2019高考数学专题九数学文化与创新应用第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破课件文
2． (2018· 湖南联考)在 R 上定义运算 对任意 x>2，不等式(x－a) 值范围是( ) B．(－∞，3]
： x
y＝x(1－y)． 若
x≤a＋2 都成立，则实数 a 的取
A．(－∞，7] C．[－1,7]
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
解析
∵运算
：x
y＝x(1－y)，∴(x－a)
x≤a＋2
1
列”，且 b1b2b3…b99＝299，则 b8＋b92 的最小值是( A．2 B ．4 C． 6 D．8
)
解析
依题意可得 bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列． b8· b92＝2b50＝4，当且仅当 b8＝b92，即该
又 b1b2b3…b99＝299＝b99 50，则 b50＝2. b8＋b92≥2 数列为常数列时取等号．
考向3 例3
实际应用型问题 (1)(2018· 南昌模拟)小明在如图 1 所示的跑道上匀
速跑步，他从点 A 出发，沿箭头方向经过点 B 跑到点 C，共 用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的 过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)， 表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定 位置可能是图 1 中的( )
当且仅当 x＝4 时，取最小值．∴a≤7，选 A.
考向2 例2
创新型问题 (1)(2018· 抚顺模拟)关于圆周率 π， 数学发展史上出
现过许多有创意的求法， 如著名的蒲丰实验和查理斯实验． 受 其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值：先 请 360 名同学，每人随机写下一个 x，y 都小于 1 的正实数对 (x，y)；然后统计 x，y 两数能与 1 构成钝角三角形三边的数 对(x，y)的个数 m；再根据统计数 m 来估计 π 的值．假如统 计结果是 m＝102，那么可以估计 π 的值约为( 22 47 51 60 A． 7 B．15 C．16 D．17 )
＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又 lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， M 故与 N 最接近的是 1093.故选 D．
2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量 L(x)(单位：千双)是关于销售单价 x(单位：元/双)的函数．已 知销售单价不低于 1 元/双． 当月销售量最少为 0.205 千双时， 该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为 20 元/ 双时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不 超过 4 元/双时， 月销售量为 2.125 千双． 研究表明： 当 4≤x≤20 a 时， 月销售量 L(x)与销售单价 x 的函数关系为 L(x)＝x2＋b(a， b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为 f(x)＝x· L(x)，为使 f(x) 达到最大值，则销售单价 x 应为( )
解析
(构造可行域求解)两数能与 1 构成钝角三角形三
x＋y>1， x2＋y2<1， 边的数对(x， y)所需满足的条件为 0<x<1， 0<y<1，
作出满足不
102 等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有 360 ＝ π 1 4－2 47 ，解得 π＝15. 1×1
(2)已知{an}满足
1 1 3 1 7 1 1 15 17 … 1 9 1 5 1 11 1 19 … 1 13 … 1 29 …
解析
1 1 令 2n－1＝287⇒n＝144⇒287是数列 的第 2 n －1
2 7－ 1 144 项，由 S7＝{ }＝127⇒A(8,17)． 2－ 1
2．如图，在平面斜坐标系 xOy 中，∠xOy＝θ，平面上 → 任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP＝xe1＋ ye2(其中 e1，e2 分别是 x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点 → P 的斜坐标为(x，y)，向量OP的斜坐标为(x，y)．
给出以下结论： → ①若 θ＝60° ，P(2，－1)，则|OP|＝ 3； → → ②若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)； → → → → ③若OP＝(x1，y1)，OQ＝(x2，y2)，则OP· OQ＝x1x2＋y1y2； ④若 θ＝60° ，以 O 为圆心、1 为半径的圆的斜坐标方程 为 x2＋y2＋xy－1＝0.
第二编 讲专题 专题九 数学文化与创新应用
第2讲 新定义型、创新型、 应用型试题突破
「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力， 信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能 力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值 5 分，题目新 而不难，备考时要高度重视．
核心知识回顾
1．新定义型问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、 新公式、 新定理、 新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时 还需要用类比的方法去理解新的定义， 这样有助于对新定义 的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一 定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数 学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基， 以不变应万变才是制胜法宝．
1 的所有数按照从大到小的原则写出如 1．把数列 2n－1
图所示的数表，第 k 行有 2 数起)记为
k －1
个数，第 t 行的第 s 个数(从左
1 1 A(t， s) ， 则数列2n－1中的项287应记为________．
A(得 0<x<2，所以 P＝{x|0<x<2}；由|x
－2|<1，得 1<x<3，所以 Q＝{x|1<x<3}．由题意，得 P－Q ＝{x|0<x≤1}．
(2)(2018· 山东菏泽模拟 )若函数 y＝f(x)的图象上存在两 个点 A，B 关于原点对称，则称点对[A，B]为 y＝f(x)的“友 情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，
1．(2017· 北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度 的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N M 约为 10 .则下列各数中与 N 最接近的是(
80
)
(参考数据：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解析
3361 M 由题意，lg N ＝lg1080＝lg 3361－lg 1080
－
1 n * a1＝1，an＋an＋1＝ (n∈N )，Sn＝a1＋ 4
4· a2＋42· a3＋…＋4n 1· an，类比课本中推导等比数列前 n 项和
n 4 5 公式的方法，可求得 Sn－ 5 · an＝________.
n
解析
由 Sn＝a1＋a2· 4＋a3· 42＋…＋an· 4 n 1；
①②④ ． 其中所有正确结论的序号是________
解析
对于①， OP 是两邻边长分别为 2,1， 且一内角为
→ 60° 的平行四边形较短的对角线，解三角形可知 |OP|＝ 3， → → 故①正确；对于②，若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝ → → (x1＋x2，y1＋y2)，故②正确；对于③，OP＝(x1，y1)，OQ＝ → → (x2， y2)， 所以OP· OQ＝(x1e1＋y1e2)(x2e1＋y2e2)， 因为 e1· e2≠0， → → 所以OP· OQ≠x1x2＋y1y2，故③错误；对于④，设圆 O 上任 意一点为 P(x，y)，因为|OP|＝1，所以(xe1＋ye2)2＝1，所以 x2＋y2＋xy－1＝0，故④正确．故填①②④.
－ －
① ②
－
得 4· Sn＝4· a1＋a2· 42＋a3· 43＋…＋an－1· 4n 1＋an· 4n；
①＋②得， 5Sn ＝ a1 ＋ 4(a1 ＋ a2) ＋ 42· (a2 ＋ a3) ＋ … ＋ 4n
1 n
1 2 1 2 n － 1 1 n － 1 n · (an－1＋an)＋ an· 4 ＝ a1＋ 4· ＋ 4 · ＋ … ＋ 4 · ＋ 4 · an 4 4 4
A．点 M
B．点 N
C．点 P D．点 Q
解析
由题图 2 可知固定位置到点 A 距离大于到点 C
距离，所以舍去 N，M 两点，不选 B，A；若是 P 点，则从 最高点到点 C 依次递减，与图 2 矛盾，因此取 Q，即选 D．
(2)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微 的小孔慢慢地匀速漏出， t min 后剩余的细沙量为 y ＝ ae
过 16 min.
