2015年数学花园探秘(迎春杯)七年级试卷解析

5.
若
1 a 2
2 b 3
3 c 4
5
，则代数式
5＋bc―ca―ab
的值是________．
〖答案〗5 〖作者〗北京资优教育科技中心 陈平
〖解析〗易知 a,b,c
非 0 ，则
1 2
1 2
a
1 a
1 2
a
1
a
1
5a
，同理可得
2 3
1
5b
，3
4
1
5c
，熟知 1 2
2 3
3 4
可从剩下五个数中选择，避开
e f
=1 2
，有
A52
-
1
=
19
种选择；而
a b
,
Байду номын сангаас
c d
中有 2 4
即
( ) ( ) 就是 2 , 3 时 a,b,c, d 有唯一种选择，相应的 e, f 可从剩下五个数中任意选择，不会造成 46 e =1； f2
( ) ( ) ② a = 1 ，有 1 = 2 = 3 ， 2 必选且 1 , 3 二选一，
与 cx dy 的值，但小刚无法确定 ex fy 的值，则符合条件的有序自然数组 a,b, c, d,e, f 共
________组．
〖答案〗788 〖作者〗优才教育 陈龙
〖解析〗小刚根据 ax +by 与 cx +dy 的值无法确定 ex + fy 的值，必是无法解出 x, y 的值，所以
a,b, c, d 必满足 a = c ；但无法确定 ex + fy 的值，还要求 a = c ? e ．
1 6
5760
米；观光船与游艇第一次迎面
相遇在观光船行驶 1 1 全程处，游艇第二次追上观光船在观光船行驶 3 3 全程处，可
71 8
71 8
求两次相遇的地点相距为
5760
3 8
1 8
1440
米．
三．填空题Ⅲ（每小题 12 分，共 48 分）
9. 满足方程 2x 6 2x 2 3y 1 3y 8 13 的所有点 x，y 在平面直角坐标系上组成的图形
bd
bd f
由对称性，不妨设比值 a = c <1 且 a < c ，分情况讨论如下： bd
( ) ① a = 1 ，有 1 = 2 = 3 = 4 ，a , c 中不选 2 即 1 , 3 , 4 三选二时
b 2 2 4 6 8 bd
4 268
a,b,c, d
有 C32 = 3 种选择，
( ) 相应的 e, f
比 2013 年同期增加了 20 天，要达到全年优良空气天数增加 20%的目标，2014 年下半年需要使
优良天气比 2013 年同期至少增加________天．
A
B
〖答案〗15 〖作者〗学而思培优 钱诚 〖解 析〗 2014 年全年 比 2013 年优良空气 天数至少增加
175? 20% 35（天），其中 2014 年上半年已经增加了 20 天， 还需 35 - 20 =15（天）．
2
2
1 180 AOB ＝ 90 1 AOB ，
2
2
A
B
O E
D
C
又 DAO+ADO ＝ AOB ，在 ADE 中
E EAD EDA ＝180 ，即 E EAO+EDO DAO+ADO 180 ，所以
50
90
1 2
AOB
AOB
180
，可得
AOB
80
．
二．填空题Ⅱ（每小题 10 分，共 40 分）
O E
4. 如图， AB∥CD ， AC, BD 交于 O ， A,D 的角平分线交于 D
C
E ．已知 E 50 ，那么 AOB ＝________°．
〖答案〗80
〖作者〗顺天府学 战亚鹏
〖解析〗连接 AD ，因为 AB∥CD ，所以内错角 ABO CDO ，
可得 EAO+EDO ＝ 1 BAO+CDO ＝ 1 BAO+ABO ＝
8 3
y
1 3
，所有满足
条件的点 x，y 在平面直角坐标系上组成的图形是 x 方向长 2 、 y 方向长 3 的矩形，面积为 6 ．
10. 四边形 ABCD 中，AB＋AC＋CD＝12，则四边形 ABCD 的面积最大为________．
A
B D
C
〖答案〗18 〖作者〗顺天府学 马昕光
〖解析〗
S ABCD
〖答案〗1440 〖作者〗学而思培优 兰清 〖解析〗由“当观光船到达 B 海港时，游艇刚好第 4 次到达 B 海港”可知游艇速度是观光船的
7 倍；那么游艇第一次追上观光船在观光船行驶 1 1 全程处，游艇第二次追上观光船在观 7 1 6
光船行驶
7
3
1
1 2
全程处，可求全程距离为1920
1 2
〖解析〗计算即可得：原式＝
64
7 4 10
27 4 1
1
＝
320 1 29
＝11105
＝1155
．
21 5
105
2.
