直线方程题型分类总结
直线方程公式大全
直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。
设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。
设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。
设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。
设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
专题2.2 直线的方程(一)：直线方程的几种形式【八大题型】(举一反三)(人教A版2019选择性必修
专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】【人教A版（2019）】【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 (2)【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 (2)【题型3 直线的两点式方程及辨析】 (3)【题型4 直线的截距式方程及辨析】 (4)【题型5 直线的一般式方程及辨析】 (5)【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 (6)【题型7 求直线的方向向量】 (7)【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 (7)【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线l经过一点，斜率为k l的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【题型1 直线的点斜式方程及辨析】【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点(0,3),(2,1)的直线方程为()A．x−y−3=0B．x+y−3=0C．x+y+3=0D．x−y+3=0【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（）A．x−y+12=0B．x+y−2=0C．x+y−12=0D．x−y+2=0【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（）A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y+1=0D．x+2y−3=0【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=k(x−2)表示（）A．通过点(2,0)的所有直线B．通过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线【题型2 直线的斜截式方程及辨析】【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A．y=x+2B．y=x−2C．y=−x+2D．y=−x+4A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程l的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.②当().③当(2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【题型3 直线的两点式方程及辨析】【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G(1,−3)，H(−2,1)，则直线l的方程为（）A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A(3,−5)，B(−5,5)的直线在y轴上的截距为（）【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，−3)，H(2，1)，则直线l的方程为（）A．4x+y+7=0B．4x−y−7=0C．2x−3y−11=0D．4x−y+7=0【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过(−2,−2)、(2,4)两点，点(1348,m)在直线l上，则m的值为（）A．2021B．2022C．2023D．2024【题型4 直线的截距式方程及辨析】【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A(5,2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（）条A．0B．1C．2D．3【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,−6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0B．x+y+3=0C．x−y+3=0D．x+y+3=0或2x+y=0【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为（）A．3x−2y+6=0B．2x−3y+6=0C．3x−2y−6=0D．3x+2y−6=0【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A(−2,1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（）．A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0【知识点3 直线的一般式方程】1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=它表示斜率为在y轴上的截距为线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式【题型5 直线的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（）1=0【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为（）A．2x+y+3=0B．2x+y+5=0C．2x+y−1=0D．2x+y−2=0【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则下列选项正确的是（）A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率B．当A=0，且B≠0时，直线只与x轴相交C．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交D．当A≠0，且B=0，且C=0时，直线是y轴所在直线【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】A．2x+3y+3=0B．2x+3y−3=0C．