幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
同底数幂、幂的乘方、积的乘方知识点及习题
幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：〔1〕同底数幂的乘法中，首先要找出一样的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.〔2〕 在进展同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为一样的底数，再按法那么进展计算.例1： 计算列以下各题 〔1〕 34a a ⋅； 〔2〕 23b b b ⋅⋅ ； 〔3〕 ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 以下计算正确的选项是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 以下计算错误的选项是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 以下四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 以下各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的选项是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
2、 b 2·b ·b 7=________。
3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。
5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。
六升七暑假(4、同底数幂的乘,幂的乘方,积的乘方)
辅导讲义）同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂，如【注意】底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．②不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）． ③此性质可以逆用：()()nmmnm n a a a ==．如：()()533155222==知识点4.积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方.如()3ab 、()2nab 等. 知识点5.积的乘方的法则积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.【注意】①公式中的n 可以是正整数，也可以是代表正整数的式子. a 与b 可以是数字，也可以是单项式或多项式.如()()()111,22mm mm m mab a b a b a b +++=+=+⎡⎤⎣⎦②注意积的乘方法则的结构：左边是幂的形式，而幂的底数是两个因数的积；右边是积，而积的因式时2个幂.③积中的每一个因数都应该乘方，不能遗漏.④注意法则的准确应用，不能随便模仿.如，()222ab a b =是正确的，但()222a b a b +=+是错误的.⑤此性质可以逆用，即()nn na b ab =，在计算中若有指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，在去求积的同次幂.有时候性质的逆向适用，会使一些数的计算简化.如，2006200620061122122⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭知识点6.关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下【典型例题讲解】x x = 23111010⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎭⎝⎭()n m n -=； B. ()n m n ⎤-=⎥⎦；)()23298mn m n -=-； D. ()3299mn m n -=.-；+；a a ax x x-.++；（x x xa a a a a)()()--；)()()a a--；x x)()b a-；a b-；()()++；n m m n2b a-；()()()()m n m n --； )()()()a b b a a b ----.。
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
同底数幂的乘法： 1、表示的意义是a5‗‗‗‗‗‗ ;a n的意义是n 个a ‗‗‗‗‗‗，我们把这种运算叫做‗‗‗‗‗‗,乘方的结果叫‗‗‗‗，a 叫做‗‗‗‗‗‗‗‗，n 是‗‗‗‗‗‗‗.)(2a -底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；a2底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(3y x -底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(y x n-底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗.2、根据乘方的意义可知：1010315⨯=(10×…×10)×（10×10×10）=10×10×…×10=10 一般的，对于任意底数a 与任意正整数m ，n,.)()(nm +=⋅⋯⋅⋅=⋅⋯⋅⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a anm因此，我们有.(都是正整数），n m aa anm nm+=⋅即同底数幂相乘，底数‗‗‗‗‗，指数‗‗‗‗‗. 3、计算=⋅22n m‗‗‗‗‗‗‗；=⋅-22510‗‗‗‗‗‗；=⋅⋅x x x nm ‗‗‗‗‗‗；=⨯⨯-）（）（2-2-)2(34‗‗‗‗‗；=⋅-xx n n223‗‗‗‗‗‗‗；)(2)(y x y x -⋅--=‗‗‗‗‗‗同底数相乘，底数不变，指数相加，当三个或三个以上的同底数幂相乘时，法则也适用. 同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式.在幂的运算中，经常用到以下变形：⎪⎩⎪⎨⎧=--为奇数）为偶数）n a a a nn n(n ()( ⎪⎩⎪⎨⎧=----为奇数）为偶数）n n a b a b b a nnn (()()()( 4、计算：（1）=⋅⋅----)()()(32x y x y y x ‗‗‗‗‗‗‗‗；（2）===+333ba 8,6，则ba（3）===+aa annm ,7,6则吗‗‗‗‗‗‗‗‗；（4）若==+2233x x 则‗‗‗‗‗‗‗‗；（5）若==+aa m m13，则‗‗‗‗‗‗‗‗；5、已知xn 1-（ ）=xmn +，则在括号内应填上（ ）.A 、xmB 、xm 1-C 、xm 1+ D 、xm 2+6、若的值是则a a a nnm m,15,3==+（ ）.A 、2 B 、3 C 、4 D 、57、若等于则x x ,3222=+（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、若,2738112+=⨯x 则x 2的值是（ ）A 、4 B 、7 C 、9 D 、19、若b b ba aan n n m 8225121,=⋅=⋅+-+，则m+n 的值是‗‗‗‗‗‗‗.10、计算下列各题。
第02讲 幂的乘方与积的乘方(解析版)
ab
2n
54
2
，
ab
n
2
202 ，
所以 abn 20 ，故答案为： 20 ．
9．已知 a 是正整数，比较大小： 23a
【答案】
32a ．（填“ ”“ ”“ ”）
【解析】 23a 23 a 8a ， 32a 32 a 9a ，
8 9 ， a 为正整数， 23a 32a ．故答案为： ．
所以 x12 x4 3 23 8，y12 y3 4 34 81 ，
因为 8 81 ，所以 x y ．
过关检测
一、选择题
1．计算
2x2
3
的结果是（
）
A． 8x6
B． 6x6
【答案】A
【解析】 2x2 3 8x6 ，故选 A．
C． 2x6
D． 2x5
2．下列运算不正确的是（ ）
（3） a3x2 y a3x a2 y ax 3 a y 2 33 32 27 9 243 ．
