图与网络分析(清华大学版)

运筹学
找图中生成树的方法：
求支撑树的破圈法
运筹学
找图中生成树的方法：
求支撑树的避圈法
深探法
广探法
运筹学
2.3最小支撑树问题 2.3最小支撑树问题
赋权图(网络） 给图G=(V,E), 赋权图(网络）: 给图G=(V,E), 对G中的 每一条边[ 相应地有一个数w 每一条边[vi,vj], 相应地有一个数wij, 则 称这样的图为赋权图 赋权图, 称为边[ 称这样的图为赋权图, wij 称为边[vi,vj] 上的权. 上的权. 支撑树的权: T=(V,E’ 支撑树的权:若T=(V,E’) 是G的一个支撑 E’中的所有边的权之和称为支撑树的 树, E’中的所有边的权之和称为支撑树的 记为w(T): 权, 记为w(T): w T ) = ∑w ( ij
无重复点,无重复边
v4
e4
运筹学
e7
v3
连通图：任意两点之间至少有一条链。 连通图：任意两点之间至少有一条链。 不连通图： 不连通图： 连通分图：对不连通图， 连通分图：对不连通图，每一连通的部 分称为一个连通分图。 分称为一个连通分图。 支撑子图： ），若 支撑子图：对G=（V，E），若 （ ， ）， G`=(V`,E`), 使V`=V, E` E, 则G`是G的 是 的 一个支撑子图（生成子图）. 一个支撑子图（生成子图） G-v: 图G去掉点 及v的关联边的图 去掉点v及 的关联边的图 的关联边的图. 去掉点
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2. 树
2.1 树及其性质 2.2 图的支撑树（生成树） 图的支撑树（生成树） 2.3最小支撑树问题 最小支撑树问题 2.4 根树及其应用
运筹学
2.1 树及其性质
电话线架设、比赛程序、组织结构等。 例: 电话线架设、比赛程序、组织结构等。 连通的无圈的无向图称为树。 树:连通的无圈的无向图称为树。
运筹学
vs到 i的 短 v 最 路
Dijkstra算法基本思想 P标号：已确定出最短路的节点。 T标号：为确定出最短路的节点，但 表示其距离的上限。 Si：P标号节点的集合。 λ(v)：最短路中前一个节点的编号。 初始值：
T (v) = +∞ λ(v) = M λ(v ) = 0 s v ≠ vs v ≠ vs
的链。 圈： vi = vi 的链。 1 k e1 初等链： 均不相同。 初等链：点 v , v ,..., v 均不相同。 i1 i2 ik e2 初等圈： 有重复点,无重复边 均不相同。 初等圈：点 vi , vi ,..., vi v1 均不相同。 v2 1 2 k 1 简单链：链中边均不相同。 简单链：链中边均不相同。 e6 e e5 简单圈：圈中边均不相同。 简单圈：圈中边均不相同。 3 例：右图
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则最短路问题为： 则最短路问题为： w(P ) = m 0 in w(P)
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为： d（ vs，vt ） 3.2最短路算法 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 算法
一般结论
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,..., vi ,..., vj vs ,..., vi
v4
v3
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无向图的有关概念
端点: u,v是 的端点, 端点: e=[u,v]∈E, 则u,v是e的端点, u,v相邻 相邻. 称u,v相邻. 关联边: 是点u,v的关联边. u,v的关联边 关联边: e是点u,v的关联边. e是环 是环. 环: 若u=v, e是环. 多重边: 两点之间多于一条边. 多重边: 两点之间多于一条边. 简单图: 无环,无多重边的图. 简单图: 无环,无多重边的图. 多重图: 无环,允许有多重边的图. 多重图: 无环,允许有多重边的图.
