物体的弹性

第二章
第一节
物体的弹性
应变和应力
第二节 弹性模量 第三节 弯曲与扭转 重点掌握： 重点掌握： １、形变；２、应力； 形变； 应力； ３、应变；４、弹性模量。 应变； 弹性模量。
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是指两个物体相互接触， 弹性力 —— 是指两个物体相互接触， 并产生一定的形状和大小的改变时， 并产生一定的形状和大小的改变时，变 形物体为了恢复原状， 形物体为了恢复原状，相互之间产生的 一种相互作用力。 一种相互作用力。
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1、张 应 力 、
张力是指物体内部任一横截面两方之间 张力 是指物体内部任一横截面两方之间 的弹性力。 对于结构均匀的材料， 的弹性力 。 对于结构均匀的材料 ， 其所 受的张力是均匀分布在该横截面上的。 受的张力是均匀分布在该横截面上的。
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而分布于该横截面上的总力和物体两 端的拉力相等。 端的拉力相等。 作用于物体内部横截面上的这两个力 互为作用力和反作用力。 互为作用力和反作用力。 直杆在此横截面处的应力定义为－－ 直杆在此横截面处的应力定义为－－ 应力定义为 F / S（即单位面积上的张力），称为 ），称为 （ 单位面积上的张力）， 张应力，用符号σ表示 表示： 张应力，用符号 表示： F σ = S 上式为平均值。 上式为平均值。
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同时用单位面积上的弹性力来作 为物体恢复原状趋势的定量表示， 为物体恢复原状趋势的定量表示，称 为应力，它的单位是：Ｎ ：Ｎ·ｍ 为应力，它的单位是：Ｎ ｍ－２。
外力、 １、外力、内力
外力：对于一定物体， 外力：对于一定物体，外界物体对它的 作用力。 作用力。 内力： 内力：物体内部各部份之间的相互作用 力。 内力产生的原因：物体受外力而变形， 内力产生的原因：物体受外力而变形， 其内部出现的因反抗形变， 其内部出现的因反抗形变，使物体恢复 原状而产生的力。 原状而产生的力。
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以上三种应变都是无量纲的， 以上三种应变都是无量纲的，均为 一纯数。它们只是相对地表示形变的程 一纯数。它们只是相对地表示形变的程 应变就是相对形变。因此， 度，应变就是相对形变。因此，它们与 物体的长度、体积和形状都没有关系。 物体的长度、体积和形状都没有关系。 当物体被纵向拉伸时，将产生横向收缩。 当物体被纵向拉伸时，将产生横向收缩。 实验表明， 实验表明，横向的相对收缩与纵向相对 伸长成正比。 伸长成正比。
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２、 应
力
应力是指作用于物体内单位面积上的 应力 是指作用于物体内单位面积上的 弹性力。 弹性力 。 它准确地描述了作用于物体 内部力的分布情况。其单位为N/m2。 内部力的分布情况。其单位为 最基本的形变只有两种： 拉伸形变、 最基本的形变只有两种：即拉伸形变、 剪切形变。 和剪切形变。 而弯曲和扭转可看成是由拉伸形变、 而弯曲和扭转可看成是由拉伸形变、和 剪切形变组成的。 剪切形变组成的。 下面从弹性均质直杆的情况出发讨论 拉伸压缩的正应力与形变的关系。 拉伸压缩的正应力与形变的关系。
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又因为直杆中的每一部分， 又因为直杆中的每一部分，对另一部 分都产生拉力，故该应力也称为拉伸 分都产生拉力，故该应力也称为拉伸 应力。 应力。 F / S－－单位面积上的张力－－即内 －－单位面积上的张力－－即 －－单位面积上的张力－－ 力密度。 力密度。 如果物体两端受到的是压力， 如果物体两端受到的是压力 ， 则拉伸 压应力。 应力为负值，故此力称为压应力 应力为负值，故此力称为压应力。
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表示物体变形程度的物理量。 变形程度的物理量 应 变 —— 表示物体变形程度的物理量。 它表示物体受外力作用时， 其长度、 它表示物体受外力作用时 ， 其长度 、 形 状或体积发生的相对变化 相对变化。 状或体积发生的相对变化。 1、张应变－－长变（拉伸应变） 、张应变－－长变（拉伸应变） －－长变 物体原长为 l0 ， 拉伸 后伸长为 l 0＋∆l 。 实验表明， 实验表明，物体在受到一 定外力牵拉时， 定外力牵拉时，其发生的 长度的改变量Δl Δl是和物体 长度的改变量Δl是和物体 原来的长度 l0 成正比的。 成正比的。
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物体发生形变时，总是与力分不开的。 物体发生形变时，总是与力分不开的。
二、 应
力
由于组成物体的微观粒子之间的相 对位置因外力发生了改变， 对位置因外力发生了改变，所以物体内 部各个相邻的宏观部分之间就存在着相 互作用， 互作用，这种相互作用产生的相互作用 即弹性力）就称为内力 内力。 力（即弹性力）就称为内力。 内力使物体具有恢复原状的趋势。 内力使物体具有恢复原状的趋势。 因此产生形变的物体会同时受到 因此产生形变的物体会同时受到 外力和内力的作用。 外力和内力的作用。
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形 变 —— 物体在外力作用下所发 生的形状和大小的改变。 生的形状和大小的改变。 形变可分为二类： 形变可分为二类：一类的形变 是暂时的，另一类形变是永久的。 是暂时的，另一类形变是永久的。 弹性形变 —— 当作用在物体上的外 力处于一定的限度内时， 力处于一定的限度内时 ， 去掉外力 后物体能够完全恢复原状的形变。 后物体能够完全恢复原状的形变。 产生弹性形变的物体称为完全 产生弹性形变的物体称为完全 弹性体，或简称“弹性体” 弹性体，或简称“弹性体”。
