解析几何(大题)
21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线
,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121
4
k k =-
，AP OM ∥，BP ON ∥．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）2
2:14
x C y +=；（2）定值1．
【解析】（1）22
1,1144
2,AP BP
b k k b a a ?=?=-??=??=?
，椭圆22:14x C y +=．
（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，
()222
22
,
4184401,4
y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841
kt x x k +=-+，2122
44
41t x x k -=+， ()()1212121212121211
404044
y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=-
??=-?+=?+++=， ()()2
2121241440k
x x kt x x t ++++=，
()22
22222448414402414141t kt k kt t t k k k ??
-+-+=?-= ?++??
，
()()
()(
)2
2
2
2
1
2
1
2
1
2114MN k x x k x x x x ??=
+-=
++-??
()2
222
222
84411422414141kt t k k k k k ??-+??=+-=?? ?+++??????
， 21
t
d k =+，222212214112t t k S k k t +==?=++． ∴OMN △的面积为定值1．
20．（本小题满分12分）[2017平安一中]已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率是
2
2
，上顶点B 是抛物线24x y =的焦点． （1）求椭圆M 的标准方程；
（2）若P 、Q 是椭圆M 上的两个动点，且OP ⊥OQ （O 是坐标原点），由点O 作OR ⊥PQ 于R ，试求点R 的轨迹方程．
【答案】（1）2212x y +=；（2）222
3
x y +=．
【解析】（1）由题设知222
22
c a b a =?=······① 又1b =······②
所以椭圆M 的标准方程为2
212
x y +=．
（2）（i ）若直线PQ ∥x 轴，设直线:PQ y m =，并联立椭圆方程解出2(22)P m m -，，
2(22)Q m m --，，由OP ⊥OQ 得26
0320||||3
OP OQ m OR m ?=?-=?==
=定值； （ii ）若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+()t R n R ∈∈，，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，
由韦达定理得1222
12
22 (2)
2········ 2tn y y t n y y t ?
+=-??+?-?=?+?
③④，由OP ⊥OQ 得0OP OQ ?=，即12120x x y y +=， 即1212()()0ty n ty n y y +++=······⑤
把③、④代入⑤并化简得22
312n t =-，所以22
3
n ≥，
又原点O 到直线PQ 的距离2
2
||||6
||3
132
n n OR t n =
=
=
=+定值， 所以动点R 的轨迹是以点O 为圆心，
63为半径的圆，其方程为2223
x y +=．
20．（本小题满分12分）[2017郑州一中]已知圆M ：222()0x y r r +=>与直线1l ：
340x y -+=相切，设点A 为圆上一动点，AB x ⊥轴于B ，且动点N 满足
2AB NB =，设动点N 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求OPQ △面积的最大值．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）1．
【解析】（1）设动点()N x y ，，00()A x y ，，因为AB x ⊥轴于B ，所以0(0)B x ，
， 设圆M 的方程为2
2
2
:x y M r +=， 由题意得|4|
213
r =
=+， 所以圆M 的方程为2
2
:4x M y +=．
由题意，2AB NB =，所以00(0)2()y x x y -=--，
，， 所以，即00
2x x
y y =??
=?，
将(2)A x y ，
代入圆2
2
:4x M y +=，得动点N 的轨迹方程2
214
x y +=． （2）由题意设直线l ：30x y m -+=，设直线l 与椭圆2
214
x y +=交于11()P x y ，，22()Q x y ，，联立方程22
344
y x m x y ?=--??+=??，得22
1383440x mx m ++-=， 222192413(44)16(13)0m m m ?=-?-=-+>，解得2 13m <，
22
128316(13)432132613
m m m m x -±-+-±-=
=， 又因为点O 到直线l 的距离||2
m d =，212413
2||213m PQ x x -+=-=，
2222(13)1||41321221313
OPQ
m m m m S --=??=△≤． ∴OPQ △面积的最大值为1． 20．（本小题满分
12分）[2017临川一中]已知右焦点为
F 的椭圆
222:1(3)3x y M a a +=>与直线3
7
y =相交于P 、Q 两点，且PF QF ⊥．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC △的重心，试探究ABC △的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）22
143x y +=；（2）92
． 【解析】（1）设()0F c ，，37P t ?? ???，
，则37Q t ?
