寿险精算学全集
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寿险精算公式集合
第一章 生命表函数与生命表构造生存函数 定义 意义：新生儿能活到 岁的概率 与分布函数的关系 与密度函数的关系 新生儿将在x 岁至z 岁之间死亡的概率 未来寿命定义：已经活到x 岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。
分布函数：基本函数 未来寿命的生存函数特别： ：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x 岁的人将在1年内去世的概率 ：X 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率整值未来寿命定义：未来存活的完整年数，简记 概率函数11Pr(())Pr(()1)k x k x kx k xk x x k xk K X k k T x k q q p p p q q +++==≤<+=-=-=⋅=未来寿命的期望与方差期望未来寿命：()x 未来寿命的期望值(均值),简记00(())(1)ox tx tx e E T x td p p dt∞∞==-=⎰⎰未来寿命的方差2220(())(())(())2o tx xVar T x E T x E T x t p dt e ∞=-=⋅-⎰整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x 整值未来寿命的期望值(均值),简记xe 1(())x kx x k k xk k e E K x k p q p ∞∞++====⋅⋅=∑∑整值未来寿命的方差22210(())()()(21)k x x k Var K x E K E K k p e ∞+==-=+⋅-∑死亡效力)Pr()(x X x S ≥=x )(1)(x F x S -=)()(x S x f '-=Pr()()()x X z s x s z <≤=-Pr(())()()()()t x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+=t x p Pr(())Pr()()()t x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+=0()x p s x =x px q x t u q xt u x t x t x t u xt u q q q p p ++=-=-()x (),()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+=定义：()x 的瞬时死亡率，简记()()ln[()]()()x s x f x s x s x s x μ''=-==-死亡效力与生存函数的关系0()exp{}exp{}xs x ttxsxs x ds p ds μμ+=-=-⎰⎰死亡效力与密度函数的关系0()()exp{}xx x s f x s x ds μμμ=⋅=⋅-⎰ 死亡效力表示未来寿命的密度函数()g t T ()()F ()1()()()()f ()()()()tx x t T tx x ts x s x tt p s x s x t d d s x s x t t G t p dt dt s x s x μμ++-+=-=⎡⎤+-+====⋅⎢⎥⎣⎦关寿命分布的参数模型De Moivre 模型(1729)1()1 , 0xxxs x x μωωω=-=-≤≤Gompertze 模型(1825) ()exp{(1)} , B 0,c 1,0xx xBc s x B c x μ==-->>≥Makeham 模型(1860)()exp{(1)} , B 0,A -B,c 1,0xx xA Bc s x AxB c x μ=+=--->≥>≥ Weibull 模型(1939)1()exp{} , 0,0,0nx n kx s x kx k n x μ+==->>≥ 参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
保险精算课程三(寿险精算)
N N Dx
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx
寿险精算公式集合
常用符号：新生生命组个体数：
l0
l0
年龄： x 极限年龄：
lx l0 s ( x )
个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： l x
l0
个新生生命中在年龄 x 与 x+n 之间死亡的期望个数： n d x （特别：n=1 时，记作 d x ）
dx lx lx n lx
纯保费厘定的基本假定 三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被 保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益 （即预定利率） 。 净保费厘定原理 原则：保费净均衡原则 解释： 所谓净均衡原则， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时 值 ( x) 基本符号： —— 投保年龄 ——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数 vt ——贴现函 数 zt ——保险给付金在保单生效时的现时值 zt bt vt 主要险种的趸缴净保费的厘定： n 年期定期寿险 终身寿险 延期 m 年的终身寿险 n 年期生存保险 n 年期两全保险 延期 m 年的 n 年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n 年定期寿险 2.1.1 死亡保险 n 年定期死亡保险 (x)签约离散型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期死亡保险的趸缴纯保费为:
A1 A1
x:n
当n 1 时 v qx v dx lx
x: 1
自然纯保费
v x 1 d x Cx cx v x lx Dx
Ax
v
k 0 k 1
k 1
k
