正余弦定理1
余弦定理与正弦定理第1课时 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答： （1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，
正弦余弦定理应用举例1
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
答：此船可以继续沿正北方向要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
6020
（1）什么是最大仰角？
AC
a sin( )
sin180 (
)
a sin( ) sin(
)
BC
a sin
sin180 (
)
a
sin(
sin
)
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
6020 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 2 1.951.40 cos 6620 3.571
距离
高度
角度
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
正弦定理和余弦定理课件PPT
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
正弦定理和余弦定理1
A
c
理论迁移
变式1 在△ABC中,已知a=20cm, b=28cm,A=300,解三角形. C b a
a c
B
A
c
B1
理论迁移
变式2 在△ABC中,已知a=10cm, b=28cm,A=300,解三角形. C b a B
A
理论迁移
变式3 在△ABC中,已知a=38cm, b=28cm,A=300,解三角形.
C b A C a b D D a B
A
B
探究一：正弦定理的形成
思考4：在任意三角形中有
a b c = = sin A sin B sin C
该连等式称为正弦定理.如何 用文字语言描述正弦定理？
在任意一个三角形中,各边和 它所对角的正弦之比相等.
探究二：正弦定理的其它证明方法
思考1：在直角三角形ABC中，
a b c = = = ? sin A sin B sin C
C
b a c B
A
探究二：正弦定理的其它证明方法
2 A
B
a C
c O
c A b D
B a O
b C D
理论迁移
例1 在△ABC中,已知A=32.00, B=81.80,a=42.9cm,解三角形. C
b A
c
a
B
理论迁移
例2 在△ABC中,已知a=14cm, b=28cm,A=300,解三角形. C b a B
探究一：正弦定理的形成
思考1：在Rt△ABC中,∠C＝900,BC＝ a,AC＝b,AB＝c,那么sinA,sinB,sinC 与a,b,c之间的关系是什么？
CbA c源自a B探究一：正弦定理的形成
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1[1].1 正弦定理
![1.1 正弦定理和余弦定理 1.1[1].1 正弦定理](https://img.taocdn.com/s3/m/b9f72c34376baf1ffc4fad4d.png)
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生活中的数学
学习目标
温故知新
要点探究
典例探究
演练广场
探究要点三：正弦定理的应用 1．已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． 2．已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中， 已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角
a b 解析：由 ＝ ⇒sin A∶sin B＝a∶b＝5∶3. sin A sin B
答案：5∶3
4．在△ABC 中，已知 a＝5，b＝2，B＝120° ，解三角形．
a b asin B 5sin 120° 5 3 解：由 ＝ 得 sin A＝ ＝ ＝ >1， sin A sin B b 2 4 ∴角 A 不存在．故此题无解．
图1
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因为 AB ＋ BC ＋ CA ＝0，
AB ＋j· 所以 j· 0＝0. BC ＋j· CA ＝j· π π π 即|j|| AB |cos ＋|j|| BC |cos( －B)＋|j|| CA |cos( ＋A)＝0. 2 2 2 a b 所以 asin B＝bsin A，即 ＝ . sin A sin B b c a b c 同理可得： ＝ ，即 ＝ ＝ . sin B sin C sin A sin B sin C 当△ABC 为钝角三角形(如图 1(2))或为直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论， 请同学们自己证明．
图形
关系式 解的个数
①a＝bsin A ②a≥b 一解
bsin A＜a＜b 两解
高中物理公式大全(不含选修)
2．平抛运动 ①基本公式
x v0t
v y gt
4．天体 ①基本公式 GMm F万 r2 ②各运动学量
v2 GM m v = r r m 2 r GM r3 GMm 4 2 4 2 r 3 m r T 2 r2 GM T GM 2 2 4m f r f 4 2 r 3 GM man an 2 r
2
⑤第一宇宙速度：v1 = ⑥万有引力与重力
在赤道处
GM (忽略地球自转：v1 gR ) R
GMm GMm mg ： mg m 2 R R2 R2 GMm 在两极处： 2 mg R
6．卫星的追及相遇
经时间t 距离回到初始时刻的最值:2k (k 1，２，３ ) 1，２，３ ) 方向相同:1t－2t 经时间t 距离回到初始时刻最值的对立: 2k (k 0， 从距离是最值经时间t 距离再次取最值:k (k 1，２，３ ) 经时间t 距离回到初始时刻的最值:2k (k 1，２，３ ) 方向相反:1t 2t 1，２，３ ) 经时间t 距离回到初始时刻最值的对立: 2k (k 0， 从距离是最值经时间t 距离再次取最值:k (k 1，２，３ )
ma y ma y
F1 F2 F0 1 2 0
(a<g)
F合 2 F0 cos0 2．摩擦力
f滑 N ＜ fm N (有时认为二者相等)
0 f静 f m
1
三、曲线运动 1．渡河 渡河时间： t
d d v船 sin 船 v合 sin 合 d ( 船 0 ) v船
3．电场强度与电势差间的关系
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A
b
ha
aC
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理科数学·第五章
四、三角形中常见的一些基本关系式
(1)A B C ________
(2) sin(B C) __s_in_A___,cos(B C) _c_o_s_A___
(3)
sin(
B
2
C
)
_c_o_s_A2___,c os (B
2
C
)
_s_in_A2____
(4)边角不等关系：
A B a b sin A sin B
5.7 正弦定理和余弦定理
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④斜三角形的解法理：科数学·第五章
已知条件
一边和两角 (ASA)
两边和夹角 (SAS)
三边(SSS)
定理选用
一般解法
正弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理 求出两边。
用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一
c2 a2 b2 2ab cos C
三、三角形的面积公式：cos
C
a2
2ac b2 2ab
c2
SABC
1 2
chc
SABC
1 2
absin C
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
c
S 1 r(a b c)(r为三角形的内切圆半径)
2
B
5.7 正弦定理和余弦定理
余弦定理 角，再由A+B+C=180˚得出第三角。
用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚
余弦定理 得出第三角。
两边和其中一 边的对角(SSA)
正弦定理
用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚ ，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边 。
5.7 正弦定理和余弦定理
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(sin A a ) 2R
(sin B b ) 2R
(sin C c ) 2R
5.7 正弦定理和余弦定理
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二、余弦定理及其推论：
理科数学·第五章
b2 c2
a2
cos A
a2 b2 c2 2bc cos A 推论 b2 a2 c2 2ac cos B
2bc cos B a2 c2 b2
理科数学·第五章
第七节 正弦定理和余弦定理
5.7 正弦定理和余弦定理
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C
理科数学·第五章
b
一、正弦定理及其变形：
A
2R a
c
a
b
c
2R
B’
B
(R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
变 形
a : b : c sin A: sin B : sin C
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C