?- ??
?，， ∴22317t a +=，即2
247
t a =①， ∵PF QF ⊥，∴
33
771t c t c =----，即2297
c t -=-②，
∴由①②得2
24977
c a -
=-， 又2
2
3a c -=，2
4a =，
∴椭圆M 的方程为22
143
x y +=．
（2）设直线AB 方程为：y kx m =+，
由22143
x y y kx m +==+?????得()
2223484120k x kmx m +++-=，∴122122834634km x x k m y y k -+=++?
?=?+????
， ∵O 为重心，∴()
22863434km
m OC OA OB k k -??=-+=
?++??，， ∵C 点在椭圆E 上，故有
2
2
2286343414
3
km m k k -???? ? ?
++????+=，
可得22
443m k =+， 而2
2
222
22
222
841241141293343434km m k AB k
k m k k k ??--+??=+-=+- ? ?+++????
， 点C 到直线AB 的距离2
31m d k
=+（d 是原点到AB 距离的3倍得到），
∴2222
226619129312323442
ABC m m S AB d k m m m k m =
=+-=-=+△， 当直线AB 斜率不存在时，3AB =，3d =，9
2
ABC S =
△， ∴ABC △的面积为定值
92
． 20．（本小题满分12分）[2017长沙一中]如图，椭圆22
12210x y C a b a b
+=：（＞＞）的离心率
为3
2
，
x 轴被曲线22C y x b =-：截得的线段长等于1C 的长半轴长．
（1）求1C 的方程；
（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线
MA ，MB 分别与1C 相交于D ，E ．
（i ）证明：MD ME ⊥；
（ii ）记MAB △，MDE △的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ，使得121723
S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
214x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）32y x =和32
y x =-． 【解析】（1）由题得223
12
c b e a a ==-=，从而2a b =，又2b a =，解得2a =，
1b =，故1C 的方程分别为2
214
x y +=．
（2）（i ）由题得，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =，
由2
y kx y x b
=??
=-?得2
10x kx --=． 设11A x y （，），22B x y （，），则1x ，2x 是上述方程的两个实根，
于是12x x k +=，121x x =-，又点M 的坐标为01-（，）， 所以212121212121212
12(1)(1)()1
1MA MB
y y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++?=?===-．
故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．
（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-． 由12
11y k x y x =-??
=-?，解得01x y =??=-?
或1
211x k y k =??=-?． 则点A 的坐标为2
111k k -（，）．
又直线MB 的斜率为11k -
，同理可得点B 的坐标为211
11
k k -（，-1）．
于是22
1111211111111||||1||1||222||
k S MA MB k k k k k +==+??+?-=
． 由122
1
440
y k x x y =-?
?
++=?得
22
111480k x k x +-=（）． 解得01x y =??=-?或，1212
1
218144114k x k k y k ?=?+?
?-?=?+?