已知
x,
y
满足
x
1 y
20
，
1 x
y
15
，则
24(
x y
y) x
＝________．
〖答案〗50 〖作者〗高思教育 方非
〖解析〗由 xy 1 20 、1 xy 15 ，相除立即得 x 20 4 ，所以 y 3 ，代入问题即得答案．
b3 369 6
39
a,b,c, d
有 C12 = 2 种选择，相应的
e, f
可从剩下五个数中任意选择，不会造成 e = 1 ； f3
( ) ( ) ③ a = 1 ，有 1 = 2 ， a,b,c, d b4 48
有 C22 =1种选择，相应的 e, f
可从剩下五个数中任意选择，
不会造成 e = 1 ； f4
2015 年“数学花园探秘”科普活动 初一年级组初试试卷 A 解析版
（测评时间：2014 年 12 月 20 日 10:30—11:30）
一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 32 分）
1.
算式
43
7 4
2
4 7
1.52
1 3
1 2014
的计算结果是________．
2 3
7 5
1 5
〖答案〗1155 〖作者〗优才教育 陈龙
有 C22 =1种选择，相应的 e, f
可从剩下五个数中任意选择，
不会造成 e = 3 ； f4
( ) 合计 3? 19 1+2 +1+2 +1 ? 20 197 种，注意对称性197创2 2 = 788 种．
12. 请参考《2015 年“数学花园探秘”科普活动初赛试题评选方法》作答．
舍弃 n 2014 ．综上所述，所以合乎要求的解共三个．
8. 一艘观光船从 A 海港出发，与此同时，一艘游艇也从 A 海港出发，在 A、B 两海港之间往返．游 艇第一次追上观光船与第二次追上观光船相距 1920 米．当观光船到达 B 海港时，游艇刚好第 4 次到达 B 海港．那么，观光船与游艇第一次迎面相遇和第二次迎面相遇的地点相距________ 米．（水流速度忽略不计）
24 56
．
14
a 12
b 1
c
1
3
c 31
7. 设 n 是大于 2004 的正整数，使得关于 x 的方程 2014x 2004 x 1 n 的解为完全平方数的 n 的
个数是________．
〖答案〗3 〖作者〗学而思培优 厉程远
〖解析〗整理，得 2014 n x n 2004 ，易见 n 2014 0 ，可得 x n 2004 ＝ 1 10
2014 n
2014 n
为非负整数，必有 10 为非负整数，所以 2014 n 10 且 2014 n 0 ，分别试验 2014 n ＝ 2014 n
1, 2,5,10 ，对应的 x 值分别为 9, 4,1,0 都为完全平方数，对应的 n 值分别为 2013, 2012, 2009, 2004 ，
( ) ( ) ④ a = 2 ，有 2 = 4 = 6 ， 2 必选且 4 , 6 二选一， a,b,c, d
b3 369 3
69
有 C12 = 2 种选择，相应的
e, f
可从剩下五个数中任意选择，不会造成 e = 2 ； f3
( ) ( ) ⑤ a = 3 ，有 3 = 6 ， a,b,c, d b4 48
y
x
y 15 3
x4
3. 在 2014 年北京 APEC 会议期间，京津冀实施道路限行和污染企业停工等措施，来保证空气质量
达到良好水平．在经历了一个月三场霾后，北京 11 月 3 日空气达到一级优水平，人们称为“APEC
蓝”．2013 年北京优良空气天数为 175 天，2014 年上半年实行减排 30%的措施，优良空气天数
的面积是________．
〖答案〗6 〖作者〗巨人教育 王鹏
〖解析〗由绝对值满足三角不等式，可得
2x 6 3y 1
2x 3y
2 8
2x 3y
6 2x 2 1 3y 8
4 9
，结合已知
可知两不等式均取等号，可得
x，y
的取值范围
2x
3
y
6 1
0 0
2x 3y
2 8
，即
1 x 3
SABC
SADC
1 2
AC hB
1 2
AC hD
1 2
AC hB
hD
1 2
AC AB CD
，而
AC AB CD 12 为固定值，所以 AC AB CD 12 12 36 ，等号都可以取到．
22
11. 已知 a,b,c, d,e, f 是 1 到 9 中不同的六个自然数．小明想出两个有理数 x, y 后便告诉小刚 ax by
〖答案〗111 〖作者〗人大附中 张端阳
〖解析〗记 x4 ax2 bx c ＝ g x x 1 x 2 x 3 ＝ h x x 3 x 1 x 2 ，分别令
x
3,
2,
1
可得
34 2 4
a 32 a 22
b 3 b 2
c c
3 1
2 3
3
2
，解得
a b
，
1
即 5a
1
5b
1
5c
1
5b
1 c
，所以
1
1
1
，去分母即得 bc
ca ab ．
abc
6. 设多项式 x4 ax2 bx c 除以一个多项式后商式为 x 1x 2，余式为 x 3 ；除以另一个多 项式后商式为 x 3，余式为 x 1x 2．则 a b c 的值是________．