精算数学寿险精算学课件
❖ 保障标的的不同
人寿保险life insurance 生存保险pure endowment
insurance 两全保险 endowment
insurance
❖ 保障期是否有限
定期寿险 term year insurance
终身寿险whole life insurance
3、人寿保险的性质
2、人寿保险的分类
❖ 受益金额是否恒定
定额受益保险 level benefit insurance 变额受益保险varying benefit insurance
❖ 保单签约日和保障期期 始日是否同时进行
非延期保险non-deferred insurance
延期保险 deferred insurance
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即 预定利率）。
4、趸缴纯保费的厘定
❖ 4.2厘定原则
保费净均衡原则 解释
❖所谓净均衡原则(it is net because it has not been loaded)， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金 的期望现时值(expectation of the present value of the net premium equals expectation of the present value of the payment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是 在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值
❖ 趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
1、死亡即刻赔付(payable at the moment of death)
❖ 死亡即刻赔付的含义
保险精算学寿险精算现值
1 D x
M
t 0
x t
引进转换函数：Rx M x t
t 0
则 IA x
Rx Dx
根据概率的知识，我们还可以得到
IA x E Z (k 1)v
k 0
k 1 k
qx k Ax
k 0
（2）定期递增寿险
用 IA x:n 表示趸缴净保费，则
631终身寿险年缴净保费死亡年末赔付单位元终身寿险如果规定保费每年一次终身交付这时保险费的现值就是终身生存年金精算现值以表示年缴均衡净保保费在年内缴清632定期寿险年缴净保费在死亡均匀分布的假设下如果被保险人死亡瞬时赔付633两全寿险年缴净保费634延期年金年缴净保费延期年的终身生存年金的年缴净保费设保费的缴付期限为表示年缴净保费
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。 （1）递增型人寿保险的趸缴净保费 （2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单 位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元 用 IA x 表示这种保险的现值，则
IA x:n IA x:n
1
nAx:n 1
（4） 等值递增n年的终身寿险的趸缴净保费
用 I n A 表示趸缴净保费，则
I A IA
n x t n
x
x
n IA x
t 1 其中， IA ( t n 1) v q x t x n
2 2 2n p v p v n x n x n p xn qx . n 2
Z Z1 Z 2
寿险精算公式集合
x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： (x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20
寿险精算(第一章)
定理1.3.2. 假设个体的年龄及是否死亡为已 知,个体的其他信息均未告知. x岁的个体生 存了 t 年后, 其再继续生存时间的分布和x+t 岁的个体的未来生存时间的分布相同, 即
P(T ( x) s t | T ( x) t ) P(T ( x t ) s), s [0, )
(3) p P (T ( x) t ) t x
P (T ( x) h) P (T ( x) t | T ( x) h) P (T ( x) h) P (T ( x h) t h | T ( x h) 0) P (T ( x) h) P (T ( x h) t h) h px t h px h .
第一部分 生存模型和多元衰减模型
第一章 单生命生存模型 第二章 多生命生存模型 第三章 多元衰减模型 大意梗概：人寿保险是以人的寿命、身体或健康 为保险标的（指具体的保险目标）的保险， 因此， 研究人的寿命的延续规律是制定保险保费的重要 基础。人的寿命往往是不确定的，可以看作随机 变量，因此，用概率统计方法研究寿命是普遍方 法。
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)
t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
寿险精算学(三)
寿险精算学（三） 寿险精算学（ 寿险产品介绍
内容
1 2 3 4
传统个人寿险和年金产品 投资类保险产品 附加康保险
人身险
终身寿险
生存年金 两全保险
投资类保险产品
分红产品
万能产品
投连产品
常见附加险产品
主险附加产品 医疗费用 住院津贴
疾病保险
Cycle name
收入补偿
意外险
团体保险概念
团体： 人以上 团体：5人以上 用一张保单 对一团体的人提供保障 同一险种
团体保险
团体保险特点
1
精算方法不同
2
费率不同
3
管理方式和费用不同
团险种类
团体寿险
团体意外险 团体年金
团体健康险
内容
1 2 3 4
传统个人寿险和年金产品 投资类保险产品 附加康保险
人身险
终身寿险
生存年金 两全保险
投资类保险产品
分红产品
万能产品
投连产品
常见附加险产品
主险附加产品 医疗费用 住院津贴
疾病保险
Cycle name
收入补偿
意外险
团体保险概念
团体： 人以上 团体：5人以上 用一张保单 对一团体的人提供保障 同一险种
团体保险
团体保险特点
1
精算方法不同
2
费率不同
3