，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++． 又直线ME 的斜率为11k -．同理可得点E 的坐标为2
1122
1184(,)44k k k k --++． 于是21122211321||1
||||2(14)(4)
k k S MD ME k k +==++（）．
故
2112211417(417)6432S k S k =++=，解得214k =或2114
k =． 又由点A ，B 的坐标得，21211111
1
11k k k k k k k -
=
=-+．所以32k =±． 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程为32y x =
和32
y x =-． 20．（本小题满分12分）[2017南阳一中]已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点
(1,1)P --，c 为椭圆的半焦距，且2c b =，过点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l 与椭圆
C 分别交于另两点M ，N ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线1l 的斜率为1-，求PMN △的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．
【答案】（1）22
3144x y +=；（2）2；（3）0x y +=或12
x =-． 【解析】（1）因为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>，过点(1,1)P --，
c 为椭圆的半焦距，且2c b =，
所以
2
211
1a b
+=，且222c b =， 所以22
3a b =，解得2
43
b =
，2
4a =， 所以椭圆方程为22
3144
x y +=． （2）设1l 方程为1(1)y k x +=+，
由22
1,34,
y kx k x y =+-??+=?整理得222
(13)6(1)3(1)40k x k k x k ++-+--=， 因为(1,1)P --，解得2222
361321
(
,)1313k k k k M k k -+++-++， 当0k ≠时，用1k
-代替k ，得2222
6323
(,)33k k k k N k k ----+++， 将1k =-代入，得(2,0)M -，(1,1)N ． 因为(1,1)P --，所以2PM =，22PN =，
所以PMN △的面积为
1
22222
??=． （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221122
2234,
34,
x y x y ?+=??+=??
两式相减得12121212()()3()()0x x x x y y y y +-++-=， 因为线段MN 的中点在x 轴上，
所以120y y +=，从而可得1212()()0x x x x +-=， 若120x x +=，则11(,)N x y --，
∵PM PN ⊥，所以0PM PN ?=，得22112x y +=． 又因为221134x y +=，所以解得11x =± ， 所以(1,1)M -，(1,1)N -或(1,1)M -，(1,1)N - ， 所以直线MN 方程为y x =-． 若120x x -=，则11(,)N x y -，
因为PM PN ⊥，所以0PM PN ?=，得2211(1)1y x =++， 又因为221134x y +=，所以解得11
2
x =-
或1-， 经检验：11
2
x =-
满足条件，11x =-不满足条件． 综上，直线MN 的方程为0x y +=或12
x =-
． 20．（本小题满分12分）[2017广东联考]椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右焦点
分别为12F F ，．
（1）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；
（2）若椭圆E 过点()02A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点B C ，，且
ABC △的面积为
509
c
，求椭圆E 的方程． 【答案】（1）35
；（2）22
154x y +=． 【解析】（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，
∴2b a c =+，222
42b a ac c =++，(
)22
2
242a c a
ac c -=++，
∴2
2
3520a c ac --=，
两边同除以2
a -得，2
5230e e +-=， 解得35
c e a =
=． （2）由已知得2b =，
把直线22:2AF y x c
=-代入椭圆方程22
214x y a +
=，得()
222220a c x a cx +-=， ∴()22222422c c a c
x a c c +==++．
∴()2242c c C y c ??
+
? ?+??
，． 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：
()()2
222
41222222c c S x y x c c c ??
+??=?+==+??
??
， ∴()2
2
24250
29c c c c c ??+??=-+????
，解得21c =，∴25a =．
故所求椭圆的方程为22
154
x y +=． 21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线
,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121
4
k k =-
，AP OM ∥，BP ON ∥．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）2
2:14
x C y +=；（2）定值1．
【解析】（1）22
1,1144
2,AP BP
b k k b a a ?=?=-??=??=?
，椭圆22:14x C y +=．
（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，
()222
22
,
4184401,4
y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841
kt x x k +=-+，212244
41t x x k -=+，
()()1212121212121211
404044
y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=-
??=-?+=?+++=， ()()2
2121241440k
x x kt x x t ++++=，
()22
22222448414402414141t kt k kt t t k k k ??
-+-+=?-= ?++??
，
()()
()(
)2
2
2
2
1
2
1
2
12114MN k x x k x x x x ??=
+-=
++-??
()2
222
222
84411422414141kt t k k k k k ??-+??=+-=?? ?+++??????