方法指导 系；
求解应用题的一般步骤(四步法)
(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关 (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最 后将结果应用于现实，作出解释或验证．
bt
－
(cm3)，若经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经
16 过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析 ∴e ae
－bt －8b
当 t＝0 时，y＝a；当 t＝8 时，y＝ae
－8b
1 ＝2a，
1 ＝2， 当容器中的沙子只有开始时的八分之一， 即
1 1 －bt －8b 3 －24b ＝8a 时，e ＝8＝(e ) ＝e ，则 t＝24，所以再经
热点考向探究
考向1 例1
新定义型问题 (1)(2018· 天津市耀华中学模拟)设 P 和 Q 是两个集 )
合， 定义集合 P－Q＝{x|x∈P， 且 x∉Q}， 如果 P＝{x|log2x<1}， Q＝{x||x－2|<1}，那么 P－Q 等于( A．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} B．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x<2}
高考数学考前冲刺：压轴大题中“新定义题”的解题策略
高考数学考前冲刺：压轴大题中“新定义题”的解题策略新信息题是指题目通过给出一个新概念和约定一个新运算法则，要求学生在阅读理解的基础上，根据具体情境结合题目给出的定义或者算法来解决实际问题。
新信息题主要考察学生的学习能力和信息迁移能力，在考试中具有很好的区分效果，也受到了命题人的青睐。
近几年的高考题中在选择填空题和大题压轴题中都出现了这类题目，下面将这类题的解题模式和方法总结如下。
遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题。
第一，准确转化。
解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义。
紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化。
第二，方法的选取。
对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的。
角度进行转化。
理解题目定义的本质苹并进行推广、运算。
第三，应该仔细审读题目。
严格按新信息的要求运用算。
解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰。
经典例题[2019江苏卷20]定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．【解析】所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【总结】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．经典例题：[2018江苏卷]【分析】（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.【解析】此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【总结】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。
2019年高考数学高考创新题型揭秘创新题型一命题情景的创新着重考应用能力课件理
系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体
浮动情况如下表：
交强险浮动因素和费率浮动比率表 浮动因素 A1 A2 A3 A4 A5 上一个年度未发生有责任道路交通事故 上两个年度未发生有责任道路交通事故 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路 交通事故 浮动比率 下浮10% 下浮20% 下浮30% 0%
创新点3 设置“实际背景”
以现实中的生活实例或最新时事为背景，考查学生
的应用能力和创新意识．解决这类问题的关键，正确 理解题意，建立数学模型．
典例3 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普
通6座以下私家车投保交强险第一年的费用 (基准保费 ) 统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制， 且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联
车，某顾客欲在其内随机挑选 2辆车，求这2辆车恰好
有一辆为事故车的概率； ②若该销售商一次购进 120 辆( 车龄已满三年 )该品牌 二手车，求一辆车盈利的平均值．
【解析】 (1)一辆普通 6 座以下私家车第四年续保时保 15＋5 1 费高于基本保费的频率为 ＝ . 60 3 (2)①由统计数据可知，该销售商店内的 6 辆该品牌车龄 已满三年的二手车中有 2 辆事故车，设为 b1，b2，4 辆非事 故车，设为 a1，a2，a3，a4.从 6 辆车中随机挑选 2 辆车的情 况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2， a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1， a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共 15 种．其中 2 辆车恰 好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1， a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共 8 种．
2019年高考数学复习：新定义型、创新型、应用型试题
2019年高考数学复习：新定义型、创新型、应用型试题新定义型、创新型、应用型试题「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1．新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1新定义型问题例1(1)(2018·天津市耀华中学模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q ＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于() A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0≤x<2}答案 B解析由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．(2)(2018·山东菏泽模拟)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如下图所示，由图可知a ＝2时有两个解．方法指导 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2 b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．2．(2018·湖南联考)在R 上定义运算：xy ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a )x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，3]C ．[－1,7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞) 答案 A解析 ∵运算：x y ＝x (1－y )，∴(x －a )x ≤a ＋2转化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，a (x －2)≤x 2－x ＋2，∵任意x >2，不等式(x －a )x ≤a ＋2都成立，∴a ≤x 2－x ＋2x －2. 令f (x )＝x 2－x ＋2x －2，x >2，则a ≤[f (x )]min ，当x >2时，f (x )＝x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2(x －2)×4x －2＋3＝7，当且仅当x ＝4时，取最小值．∴a ≤7，选A.考向2 创新型问题例2 (1)(2018·抚顺模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(x ，y )；然后统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析 (构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )所需满足的条件为⎩⎨⎧ x ＋y >1，x 2＋y 2<1，0<x <1，0<y <1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)，S n ＝a 1＋4·a 2＋42·a 3＋…＋4n －1·a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得S n －4n 5·a n ＝________. 答案 n 5解析 由S n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －1； ①得4·S n ＝4·a 1＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n －1·4n －1＋a n ·4n ； ②①＋②得，5S n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42·(a 2＋a 3)＋…＋4n －1·(a n －1＋a n )＋a n ·4n ＝a 1＋4·14＋42·⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋…＋4n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋4n ·a n ＝1＋1＋1＋…＋1＋4n ·a n ＝n ＋4n ·a n . 所以5S n －4n·a n ＝n ，∴S n －4n 5·a n ＝n 5. 方法指导 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．把数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1中的项1287应记为________．113 1517 19 111 113115 117 119 (129)… … …答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列{12n －1}的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)． 2．如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝θ，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )，向量OP→的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若θ＝60°，P (2，－1)，则|OP→|＝3； ②若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ③若OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，则OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2； ④若θ＝60°，以O 为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.其中所有正确结论的序号是________．答案 ①②④解析 对于①，OP 是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|OP →|＝3，故①正确；对于②，若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，故②正确；对于③，OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，所以OP →·OQ →＝(x 1e 1＋y 1e 2)(x 2e 1＋y 2e 2)，因为e 1·e 2≠0，所以OP →·OQ →≠x 1x 2＋y 1y 2，故③错误；对于④，设圆O 上任意一点为P (x ，y )，因为|OP |＝1，所以(x e 1＋y e 2)2＝1，所以x 2＋y 2＋xy －1＝0，故④正确．故填①②④.考向3 实际应用型问题例3 (1)(2018·南昌模拟)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，当容器中的沙子只有开始时的八分之一，即a e －bt ＝18a 时，e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.方法指导 求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N 最接近的是1093.故选D.2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元/双)的函数．已知销售单价不低于1元/双．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元/双时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元/双时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x的函数关系为L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元/双B ．2元/双C ．3元/双D ．4元/双 答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎨⎧ L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x 8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x 8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元/双时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2018·郑州模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 依题可知e i x 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2018·天水期末)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n . ①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1) 答案 C解析 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)．