安徽省2014年中考数学专题复习课件 第24课时 与圆有关的位置关系
切 线 长 定 理
第24课时┃与圆有关的位置关系
考点5
三角形的 内切圆
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形 叫圆的外切三角形．
三 角 形 内 切圆 的 圆 心叫 做 三 角形 的 内心 ， 它 是 三角 形 三角 定义 三条角平分线 的交点. ______________ 形的 相等 内心 性质 三角形的内心到三边的距离________.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
4．如图 24－6，PA、PB 是⊙O 的切线，切点是 A、B， 3 3 ． 已知∠P＝60°，OA＝3，那么 PA＝________
图 24－6
连接 OP，根据切线的性质，OA⊥PA，由切 1 线长定理，知∠OPA＝ ∠APB＝30°.在 Rt△OAP 中， 2 3 OA 3 tan30°＝ ＝ ＝ ，所以 PA＝3 3. PA PA 3
垂直 于这条半径的直线是圆的 经过半径的外端并且 ________
切线.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
考点4
切 线 长
切线长及切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长． 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________ 相等 ，圆心和这一 平分 两条切线的夹角. 点的连线________ 如图，点 P 是⊙O 外一点，PA、PB 切⊙O 于点 A、 B，AB 交 PO 于点 C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠ AOP＝ ∠BOP＝∠CAP＝∠CBP； (3)AB⊥OP 且 AC＝BC.
已知圆的切线，一般连接圆心和切点构造垂直或直角三角 形，运用直角三角形的性质进行有关证明和计算．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
探究三 圆的切线的判定方法
命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径， 判定这条直线是圆的切线； 2． 利用一条直线经过半径的外端， 且垂直于这 条半径，判定这条直线是圆的切线．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
例 3 [2013· 滨州] 如图 24－2，在△ ABC 中，AB＝ AC，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB、BC 相交于点 D、E，EF⊥AC，垂足为 F. 求证：直线 EF 是⊙O 的切线．
图 24－2
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图 24－7
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3．[2012·广元] 在同一平面上⊙O 外一点 P 到⊙O 上一点的距离最长为 6 cm，最短为 2 cm，则⊙O 的半径为 ________cm. 2
解 析
由⊙O 外一点 P 到⊙O 上一点的距离最长
为 6 cm， 最短为 2 cm， 得直径为 4 cm， ∴半径为 2 cm.
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∴ Rt△MBN 的周长为 MB＋ NB＋MN＝ MB＋BN＋ NE＋ DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选 C.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决 此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三 角形的性质及三角函数等来解决．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
皖 考 探 究
探究一 直线和圆的位置关系的判定
命题角度： 1．定义法判定直线和圆的位置关系； 2．d、r 比较法判定直线和圆的位置关系．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
例 1 [2012· 无锡] 已知⊙O 的半径为 2，直线 l 上有一 点 P 满足 PO＝2，则直线 l 与⊙O 的位置关系是( D ) A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
解 析
图 24－3 连接 AB，由切线长定理，得 PA＝PB，∠APO＝
∠BPO，所以 OP⊥AB，再由圆周角定理，得 AC⊥AB，因此证 得 CA∥OP.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
解
证明： 连接 AB， ∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB， ∠APO ＝ ∠BPO ， ∴OP⊥AB.∵BC 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴AC⊥AB，∴CA∥OP.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
证明圆的切线常用辅助线的添加方法： 1．连接圆心和直线与圆的交点； 2．过圆心作直线的垂线段． 证明直线是圆的切线，分两种情况： 1．直线过圆上一点，通常连接圆心和圆上一点，证明 它与直线垂直； 2．不知道直线与圆的公共点，通常过圆心作直线的垂 线段，证明这条垂线段等于圆的半径．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
⊙I 内切于△ABC， 切点分别为 D、 E、 F，如图. 与内 心有 关的 结论 1 1.∠BIC＝90°＋ ∠BAC； 2 2.若△ABC 的三边长分别为 a、b、c， 1 ⊙I 的半径为 r，则有 S△ABC＝ r(a＋b＋c)； 2 3.△ABC 中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c， a＋b－c 则内切圆半径 r＝ . 2
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第24课时┃与圆有关的位置关系
解 析 解
连接 OE，证 OE∥AC.由 EF⊥AC，得 OE⊥EF，
运用切线的判定可证明直线 EF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OE， ∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴∠OEB＝∠C， ∴OE∥AC. ∵EF⊥AC，∴OE⊥EF， ∴直线 EF 是⊙O 的切线．
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探究四
切线长定理的运用
命题角度： 利用切线长定理进行计算和证明．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
例 4 [教材母题] 已知：如图 24－3，点 P 在⊙O 外，PA、 PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，BC 是直径，连接 CA.求证： CA∥OP.