(V0 − ∆V ) − V0 ∆V θ= =− V0 V0
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３、切应变（剪应变） 切应变（剪应变） 切变(剪切 剪切) 物体受剪切力作用， 切变 剪切 －－ 物体受剪切力作用，
发生只有形状变化没有体积变化的弹性 形变。 形变。 剪切力－－ 剪切力－－ 是指大小相 等、方向相 反而作用线 平行的一对 力。
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有向面元：用外法线方向（ 有向面元：用外法线方向（ n ）标 示出其方位的面元。 示出其方位的面元。 但内力还不足以说明物体内 部的受力状态。 部的受力状态。 例如：同是１００Ｎ的力， 例如：同是１００Ｎ的力，作用 １００ 上和作用于１ 于１ｃｍ２上和作用于１ｍｍ２上， 情况就很不一样。 情况就很不一样。
不可压缩材料µ= 不可压缩材料 1 / 2 ,其它材料 µ< 1 / 2 。
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应变率－－应变随时间的变化率， －－应变随时间的变化率 ４、应变率－－应变随时间的变化率， 即单位时间内增加或减少的应变， 即单位时间内增加或减少的应变，它描 述的是变形速率。其单位为s 述的是变形速率。其单位为 -1。 需指出一点： 需指出一点： 液体本身没有固定的形状，因此液 液体本身没有固定的形状，因此液 体没有形状变化的弹性； 体没有形状变化的弹性；但液体具有一 定的体积，所以它只有体积变化的弹性 它只有体积变化的弹性。 定的体积，所以它只有体积变化的弹性。 对于固体来说，这两种弹性都有。 对于固体来说，这两种弹性都有。 这也是区别液体和固体的标准之一。 这也是区别液体和固体的标准之一。
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剪切的程度可用比值 剪切的程度可用比值∆x / d来衡 的程度可用比值 来衡 这一比值称为切 应变， 量 ， 这一比值称为 切 （ 剪 ） 应变 ， 表示,即 以γ表示 即 表示
∆x γ = = tg ϕ d
γ ≈ϕ
角又称为剪切角 故φ角又称为剪切角，表示剪切的程度， 角又称为剪切角，表示剪切的程度， 即表示垂直于底面的直线所转过的角。 即表示垂直于底面的直线所转过的角。
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－－在外力停止作用后物体形变 弹 性－－在外力停止作用后物体形变 完全消失的性质。 完全消失的性质。 性形变——当作用在物体上的外 范(塑)性形变 塑 性形变 当作用在物体上的外 力超过某一限度后， 力超过某一限度后 ， 去掉外力物体只 是部分地恢复原状或者不能完全恢复 原状的形变。 原状的形变。 范（塑）性－－在外力停止作用后物 －－在外力停止作用后物 在外力停止作用后 体产生永久形变的性质。 体产生永久形变的性质。 产生形变的物体同时受到外力和 产生形变的物体同时受到外力和 外力 内力的作用 的作用。 内力的作用。
F P = S
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3、切 应 力 、
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切力Ｆ与截面积Ｓ的比值，称为剪 切力Ｆ与截面积Ｓ的比值，称为剪 切应力，也称为切应力 以符号τ 切应力， 切应力，也称为切应力，以符号 表示力也等于单位面积上的切力。 切应力也等于单位面积上的切力。 应力还具有局部特征 可以表示物 还具有局部特征， 应力还具有局部特征，可以表示物 体内部相应位置上的受力强度。 相应位置上的受力强度 体内部相应位置上的受力强度。
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按照应力的定义，该面上的平均应力 按照应力的定义， 为∆F/∆A，当∆Α→0时，定义： ， 时 定义：
∆F dF = P = lim ∆A → 0 ∆ A dA
此为点O在 方向的应力。 此为点 在 n 方向的应力。 任一方向的应力均为矢量， 任一方向的应力均为矢量 ， 可将其分解 为与作用面垂直的分量σ及与作用面平行 为与作用面垂直的分量 及与作用面平行 的分量τ， 的分量 ，一般称与作用面垂直的应力为 正应力， 与作用面平行的应力为切应力 切应力。 正应力 ， 与作用面平行的应力为 切应力 。 不同物体存在正应力或切应力的阈值 正应力或切应力的阈值， 不同物体存在 正应力或切应力的阈值 ， 超过该阈值．物体即可被破坏。 超过该阈值．物体即可被破坏。
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若设物体横截面为矩形， 若设物体横截面为矩形 ， 其边长 分别为ａ 拉伸后变为ａ 分别为 ａ ０ 、 ｂ ０ ， 拉伸后变为 ａ 、 ｂ ， 其线应变为∆l 其线应变为 / l0，若材料是各向同性 泊松比 为 的，则泊松比µ为：
a0 b0 a b
a0 − a ∆l b0 − b ∆ l µ = / = / a0 l0 b0 l0
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又因为张力与截面正交， 又因为张力与截面正交，所以张应 力和压应力又称为正应力 正应力。 力和压应力又称为正应力。 对于拉伸正应力， ＞ 对于拉伸正应力， σ＞０； 对于压缩正应力， σ＜０ 。 对于压缩正应力， ＜
∆F dF σ = lim = dS ∆S →0 ∆S