3．(2018·南京模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15答案 C解析 依题意，从5种物质中任取2种，共有4＋3＋2＋1＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.4．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．答案 6 12解析 (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x (x ∈N ＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x －2.又2(x －2)>x ，解得x >4，即x ＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.5．(2018·江苏高考)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s <t 时，有i s >i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．(1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22， 因此n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22. 『金版押题』6．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(精确到1小时)．答案 4解析 当0≤x ≤1时，－2≤x －2≤－1,5－2<5x －2<5－1，即125<5x －2<15，不满足5x －2≤0.02，所以x >1.。
19.2新定义运算_中考真题(含参考答案)_全国中考数学真题分类特训
3.2 新定义运算中考真题1. 题型特点新定义题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新运算、新概念等．定义的新运算与已经学习过的运算有严格区别，不一定符合运算规律和运算顺序，定义的新概念有其自身的内涵和外延，且每个新定义只能在本题中使用的一类题目．这类题主要考查考生的阅读理解能力，接受能力、应变能力和创新能力．新定义题的呈现方式主要是：(1)新运算定义型问题，是用某些特殊的符号如⊗，※，[]，…等表示算式的运算，解答时必须先理解定义的含义，将其转化为一般的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，形成一种新的运算；(2)新概念(规则)定义型问题，就是定义一个新的概念(规则)，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型；(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名称，并探究其性质的一种题型．2. 解题思路解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题的关键：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．【例1】(2017·四川宜宾)规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．思路点拨根据题意可以分别判断各个结论是否正确，从而可以解答本题．①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝[1.7]＋(1.7)＋[1.7)＝1＋2＋2＝5，故①错误；②当x＝－2.1时，[x ]＋(x )＋[x )＝[－2.1]＋(－2.1)＋[－2.1)＝(－3)＋(－2)＋(－2)＝－7，故②正确；③当1＜x ＜1.5时，4[x ]＋3(x )＋[x )＝4×1＋3×2＋1＝4＋6＋1＝11，故③正确；④∵－1＜x ＜1，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，当x ＝0时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋0＋0＝0，当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1.∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13； x ＋1＝4x 时，得x ＝13； 当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋(x )＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误．故答案应为：②③.完全解答②③.归纳交流本例题属于定义新运算型问题，考查对新定义的理解以及有理数的运算、一次方程、不等式，以及一次函数知识．解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．【例2】(2017·江苏南通)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．(1)等边三角形“内似线”的条数为________； (2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求证：BD 是△ABC 的“内似线”；(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别在边AC ，BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．备用图图3.21 思路点拨 (1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，证出△BCD ∽△ABC 即可；(3)分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43时，EF ∥AB ，由勾股定理求出AB ＝AC 2＋BC 2＝5，作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN ＝12(AC ＋BC －AB )＝1，由角平分线定理得出DE DF ＝CE CF ＝43，求出CE ＝73，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF ＝3512； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512即可． 完全解答 (1)3；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图(1)所示：图3.22(1)则△AMN ∽△ABC ，△CEF ∽△CBA ，△BGH ∽△BAC ，∴MN ，EF ，GH 是等边三角形ABC 的“内似线”．(2)∵AB ＝AC ，BD ＝BC ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .∴△BCD ∽△ABC .∴BD 是△ABC 的“内似线”．(3)设D 是△ABC 的内心，连接CD ，则CD 平分∠ACB .∵EF 是△ABC 的“内似线”，∴△CEF 与△ABC 相似．分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43时，EF ∥AB ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.作DN ⊥BC 于N ，如图(2)所示：图3.22(2)则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，∴DN ＝12(AC ＋BC －AB )＝1. ∵CD 平分∠ACB ，∴DE DF ＝CE CF ＝43. ∵DN ∥AC ，∴DN CE ＝DF EF ＝37，即1CE ＝37. ∴CE ＝73. ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB .∴EF AB ＝CE AC ，即EF 5＝734. 解得EF ＝3512； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512； 综上所述，EF 的长为3512. 归纳交流本例题属于定义新概念型问题，理解新概念“内似线”是解题的基础，本例题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识．【例3】(2017·浙江绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图(1)，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.(2)如图(2)，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．(1)(2)图3.23思路点拨(1)①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图(2)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF＝AB时，如图(3)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可．完全解答(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．∴BD＝AC＝12＋12＝ 2.图3.24(1)②如图(1)中，连接AC，BD.∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD.∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴AD ＝CD .(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图(2)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，图3.24(2)∴AE ＝AB ＝5.②当BF ＝AB 时，如图(3)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，图3.24(3)∴BF ＝AB ＝5.∵DE ∥BF ，∴DE ∶BF ＝PD ∶PB ＝1∶2.∴DE ＝2.5.∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.归纳交流本例题属于几何图形新定义型问题，考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．一、 填空题1. (2017·河北)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1,2}＝1，因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝________.2. (2017·四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′⎝⎛⎭⎫1x ，1y 称为点P 的“倒影点”，直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x的图象上．若AB ＝22，则k ＝________. 3. (2017·上海)我们规定：一个正n 边形(n 为整数，n ≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝________.二、 解答题4. (2017·浙江湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2 011，求x 的值；(2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．5. (2017·湖南益阳)在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3,5)与(5，－3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数y＝－2x的图象上，直线AB 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，12，求此抛物线的表达式．6. (2017·江西)我们定义：如图(1)，在△ABC 中，把AB 边绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 边绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′.当α＋β＝180°时，我们称△A ′B ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．(1)(2)(第6题)特例感知： (1)在图(2)，图(3)中，△AB ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”．①如图(2)，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝________BC ；②如图(3)，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________．(3)(4)(第6题)猜想论证： (2)在图(1)中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用：(3)如图(4)，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△P AB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．7. (2017·江苏扬州)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图(1)，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为AB △AC ＝AO 2－BO 2.(1)(2) (3)(第7题) (1)在图(1)中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则AB △AC ＝________，OC △OA ＝________；(2)如图(2)，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，求AB △AC ，BA △BC 的值；(3)如图(3)，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO 是BC 边上的中线，点N 在AO 上，且ON ＝13AO .