2x+3y+2=0D．3x−2y−2=0【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A．1B．−1C．2D．−2【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（）A．x+2y−10=0B．x+2y+10=0C．2x−y=0或x+2y−4=0D．2x−y=0或x+2y−10=0【知识点4 方向向量与直线的参数方程】1．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即)=t(m,n)，所以①.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型7 求直线的方向向量】【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x−2y+1=0的一个方向向量是（）A．(2,1)B．(1,2)C．(2,−1)D．(1,−2)【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（）A．(1,2)B．(2,−1)C．(2,1)D．(1,−2)【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=（）【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量(1−m,1)是直线l的一个方向向量，则实数m的值为（）A．−1B．1C．2D．−1或2【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为(2,−1)，且经过点A(1,0)，则直线l的方程为（）A．x−y−1=0B．x+y−1=0C．x−2y−1=0D．x+2y−1=0【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为(2,3)，直线m过点(1,1)且与l垂直，则直线m的方程为（）A．2x+3y−5=0B．2x−3y+1=0C．3x+2y−5=0D．3x−2y−1=0【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a⃗=(3,2)，则直线l′的方程为（）A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为a⃑＝(1，3)，直线l2的方向向量为b⃑⃑＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1①l2，则直线l2的方程是（）A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0。
直线方程题型及解题方法
直线方程题型及解题方法直线方程是数学中的常见题型，往往需要用到代数、几何和图像的知识进行解答。
本文将介绍几个常见的直线方程题型，并提供相应的解题方法。
一、点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常见的一种形式。
它可以通过给定直线上的一点和直线的斜率来确定直线的方程。
具体的表示形式为：y - y₁ = m(x - x₁)其中(x₁, y₁)是直线上的一点坐标，m是直线的斜率。
以下是使用点斜式方程解题的步骤：步骤 1：根据题目给出的信息，确定直线上的一点(x₁, y₁)和直线的斜率m。
步骤 2：代入点斜式方程，计算直线的方程。
例题 1：已知直线上的一点为 P(2, 4)，斜率为 3，求直线的方程。
解题步骤：步骤 1：将 P 的坐标代入点斜式方程，得到y - 4 = 3(x - 2)。
步骤 2：展开并化简方程，得到y - 4 = 3x - 6。
最终答案为y = 3x - 2。
二、截距式方程截距式方程是直线方程的另一种常见形式。
它可以通过给定直线在 x 轴和 y 轴上的截距来确定直线的方程。
具体的表示形式为：y = yy + y其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
以下是使用截距式方程解题的步骤：步骤 1：根据题目给出的信息，确定直线在 x 轴和 y 轴上的截距，即(0, b)和(a, 0)。
步骤 2：利用截距式方程，代入相应的截距和斜率，计算直线的方程。
例题 2：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 -3，求直线的方程。
解题步骤：步骤 1：将 x 轴上的截距代入截距式方程，得到y = mx + 2。
步骤 2：将 y 轴上的截距代入方程，得到-3 = m * 0 + 2。
解方程得到m = -3/2。
最终答案为y = -3/2x + 2。
三、两点式方程两点式方程是直线方程的一种形式，用于通过直线上的两点来确定直线的方程。
具体的表示形式为：(y - y₁) / (x - x₁) = (y - y₂) / (x - x₂)其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
第12讲直线的一般式方程(7种题型)(原卷版)-2024年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(
第12讲直线的一般式方程（7种题型）【知识梳理】一．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．二．直线的一般式方程与直线的平行关系1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．三．直线的一般式方程与直线的垂直关系1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．四．待定系数法求直线方程求直线方程的一般方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．（2）待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．五．两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．六．方程组解的个数与两直线的位置关系两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．七．与直线有关的动点轨迹方程1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．2、求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标（x，y）表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．【考点剖析】一．直线的一般式方程与直线的性质（共13小题）1．（2022秋•永昌县校级期末）已知直线l1：x﹣2y﹣2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为（）A．x+y﹣3＝0B．4x﹣3y+9＝0C．3x﹣4y+3＝0D．2x+y﹣3＝02．