管理方式和费用不同
团险种类
团体寿险
团体意外险 团体年金
团体健康险
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中国精算师的职业制度基本思路在考试认可制度
下，取得精算师考试合格证书仅是精算师职业制 度的开端： ①取得中国精算师资格证书者，若以精算师名义 在商业保险机构执业，还需向中国保监会申请注 册，在取得精算师执业证书后，方可执业; ②执业的精算师应加入精算师的专业团体中国精 算师协会，每年需参加中国精算师协会规定的职 业培训，接受其监督管理；
关键概念
保险合同 可保风险：可保风险是保险人愿意承保并能够 承保的风险。
保险分类
财产保险
车险 房屋保险 火灾险 信用险 知识产权保险
人身保险
寿险 健康险 意外险
精算学及其应用领域
精算学概念 应用各种数理模型来估计和分析未来不确定事件（风险）
经过金融保险监管部门认可其从业资格。资格认定：北美和英 国体系，资格考试分寿险精算师、非寿险精算师、投资与资产 管理精算师、养老金精算师、咨询精算师 精算师的职责 ——保证风险经营的财务稳健性 对风险和损失的预先评价 对风险事件做出预先的财务安排 精算学起源：起源于人寿保费的计算。1693年哈雷编制第一 张生命表 精算师职业组织：英国精算学会、SOA北美精算师协会、 AAA美国精算职业学会、国际精算师学会、⋯⋯
精算师的角色
精算师的基本职能是计算保险费率。传统上，精
算专业大多用于保险公司和参与社会保障体系的 设计，在保险公司中，精算师是核心部门的核心 人才，有着极高的地位、权力和职责。 精算师通常有三种角色：一是保险公司的雇员， 为保险公司工作；二是监管部门的代理人，按照 监管的要求进行工作，并及时反映保险公司诸如 偿付能力不足等重大事件；三是作为保险专家， 发表专家意见，维护消费者的利益，提醒公众风 险在哪里。精算师担负着对政府、保险公司和保 户三方面的重责。
寿险精算学基本思来的损失降 低最小 事先防范风险
净均衡思想
自助互助性 保费的返还性 大数定律
中国精算职业制度：我国保险法规定："经
营人身保险业务的保险公司，必须聘用金 融监督管理部门认可的精算专业人员，建 立精算报告制度。" 1999年组织了中国首 次精算师资格考试，有43人获中国精算师资 格主要应用于寿险业务，而非寿险业务， 精算学的应用还是空白。
产生的影响（特别是财务方面）。以保险业为基础产生的 精算科学通常指处理保险业中的风险管理问题。 精算早已形成完整的体系，在社会保险、金融、投资、证 券等领域广泛应用。
应用领域
保险领域 社会保障领域 投资领域 所有与风险评估，控制相关领域
精算师： 针对精算问题逐步形成的一种专门职业的从业人员，
寿险精算学全集
2006年11月18日
背景知识
保险的基本概念 精算学及其应用领域
寿险精算学的基本思想 精算师
精算师职业资格考试
保险的概念
保险的概念
投保人根据合同约定，向保险人支付保险费， 保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生 所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者 当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年 龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行 为。
精算学一般分为寿险精算学和非寿险精算学。寿
险精算学讨论的是只与人的寿命风险有关的计算 问题，而涉及到所有其他保险风险的计算问题都 属于非寿险精算学的范畴，包括健康险的计算问 题。 原因：人的寿命风险具有更大的稳定性，而且寿 险保单中，保险金是事先约定的。而在涉及其他 保险风险的保单中，保险金一般直接与被保险人 的实地损失相联系，后者无法事先准确得知。由 于损失的不确定性，使得非寿险保单费率的厘定、 保险金的提留等都比寿险精算更为复杂和困难， 所使用的工具也更加艰深。
准精算师考试基础课程
课程编号 课程名称 学分 考试时间 备注 001 数学基础Ⅰ 30 3 必考 002 数学基础Ⅱ 30 3 必考 003 复利数学 20 2 必考 004 寿险精算数学 50 4 必考 005 风险理论 20 2 必考 006 生命表基础 30 3 必考 007 寿险精算实务 30 3 必考 008 非寿险精算数学与实务30 3 必考 009 综合经济基础 30 3 必考
精算师考试高级课程
课程编号 课程名称 学分 考试时间 备注 011 财务 30 3 必考 012 保险法规 30 3 必考 013 资产/负债管理 30 3 必考 014 社会保险 20 3 选考 015个人寿险与年金精算实务 20 3 选考 016 高级非寿险精算实务 20 3 选考 017 团体保险 20 3 选考 018 意外伤害和健康保险 20 3 选考 019 投资学 20 3 选考 020 养老金计划 20 3 选考
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为
准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。 精算师考试课程共10门，考生必须通过3门必考 课程、2门选考课程的考试。3门必考课程内容主 要涉及保险公司运营管理、财务、投资以及中国 保险业法规、税收、财务制度等。2门选考课程 则为保险业务的不同方向。
③保险公司聘请一名执业精算师作为公司的首席
精算师，并报中国保监会备案(首席精算师需经 中国保监会的资格审查认可)； ④首席精算师离职应当报中国保险监督管理委员 会备案。保险公司解除其首席精算师的职务，应 当向中国保险监督管理委员会陈述理由，并报中 国保险监督管理委员会备案。
中国精算师考试课程
考题形式为标准试题和笔答题，考试采用学分制。
考生通过全部基础课程考试，获得270学分，可 以获得准精算师考试合格证书；精算师高级课程 考试共130学分，90学分必考学分，40学分选考 学分。考生在通过全部课程的考试后，还需有专 业训练要求，考生要请一名资深的中国精算师指 导，在专业领域工作两年，并有一篇专业 报告，经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。