已知AB △AC ＝14，BN △BA ＝10，求△ABC 的面积．8. (2017·江苏无锡)操作：“如图(1)，P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外)，过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q 的操作称为点的T变换．(1)(2)(第8题)(1)点P(a，b)经过T变换后得到的点Q的坐标为________；若点M经过T变换后得到点N(6，－3)，则点M的坐标为________．(2)A是函数y＝32x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B.①求经过点O，点B所在直线的函数表达式；②如图(2)，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．9. (2017·山东济宁)定义：点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外)，在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．(第9题(1))例如：如图(1)，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线C ：y ＝33x(x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．(1)如图(2)，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是(3，3)，点N 的坐标是(3，0)时，求点P 的坐标；(第9题(2))(2)如图(3)，当点M 的坐标是(3，3)，点N 的坐标是(2,0)时，求△MON 的自相似点的坐标；(第9题(3))(3)是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．10. (2017·江苏常州)如图(1)，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)(2)(第10题) (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)； ②若M ，N ，P ，Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，当对角线AC ，BD 还要满足________时，四边形MNPQ 是正方形．(2)如图(2)，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平面内一点．①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．中考真题1. 题型特点：“新定义”试题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．2. 命题呈现方式：(1)新运算定义型问题，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算；(2)新概念(规则)定义型问题，就是给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用其去创造性地思考并解决问题；(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词等．3. 解题方法：解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．【例1】(2016·浙江杭州)设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b ＝()a ＋b 2－()a －b 2则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是________．A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③思路点拨根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．①根据题意，得a@b＝(a＋b)2－(a－b)2∴(a＋b)2－(a－b)2＝0.整理，得(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝0，即4ab＝0，解得a＝0或b＝0，正确；②∵a@(b＋c)＝(a＋b＋c)2－(a－b－c)2＝4ab＋4ac，a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c正确．③a@b＝a2＋5b2，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，令a2＋5b2＝(a＋b)2－(a－b)2，解得，a＝0，b＝0，故错误；④∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a－b)2≥0，则a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2＋2ab≥4ab.∴4ab的最大值是a2＋b2＋2ab.此时a2＋b2＋2ab＝4ab，解得a＝b，∴a@b最大时，a＝b，故④正确．故答案应选C.完全解答C.归纳交流本例题属于新运算定义问题，考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【例2】(2016·湖北荆州)阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M(1,3)的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x＋2，y＝－x＋4.问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝14(x －m )2＋n 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．(1)直接写出点D (m ，n )所有的特征线；(2)若点D 有一条特征线是y ＝x ＋1，求此抛物线的解析式；(3)点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的点D 的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？思路点拨(1)根据新概念“特征线”的意义直接求出点D 的特征线；(2)由点D 的一条“特征线”和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式；(2)分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．完全解答(1)∵点D (m ，n )，∴点D (m ，n )的特征线是x ＝m ，y ＝n ，y ＝x ＋n －m ，y ＝－x ＋m ＋n .(2)点D 有一条特征线是y ＝x ＋1，∴n －m ＝1.∴n ＝m ＋1.∵抛物线解析式为y ＝14(x －m )2＋n ， ∴y ＝14(x －m )2＋m ＋1. ∵四边形OABC 是正方形，且点D 为正方形的对称轴，D (m ，n )，∴B (2m,2m )．∴(2m －m )2＋n ＝2m ，将n ＝m ＋1带入得到m ＝2，n ＝3.∴D (2,3)．∴抛物线解析式为y ＝14(x －2)2＋3. (3)如图(1)，当点A ′在平行于y 轴的点D 的特征线时，(1)根据题意可得，D (2,3)，∴OA ′＝OA ＝4，OM ＝2. ∴∠A ′OM ＝60°.∴∠A ′OP ＝∠AOP ＝30°.∴MN ＝OM 3＝233. ∴抛物线需要向下平移的距离＝3－233＝9－233. 如图(2)，当点A ′在平行于x 轴的点D 的特征线时，设A ′(p,3)， (2)则OA ′＝OA ＝4，OE ＝3，EA ′＝42－32＝7.∴A ′F ＝4－7.设P (4，c )(c ＞0)．在Rt △A ′FP 中，(4－7)2＋(3－c )2＝c 2，∴c ＝16－473. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，16－473. ∴直线OP 解析式为y ＝4－73x . ∴N ⎝⎛⎭⎪⎫2，8－273. ∴抛物线需要向下平移的距离＝3－8－273＝1＋273.即抛物线向下平移9－233或1＋273距离，其顶点落在OP 上． 归纳交流本例题属于定义新概念问题，理解新概念“特征线”是解题的基础. 本例题通过二次函数背景，考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．【例3】(2016·山东德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图(1)，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(1)(2)如图(2)，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(2)(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)思路点拨(1)如图(1)中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH ＝FG 即可．(2)四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC ＝BD ，再证明EF ＝FG 即可．(3)四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG ＝90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP ＝∠BDP ，即可证明∠COD ＝∠CPD ＝90°，再根据平行线的性质即可证明．完全解答(1)如图(1)中，连接BD .(1)∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD . ∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD . ∴EH ∥FG ，EH ＝GF .∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)四边形EFGH 是菱形．证明如下：如图(2)中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD .即∠APC ＝∠BPD ，在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD .∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD . ∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)四边形EFGH 是正方形．证明如下：如图(2)中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N . (2)∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．归纳交流本例题属于几何图形新定义问题．考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．一、 选择题1. (2016·湖南岳阳)对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b ；如：max{4，－2}＝4，max{3,3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )．A. 0B. 2C. 3D. 42. (2016·广东广州)定义运算：a ★b ＝a ()1－b .若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )．A. 0B. 1C. 2D. 与m 的有关3. (2016·广东梅州)对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( )． A. x ＝4 B. x ＝5C. x ＝6D. x ＝74. (2016·山西)宽与长的比是m ＝－3(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .则图中下列矩形是黄金矩形的是( )．(第4题)A. 矩形ABFEB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形DCGH二、 填空题5. (2016·四川宜宾)规定：log a b (a >0，a ≠1，b >0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n ＝n ，log N M ＝log a M log a N(a >0，a ≠1，N >0，N ≠1，M ＞0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001 000＝ ________.6. (2016·四川乐山)高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数． 例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x ]＋[－x ]＝0；③若[x ＋1]＝3，则x 的取值范围是2≤x <3；④当－1≤x <1时，[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为0,1,2.其中正确的结论有________(写出所有正确结论的序号)．7. (2016·四川成都)实数a ，n ，m ，b 满足a <n <m <b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B (如图)，若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB 则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”．当b －a ＝2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n ＝________.8. (2016·甘肃兰州)对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l: y ＝x －3交 x 轴于点 M ，⊙M 的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线 l 运动(BD 在直线 l 上)，BD ＝2，AB ∥y ，当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为________．