（2022秋•西湖区校级期末）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是．3．（2022秋•项城市校级期末）过点A（3，2）且垂直于直线4x+5y﹣8＝0的直线方程为．4．（2022秋•福州期末）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣2，﹣1），B（4，1），C（2，3）．（1）求AD所在的直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．5．（2022秋•苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．6．（2022秋•玉林期末）在△ABC中，A（1，1），B（3，﹣2），C（2，0）．（1）求△ABC的中线AD所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．7．（2022秋•衡南县期末）已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．（1）求直线l的方程；（2）直线，点P在l'上，求|P A|+|PB|的最小值．8．（2022秋•房山区期末）已知△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x﹣3y+1＝0，x+y＝0，顶点A（1，2）．（1）求顶点C的坐标；（2）求BC边所在的直线方程．9．（2022秋•聊城期末）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝﹣1，2x﹣y+7＝0，点P（1，2）在边BC上．（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程．10．（2022秋•雅安期末）在△ABC中，已知点A（8，4），B（4，﹣1），C（﹣6，3）．（1）求BC边上中线的方程．（2）若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．11．（2022秋•崇川区期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC 边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0．（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．12．（2022秋•定州市期末）已知△ABC的顶点B（3，2），AB边上的高所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．（1）求直线AB的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y﹣13＝0②BC边上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣12＝0 _____，求直线AC的方程．13．（2022秋•佛山期末）△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，0），C（4，5），M是AB的中点．（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；（2）求△BCM的面积．二．直线的一般式方程与直线的平行关系（共11小题）14．（2022秋•宁河区校级期末）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（2022秋•滕州市期末）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝016．（2022秋•河南期末）若直线mx﹣4y+1＝0与直线x+2y﹣3＝0平行，则实数m＝（）A．2B．﹣2C．D．17．（2023春•虹口区期末）已知平面直角坐标系中的三点A（﹣2，﹣1）、B（2，2）、C（0，3），若直线l 过点C且与直线AB平行，则l的方程为．18．（2022秋•红山区期末）求解下列问题：（1）求过直线x﹣y﹣5＝0与直线x+y﹣3＝0的交点，且与直线3x﹣4y+6＝0平行的直线方程；（2）已知A（1，﹣2），B（﹣1，4），求以线段AB为直径的圆的方程．19．（2022秋•钦州期末）已知点P（2，4）和直线l：2x+y+1＝0．（1）求经过点P且与l平行的直线方程；（2）求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程．20．（2022秋•沙市区校级期末）已知直线l1：mx+（1﹣2m）y+2﹣m＝0，．（1）当直线l1在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数m的值；（2）若l1∥l2，实数m的值．21．（2022秋•米东区校级期末）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？22．（2022秋•凌河区校级期末）已知直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0交于点P．（1）直线l1经过点P，且平行于直线3x﹣4y+5＝0，求直线l1的方程；（2）直线l2经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l2的方程．（注：结果都写成直线方程的一般式）23．（2022秋•金华期末）已知平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（5，﹣2），C（﹣1，﹣1）．（1）若直线l过点C且与直线AB平行，求直线l的方程；（2）求线段BC的垂直平分线方程．24．（2022秋•新化县期末）已知直线l的方程为ax+y﹣2a﹣2＝0（a∈R）．（1）若l与直线x+2y＝0平行，求a的值；（2）若l在x轴，y轴上的截距相等，求l的方程．三．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共11小题）25．（2023春•奎屯市校级期中）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x+2y﹣3＝0的直线方程为（）A．x+2y+5＝0B．2x﹣y+5＝0C．x+2y﹣5＝0D．2x﹣y﹣5＝026．（2022秋•郴州期末）直线ax﹣4y＝0与直线4x+2y﹣1＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．1D．﹣127．（2023•忻州开学）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y+1＝0垂直，则＝．28．（2023春•虹口区期末）若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为．29．（2022秋•长春期末）求解下列问题：（1）求过点P（4，2）且平行于直线l：3x﹣y+1＝0的直线的方程；（2）求过点P（﹣2，3）且垂直于直线m：x﹣3y﹣4＝0的直线的方程．30．