单利与复利的计算不同之处教学内容

单利与复利的计算一、利息与利率㈠ 利息利息是指占用资金所付出的代价或放弃资金使用权所得到的补偿。

如果将一笔资金存入银行，这笔资金就称为本金。

经过一段时间之后，储户可在本金之外再得到一笔利息，这一过程可表示为：F n ＝P ＋I n式中 F n — 本利和；P — 本金；I n — 利息。

下标 n 表示计算利息的周期数。

计息周期是指计算利息的时间单位，如“年”、“季度”、“月”或“周”等，但通常采用的时间单位是年。

㈡ 利率利率是在单位时间(一个计息周期)内所得的利息额与借贷金额(即本金)之比，一般以百分数表示。

用i 表示利率，其表达式为：i=I 1/P*100%式中 I 1 — 一个计息周期的利息。

上式表明，利率是单位本金经过一个计息周期后的增值额。

利率又分为基础利率、同业拆放利率、存款利率、贷款利率等类型。

基础利率是投资者所要求的最低利率，一般使用无风险的国债收益率作为基础利率的代表。

同业拆放利率指银行同业之间的短期资金借贷利率。

同业拆放有两个利率，拆进利率表示银行愿意借款的利率；拆出利率表示银行愿意贷款的利率。

同业拆放中大量使用的利率是伦敦同业拆放利率(LIBOR)，指在伦敦的第一流银行借款给伦敦的另一家第一流银行资金的利率。

我国对外筹资成本即是在LIBOR 利率的基础上加一定百分点，从LIBOR 变化出来的，还有新加坡同业拆放利率(SIBOR)、纽约同业拆放利率(NIBOR)、香港同业拆放利率(HIBOR)等等。

二、单利计息与复利计息利息的计算有单利计息和复利计息两种。

㈠单利计息单利计息是仅按本金计算利息，利息不再生息，其利息总额与借贷时间成正比。

单利计息时的利息计算公式为：＝P·n·iInn 个计息周期后的本利和为：＝P(1＋i·n)Fn我国个人储蓄存款和国库券的利息就是以单利计算的，计息周期为“年”。

㈡复利计息复利计息，是指对于某一计息周期来说，如果按本金加上先前计息周期所累计的利息进行计息，即“利息再生利息”。

按复利方式计算利息时，利息的计算公式为：＝P[(1＋i)n－1]Inn 个计息周期后的本利和为：＝P(1＋i)nFn三、名义利率与实际利率㈠名义利率与实际利率的概念在以上讨论中，我们都是以年为计息周期的，但在实际经济活动中，计息周期有年、季度、月、周、日等，也就是说，计息周期可以短于一年。

这样就出现了不同计息周期的利率换算问题。

也就是说，当利率标明的时间单位与计息周期不一致时，就出现了名义利率和实际利率的区别。

名义利率，指一年内多次复利时给出的年利率，它等于每期利率与年内复利次数的乘积。

实际利率，指一年内多次复利时，每年末终值比年初的增长率。

例如某笔住房抵押贷款按月还本付息，其月利率为0.5%，通常称为“年利率6%，每月计息一次”。

这里的年利率6%称为“名义利率”。

当按单利计算利息时，名义利率和实际利率是一致的；但当按复利计息时，上述“年利率6%，每月计息一次”的实际利率则不等于名义利率(6%)。

例如，年利率为12%，存款额为1000 元，期限为一年，分别以一年1 次复利计息、一年4 次按季利率计息、一年12 次按月利率计息，则一年后的本利和分别为：一年1 次计息F＝1000×(1＋12%)＝1120(元)一年4 次计息F＝1000×(1＋3%)4＝1125.51(元)一年12 次计息F＝1000×(1＋1%)12＝1126.83(元)这里的12%，对于一年一次计息情况既是实际利率又是名义利率；3%和1%称为周期利率。

由上述计算可知：名义利率＝周期利率×每年的计息周期数。

对于一年计息4 次和12 次来说，12%就是名义利率，而一年计息4 次时的实际利率＝(1＋3%)4－1＝12.55%；一年计息12 次时的实际利率＝(1＋1%)12－1＝12.68%。

㈡名义利率与实际利率的关系式设名义利率为r，若年初借款为P，在一年中计算利息m次，则每一计息周期的利率为r/m，一年后的本利和为：F＝P(1＋r/m)m其中利息为I＝F－P＝P(1＋r/m)m－P。

故实际利率i与名义利率r的关系式为：i=(1+r/m)n－1通过上述分析和计算，可以得出名义利率与实际利率存在着下述关系：⑴实际利率比名义利率更能反映资金的时间价值；⑵名义利率越大，计息周期越短，实际利率与名义利率的差异就越大；⑶当每年计息周期数m＝1 时，名义利率与实际利率相等；⑷当每年计息周期数m＞1 时，实际利率大于名义利率；⑸当每年计息周期数m→∝时，名义利率r 与实际利率i 的关系为：i ＝e r－1二、复利计算㈠常用符号在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，常用的符号包括P、F、A、G、s、n 和i 等，各符号的具体含义是：在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，通常都要使用i 和n，以及P、F 和A 中的两项。

