数学模型

重庆交通大学学生实验报告
实验课程名称数学模型
开课实验室数学实验室
学院理学院年级09 专业班
学生姓名学号
开课时间2011 至2012 学年第2 学期
淋雨模型
摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。

并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan c
a
α<
时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。

问题提出: 现有一人要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。

试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

基本假设：
1 将人体看成一个长方体；
2 雨速为常数且方向不变；
3 降雨量为一定值；
4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内；
5 符号的假定:
a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚
d: 跑步距离 v: 跑步速度 m v : 跑步最大速度 w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量
θ: 雨迎面吹来与人的夹角 α: 雨背面吹来与人的夹角
s ：有效淋雨面积 v ：以人为参考系时的相对雨速
建立模型：我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s ，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t 内该土地的淋雨量为 Q stw =。

若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u 变为u u +∆，则降雨量相对变化为
u u w u +∆，从而可求得此时的淋雨量为 u u
Q stw
u
+∆=。

若雨速不变，降雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为θ，那么此时的淋雨量为 cos Q stw θ=。

类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨量如下： 1当雨垂直降落时
有效淋雨面积：22s ab ac bc =++ 淋雨时间：d
t v
=
总淋雨量(22)d
Q stw ab ac bc w v
==++ （1） 2 当雨迎面吹来时
由假设3.4我们知道，当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为1s ，迎面部分面积为2s ，则12,s bc s ab ==，分别计算其淋雨量如下：
淋雨时间：d t v
=
雨速垂直分量：θcos u
雨速水平分量：θsin u ，且方向与v 相反，故相对雨速v =v u +θsin 顶部淋雨量：11cos cos d
Q s tw bc w v
θθ== 迎面淋雨量：22sin v d u v Q s tw ab w u v u
θ+== 所以总的淋雨量为：
12cos (sin )cos (sin )
bcduw abdw u v bdw cu a u v Q Q Q uv u v
θθθθ⋅+⋅+++=+=
=
（2）
3当雨从背面吹来时
同理，当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为3s ，背面部分面积为4s ，则34,s bc s ab ==，分别计算其淋雨量如下：
淋雨时间：d t v
=
雨速垂直分量：αcos u
雨速水平分量：sin u α，方向与v 相同，故相对雨速v =sin u v α- 顶部淋雨量：33cos cos Q s tw bcdw v
α
α== 背面的淋雨量： 44|sin |v abdw u v Q s tw u uv
α-== 总淋雨量为：
()()
34cos (sin )(cos sin ),sin cos (sin )(cos sin ),sin Q Q Q bdw cu a u v bdw u c a av
v u a u v u v
bdw cu a v u bdw u c a av v u b u
v u v αααααααααα=+=
+-+-⎧=<⎪⎪⎨
+--+⎪=≥⎪⎩ （3）
模型求解：运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q 与行走速度v 的具体关系如下： 1当雨垂直降落时
由（1）式知总淋雨量(22)
d
Q stw ab ac bc w v
==++，易知 v 越大，Q 值越小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。

即：当m v v =时，Q 最小； 2当雨迎面吹来时
对（2）式关于v 求导可得：
2cos sin 0Q bdw cu au v u v
θθ∂+=-<∂，故Ｑ关于v 是单调递减函数，故此种情况下，当m v v =时，Q 最小； 3当雨从背面吹来时
对（3）式，分以下两种情况讨论如下：
1︒ sin v u α≤
此时对（a ）式关于v 求导可得
2cos sin 0Q bdw cu au v u v
αα∂+=-<∂ ，可知v 越大，淋雨量Q 越小，又因为sin v u α≤，故知当sin v u α=时，Q 最小； 2︒
sin v u α≥
当0sin cos >-ααa c ，对（b ）关于v 求导
2(cos sin )
0Q bdw u c a v u v
αα∂-=-<∂，故Ｑ关于v 是单调递减函数，同样可得，当m v v =时，Q 最小； 当0sin cos ≤-ααa c ，对（b ）关于v 求导
2
(cos sin )0Q bdw u c a v u v αα∂-=->∂，故Ｑ关于v 是单调递增函数，又αsin u v ≥，故αsin u v =时，Q 最小。

结果分析与检验：
分析：由上面的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan c
a
α<时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。

检验：
现给出数据如下：
1.5,0.5,0.2,1000,5,4,2m a m b m c m d m v m s u m s w cm h =======
1 当雨垂直降落时 min (22)0.002L m
d
Q ab ac bc w v =++≈ 2 当雨迎面吹来时 0θ=：cos0(sin 0)v 0.00116L m m
m m cu a u v cu a bdw bdw Q u v u v +++=
=≈
30θ=︒：cos30(sin 30)
0.00155m m
cu a u v bdw Q L u v ︒+︒+=
≈
3 当雨从背面吹来时 30α=︒时，tan c
a
α>，故sin 2v u m s α==时，淋雨最少。

此时：0.00101Q L ≈
模型评价：优点：在模型中我们考虑了雨从不同方向吹来，结合了风向等因素，考虑了三种情况下人的总淋雨量，并以人为参照物优化了模型。

缺点：此模型只是将人与雨的方向在同一平面内考虑的，如果在不同的平面内，则雨的方向应该在三维空间中考虑。

参考文献：[1]姜启源，谢金星等 《数学模型》(M) 第三版 高等教育出版社 2003年。