（2022秋•龙华区期末）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．31．（2022秋•广安期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边的垂直平分线所在直线的方程．32．（2022秋•益阳期末）已知点P（2，﹣1）和直线l：x+2y﹣5＝0．（1）若直线l1经过点P，且l1⊥l，求直线l1的方程；（2）若直线l2过原点，且点P到直线l2，l的距离相等，求直线l2的方程．33．（2022秋•香坊区校级期末）（1）求与直线3x+4y+1＝0平行且过点（1，2）的直线l的方程；（2）当m为何值时，直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y＝4m﹣1与直线2x﹣3y＝5垂直．34．（2022秋•广安期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边的垂直平分线所在直线的方程．35．（2022秋•涪城区期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）．（1）求边AB的中线所在直线的方程；（2）若AD⊥BC，垂足为D，求点D的坐标．四．待定系数法求直线方程（共6小题）36．（2022秋•龙川县校级期末）过点P（﹣1，1）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5），两点到直线的距离相等，则直线方程是（）A．2x+y+1＝0B．x+2y﹣1＝0C．2x+y+1＝0或4x+y+3＝0D．x+2y﹣1＝0或4x+y+3＝037．（2022秋•钦州期末）若直线过点（，﹣3）和点（0，﹣4），则该直线的方程为（）A．y＝x﹣4B．y＝x+4C．y＝x﹣6D．y＝x+238．（2022秋•宿迁期末）过点（3，2）的直线l，被直线l1：2x﹣5y+9＝0，l2：2x﹣5y﹣7＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线x﹣4y﹣1＝0上，则直线l的方程为．39．（2022秋•大丰区期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为．40．（2022秋•奉化区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0，则顶点C的坐标为．41．（2022秋•渝北区校级期末）已知直线l1：ax+2y﹣12＝0，直线l2过点A（﹣4，1），____．在①直线l2的斜率是直线y＝﹣x的斜率的2倍，②直线l2不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．（1）求l2的方程；（2）若l1与l2在x轴上的截距相等，求l1在y轴上的截距．五．方程组解的个数与两直线的位置关系（共3小题）42．（2022秋•崇州市校级月考）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a 的取值范围是（）A．B．a≥1或a≤﹣1C．﹣1≤a≤1D．或43．（2022秋•东安区校级月考）已知直线l：ax﹣y+1＝0，点A（1，﹣3），B（2，3），若直线l与线段AB 有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）44．（2022秋•武昌区校级期中）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为.（写出一个即可）六．与直线关于点、直线对称的直线方程（共6小题）45．（2022秋•泸州期末）点（0，0）与点（﹣2，2）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x+y+2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣2＝0D．x﹣y﹣2＝046．（2023春•仙桃校级月考）已知点A（5，2），B（7，﹣7），点P是直线y＝x上动点，则|P A|+|PB|的最小值是．47．（2022秋•新余期末）一束光线从点A（2，3）射出，经x轴上一点C反射后到达圆（x+3）2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AC|+|BC|的最大值为（）A．B．C．D．48．（2022秋•怀仁市校级期末）点（﹣1，3）关于直线x+y+2＝0的对称点的坐标为．49．（2022秋•淄博期末）直线ax+y+3a﹣1＝0恒过定点M，则点M关于直线2x+3y﹣6＝0对称的点N坐标为．50．（2022秋•海淀区校级期末）已知直线l1：y＝1与直线l2：y＝kx﹣2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．（Ⅰ）当k＝1时，求C点的坐标；（Ⅱ）当四边形ABCD为菱形时，求k的值．七．与直线有关的动点轨迹方程（共3小题）51．（2022秋•浦东新区校级月考）已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（Ⅰ）直线PQ是否经过点M（6，1）？（Ⅱ）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线上；②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标．52．（2022秋•洛阳月考）已知直线l：3x+y+2＝0与x，y轴的交点分别为A，B，且直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，则△P AB面积的最大值是．53．（2022•栖霞区校级开学）如图，在直角坐标系中，射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：x+3y＝0（x≥0），过点P （1，0）作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 点．①当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；②当AB 的中点在直线y ＝x 上时，求直线AB 的方程．【过关检测】一、单选题 1．（2023·全国·高二专题练习）直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A ．()0,0 B ．()0,1 C ．()3,1 D ．()2,12．（2023·江苏·高二假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+= (,c d 不同时为0)的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关3．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线l 过点1,2且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．2350x y -+=B ．