(第8题)三、解答题9. (2016·江苏扬州)如图(1)，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D .(第9题(1)(1)求证：BC AB ＝EF DE； (2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC )与邻边(即腰AB 或AC )的比值也就确定，我们把这个比值记作T (A )，即T (A )＝∠A 的对边底边∠A 的邻边腰＝BC AB ，如T (60°)＝1. ①理解巩固：T (90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T (α)的取值范围是________；②学以致用：如图(2)，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T (160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)(第9题(2))10. (2016·重庆A)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q.例如12可以分解成1×12,2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F (t )的最大值．11. (2016·浙江绍兴)对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5)．已知点A的坐标为(1,0)．(1)分别写出点A经1次、2次斜平移后得到的点的坐标．(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C.①若A，B，C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由，②若点B由点A经n次斜平移后得到t且点C的坐标为(7,6)，求出点B的坐标及n的值，(第11题)12. (2016·湖南长沙)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 与顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L: y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．13.(2016·浙江宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图(1)，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线；(2)在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图(2)，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．(1)(2)(第13题)14. (2016·黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：u2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．(1)求抛物线C2的解析式．(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ 的最大值．(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1,4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．(第14题)15. (2016·北京)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．(1)已知点A的坐标为(1,0)．①若点B的坐标为(3,1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；(2)⊙O的半径为2，点M的坐标为(m,3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．(第15题)中考真题【题型特点】1. “新定义”试题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．2. “新定义”试题呈现方式有：(1)新运算定义型问题，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算；(2)新概念(规则)定义型问题，就是给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用其去创造性地思考并解决问题；(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词等．【解题思路】解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解的题关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．【例1】(2015·湖北武汉)定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，且1].【思路点拨】已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．具体如下：根据题中的新定义化简已知等式得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝5，4a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 则2]【完全解答】10.【归纳交流】本题是一道新运算定义问题，考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．【例2】 (2015·浙江衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1(a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数)与y ＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数)满足a 1＋a 2＝0，b 1＝b 2，c 1＋c 2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y ＝－x 2＋3x －2可知，a 1＝－1，b 1＝3，c 1＝－2，根据a 1＋a 2＝0，b 1＝b 2，c 1＋c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)写出函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”；(2)若函数y ＝－x 2＋43mx －2与y ＝x 2－2nx ＋n 互为“旋转函数”，求(m ＋n )2015的值； (3)已知函数y ＝－12(x ＋1)(x －4)的图象与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A ，B ，C 关于原点的对称点分布是A 1，B 1，C 1，试证明：经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝－12(x ＋1)(x －4)互为“旋转函数．” 【思路点拨】(1)根据“旋转函数”的定义求出a 2，b 2，c 2，从而得到原函数的“旋转函数”；(2)根据“旋转函数”的定义得到43m ＝－2n ，－2＋n ＝0，再解方程组求出m 和n 的值，然后根据乘方的意义计算；(3)先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A (－1,0)，B (4,0)，C (0,2)，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A 1(1,0)，B 1(－4,0)，C 1(0，－2)，则可利用交点式求出经过点A 1，B 1，C 1的二次函数表达式为y ＝12(x －1)(x ＋4)＝12x 2＋32x －2，再把y ＝－12(x ＋1)(x －4)化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．【完全解答】(1)∵a 1＝－1，b 1＝3，c 1＝－2，∴－1＋a 2＝0，b 2＝3，－2＋c 2＝0，∴a 2＝11，b 2＝3，c 2＝2.∴函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”为y ＝x 2＋3x ＋2；(2)根据题意，得43m ＝－2n ，－2＋n ＝0，解得m ＝－3，n ＝2，∴(m ＋n )2015＝(－3＋2)2015＝－1.(3)当x ＝0时，y ＝－12(x ＋1)(x －4)＝2， 则C (0,2)，当y ＝0时，－12(x ＋1)(x －4)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4，则A (－1,0)，B (4,0)，∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，∴A 1(1,0)，B 1(－4,0)，C 1(0，－2)．设经过点A 1，B 1，C 1的二次函数表达式为y ＝a 2(x －1)(x ＋4)，把C 1(0，－2)代入得a 2·(－1)·4＝－2，解得a 2＝12， ∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数表达式为y ＝12(x －1)(x ＋4)＝12x 2＋32x －2. 而y ＝－12(x ＋1)(x －4)＝－12x 2＋32x ＋2， ∴a 1＋a 2＝－12＋12＝0，b 1＝b 2＝32，c 1＋c 2＝2－2＝0， ∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝－12(x ＋1)(x －4)互为“旋转函数”． 【归纳交流】本题通过定义“旋转函数”概念，考查二次函数图象及性质、二次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数表达式以及关于原点对称的两点的坐标特征等．【例3】 (2015·浙江嘉兴)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)概念理解如图(1)，在四边形ABCD 中，添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(1)(2)问题探究①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．②如图(2)，小红画了一个Rt △ABC ，其中∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，并将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到△A ′B ′C ′，连接AA ′，BC ′.小红要是平移后的。
高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)
热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。
2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。
②以数学猜想和定理为命题背景。
③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。
④以数学的应用为命题背景。
⑤历史名人。
⑥历史发展。
3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。
这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。
4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。
但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。
我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。
为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。
比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。
像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。
除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。
【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。
2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。
高考数学二轮复习 第二编 专题九 数学文化与创新应用 第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破配套作