如果圆的半径是 r， 点到圆心的距离是 d
d＞r ； 点在圆外________
点在圆上________ d＝r ； d＜ r 点在圆内________.
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考点2
直线和圆的位置关系
设⊙O 的半径为 r， 圆心 O 到直线 l 的 距离为 d
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第24课时┃与圆有关的位置关系
判断直线与圆的位置关系的方法：(1)根据定义，由直线与 圆的交点情况直接判断；(2)利用圆心到直线的距离与圆的半径 的大小关系进行比较．在判断其关系时，要结合题目的已知条 件选择正确的方法．
由于把直线 l 上一点到圆心 O 的距离误认为是圆心到直线 l 的距离，而导致错误地选择 A.
例5
[2012· 玉林] 如图 24－4，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与
︵ (不包括端点 两直角边 AB，BC 分别相切于点 D，E，过劣弧DE D，E)上任一点 P 作⊙O 的切线 MN 与 AB，BC 分别交于点 M， N，若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周长ห้องสมุดไป่ตู้( C ) 3 5 A．r B. r C．2r D. r 2 2 解 析 连接 OD ， OE ，得∠ ODB ＝∠ DBE ＝∠ OEB ＝ 90°，OD＝OE，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD＝BE＝ OD＝OE＝r，根据切线长定理得出 MP＝DM，NP＝NE.
解 析
因为⊙O 的面积为 9π cm2，所以半径为 3 cm，
又点 O 到直线 l 的距离为π cm，π cm>3 cm，因此直线 l 与 ⊙O 相离．故选 C.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
2．如图 24－5，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长 线上，DC 切⊙O 于点 C，若∠A＝25°，则∠D 等于( C )
由于不能根据切线长定理实现相等线段之间的转换，导 致无法求解．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
当 堂 检 测
1． 已知⊙O 的面积为 9π cm2， 若点 O 到直线 l 的距 离为π cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是( C ) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
切线长定理是在圆中证明线段相等和角相等的重要依 据之一，常与等腰三角形和直角三角形相结合考查几何的计 算与证明．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
探究五
三角形的内切圆
命题角度： 1．三角形的内切圆的定义； 2．求三角形的内切圆的半径．
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第24课时┃与圆有关的位置关系
圆的切线
垂直 于过切点的半径. 圆的切线_______ 切点 经过圆心且垂直于切线的直线必过 _______. 圆心 经过切点且垂直于切线的直线必过 _______.
和圆有________ 唯一 公共点的直线是圆的切线. 半径 ， 如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ________ 那么这条 直线是圆的切线.
第二十四章圆 复习课课件(共35张PPT)人教版九年级数学上册
学习目标
知识梳理
典型例题
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课堂总结
4.会画三角形的外接圆和内切圆,知道三角形内心和外心的性质,知 道圆内接多边形并会相关计算. 5.知道弧长和扇形面积的计算公式,并能用这些公式进行相关计算.
学习目标
知识梳理
典型例题
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课堂总结
1 圆的有关概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
O．
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
学习目标
知识梳理
典型例题
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课堂总结
2 圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数 条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合, 即圆具有旋转不变性.
解：设直径BC与弦AD交于点E
A
∵∠D=36°，∴∠ABC=36°
∵AD⊥BC，
B
∴在直角三角形ABE中，∠BAD=90°-36°=54°
C E D
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证明：∠1=∠2.
典型例题
当堂检测
课堂总结
例3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直 径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这 个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
解析:设圆心为O，连接AO,作出过点O的 弓形高CD，垂足为D,可AO=5mm,OD=3mm 利用勾股定理进行计算，AD=4mm， 所以AB=8mm.
中考数学课件：第24课时 与圆有关的位置关系
考点4 三角形的内切圆
1. 定义： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切
圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角 形三条⑩_角__平__分__线__的交点. 2. 性质：
三角形的内心到三角形各⑪_边___距离相等.
常考类型剖析
类型 切线的证明及相关计算 例（’15武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝
考点2 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
相离
相切
相交
图形
公共点个数 d与r的关系
0 d④__>_r
1 d⑤_=__r
③_2__ d 切线的定义： 直线与圆只有⑥_一__个__公共 点，这时称直线与圆相切，这条直线叫做圆的切 线，这个公共点叫做切点.
∴AT是⊙O的切线；
（2）【思路分析】过C点作CD⊥AB,即可得 OD CD
OA OA 进而求得AD、CD长，即可求得tan∠TAC的值.