3270x y ++=)(,1)-∞- 2,1](2,3) 2][1,)+∞高二课时练习）已知直线Ax +在x 轴的截距大于在轴的截距，则0C B > 0 二、多选题B ．直线()12y k x -=-恒过定点()2,1C ．直线30x y +-=的倾斜角为135°D ．过点()2,1，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条12．（2023·江苏·高二假期作业）过点(2,1)，且斜率2k =-的直线方程为（ ）A ．()122x y -=--B ．210x y +-=C ．()122y x -=--D ．250x y +-=三、填空题13．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知直线:21l x y =+，则直线l 的斜率k =______． 14．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点(1,2)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是________．（用一般式表示）15．（2023·江苏·高二假期作业）直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距小1，且过定点(3,8)A -，则直线l 的方程为________________.16．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）两直线10ax y +-=与420x ay +-=平行，则a 的值是______；四、解答题 17．（2023·江苏·高二假期作业）已知ABC 在第一象限，若(1,1)A ，(5,1)B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边所在直线的点斜式方程.18．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线:3450l x y ++=，求：(1)过点()1,1A 且与直线l 平行的直线的方程；(2)过点()1,1A 且与直线l 垂直的直线的方程．19．（2023·江苏·高二假期作业）如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成45°角和30°角，过点(1,0)P 作直线AB 分别与OA ，OB 交于点A 、B ，当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程.20．（2023·江苏·高二假期作业）对于问题“求经过点(21)(3,4)M N --,,的直线l 的方程”，某同学采取的方法如下：首先设直线:0l Ax By C ++=，然后由直线l 经过M ，N 两点得到20340A B C A B C -+=⎧⎨-++=⎩,做到这里，该同学认为题目条件不够，无法求解直线l 的方程，你同意该同学的观点吗？说明自己的观点及依据.21．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2320l ax a y a --+-=.(1)若12l l ⊥，求实数a 的值；(2)若12l l ∥，求实数a 的值.22．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知ABC 的顶点分别为(2,4),(0,2),(2,3)A B C --，求：(1)直线AB 的方程;(2)AB 边上的高所在直线的方程;。
史上最全直线与直线方程题型归纳
曲线与曲线圆程之阳早格格创做一、知识梳理1.曲线的倾斜角与斜率：正在仄里曲角坐标系中，对付于一条与x 轴相接的曲线，如果把x 轴绕着接面按顺时针目标转动到战曲线沉适时所转的最小正角记为α，那么α便喊干曲线的倾斜角.当曲线战x 轴仄止或者沉适时，咱们确定曲线的倾斜角为0°.倾斜角的与值范畴是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的曲线，它的倾斜角的正切喊干那条曲线的斜率，时常使用k 表示.倾斜角是90°的曲线不斜率.2.斜率公式：通过二面),(),,(222111y x P y x P 的曲线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=()0不全为、B A7．斜率存留时二曲线的仄止：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存留时二曲线的笔曲：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的二曲线仄止与笔曲:当二条曲线中有一条曲线不斜率时：(1)当另一条曲线的斜率也不存留时，二曲线的倾斜角皆为90°，互相仄止；(2)当另一条曲线的斜率为0时，一条曲线的倾斜角为90°，另一条曲线的倾斜角为0°，二曲线互相笔曲．二、典例粗析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列道法粗确的个数是（ ） ①所有一条曲线皆有唯一的倾斜角； ②倾斜角为030的曲线有且仅有一条； ③若曲线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果二曲线仄止，则它们的斜率相等A. 0个B.1个C.2个D.3个 【训练】如果0<AC 且0<BC ，那么曲线0=++C By Ax 短亨过（ ）【例2】如图，曲线l 通过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．ksinα>0B ．kcosα>0C ．ksinα≤0D ．kcosα≤0【训练】图中的曲线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A ．k1＜k2＜k3B ．k3＜k1＜k2C ．k3＜k2＜k1D ．k1＜k3＜k2【例3】通过面()2,1P 做曲线l ，若曲线l 与对接()10—，A ，()1,4B 的线段总有大众面，供曲线l 的倾斜角α与斜率k 的与值范畴. 【训练】已知二面()4,3-A ，()2,3B ，过面()1-2，P 的曲线l 与线段AB 有大众面，供曲线l 的斜率k 的与值范畴.【例4】若曲线l 的圆程为2tan +=αx y ，则（ ）A.α一定是曲线l 的倾斜角 B.α一定不是曲线l 的倾斜角C.α—π一定是曲线l 的倾斜角D.α纷歧定是曲线l 的倾斜角【训练】设曲线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、谦脚（ ）A.1=+b aB.1=b a —C.0=+b aD.0=b a —题型二：斜率的应用 【例5】若面()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a的值为_________________.【训练】若三面()()()b C a B A ,0,0,2,2，()0≠ab 共线，则ba11+的值为_____________.