第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破配套作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2．(2018·某某模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×322， 13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×422， 13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4×522， …由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122，因为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122＝3025，所以n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，所以n ＝10，故选C.3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是某某人，是某某人；乙说胡老师不是某某人，是某某人； 丙说胡老师既不是某某人，也不是某某人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )A ．一定是某某人B ．一定是某某人C ．一定是某某人D ．可能是某某人 答案 D解析 本题考查推理与证明的有关知识，考查推理论证的能力． 若胡老师是某某人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意； 若胡老师是某某人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意； 若胡老师是某某人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；若胡老师是某某人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．4．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c . 若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2. 故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.本题选C.5．(2018·某某模拟)某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动答案 C解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 B 解析7．(2018·某某模拟)设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋1，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 8)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由题意可得，f ′(x )＝x 2－4x ＋83，f ″(x )＝2x －4，由f ″(x )＝0可得，x ＝2，即题中的三次函数关于点(2，f (2))中心对称；结合数列的通项公式可知：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 8)＝f (－5)＋f (－3)＋…＋f (9)＝8f (2)＝8.8．(2018·某某模拟)若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③ 答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.9．(2018·某某模拟)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 答案 D解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12＝0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.10．(2018·某某模拟)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10.记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．153B ．45C ．603D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP →i 在AB →2上的投影为AC ，m i ＝AB →2·AP →i ＝|AB →2|·|AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.11．(2018·枣庄模拟)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如图中实心点的个数5,9,14,20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2018项为a 2018，则a 2018＋1＝( )A ．1020×2018 B．2025×1008 C ．1010×2021 D．1011×2019 答案 C解析 观察梯形数的前几项，得5＝2＋3＝a 1， 9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3， …a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋12＋n ＋22＝12(n ＋1)(n ＋4)， 由此可得，a 2018＝12×2019×2022＝1011×2019∴a 2018＋1＝(1010＋1)(2021－2)＋1＝1010×2021. 二、填空题12．(2018·大兴模拟)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤800，x －800×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.13．(2018·某某揭阳联考)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值X 围是________．答案 (0,2)解析 ∵函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数， ∴关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝f 1－f －11－－1在(－1，1)内有实数根．由－x 2＋mx ＋1＝f 1－f －11－－1⇒x 2－mx ＋m －1＝0.解得x 1＝m －1，x 2＝1.又1∉(－1,1)，∴x ＝m －1必为均值点，即－1<m －1<1⇒0<m <2.∴实数m 的取值X 围是(0,2)．14．(2018·启东模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0<x <1)，则EF ＝x ，FA ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x＝16(3x －x 3)， V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。
(全国通用)2020版高考数学专题八数学文化与创新应用第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破练习理
第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1 新定义型问题例 1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝e x}；M4＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“互垂点集”集合的为( )A．M1 B．M2 C．M3 D．M4答案 D解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线上的两点，对于集合M 1，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝x 22＋1＝0不成立，所以集合M 1不是“互垂点集”．对于集合M 2，x >0，当x 1＝1时，y 1＝0，x 1x 2＋y 1y 2＝x 2＝0不成立，所以集合M 2不是“互垂点集”．对于集合M 3，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝e x 2＝0不成立，所以集合M 3不是“互垂点集”．排除A ，B ，C.故选D.(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知a ＝2 时有两个解．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3·…·b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*y ＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b ＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是( )A．② B．①② C．②③ D．①②③答案 D解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.考向2 创新型问题例2 (1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y>1，x2＋y2<1，0<x<1，0<y<1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15 答案 C解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 答案 C解析 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≤1)，x 2(x >1)，2⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x ≤2)，x 2(x >2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，x 3－2(1<x ≤2)，x 3－x 2(x >2)，可求出当x ≤1时，函数的最大值是－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是6.所以当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于6，选C.2．把数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1中的项1287应记为________．答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)．考向3 实际应用型问题例3 (1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q 答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为f (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．9万件B ．18万件C ．22万件D ．36万件答案 B解析 由题意可得，获得最大利润时的收入是20x 万元，成本是12x 2＋2x ＋20，所以此时的利润为M ＝20x －12x 2＋2x ＋20＝－12x 2＋18x －20＝－12(x －18)2＋142≤142，当且仅当x ＝18时，取最大值．故选B.求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B.M 22M 1R C.33M 2M 1RD. 3M 23M 1R答案 D解析 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.又∵3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈ 3M 23M 1，∴r ＝αR ≈ 3M 23M 1R .故选D. 2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x 的函数关系为L (x )＝ax2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元B ．2元C ．3元D ．4元 答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝ax 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2019·重庆模拟)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 依题可知e i x表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2019·钦州市高三三模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变，剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，依此类推，得到n 年后质量是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，只需要⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ≤1100⇒n >3，故选B.3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cos A sin A 1＝cos Bsin B 1＝cos Csin C 1＝1，则称△ABC 为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足( ) A ．有一个内角为30° B．有一个内角为45° C ．有一个内角为60° D．有一个内角为75° 答案 B解析 由对称性，不妨设A 1和B 1为锐角，则A 1＝π2－A ，B 1＝π2－B ，所以A 1＋B 1＝π－(A＋B )＝C ，于是cos C ＝sin C 1＝sin(A 1＋B 1)＝sin C ，即tan C ＝1，解得C ＝45°，故选B.4．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M数列”．(2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n ). 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n2(b n －b n －1)，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以qk －1≤k ≤q k，其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)． 当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln 33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.『金版押题』6．已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n2019(n ∈N *，n ≤2019)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，记△A n B n C n 的面积为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝________.答案5052解析 设A n (x 0，y 0)，可得x 20－y 20＝n2019. 双曲线E n ：x 2－y 2＝n2019(n ∈N *，n ≤2019)的渐近线方程为x －y ＝0，x ＋y ＝0.