高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》2.3.2.1抛物线的几何性质

302=2p×40，解得p=
45 4
所以所求抛物线的标准方程为y2=
45 焦点坐标为（ ，0） 8
45 2
x，
四、课堂练习 1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦 点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长 16 是 . 2已知点A（-2，3）与抛物线 y 2 px( p 0) 4 的焦点的距离是5，则p=————
2
3.抛物线
的弦AB垂直x轴，若 y 4x
2
|AB|= 4 3 ，则焦点到AB的距离————
2
五、归纳总结
1、知识小结：抛物线的性质和椭圆与双曲 线比较起来，差别较大:它的离心率等于1；它 只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条 准线；没有对称中心；没有渐近线。抛物线的 通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
2
例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如 图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直 径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点 位置．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角 坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点 重合，x轴垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).由已知可得 点A的坐标为（40，30）,代入方程得
一、温故知新
问题1：抛物线的定义是？
平面内与一个定点F和一 条定直线l的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线 .定点F叫 做抛物线的焦点;定直线l 叫 做抛物线准线.
l
y
P
o
F(
p ,0 ) 2
x
问题2：抛物线的标准方程有哪几种形式？
l
图 y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
l
O
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２， 2 2 ），
2
所以设方程为： y 2 px 又因为点M在抛物线上： 所以：2 (
2
( p 0)
2) 2 p 2 p 2 因此所求抛物线标准方程为：2 4 x y
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论.
o
p F ( ,0 ) 2
x
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
归纳：抛物线的几何性质
图形 y 标准 方程 x y 焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 轴
x≥0
顶点 离心 坐标 率
o
o
y
x轴 （0，0） e=1x来自x≤0x轴 （0，0） e=1
y≥0
o o
y
x x
y≤0
y轴 （0，0） e=1
x
3、
顶点
y
定义：抛物线与 它的对轴的交点叫做 抛物线的顶点。

o
y2
= 2px (p>0)中，
p F ( ,0 ) 2
x
令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
p ( , 0) 2
p ( ,0) 2 p (0 ，) 2 p (0 ) ， 2
p x 2
p x 2 p y 2 p y 2
y
F
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
二、探索新知:抛物线的几何性质
y
1、
范围
由抛物线y2 =2px（p>0） 有 2 px y 0
2
所以抛物线的范围为 x 0
例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴， 抛物线上一点 -5,y 0 到焦点的距离是6，求 抛物线的方程.
解：依题意可设抛物线的方程为y 2 px,
2
p p 焦点F - , 0 , 准线方程为x= 2 2 p 则5+ =6 2 所以p=2 所以抛物线的方程为y 4x
x
一个焦点、一条准线;
-5
4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O
P ( x 0 , y0 )
F
x
通径的长度：2P
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增 大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
0 x
p0
o
p F ( ,0 ) 2
x
2、
对称性
关于x轴
y
( x, y )
对称
( x, y)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
y轴 （0，0） e=1
特点：
4 3
y2=4x
y2=2x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=x 1 y 限延伸,但它没有渐近线; y2= x
2 1
2.抛物线只有一条对称轴,没有
-2 2 4 -1
2
6
8
10
P(x,y)
对称中心;
-2
3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4
o
p F ( ,0 ) 2
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫
做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 原点，并且经过点M（２， 2 2），求它的标准方程.
2、方法小结：利用类比的方法学习了抛 物线的几何性质；注意数形结合的应用。
六、作业布置
书67页第6题，第8题
练习册36-38页