TA AB 解：如解图，作CD⊥AB于点D，
∵∠BAT=90°∴CD∥AT,
∴OD OA OA 1 , ∴CD=2OD. CD TA AB 2
又∵∠BCA=∠ABE＝90°，∠BAD=∠E, ∴△ABC∽△EAB，∴ AC BC ，
EB AB ∴ 8 6 ，
EB 10
∴BE= 40 . 3
45°，AT＝AB.
（1）求证：AT是⊙O的切线； （2）连接OT交⊙O于点C，连接AC， 求tan∠TAC的值.
（1）【思路分析】由AB=AT，知∠ATB=∠B= 45°，即∠BAT=90°，进而得证.
证明：∵AB是⊙O的直径，AB=AT，∠ABT= 45°，
∴∠ATB=∠ABT=45°，∴∠BAT=90°，
第24课时 与圆有关的位置关系+讲练课件+2024年中考数学总复习课件
1 3．(2023·眉山)如图，AB 切⊙O 于点 B，连结 OA 交⊙O 于点 C，BD∥OA 交⊙O 于点 D，连结 CD.若∠OCD＝25°，则∠A 的度数为( C ) A．25° B．35° C．40° D．45°
1 4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点 A 为圆心，r 为半径作圆，当点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时， r 的值可能是( C ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．(2023·邵阳)如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，BC 与⊙O 相切于点 B，连接 OB.若∠ABC＝65°，则∠BOD 的大 小为__5_0_°__．
1 2
BH·OD
＝
1 2
OB·BD
，
∴BH
＝
OB·BD OD
＝ 12 5
.∵AB∥OD ，
OQ⊥AB，BH⊥OC，∴OQ∥BH，∴OQ＝BH＝152 ，在 Rt△OBQ
中，BQ＝ OB2－OQ2 ＝ 42－（12）2 ＝16 ，∵OQ⊥AB，∴AQ
5
5
＝BQ，∴AB＝2BQ＝352 .
1 巩固训练
(2)解：过点 O 作 OQ⊥AB 于点 Q，过点 B 作 BH⊥OC 于点 H，连
接 OB.如图 2，设⊙O 的半径为 r ，则 OB＝r，OD＝OC＋CD＝r
＋1.∵BD 是⊙O 的切线，∴OB⊥DB，∴∠OBD＝90°.在 Rt△OBD
中，r2＋32＝(r ＋1)2，解得 r ＝4，∴OB＝4，OD＝5.∵S△OBD＝
第六章 圆
第24课时 与圆有关的位置关系
考点梳理
点与圆的位置关系
如图，设圆的半径为r，平面内任一点到圆心的距离为d，则 1．点在圆外⇔d＞r，如点A 2．点在圆上⇔d＝r，如点B 3．点在圆内⇔d＜r，如点C
【中考复习方案】(安徽·沪科)教材化中考总复习课件：第24课时 与圆有关的位置关系(共36张)
第24课时┃与圆有关的位置关系
考 点 聚 焦
考点1 点和圆的位置关系 d＞r d＝ r d＜ r
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第24课时┃与圆有关的位置关系
考点2
直线和圆的位置关系 d＜r d＝r d＞r
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第24课时┃与圆有关的位置关系
考点3 圆的切线
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第24课时┃与圆有关的位置关系
(2)过点 O 作 OF⊥AB， 垂足为 F， 所以∠OCD＝∠CDA ＝∠OFD＝90°， 所以四边形 OCDF 为矩形，所以 OC＝FD，OF＝CD. 因为 DC＋DA＝6，设 AD＝x，则 OF＝CD＝6－x. 因为⊙O 的直径为 10， 所以 DF＝OC＝5，所以 AF＝5 －x. 在 Rt△AOF 中，由勾股定理知 AF2＋OF2＝OA2， 即(5－x)2＋(6－x)2＝25，化简得 x2－11x＋18＝0， 解得 x＝2 或 x＝9. 由 AD<DF，知 0<x<5，故 x＝2. 从而 AD＝2，AF＝5－2＝3. 因为 OF⊥AB，由垂径定理知 F 为 AB 的中点，所以 AB＝2AF＝6.