个叶子按权由小到大排列， 将s个叶子按权由小到大排列， 个叶子按权由小到大排列 将两个最小的叶子合并为一个分枝点，其权为两者之和， 将两个最小的叶子合并为一个分枝点，其权为两者之和， 将新的分枝点作为一个叶子，转上一步，直到结束。 将新的分枝点作为一个叶子，转上一步，直到结束。
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例1、s=6，其权分别为 ，3，2，2，1， 、 ，其权分别为4， ， ， ， ， 求最优二叉树。 求最优二叉树。
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1.图的基本概念 1.图的基本概念
例 1: 铁路交通图 例 2: 球队比赛图 表示研究对象. 点: 表示研究对象 连线： 连线：表示两个对象之间的某种特定关 系。 关系的对称性： 关系的对称性：两对象之间的关系可互 换。
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不带箭头的联线，表示对称关系。 边：不带箭头的联线，表示对称关系。 带箭头的联线，表示不对称关系。 弧：带箭头的联线，表示不对称关系。 无向图：简称图，有点和边组成。 无向图：简称图，有点和边组成。 表示为： 表示为： G=（V，E） （ ， ） e1 V--点集合 E--边集合 v 点集合 边集合 e2 1 例：右图 V={v1，v2，v3，v4} e6 e5 E={e1，e2，…,e7} e1=[v1,v2]e2=[v1,v2], v4 e4 …,e7=[v4,v4]
证明: V1--奇点的集合, --奇点的集合 证明:设 V1--奇点的集合, V2---偶点的集合 V2--偶点的集合
v∈ 1 V
∑d(v) + ∑d(v) = ∑d(v) = 2q
v∈ 2 V v∈ V
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偶数
偶数
偶数
点边交错系列， 记为： 链：点边交错系列， 记为：
(vi1 , ei1 , vi2 ,..., vik1 , eik , vik )
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例3：P235、例11 ： 、
0.55 0.30 0.18 0.10
1.0
0.05
0.05
0.08
0.12
0.25
0.45
等外品 五等品 四等品 三等品 测试顺序
二等品 一等品
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3. 最短路问题
3.1 引例 单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅 行路线。 最短路问题的一般描述： 对D=（V，A）， a=（vi，vj）， w（a）=wij，P是vs到vt的路，定义路P的 权是P中所有弧的权的和，记为w（P）
第一层
分点枝
第二层 第三层 叶
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带权的二叉树T： 个叶子 权分别为p ， 个叶子， 带权的二叉树 ：有s个叶子，权分别为 i， 根到各叶子的距离（层次） 根到各叶子的距离（层次）为 li , (i =1 2,, s) , 二叉树的总权数
m(T) = ∑ pili
i =1
s
最优二叉树（ 最优二叉树（ Huffman树）：总权数最小的二叉树 树）：总权数最小的二叉树 算法步骤： 算法步骤：——Huffman算法 算法
d(v1) = 4, d(v2 ) = 3 v2
孤立点
e2
e3 e4 e5
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v4 e6
v5
v3
定理1: 定理 图G=(V,E)中,所有点的次之和是 中 所有点的次之和是 边数的两倍, 边数的两倍 即:
∑d(v) = 2q
v∈ V
定理2: 任意一图中 奇点的个数为偶数 定理 任意一图中, 奇点的个数为偶数.
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以点v为端点的边的个数称为v的次. 次: 以点v为端点的边的个数称为v的次. 表示为: 表示为: d(v) 悬挂点: 次为1的点. 悬挂点: 次为1的点. 悬挂边: 悬挂点的关联边. 悬挂边: 悬挂点的关联边. e1 孤立点: 次为0的点. 孤立点: 次为0的点. 奇点: 次为奇数的点. 奇点: 次为奇数的点. 悬挂边 偶点: 次为偶数的点. 偶点: 次为偶数的点. v1
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树的性质：
G=（ ），p个点、 图G=（V，E），p个点、q条边下列说法是等价的 （1）G是一个树 连通，且恰有p 条边。 （2）G连通，且恰有p-1条边。 无圈，且恰有p 条边。 （3）G无圈，且恰有p-1条边。 连通，但每舍去一边就不连通。 （4）G连通，但每舍去一边就不连通。 无圈，但每增加一边即得唯一一个圈。 （5）G无圈，但每增加一边即得唯一一个圈。 中任意两点之间恰有一条链(简单链) （6）G中任意两点之间恰有一条链(简单链)。
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2.2 图的支撑树（生成树）
定义:设图T=(V， ) 是图G=(V,E) G=(V,E)的支 定义:设图T=(V，E’) 是图G=(V,E)的支 T=(V 撑子图,如果T是一个树, 则称T 撑子图,如果T是一个树, 则称T是G的一 个支撑树。 个支撑树。 定理5 G=（ 定理5：图G=（V，E）有支撑树的充分必 要条件是G是连通的。 要条件是G是连通的。
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[vi ,v j ] T ∈
定义: 最小支撑树(最小树) 定义: 最小支撑树(最小树)T*:
w(T* ) = m w(T) in
T
避圈法: 求最小树的 避圈法: 例: 图8-27 破圈法: 求最小树的 破圈法: 例: 图8-28
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2.4 根树及其应用
根
有向树中根树 在计算机科学、 在计算机科学、决策论的应用 有向树： 有向树： 根树：有向树T， 根树：有向树 ，恰有一个结 点入次为0， 点入次为 ，其余各点入次为 1，则称 为根树。 为根树。 ，则称T为根树 M叉树： 叉树： 叉树 三叉树 二叉树： 二叉树：
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（ 道路:若 道路 若 vi1 , ai1 , vi2 , ai2 ,..., vi1k1 , aik1 , vik ) 是D中 中 的一条链， 的一条链，且 ait = (vit , vit+1 )，t=1,2,…,k-1,称 称 的一条道路。 之为从 vi1 到 vik 的一条道路。 方向相同 回路: 的路. 回路 vi1 = vik 的路 初等路: 道路中点不相同. 初等路 道路中点不相同 初等回路: 回路中点不相同. 初等回路 回路中点不相同 简单有向图: 无自环, 无多重弧. 简单有向图 无自环 无多重弧 多重有向图: 有多重弧. 多重有向图 有多重弧