由点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，不妨设B n 在第一象限内，可得|A n B n |＝|x 0－y 0|2， |A n C n |＝|x 0＋y 0|2，易知双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ，则△A n B n C n 的面积a n ＝12|A n B n |·|A n C n |＝12·|x 0－y 0|2·|x 0＋y 0|2＝x 20－y 204＝18076n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝18076×12×2019×2020＝5052. 配套作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2.(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A．7000 B．7500 C．8500 D．9500答案 C解析参加工作时就医费为7000×15%＝1050，设目前晓文同学的月工资为x，则目前的就医费为10%·x，因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故选C.3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )A．一定是南昌人 B．一定是广州人C．一定是福州人 D．可能是上海人答案 D解析若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．4．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.5．某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动 答案 C解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即y 1＝e x 1－a ，y 2＝e x 2－a ，因为关于原点对称，所以e x 1－a ＝－e x 2＋a ，即2a ＝e x 1＋e x 2≥2e x 1·e x 2＝2e 0＝2，因为x 1≠x 2，所以a >1，故选B.7．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③ 答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 答案 D解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 答案 D解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.二、填空题10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤800，(x －800)×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A ，B 是R 上的两个子集，对任意x ∈R ，定义：m ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉A ，1，x ∈A ，n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉B ，1，x ∈B .(1)若A ⊆B ，则对任意x ∈R ，m (1－n )＝________； (2)若对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则A ，B 的关系为________． 答案 (1)0 (2)A ＝∁R B解析 (1)∵A ⊆B .则当x ∉A 时，m ＝0，m (1－n )＝0. 当x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m (1－n )＝0. 综上可得m (1－n )＝0.(2)对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即当x ∈A 时，必有x ∉B 或x ∈B 时，必有x ∉A ，∴A ，B 的关系为A ＝∁R B .12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________．答案 3解析 ∵A 完成后，C 才可以开工；B ，C 完成后，D 才可以开工，完成A ，C ，D 需用时间依次为2，x,4天，且A ，B 可以同时开工，又∵该工程共需9天， ∴2＋x max ＋4＝9⇒x max ＝3.13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，－x 2＋4x ，x >0，则f [f (－1)]＝________，若实数a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．答案 4 (2,4]解析 f [f (－1)]＝f (21)＝－4＋8＝4，因为a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，所以－2<a ≤0<b <2<c ，b ＋c ＝4，因此a ＋b ＋c ＝a ＋4∈(2,4]．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0<x <1)，则EF ＝x ，FA ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12×(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x ＝16(3x －x 3)，V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。
高考专题--- 创新型问题备战2019年高考数学二轮复习热点---精校解析Word版
高考专题13 创新型问题专题点拨1.创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题或陌生的问题；另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题.不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，完成数学问题提出的研究目标．2．创新型数学问题常见的问题类型：(1)构造型问题：一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题；(2)归纳猜想型问题：通过归纳--猜想---证明实现从特殊到一般的推理论证；(3)新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学习能力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；存在判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数学对象是否存在；③类比已有结论探索获得的新命题是否成立；(4)探究性问题：探究一类问题的解题策略，或是探究给定命题是否正确，或可否进一步推广．总之，解决创新型数学问题，既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直觉思维、演绎推理与合情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问题．例题剖析【例1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：x1，x2，...，x5为递增数列，且（i＝1，2，...，5）；数列乙：y1，y2，y3，y4，y5满足y i∈{﹣1，1}（i＝1，2， (5)则在甲、乙的所有内积中（）A．当且仅当x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9时，存在16个不同的整数，它们同为奇数B．当且仅当x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10时，存在16个不同的整数，它们同为偶数C．不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D．存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数【答案】D【解析】对于A，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5时，此时内积可能为：，16个都是奇数，所以A不对，对于B，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝6时，此时内积可能为：，16个都是偶数，所以B不对，对于C，由A，B可知存在16个整数，要么同为奇数，要么同为偶数，所以C 不对，故选：D．【例2】已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是20，接下来的两项是2、21，再接下来的三项是2、21、22，以此类推，若N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，则N的最小值为（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【解析】由题意可知：第一项，1＝20；第二项，20，21；第三项，20，21，22；…；第n项，20，21，22，…，2n﹣1；根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；每项含有的项数为：1，2，3，…，n；总共的项数为N＝1+2+3+…+n；所有项数的和为S n＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝1，总共有2＝3项，不满足N＞100，【例3】在投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则．简单多数原则指n个评委对k个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对k个候选人排定顺序，第一名得k分，第二名得k﹣1分…，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次．右表是33个评委对A、B、C、D四名候选人做出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是【答案】A、C【解析】按简单多数原则排名，A的得票数为：7+3＝10，B的得票数为：9，C的得票数为：6+5＝11，D的得票数为：3，∴第一名为C，第二名为A，第三名为B，第四名为D；按积分原则排名，A的得分为：6×3+7×4+5×1+3×4+9×3+3×3＝99，B的得分为：6×2+7×2+5×2+3×2+9×4+3×1＝81，C的得分为：6×4+7×3+5×4+3×1+9×1+3×2＝83，D的得分为：6×1+7×1+5×3+3×3+9×2+3×4＝67，∴第一名为A，第二名为C，第三名为B，第四名为D．∴按不同原则评选，名次不相同的候选人是A、C．故答案为：A、C．【例4】和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O﹣xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）＝0．（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点P（x0，y0，z0），法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（不需要证明）；（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；（3）求f（i，1）关于i（i＝1，2，…，n）的表达式．【解析】（1）f （2，j ）＝f （1，j ）+f （1，j +1）＝2f （1，j ）+4＝8j +4（j ＝1，2，…，n ﹣1），f （3，j ）＝f （2，j ）+f （2，j +1）＝2f （2，j ）+8＝2（8j +4）+8＝16j +16（j ＝1，2，…，n ﹣2）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i （1≤i ≤n ﹣3）行是以d i 为公差的等差数列，则由f （i +1，j +1）﹣f （i +1，j ）＝[f （i ，j +1）+f （i ，j +2）]﹣[f （i ，j ）+f （i ，j +1）]＝f （i ，j +2）﹣f （i ，j ）＝2d i （常数）知第i +1（1≤i ≤n ﹣3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2d i ．综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列（3）由于d 1＝4，d i ＝2d i ﹣1（i ≥2），所以，所以f （i ，1）＝f （i ﹣1，1）+f （i ﹣1，2）＝2f （i ﹣1，1）+d i ﹣1， 由得f （i ，1）＝2f （i ﹣1，1）+2i， 于是，即，又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，所以f （i ，1）＝（i +1）•2i （i ＝1，2，…n ）巩固训练一、填空题1.天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为年．【答案】戊戌2.类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy中，若x y（其中、分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R），则点P的坐标为（x，y），若在斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，点M的坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为．【答案】【解析】由题意可得2，平方可得22+42+4•＝1+4+4×1×17，可得||，故答案为：．二、选择题3.朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则（）A．4B．C．D．【答案】D【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n}，设公比为q，则a13，且a13＝2a1，∴q，∴q 4＝（）4．故选：D．4.