【例6】已知真数y x 、谦脚82=+y x ，当32≤≤x 时，供xy 的最大值为_______，最小值为_________________ 【训练】1、若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（ ）A.c b a <<B.a b c <<C.b a c <<D.c a b <<2、供函数1212+=x x y —的值域.题型三：二曲线位子闭系的推断已知，二曲线21,l l 斜率存留且分别为21,k k ，若二曲线仄止或者沉合则有21__________k k ，若二曲线笔曲则有21__________k k . 【例7】已知曲线1l 的倾斜角为 60，曲线2l 通过面()3,1，A ，()322—，—B ，推断曲线1l 与2l 的位子闭系.【训练】1、已知面()3,2P ，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，曲线PQ 与曲线AB 相互笔曲？2、已知曲线1m 通过面()()3,23—，，a B a A ，曲线2m 通过面()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，供a 的值.【例8】正在仄里曲角坐标系中，对付Ra ∈，曲线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）.A 互相仄止 .B 互相笔曲.C 闭于本面对付称 .D 闭于曲线x y —=对付称【训练】曲线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 笔曲，供a 的值.题型四：供曲线圆程（一）面斜式【例9】根据条件写出下列曲线的圆程：（1）通过面A(1,2),斜率为2；（2）通过面B （—1,4），倾斜角为 135； （3）通过面C （4,2），倾斜角为 90；（4）通过面D （—3，—2），且与x 轴仄止.已知曲线过一面，可设面斜式【训练】已知ABCAD⊥于D,∆中，()()()0,2，CA，BCB—，46,2，1—供AD的曲线圆程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列曲线的圆程：（1）斜率为2，正在y轴上的截距是5；150，正在y轴的截距为—2；（2）倾斜角为（3）倾斜角为 45，正在y轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式：3，且与坐标轴围成的三角形周少是12的【训练】供斜率为4曲线l的圆程.（三）截距式【例12】根据条件写出下列曲线的圆程：（1)正在x轴上的截距为—3，正在y轴上的截距为2；（2)正在x轴上的截距为1，正在y轴上的截距为—4；与截距相闭的问题，可设截距式【训练】曲线l过面()3,4P，且正在轴x上的截距之比为1:2，轴、y供曲线l的圆程.（四）二面式【例11】供通过下列二面的曲线圆程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“二面决定一条曲线”【训练】过面()1,0M 做曲线l ，使他被二条已知曲线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB被面M l 的圆程.【例12】1、已知面A （3,3）战曲线l ：2543—x y =.供：（1）通过面A 且与曲线l 仄止的曲线圆程； （2）通过面A 且与曲线l 笔曲的曲线圆程.2、已知三角形三个顶面的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试供AB 边上的下的曲线圆程.(思索：如果供AB 边上的中线、角仄分线呢？）【例13】已知曲线l 的斜率为2，且l 战二坐标轴围成里积为4的三角形，则曲线l 的圆程为________________．【训练】已知，曲线l 通过面（—5，—4），且与二坐标轴所围成的三角形里积为5，则曲线l 的圆程为________________ 【例14】曲线l 不通过第三象限，其斜率为k ，正在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ）A.00>≤b k 且 B.0<≥b k 且 C.00><b k 且D.00>>b k 且【训练】二条曲线y=ax+b 与y=bx+a 正在共背来角坐标系中的图象位子大概是（ ） A ． B ． C ． D ．三、课后训练<一>采用题：1、若曲线l ：y=kx-3与曲线2x+3y-6=0的接面位于第一象限，则曲线l 的倾斜角的与值范畴（ ）A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π]2、已知曲线l1：（k-3）x+（5-k ）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0笔曲，则K 的值是（ ）A ．1或者3B ．1或者5C ．1或者4D ．1或者23、曲线y=3x 绕本面顺时针转动90°，再背左仄移1个单位，所得到的曲线为（ ）A ．3131+=x y — B ．131+=x y — C ．33—x y = D ．13+=x y<二>挖空题：1、正在仄里曲角坐标系中，如果x 与y 皆是整数，便称面（x ，y ）为整面，下列命题中粗确的是 _________________（写出所有粗确命题的编号）．①存留那样的曲线，既不与坐标轴仄止又不通过所有整面 ②如果k 与b 皆是无理数，则曲线y=kx+b 不通过所有整面 ③曲线l 通过无贫多个整面，当且仅当l 通过二个分歧的整面④曲线y=kx+b 通过无贫多个整面的充分需要条件是：k 与b 皆是有理数⑤存留恰通过一个整面的曲线．2、若面()21—，P 正在曲线l 上的射影为()1,1—Q ，则曲线l 的圆程为__________________.3、正在仄里曲角坐标系xOy 中，过坐标本面的一条曲线与函数f(x)=x2的图象接于P 、Q 二面，则线段PQ 少的最小值是________________. <三>解问题：1、设曲线1l ：11+=x k y ，2l ：12—x k y =，其中真数21,k k 谦脚0221=+•k k ，道明1l 与2l 相接.2、已知曲线圆程为b kx y +=，当[][]13,8,4,3—时—∈∈y x ，供此曲线的圆程.3、当20<<a 时，曲线1l ：422:422222+=+=a y a x l a y ax 与——战二坐标轴围成一个四边形，问a 与何值时，那个四边形的里积最小?并供出最小里积.。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
直线与方程题型总结答案
题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交； 平行； 垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为 ．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程． 【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩， 所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。
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直线方程常见题型分类总结