， 21
t
d k =+，22221
2214112t t k S k k t +==?=++． ∴OMN △的面积为定值1．
20．（本小题满分12分
）[2017怀仁一中]过点()01B ，的直线1l 交直线2x =于
()02P y ，，过点()01B '-，的直线2l 交x 轴于()00P x '，点，
012
x y +=，12l l M =．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设直线l 与C 相交于不同的两点S T ，，已知点S 的坐标为()20-，，点()0Q m ，在线段ST 的垂直平分线上且4QS QT ?≤，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）()2
2114x y y +=≠-；（2）3322
m -<≤且0m ≠．
【解析】（1）由题意：直线1l 的方程是0112y y x -=-+，∵0012
x
y +=，∴1l 的方程是
014
x
y x =-+，若直线2l 与y 轴重合，则()01M ，
，若直线2l 不与y 轴重合，可求得2l 的方程是011y x x =-，与直线1l 的方程联立消去0x 得2
214x y +=，因1l 不经过()01-，
点，故动点M 的轨迹C 的方程是()2
2114
x y y +=≠-．
（2）设()11T x y ，，直线l 的方程为()122y k x k ?
?=+≠ ??
?，于是S T ，两点的坐标满足方程组
()
22
214
y k x x y =+???+=??由方程消去y 并整理得()
2222
14161640k x k x k +++-=， 由212164214k x k --=+得2
1
22814k x k -=+，从而12
414k y k =+，设ST 的中点为N ，则222821414k k N k k ??
- ?++??
，， 以下分两种情况：①当0k =时，点T 的坐标为()20，
，线段ST 的垂直平分线为y 轴，于是()2QS m =--，，()2QT m =-，
，由4QS QT ?≤得：2222m -≤≤． ②当0k ≠时，线段ST 的垂直平分线方程是2222181414k k y x k k k ??
-=-+ ?++??
，
令0x =，得2614k m k =-
+，∵12
k ≠
，∴3
2m ≠． 由()1122QS QT x m y m ?=---=-，
()()
42
222222
24161512864641414141414k k k k k k
k k k k k +--??++=
?++++??+≤， 解得：141477
k -
≤≤
且0k ≠，∴266
1144k m k k k
=-=++． 当14
07k -
≤≤时，144k k
+-≤； 当14
07k <≤
时，144k k +≥，∴3322m -≤≤且0m ≠； 综上所述：33
22
m -≤≤且0m ≠．
20．（本小题满分12分）[2017雅礼中学]如图，椭圆22
12210x y C a b a b
+=：（＞＞）的离心率
为
32
，x 轴被曲线2
2C y x b =-：截得的线段长等于1C 的长半轴长．
（1）求1C 的方程；
（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线
MA ，MB 分别与1C 相交于D ，E ．
（i ）证明：MD ME ⊥；
（ii ）记MAB △，MDE △的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ，使得121723
S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
214x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）32y x =和32
y x =-．
【解析】（1）由题得223
12
c b e a a ==-=，从而2a b =，又2b a =，
解得2a =，1b =，故1C 的方程分别为2
214
x y +=． （2）（i ）由题得，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =，
由2
y kx y x b
=??
=-?得2
10x kx --=． 设11A x y （，），22B x y （，），则1x ，2x 是上述方程的两个实根，
于是12x x k +=，121x x =-，又点M 的坐标为01-（，）， 所以212121212121212
12(1)(1)()1
?1MA MB
y y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++=?===-．
故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．
（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-． 由12
11y k x y x =-??
=-?，解得01x y =??=-?或1211
x k y k =??=-?． 则点A 的坐标为2
111k k -（，）．
又直线MB 的斜率为11k -
，同理可得点B 的坐标为211
11
k k -（，-1）．
于是22
111121`111111||||1||1||222||
k S MA MB k k k k k +==+??+?-=
． 由122
1440
y k x x y =-??++=?得22
111480k x k x +-=（）． 解得01x y =??=-?或，1212
12181441
14k x k k y k ?=?+?
?-?=?+?
