一建、工程造价单利复利计算

• 由右式可以看到， 随着时间t的增 大，实际利率越 来越低。
it

a(t
1) a(t)
a(t)
[1 i(t 1)] (1 it) (1 it)
i 1 it
1.1.4 复利（compound interest)
定义 复利指前期赚取的利息在后期会继续产生利息。 这意味着前期的利息将自动进行投资。
• 设年利率为i，那么1元本金
– 在第一年末的利息为i，本息累积值a(1)= 1+i ，作为第二年 的本金进行投资;
– 第二年末赚取的利息为i(1+i)，累积值为(1+i)*(1+i)，做为 第二年的本金进行投资;
– ……
– 第n年末赚取的利息为i(1+i)n-1，累积值为(1+i)*(1+i) n-1= (1+i) n ，做为第n+1年的本金进行投资.
如果年名义利率为i，复利m次，则年实际利
率为
1
i m
m
1
令m , 则年实际利率
1
i m
m

1

ei
1.
年累积值（本息）为 1
i m
m


ei ,
m
t年累积值（本息）为
1
i m
mt


ei t ,
m
例4 2000元的本金按每年复利4次的年名义利 率6％投资，试计算2年零6个月后的累积值。
与一年所包含的区间个数1 / 相乘
就是年名义利率 a(t ) a(t) .
a(t)
• 0 意味着连续结转利息(即连续复利).
因此，利息力是连续结转利息时的名义利率。
由利息力得到累积函数：
由利息力的定义式t [ln a(t)]', 用s代替t，
关于s 在[0，t]上进行积分得
1
(1+i) -t
1
连续复利
1
er
ert
e-r
1
e-rt
1
A(t)=A(0)a(t)，a(t)=A(t)/A(0). • 用I(t)表示0～t时刻的利息额，则
I(t)=A(t)-A(0).
1.1.2 实际利率(effective rate of interest)
实际利率指的是一 元本金在期末时赚 取的利息，通常用 百分数表示，例如 i=5％。
用累积函数表示： i a(1) a(0) a(1) a(0) a(0) A(1) A(0) A(0) I (1) . A(0)
这是一个求现值的问题。求现值的过程也被称作 贴现过程。显然贴现过程与累积过程是互逆的。
• 如果在t期末希望获得1元终值,期初的本金就应 该是a-1(t)。称a-1(t)为贴现系数（discount factor)。
复利的贴现系数为：
a-1(t)=1/(1+i)t = v t v=1/(1+i)称为贴现因子。 v的意义：第一期末的一元钱的期初本金。 期初的x元在t期末的累积值为x(1+i)t, t期末的y元在期初的现值为yv t=y(1+i)-t。
2年3个月等于2.25年，故2年3个月后的累积 值为
2000 (1 0.05)2.25 2232.0（6 元）
复利与实际利率的关系：
在复利条件下， 从t时刻起的实际 利率为：
由右式可以看到， 在复利条件下， 实际利率 等于实 际利率。
it

a(t
1) a(t)
a(t)
[1 i]t1 (1 i)t
t
t
0 sds
[ln a(s)]'ds
0
ln a(t) ln a(0)
ln a(t)
t
a(t) e0sds
• 若初始资本不为1，为A(0)，t时刻累积值为 A(t)，有 t [ln A(t)]';
t
• 0 A(s)sds A(t) A(0)
• A(s)sds 表示金额A(s)在ds时段内因利息力 s 的作用而赚取的利息。将其在[0,t]上积分，
因此，利息可被视为借款者所缴纳的租金，用 以补偿出借者因为不能使用这笔资金而蒙受的损 失。
1.1 累积函数（accumulation function): • 指期初的一元本金在t时刻的本金累积值，通常记为a(t)，
具有以下性质：
• a(0)=1; • a(t)为时间t的递增函数，即利息是非负的。 • 若期初本金不为1，为A(0)，则在t时刻的累积函数为：
表1 年实际利率随复利次数的变化情况 （年名义利率为10％）
复利次数
年实际利率 年初1000元本金年 末的本息(累积值）
1(每年复利1次) 0.100 00
1 100.00
2(每半年复利1次) 0.102 50
1 102.50
4(每季度复利1次) 0.103 81
1 103.81
12(每月复利1次) 0.104 71
1 104.71
52(每周复利1次) 0.105 07
1 105.07
365(每天复利1次) 0.105 16
1 105.16
1.1.6 利息力（force of interest)
定义 利息力指的是资本在任意一个时间点上 获取利息的能力。
t 时刻的利息力 可用累积值来表 示：
t