图 24－2
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第24课时┃与圆有关的位置关系
解
析
(1)连接 OC，只要证明 OC⊥CD 即可，根据 切线的判定定理即可得 CD 为⊙O 的切线； (2)在(1) 的求解基础上，观察图形，过点 O 作弦 AB 的垂 线段 OF，即可得到矩形，还可以用垂径定理，同 时又能构造出可求 AB 长的直角三角形， 因此作这 条辅助线是解题的关键．
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中考数学专题复习《与圆有关的位置关系》课件
∴∠DOE=∠OED,∴OD=DE. ∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形, ∴∠DOE=60°,∴∠CGE=30°. ∵☉O的半径为5,∴GE=10. ∵GE是☉O的直径,∴∠GCE=90°, ∴在Rt△GCE中,GC=GE•cos∠CGE=10×cos 30°=
(2)DE=2EF. 证法一:如图1. 由(1)知∠COE=∠DOE=60°,
( B) A.50° B.55° C.60° D.65°
考点5 三角形与圆
名称 三角形的外接圆 图形
三角形的内切圆
相关 经过三角形各顶点的 与三角形各边都相切的
概念 圆;外心是三角形三边 圆;内心是三角形三条角
中垂线的交点
平分线的交点
名称 三角形的外接圆
圆心 三角形的外心 名称
(续表)
三角形的内切圆 三角形的内心
考点1 点与圆的位置关系
设r为圆的半径,d为点P到圆心的距离,则:P在圆 外⇔d>r在圆上⇔d=r在圆内⇔d<r.
[典例1]如图,在△ACB中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,若AB=5,BC=3. (1)以A为圆心,作半径为2的圆,则点 C与☉A的位置关系是 C在圆外 ; (2)以C为圆心,作半径为2.4的圆,则点D 与☉C的位置关系是 D在圆上 .
∴CE=DE. ∵OC=OE,∴△OCE为等边三角形, ∴∠OCE=60°.∵∠OCB=90°,∴∠ECF=30°. 在Rt△CEF中,
即DE=2EF.
证法二:如图1.过点O作OH⊥DF,垂足为H.∴∠OHF=90°. ∵∠OCB=∠DFC=90°, ∴四边形OCFH是矩形,∴CF=OH. ∵△ODE是等边三角形,∴DE=OE. ∵OH⊥DF,∴DH=EH. ∵∠COE=∠DOE, ∴CE=DE,∴CE=OE. ∵CF=OH,∴Rt△CFE≌Rt△OHE, ∴EF=EH,∴EH=DH=EF,∴DE=2EF.
2014年中考数学一轮复习讲义：圆的有关性质圆与圆的位置关系
2014年中考数学一轮复习讲义：圆的有关性质圆与圆的位置关系【考纲要求】1．探索并了解圆与圆的位置关系，2. 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力.【命题趋势】圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中.【知识梳理】一、概念：①两圆外离：两个圆无公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；②两圆外切：两个圆有一个公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；④两圆内切：两个圆有一个公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆无公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．二、圆与圆位置关系的判断:设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.题型分类、深度剖析：考点：圆与圆的位置关系：【例】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是( )A．外切 B．内切C．相交 D．外离解析：如图所示，由勾股定理可得AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5(cm)，∵⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．答案：A方法总结圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可．触类旁通若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．。
《第24章 圆》 与圆有关的位置关系复习课件 (1)解析
D． ．．F
C
O．
E
B
a+b-c 2
B D
C
E·
A
2.直线和圆的位置关系:
．
O l
．
O l
．
O
l
(1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离.
(2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切.
(3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
∠C=110度，则∠FPE=__5_5__度
A
D P
C
.o
F
E
B
6．如图，已知△ABC的三边长分别为AB=4cm，
BC=5cm，AC=6cm，⊙O是△ABC的内切圆，
切点分别是E、F、G，则AE= 2.5cm
，
BF= 1.5cm ，CG= 3.5cm 。
7．如图，⊙M与x 轴相交于点A（2，0）， B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M 的坐标为_M__（__5_，_4_）__.
第24章圆知识体系复习
----与圆有关的位置关系
第三协作区九年级备课组
学习目标
1、复习点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系， 会用数量大小判断各种位置关系。 2、综合运用切线的性质和判定解决问题。
学习重点 综合运用切线的性质和判定解决问题。
独立自学
1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
(1) 6
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上 任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,若
PA=8，则:(1) △PCD的周长=__1_6_______; (2)若∠P=70°∠COD=___5__5 P
2024年中考数学复习课件-第24讲 与圆有关的位置关系
图5
思路点拨 要证明 是 的切线，只要证明由点 向 所作的垂线段 是 的半径就可以了.由切线性质知， 是 的半径，因此需要证明 .
证明: 与 相切于点 ， ．又 平分 ， ， 是 的半径. 是 的切线.
图2
例2 （2023·重庆B卷）如图2， 为 的直径，直线 与 相切于点 ，连接 .若 ，则 的度数为( ) .
A. B. C. D.
思路点拨 已知直线 与 相切于点 ，因此 .利用角的和差关系与“等边对等角”的性质，即可求得结果.