，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++． 又直线ME 的斜率为11k -．同理可得点E 的坐标为2
1122
11
84(,)44k k k k --++．
于是211222
11321||1
||||2(14)(4)
k k S MD ME k k +==++（）． 故
2112211417(417)6432S k S k =++=，解得214k =或2114
k =． 又由点A ，B 的坐标得，21211111
1
11k k k k k k k -
=
=-+．所以32k =±． 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程为32y x =
和32
y x =-． 20．（本小题满分12分）[2017九江一中]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线
,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121
4
k k =-
，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程；
（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）2
2:14
x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）221,1
144
2,AP BP
b k k b a a ?=?=-??=??=?
，
椭圆2
2:14
x C y +=． （2）设直线MN 的方程为
y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，
()222
22
,4184401,4
y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841
kt x x k +=-+，2122
44
41t x x k -=+， ()()1212121212121211
404044
y y k k y y x x kx t kx t x x x x =-?=-?+=?+++=，
()()2
2121241440k
x x kt x x t ++++=，
()22
22222448414402414141t kt k kt t t k k k ??
-+-+=?-= ?++??
，
()()
()(
)2
2
2
2
1
2
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12114MN k x x k x x x x ??=
+-=
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，
()2222
222
8441
1422414141kt t k k k k k ??-+??=+-=?? ?+++??????
， 21
t
d k =+，22221
2214112t t k S k k t +==?=++．
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
解析几何(大题)
21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-??
平面解析几何 经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
2019高考数学真题(理)分类汇编-平面解析几何含答案解析
专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得
解析几何大题题型总结(1)
圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。
例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k
例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。
解析几何大题带答案
三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则
又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
浙江高考解析几何大题
浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->
2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．
解析几何初步试题及答案
《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距
为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的
高考解析几何压轴题精选(含答案)
1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分）
4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x
高中数学解析几何大题专项练习.doc
解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.
3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的
高考解析几何压轴题精选(含答案)
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1
(完整版)解析几何大题的解题技巧
目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (1) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (2) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在 抛物线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求 的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次 项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂 直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
解析几何大题带规范标准答案
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
解析几何综合运用练习题含答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知直线 1:210 l ax y ++=与直线2:(3)0 l a x y a --+=，若12//l l，则a 的值为（） A．1 B．2 C．6 D．1或2 2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与 直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x－1)2＋y2＝1 C．(x＋1)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝4 3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆 过点(0,2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 4．双曲线x21( ) A． B. m≥1 C．m>1 D. m>2
二、填空题（题型注释） 5．经过圆x 2＋2x ＋y 2 ＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． 6．已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点F 恰好是双曲线22x a －2 2y b ＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线方程为________． 三、解答题（题型注释） 7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程． 8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB 的周长为8，且点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)． (1)试求顶点P 的轨迹C 1的方程； (2)若动点C(x 1，y 1)在轨迹C 1上，试求动点Q 11,322x y ?? ??? 的轨迹C 2的方程．
数学 解析几何 经典例题 附带答案
数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355
解析几何大题带答案
三、解答题 26.（18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点，过坐 标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ， 连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐 标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线 . 32 21 1| 32 3432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y =代入 22221,421212x y x k k μ+==++解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--
故直线AB 的斜率为,20k k =++μ μμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2(32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28. （理19） 已知椭圆2 2:14x G y +=.过点（m,0）作圆 22 1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将 AB 表示为m 的函数，并求 AB 的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a
04-14浙江历年高考题解析几何大题
浙江高考历年真题之解析几何大题 2004年（22）（本题满分14分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）.点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m ,0）到直线AP 的距离为1. （Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,3 3[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+= m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程. （2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．
（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T 且椭圆的离心率e= 23. (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2 AT AF AF ＝ 。 （2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线8 5-=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥ 轴（如图）。 （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得 QA QB 2为常数。 （2009年）已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）上一点A （m ，4）到焦点的距离为 174 . （I ）求p 于m 的值； （Ⅱ）设抛物线C 上一点p 的横坐标为t （t >0）,过p 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M 点，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N.若MN 是C 的切线，求t 的最小值;
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围000180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式 是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或，则有A、B、C三点共 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。