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
题型一：两直线的位置关系
判断直线平行：已知直线12l l ，的方程为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若12//l l ，则有12210A B A B -=，且1221B C B C ≠或1221A C B C ≠
判断直线相交:1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若两直线相交，则有
12210AB A B -≠
判断直线垂直:已知直线12l l ，的方程为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若
12l l ⊥，则有12120A A B B +=，反之亦然。
两点间的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离 1.两点间距离公式：
设平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：12||PP .
特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P
P 所在直线与y 轴平行时，
1212||||PP y y =-；
2.点到直线距离公式：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2
200B A C By Ax d +++=
3.两平行直线距离公式：
两条平行直线
11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =
，
1.若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 A ．1 B ．13-
C ．2
3
- D ．2- 2.若直线1:(3)4350l m x y m +++-=与2:2(5)80l x m y ++-=平行，则m 的值为 A ．7- B ．1-或7- C ．6- D ．13
3
- 题型二：定点问题
1. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点. A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)--
2.若不论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点的坐标为 A ．(2,1)- B ． (2,1)- C ．(2,1)-- D ．(2,1)
3.不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 A.(1, －
2
1
) B.(－2, 0) C.(2, 3) D.(－2, 3) 题型三：对称问题
1.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .
2.求点（1,2）关于直线20x y --=的对称点。
3.与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是
A ．3220x y -+=
B ．2370x y ++=
C ．32120x y --=
D ．2380x y ++= 4.光线由点P (2,3)射到x 轴后，经过反射过点Q (1,1),则反射光线方程是
A ．450x y +-=
B ．430x y --=
C ．3210x y --=
D ．2310x y -+= 题型四：截距相等问题
1.若直线过)1,2(P 点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条 A. 1条 条 条 D.以上都有可能
2.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .
3.直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32，求直线l 的方程． 题型五：最值问题
、Q 分别为01043=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则PQ 的最小值为 （A ）
95 （B ）6 （C ） 3 （D ）2
5
2.已知点A(1,3)、B(5,2)，点P 在x 轴上，使|AP |–|BP |取得最大值时P 的坐标 A. （4,0） B. (13,0)
C. (5,0)
D. (1,0)
3.已知点)10,2(),5,1(-B A ，直线1:+=x y l ，在直线l 上找一点P 使得PB PA +最小，则这个最小值为
（A ）34 （B ）8 （C ）9 （D ）10 4.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是
A.250x y +-=
B.240x y +-=
C.370x y +-=
D.350x y +-= 5.点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( ) (A)2 (B)3 (C)3
(D)2
题型六：与线段相交的斜率问题
1.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．324
k
k ≥≤或 B ．3
24k ≤≤
C ．3
4
k ≥
D ．2k ≤ 2.已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.
题型七:待定系数法求直线方程
1.与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.
2.求过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程.
3.过点M (0，1)作直线，使它被两已知直线l 1: x －3y +10=0和l 2:2x +y －8=0所截得的线段恰好
被M 所平分，求此直线方程. 题型八：三角形面积问题
1. 直线l 过点M （2,1），且分别与x,y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程 习题：
1..若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 .
2..直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 .
3.设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，则点P 坐标是 ．
4.若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是
213
13
，则2c a +的值为
5.直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为
(1,1)M -，则直线l 的斜率为 A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-。