图35
思路点拨 根据点与圆的位置关系求半径的取值范围.由点 在 内，点 在 外，得 .
【解析】 点 在 内，点 在 外， .
图1
（3）以点 为圆心， 为半径作 .
思路点拨 只需求出点 到 的距离 ，比较 与半径 的大小，即可得解.
图34
【解析】如图34，作 于点 .在 中， ， ， .解得 .
种类
外接圆
内切圆
图形
圆心名称
外心：三角形外接圆的圆心，即三角形三边____________的交点
内心：三角形的内切圆的圆心，即三角形三条__________的交点
垂直平分线
角平分线
种类
外接圆
内切圆
性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内心到三角形三边的距离相等
角度关系
___
2
续表
第24讲 与圆有关的位置关系
典题精析
考点一 点与圆、直线与圆的位置关系
名师指导判断点与圆、直线与圆的位置关系，关键是求出点与圆心、直线与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，即可得出结论.
图1
例1 一题多问 如图1，在 中， ， ， ， 为 的中点.
中考数学复习 第6章 圆 第24讲 与圆有关的位置关系课件
∵在Rt△GEH中，EG∶EF＝ ∶2，
பைடு நூலகம்
设EG＝ m，则EF＝2m，
5
∴EH＝m. 5
第八页，共十五页。
∴EG2－EH2＝GH2，即( m5)2－m2＝64，解得m＝4.
∴EH＝4. 连接OE，在Rt△OEH中，由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)，得r2＝42＋(8－r)2，解 得r＝5. (2)当⊙O与AD相切时，此时AE＝1，有3个交点；当⊙O与BC相切时，此时AE＝3， 有4个交点．
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(2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)证明：连接(liánjiē)OD，如图． ∵四边形AOCD是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形AOCD是菱形． ∴△OAD和△OCD都是等边三角形．
∴∠AOD＝∠COD＝60°.
∴∠FOB＝60°. ∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90°. 在△FDO和△FBO中，
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∴△FDO≌△FBO.
∴∠OBF＝∠ODF＝90°.
∴OB⊥BF.∴BF是⊙O的切线(qiēxiàn)．
(2)在Rt△OBF中，
∵∠FOB＝60°，tan∠FOB＝
，BF
∴BF＝1×tan60°＝ .
OB
∵在Rt△EDO中，∠E＝903°－∠EOD＝30°，∴EF＝2BF＝ .
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2．[2015·河北，6,3分]如图，AC，BE是⊙O的直径(zhíjìng)， 弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( ) A．△ABE B．△ACF
C．△ABD D．△ADE
B 三角形的外心是其外接圆的圆心(yuánxīn)，则其三个顶点都在 该圆上，四个选项中只有△ACF的顶点F不在⊙O上，则△ACF的外接 圆不是⊙O，所以其外心不是点O.
2013-2014中考数学专题复习学生版第二十四讲 与圆有关的位置关系
第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【名师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】13对应训练5（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）点评：本题考查了平行线性质，切线的判定，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．对应训练考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．例4 （2013•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．对应训练3．（2013•黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A．内含B．内切C．相交D．外切【聚焦山东中考】1．（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6 2．（2013•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm3．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（2013•泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5．（2013•济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．6．（2013•日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．7．（2013•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．8．（2013•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．9．（2013•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2013•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．（2）BD=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．5【备考真题过关】一、选择题1．（2013•铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（2013•泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．12 4．（2013•南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）重庆A．外切B．相交C．内切D．内含5．（2013•重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm 6．（2013•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径7．（2013•河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC毕节8．（2013•毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．天水14．（2013•天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC与直线AB相切．张家界16．（2013•张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个黄石18．（2013•黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD 中，⊙O 1与⊙O 2外切，且⊙O 2分别于DA 、DC 边外切，⊙O 1分别与BA 、BC 边外切，则圆心距，O 1O 2为 ．三、解答题19．（2013•巴中）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．20．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （-3，-1），C （-3，1），D （-2，-2），E （0，-3）．（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；（2）若直线l 经过点D （-2，-2），E （0，-3），判断直线l 与⊙P 的位置关系．1212263-57r r r r +=⎧⎨=⎩21．（2013•永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC 的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．22．（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．23．（2013•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．5 326．（2013•莆田）如图，▱ABCD 中，AB=2，以点A 为圆心，AB 为半径的圆交边BC 于点E ，连接DE 、AC 、AE ．（1）求证：△AED ≌△DCA ；（2）若DE 平分∠ADC且与⊙A 相切于点E ，求图中阴影部分（扇形）的面积．27．（2013•新疆）如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）求弦AC 的长；（3）求图中阴影部分的面积．。