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是20，接下来的两项是2、21，再接下来的三项是2、21、22，以此类推，若N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，则N的最小值为（）A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A【解析】由题意可知：第一项，1＝20；第二项，20，21；第三项，20，21，22；…；第n项，20，21，22，…，2n﹣1；根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；每项含有的项数为：1，2，3，…，n；总共的项数为N＝1+2+3+…+n；所有项数的和为S n＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝1，总共有2＝3项，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝5，总共有3＝18项，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝13，总共有4＝95项，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝29，总共有5＝440项，满足N＞100，∴N的最小值为440．故选：A．三、解答题5.已知集合．（1）用列举法写出集合P4；（2）是否存在自然数n，使得2019∈P n，若存在，求出n的值，并写出此时集合P的元素个数；若不存在，请说明理由．6.阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β＝A，α﹣β＝B有α，β代入③得sin A+sin B＝2sin cos．类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A﹣cos B＝﹣2sin sin．【解析】证明：因为cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ②①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）＝﹣2sinαsinβ③…令α+β＝A，α﹣β＝B有α，β，代入③得cos A﹣cos B＝﹣2sin sin．7.绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．（1）直接写出|x﹣1|+|x﹣2|与|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；（2）设a1≤a2≤…≤a n是给定的n个实数，记S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣a n|．试猜想：若n为奇数，则当x∈时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈时，S取到最小值；（直接写出结果即可）（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．【解析】（1）|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为1，当且仅当x∈[1，2]时，取最小值；|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值2，当且仅当x＝2时，取最小值；（2）设a1≤a2≤…≤a n是给定的n个实数，记S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣a n|．归纳可得：若n为奇数，则当x∈{}时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈[，]时，S取到最小值；（3）|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|＝|x﹣1|+2|x|+3|x|+…+10|x|，共55项，其中第28项为|x|，故x时，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值：0，故答案为：{}，[，]8.定义：若对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数．已知凹函数具有如下性质：对任意的x i ∈（a ，b ）（i ＝1，2，…，n ），必有f （）成立，其中等号当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时成立．（1）试判断y ＝x 2是否为R 上的凹函数，并说明理由；（2）若x 、y 、z ∈R ，且x +y +2z ＝8，试求x 2+y 2+2z 2的最小值并指出取得最小值时x 、y 、z 的值．【解析】（1）f （）＝（）2，（）2，∴对任意x 1、x 2∈（a ，b ）恒有f （）成立，∴y ＝x 2是R 上的凹函数； （2）∵（x 2+y 2+2z 2）（12+122）≥（x +y +2z ）2＝64，∴x 2+y 2+2z 2≥16，当且仅当x ＝y z 时取等号，∵x +y +2z ＝8，∴x ＝y ＝4（1），z ＝4+2．∴x 2+y 2+2z 2的最小值为16，此时x ＝y ＝4（1），z ＝4+2．9.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）问3725是否为“五边形数列”中的项，若是，为第几项；若不是，说明理由；（3）试推导P（n，r）关于n、r的解析式．【解析】（1）由题意得：P（3，r），令36，即r 2+r﹣72＞0，解得r＞8，∴最小的r＝9．（2）“五边形数列”中的项，P（5，r）＝r，令r3725，r为正整数，解得：r＝50，故3725是“五边形数列”中的第50项，10.如果数列{a n}同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k，对任意n∈N*，a n+12＝a n a n+2+k都成立，那么，这样的数列{a n}我们称之为“类等比数列”．由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列”．问：（1）若数列{a n}为“类等比数列”，且k＝（a2﹣a1）2，求证：a1、a2、a3成等差数列；（2）若数列{a n}为“类等比数列”，且k＝0，a2、a4、a5成等差数列，求的值；（3）若数列{a n}为“类等比数列”，且a1＝a，a2＝b（a、b为常数），是否存在常数λ，使得a n+a n+2＝λa n+1对任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：当时，在中，令n＝1得，即．∵a1＞0，∴a3﹣2a2+a1＝0，即a2﹣a1＝a3﹣a2•故a1，a2，a3成等差数列；（2）解：当k＝0时，，∵数列{a n}的各项均为正数∴数列{a n}是等比数列，设公比为q（q＞0），∵a 2，a 4，a 5成等差数列，∴a 2+a 5＝2a 4， 即．∵a 1＞0，q ＞0，∴q 3﹣2q 2+1＝0，（q ﹣1）（q 2﹣q ﹣1）＝0，解得q ＝1或（舍去负值）．∴或；（3）存在常数，使a n +a n +2＝λa n +1．（或从必要条件入手）证明如下：∵，∴，∴，即， 由于a n ＞0，此等式两边同除以a n a n +1，得，∴，即当n ∈N *都有，∴，∴∴∴对任意n∈N *都有a n+a n+2＝λa n+1，此时．11.若数列{a n}满足：对任意n∈N*，都有2，则称{a n}为“紧密”数列．（1）设某个数列为“紧密”数列，其前5项依次为1、、、x、，求x的取值范围．（2）若数列{b n}的前项和S n（n2+3n）（n∈N*），判断{b n}是否为“紧密”数列，并说明理由．（3）设{∁n}是公比为q的等比数列，前n项和为T n，且{∁n}与{T n}均为“紧密”数列，求实数q的取值范围．【解析】（1）由题意得：2，2，解得x；（2）由S n（n 2+3n）（n∈N*），n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1（n2+3n）[（n﹣1）2+3（n﹣1）]n，n＝1时，a1＝S1＝1，对于上式也成立．因此a n n．∴1．因为对任意n ∈N *，0，即1＜1，∴2（n ∈N *），即数列{a n }是“紧密数列”；（3）由{∁n }是公比为q 的等比数列，得q，∵{∁n }是“紧密数列”，∴2，①当q ＝1时，T n ＝nC 1，1，∵1＜12，∴q ＝1时，数列{T n }为“紧密数列”，故q ＝1满足题意．②当q ≠1时，T n，则，∵数列{T n }为“紧密数列”，∴2，对任意n ∈N *恒成立．（ⅰ）当q ＜1时，（1﹣q n ）≤1﹣q n +1≤2（1﹣q n），即，对任意n ∈N *恒成立．∵0＜q n≤q＜1，0≤2q﹣1＜1，q﹣2＜﹣1，∴q n（2q﹣1）＜q＜1，qn（q﹣2）≥q（q﹣2）（）1，∴当q＜1时，，对任意n∈N *恒成立．（ⅱ）当1＜q≤2时，（q n﹣1）≤qn+1﹣1≤2（qn﹣1），即，对任意n∈N *恒成立．∵q n≥q＞1，2q﹣1＞1，﹣1＜q﹣2≤0．∴，解得q＝1，又1＜q≤2，此时q不存在．综上所述，q的取值范围是[，1]．12.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，a n}．记集合B＝{a i+a j|a i，a j∈A，1≤i≤j≤n}．（1）若A＝{﹣3，0，1，2}，求集合B；（2）若a1，a2，…a n构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n﹣1；（3）若a1，a2，…，a n构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B中元素的个数及所有元素之和．【解析】（1）A＝{﹣3，0，1，2}，由题意可得集合B＝{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}；（2）证明：若a1，a2，…a n构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，可得等差数列{a n}为递增数列，由等差数列的性质a m+a n＝a p+a q，可得B中的元素个数为n2n﹣1；则B中元素的和为2（3+32+…+3n）+（n﹣1）（3+32+…+3n）＝（n+1）（3+32+…+3n）＝（n+1）•．13.将n个数a1，a2，…，a n的连乘积a1•a2•…•a n记为a i，将n个数a1，a2，…，a n的和a1+a2+…+a n记为，n∈N*）（1）若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x x n，n∈N*，设P n，S n．求P5+S5；（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x x n，n∈N*，求[]的值；【解析】（1）数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x x n，n∈N*，设P n，S n，可得x n+1＝x x n＝x n（1+x n），即有，，即有，可得P5+S5•11；（2）x1＝1，x n+1＝x x n，n∈N*，可得11﹣（），可得2009﹣（）＝2019﹣12018，由x1＝1，x n+1＝x x n＞1，可得∈（0，1），即有[]＝2018；由12+22+32+42+ (1822109)由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，可得当n18×（18+1）﹣5＝166时，满足2019．。
2019年中考数学知识点《新定义型》精选考题练习(含答案解析)
①试确定y与x的关系式. ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
解：（1）∵ −1+ 7 =2， 5 &，4）是点A.B的融合点。..…3分
3+t
（2）①由融合点定义知x=
，得t=3x-3....... 4分
3
又∵y= 0 + (2t + 3) ，得t= 3y − 3 ...….5分
a1 的差倒数，a3 是
a2 的差倒数，a4 是
a3 的差倒数，…，依此
类推，那么 a1＋a2＋…＋a100 的值是（）
A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5
【答案】A
11
13
1
11
【解析】由题意知：a2＝
1−
(−2)
＝
3
；a3＝
1−
1
＝
2
，a4＝
1−
3
＝－2；a5＝ 1−
(−2)
＝
3
；…；可知
足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组 邻边分
别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中
的四边形 PMNQ 满足 MN∥PQ，设 P(m，0)（m＞0），∵PM＝ m2 + ( 1 m2 −1)2 ＝ 1 m2 ＋1，PQ＝ 1 m2
2
2
（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分 （Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分 （注：此类情况不写不扣分）
综上所述，符合题意的点为E1（ 3 ，6），E2（6，15）. ……10 分 2
2019届高考数学二轮复习创新应用与数学文化课件(56张)(全国通用)
因为正实数 a，b 满足 a，G，b 成等差数列且 x，G，y 成等
比数列，所以 2G＝a＋b，G2＝xy＝4，所以 a＋b＝4，所以1a＋4b＝
1a＋4b·a＋4 b＝54＋4ba＋ab≥54＋2
4ba·ab＝94，当且仅当 b＝2a＝83时
取等号．故选 C.
[答案] C
二、数学文化问题 类型一 数列中的数学文化 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数 列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通 项公式和前 n 项和公式．
位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86.若正实数 a，b 满足 a，
G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列，则1a＋4b的最小9 C.4
D．9
[ 解 析 ] 由 题 意 及 茎 叶 图 可 知 80 ＋ x ＝ 81 ，
76＋80＋82＋807＋y＋91＋93＋96＝86，则 x＝1，y＝4.
同理，以 B，C，D，A1，B1，C1，D1 为其中一个顶点的三棱 锥也各有 6 个，但所有列举的三棱锥均出现 2 次，所以四个面都 是直角三角形的三棱锥有12×8×6＝24(个)．
故所求的概率 P＝2740＝1325.
[答案]
12 35
本题以立体几何知识为背景，考查古典概型概率计算公式 P(A)＝事件A基包本含事的件基总本个事数件个数，形式较为新颖，有利于考查 考生的阅读能力、审题能力和综合应用能力，其求解关键是正确 理解新定义“三节棍体”，并根据长方体的对称性，利用列举法 求解长方体中“三节棍体”的个数．
【例 3】 若计算由曲线 y＝ x及直线 x＝1 和 x 轴所围成的 曲边三角形的面积时，可将区间[0,1]等分为若干个小区间，并以 直 代 曲 得 到 若 干 个 窄 边 矩 形 ， 其 面 积 表 示 为 xi ·Δx(i ＝ 1,2,3，…)．当区间[0,1]被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和 将趋近于曲边三角形的面积，且面积 S＝1 xdx.类比曲边三角形