是喷漆。根据工 艺要求及成本核算，单位 产品所需的加工时间、利 润以及可供使用的总工时 如下表所示。这四种产品 每天要各生产多少件才能 使获得的利润最大？请就 这一问题，以利润最大为 目标，建立求解的线性规 划模型。
2.19
1.76
3.20
Mn
2.04
1.12
3.57
4.33
2.10
Ni
5.82
3.06
4.27
2.73
4.30
单价(元/公斤) 115
97
82
76
假设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤不锈钢G，应选用 原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，才能使新产品的原材料成本最 小。
解：设选用原料T1，T2，T3和T4分别为x1，x2，x3，x4公斤，根据条件， 可建立相应的线性规划模型如下：
应用2：配料问题
• 问题 1
某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种新 的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni） 的含量（%），四种原料的单价以及新的不锈钢材料G所要求的Cr， Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示：
T1
T2
T3
T4
G
Cr
3.21
4.53
线性规划在经济管理中的 应用——线性规划建模
应用1：生产计划问题
问题 1
试列出下述产品规划问题的线性规划模型：某工厂生产A、B、 C三种产品，每吨利润分别为2000元、3000元、1000元；生产单 位产品所需的工时及原材料如表所示。若供应的原材料每天不超 过3吨，所能利用的劳动力日总工时是固定的，问如何制定日生 产计划，使三种产品总利润最大？
1
4
7
3 x1 3 x2 3 x3 3
第三步——明确目标
总利润为：
Z 2x1 3x2 x3
此产品规划问题的线性规划模型为：
max Z 2x1 3x2 x3
1 s.t.133
x1 x1
1, x2 , x3
1
3 7
3
x3
x3 0
1 3
• 问题 2
某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品。已知生产单位产品 所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示。该工厂 每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元。问I、 II两种产品的产量各为多少时，使该工厂获取最大利润？
工序
冲压 成型 装配 喷漆
每件产品加工时间 ABCD
每天加工 能力
（分钟）
1
1
1
1
480
4
8
2
5
2400
4
2
5
5
2000
6
4
8
4
3000
单位利润 （元）
9
6
11
8
解答： 约束条件：
max Z=9x1+6x2+11x3+8x4
x1+x2+x3+x4≤480 4x1+8x2+2x3+5x4≤2400 4x1+2x2+5x3+5x4≤2000 6x1+4x2+8x3+4x4≤3000 x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0
x1
+x2
+x3
+x4 =100
x1,
x2,
x3,
x4 ≥0
这是一个典型的成本最小化的问题。这个线性规划问题的最优 解是：
x1=26.58，x2=31.57，x3=41.84，x4=0（公斤） 最低成本为： z=9549.87（元）
• 问题 2
某养猪场的猪每天至少需要700g蛋白质，30g矿物质，100mg维生素。 现有五种饲料可选，每种饲料每kg营养成分含量及单价如表所示。要 求确定既满足动物生长应用需要，又使费用最省的选用饲料方案。
运价（元/吨）
B1
B2
B3 供应量（吨）
A1
2
3
5
35
min z= 115x1 +97x2 +82x3 +76x4
s.t. 0.0321x1+0.0453x2+0.0219x3+0.0176x4≥3.20 0.0204x1+0.0112x2+0.0357x3+0.0433x4 ≥2.10 0.0582x1+0.0306x2+0.0427x3+0.0273x4 ≥4.30