比较不同投资方案的经济效果时，常常换算成P 值或A 值，也可换算成F 值来进行比较。

㈡公式与系数⑴一次支付的现值系数和终值系数一次支付的现金流量图如图5-3 所示。

如果在时间点t＝0 时的资金现值为P，并且利率i 已定，则复利计息的n 个计息周期后的终值F 的计算公式为：F＝P(1＋i)n上式中的红色部分称为“一次支付终值系数”。

当已知终值F 和利率i 时，很容易得到复利计息条件下现值P 的计算公式：P=F[1/(1+i)n]上式中的红色部分称为“一次支付现值系数”。

⑵等额序列支付的现值系数和资金回收系数等额序列支付是指在现金流量图上的每一个计息周期期末都有一个等额支付金额A，现金流量图如图5-4 所示。

此时，其现值可以这样确定：把每一个A 看作是一次支付中的F，用一次支付复利计算公式求其现值，然后相加，即可得到所求的现值。

计算公式是：P=A[(1+i)n－1/i(1+i)n] =A/i[1－1/(1+i)n]式中的红色部分称为“等额序列支付现值系数”。

由上式可以得到当现值P 和利率i 为已知时，求复利计息的等额序列支付年值A 的计算公式：A=P[i(1+i)n/(1+i)n－1]=Pi/[1－(1+i)-n] 式中的红色部分称为“等额序列支付资金回收系数”。

⑶等额序列支付的终值系数和储存基金系数所谓等额序列支付的终值系数和储存基金系数就是在已知F 的情况下求A，或在已知A 的情况下求F，现金流量图如图5-5 所示。

因为前面已经有了P 和A 之间的关系，我们也已经知道了P 和F 之间的关系，所以很容易就可以推导出F 和A 之间的关系。

计算公式为： A=F{i/[(1+i)n－1]}上式中的红色部分称为“等额序列支付储存基金系数”。

通过上式，我们可以很容易地推导出：F=A{[(1+i)n－1]/i}上式中的红色部分称为“等额序列支付终值系数”。

⑷等差序列的现值系数和年费用系数等差序列是一种等额增加或减少的现金流量序列。

换句话说，这种现金流量序列的收入或支出每年以相同的数量发生变化。

例如物业的维修费用往往随着房屋及其附属设备的陈旧程度而逐年增加，物业的租金收入通常随着房地产市场的发展逐年增加等。

逐年增加的收入或费用，虽然不能严格地按线性规律变化，但可根据多年资料，整理成等差序列以简化计算。

At＝A1＋(n－1)G如果以G表示收入或支出的年等差变化值，第一年的现金收入或支出的流量A1已知，则第n年年末现金收入或支出的流量为A1＋(n－1)G，现金流量图如图5-6 所示。

计算等差序列现值系数的公式为：P=A1{[(1+i)n－1]/i(1+i)n}+G/i{[(1+i)n－1]/i(1+i)n－n/(1+i)n} 上式中的红色部分称为“等差序列现值系数”。

若要将等差现金流量序列换算成等额年值A，则公式为：A=A1+G{1/i－n/[(1+i)n－1]}上式中的红色部分称为“等差序列年费用系数”。

⑸等比序列的现值系数和年费用系数等比序列是一种等比例增加或减少的现金流量序列。

换句话说，这种现金流量序列的收入或支出每年以一个固定的比例发生变化。

例如建筑物的建造成本每年以10%的比例逐年增加、房地产的价格或租金水平每年以5%的速度逐年增加等。

At＝A1 (1＋s)t-1如果以等比系数s表示收入或支出每年变化的百分率，第一年的现金收入或支出的流量A1已知，则第n年年末现金收入或支出的流量为A(1＋s)n-1，现金流量图如图5-7 所示。

计算等比序列现值系数的1公式为:P=A1/(i－s){1－[(1+s)/1+i]n} i不等于sP=nA/(1+i) i等于s上式中的红色部分称为“等比序列现值系数”。

若要将等比现金流量序列换算成等额年值A，则公式为：A=A1i/(i－s){1－[(1+s)n－1]/[(1+i)n－1]}上式中的红色部分称为“等比序列年费用系数”。

㈢复利系数的标准表示法为了减少书写上述复利系数时的麻烦，可采用一种标准表示法来表示各种系数。

这种标准表示法的一般形式为(X/Y,i,n)。

X 表示所求的是什么，Y 表示已知的是什么。

例如F/P 表示“已知P 求F”，而(F/P,10%,25)表示一个系数。

这个系数若与现值P 相乘，便可求得按年利率为10%复利计息时25 年后的终值F。

表5-1 汇总了上述十个复利系数的标准表示法，以及系数用标准表示法表示的复利计算公式。