lim
0
这种货币的时间价值可以通过计算现金流的现值 或终值来反映。
1.2.1 终值与终值系数
终值(Future Value)是用复利计息方法计算的一
笔投资在未来某个时间获得的本息和，计算公
式为:
A(t) (1 i)t A(0)
• 式中，A(t)为t年后的本息和，即以复利计算的t 年终值。A（0）为初始本金。 • 与初始本金A（0）相乘的系数(1+i)t称为终值系 数，本质是1元本金在t年后的累积值,故为 a(t)。 • 利率相同，期限相同的投资的终值系数是相同的， 因此，不同金额的投资的终值是其投资额与同一 终值系数的乘积。
– 实际上，对非整数的t年末，累积值a(t)＝(1＋i)t 也成立。 （将月，日转化为年做单位）。
例2 若复利的年利率为5%，初始本金为2000元， 试计算 （1）9个月后的累积值； （2）在2年零三个月后的累积值。
解：9个月等于0。75年，故9个月的累积值为
2000 (1 0.05)0.75 2074.5（4 元）
例 假设复利的年利率为5%。 （1）如果希望在9个月末获得2000元； （2）如果希望在2年零3个月后获得2000元，试
分别计算期初的本金应为多少？
解：
(1)
(2)
2000
*
(1

1 0.05)
0.75
1928.14
2000
*
(1

1 0.05)
2.25
1792.07
贴现的本质是预付利息：
• 名义利率指给定一年的年利率，但是该利率是分多次结转。 • 给出名义利率是为了给出不足一年的区间的实际利率。 • 例如，银行的贷款利率为12％（一般指年利率），如果借款人
从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款，则一年的利息为 12元。
– 如果银行要求年末支付利息，则12％为实际利率。 – 如果银行要求每个月末支付一次利息1元，那么12％就为名义利率，一
=
0时刻 1元 1/(1+i)元
v = 1-d 元
本金 利息
1时刻 1+i元 1元
本金
t时刻 1+it元
利率等于：
1 (1 d ) d i 1d 1d
终值和现值的关系
单利
0时刻 1
1时刻 1+i
t时刻 1+it
(1+i) -1
1
(1+it) -1
离散复利
1
1+i
1 (1+i) t
(1+i) -1
利息与利率
累积函数（本息）,终值 实际利率 利息： 单利 复利 名义利率 利息力
实际贴现率 贴现： 名义贴现率
贴现力
1、 利息：
利息（interest)是在一定时期内借款为了一笔资金 而付给出借者的报酬。
（1）资金拥有者角度：希望从自己的出借中得 到补偿；
（2）资金使用者角度：必须付给出借者一定的 报酬以获得使用资金的权利。
解 名义利率为6％，每年复利4次，即每季度 复利一次，季度利率为6％/4=1.5%.
(法一) 2年零6个月等于10季度，故10个季度 后累积值为
2000*(1+1.5%)10=2321.08(元)
(法二) 年实际利率为(1+1.5%) 4－1=6.137%. 故2年零6个月后的累积值为
2000*(1+6.137%)2.5=2321.08(元)
得到在t个度量期内赚取的利息总额。
1.2 终值、现值与贴现
由于贷出货币具有收益（获得利息），持有货币 具有成本（需要支付或损失利息），因此，在 不同时间获得的货币其价值是不同的。现在获 得的一定量的货币比未来获得的等量货币具有 更高的价值。这就是货币的时间价值（Time Value of Money）。

(1 i)t
i
例3 小张从银行借款20 000元，4年后需偿还 25 249.54元，请计算该笔借款的年实际利 率。
解 令（年）实际利率为i，则根据题意得
20 000 (1＋i)4 25 249.54
1

i


25 249.54 20 000
1/4