【变式训练】 1．（1）若10x 3 ，10y 2 ，求代数式102x3y 的值． （2）已知 3m 2n 6 0 ，求 8m 4n 的值． 【解析】（1）因为10x 3 ，10y 2 ，
(3)已知 a 244 , b 333, c 522 ，比较 a，b，c 的大小关系．
【解析】（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选 C． （2） x30 (x5 )6 26 64 ， y30 ( y6 )5 35 243 ， 64 243 ， x y ； （3） a 244 (24 )11 1611 ， b 333 (33 )11 2711， c 522 (52 )11 2511，且16 25 27 ，
第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
初一数学-第三十五讲 幂的乘方与积的乘方
第三十五讲 幂的乘方与积的乘方【知识要点】一、幂的乘方：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，()m n mn a a=（m 、n 都是正整数） ②公式逆用：()()mn m n n m a a a ==③多重乘方：()(p n m mnp a a m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦、n 、p 都是正整数） 二、积的乘方：①积的乘方法则：积的乘方等于每一个因数乘方的积，()m m m ab a b =⋅（m 为正整数） ②三个或三个以上的数的积的乘方也具有这一性质，()n n n n abc a b c = ③积的乘方法则也可以逆用.即(),()m m m n n n n ab ab a bc abc ⋅==三、注意： ①幂的乘方要和同底数幂的乘法区别开来；②积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘.【经典例题】【例1】计算.①5324)()(x x x -⋅-⋅ ②m m m x x x 5233)()(⋅⋅+ ③3342])([b a a -⋅-④2333)105.2()104.0(⨯⨯⨯ ⑤24232)3(3)2(a a a -⋅-【例2】已知：625255=⋅x x ，求x 的值.【例3】若63=a ，5027=b ，求a b +33的值.【例4】已知192221232=-++a a ，求a 的值.【例5】比较5553，4444，3335的大小.【初试锋芒】1.计算：①432)3(b a --= ； ②3243)()(a a -⋅-= ； ③=⨯-20152014)522()125( ； ④323)21(bc a -= ； ⑤2009200822-= ； ⑥()n m a a ⋅3=2.若5,2n n a b ==则32()n a b = ； n 为奇数，则22()()n n a a -+-= .3.下列运算正确的是（ ）4.计算32)2(xy --，结果正确的是（ ） A. 5361y x B. 6381y x - C. 6361y x - D. 5381y x - 5.下列计算：（1）22)(m m a a-=；（2）m m a a )(22-=；（3）743222)()(b a b a ab =-⋅-；（4）212218)3()2(++=-⋅n n n n b ab a ab ；（5）52236)3(b a ab =中正确的个数为（ ）6.已知m x =10，n y =10，则m y x =+3210等于（ ） A. n m 32+ B. 22n m + C. mn 6 D. 32n m7.下列四个式子中结果为1210的有（ ）①661010+； ②21010)52(⨯； ③6510)1052(⨯⨯⨯； ④43)10( A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④8.如果正方体的棱长是3)2-1(b ，那么这个正方体的体积是（ ）A. 6)2-1(bB. 9)2-1(bC. 12)2-1(bD. 6)2-1(6b9.n m 279⋅等于（ ）A. n m +9B. n m +27C. n m 323+D. n m 933+ 10.已知3181=a ，4127=b ，519=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）【大展身手】1.计算：①201410078)125.0(⨯- ②b a ab b a a ⋅-⋅-+⋅-⋅-32332)()3()2()()(2.①若62=m ，34=n ，求3222++n m 的值.②3,4m na a ==求32m n a +的值为多少？3.已知17232793=⨯⨯m m ,求m 的值．4．若0542=-+y x ，求y x 164⋅的值．【挑战脑细胞】1.设112233445,4,3,2====D C B A ，则A 、B 、C 、D 从小到大的排列顺序是怎样的？2.已知：m n +3能被13整除，求证：m n ++33也能被13整除.。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（－8）2005×0.1252004．
随堂练习
0.2520×240-32003·( )2002＋
类型四积的乘方在生活中的应用
例1地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V＝ πr3。地球的半径约为 千米，它的体积大约是多少立方千米？
知识点一
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘
am·an=(m、n都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，用公式表示为
am·an·ap= am+n+p（m、n、p都是正整数）
知识点精讲
1．同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字．
2．解题时要注意a的指数是1．
3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．
4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．
5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算
4、拓展：
（1）已知n为正整数，且x2n＝4．求（3x3n）2－13（x2）2n的值．
（2）已知xn＝5，yn＝3，求（xy）2n的值
（3）若m为正整数，且x2m＝3，求（3x3m）2－13（x2）2m的值．
知识点四
同底数幂相除， 底数，指数．
即：am÷an=（ ，m，n都是正整数，并且m>n）
规定：a0=1（a≠0）即：任何非0的数的0次幂都等于1
典型例题讲解
例一、填一填
⒈ =；
⒉ =；
⒊ ；
第3讲：同底数幂的乘法及幂的乘积与积的乘方-教案
∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
【总结与反思】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．
阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘 记为an，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
A．6 B．8 C．9 D．12
【解析】因为 ，所以 ，故选B.
【总结与反思】幂的乘方法则的逆运算.
若x3=﹣8a9b6，则x=．
【解析】∵x3=﹣8a9b6，
∴x3=（﹣2a3b2）3，
∴x=﹣2a3b2．
故答案为：=﹣2a3b2．
【总结与反思】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
已知ax=2，ay=3，求ax+2y=．
【解析】∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，
∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
【总结与反思】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（1）讨论归纳结果；（2）得出法则.
同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方运算法则
底数不变，指数相乘。
即
a的m次幂的n次幂=a的(m?n)次幂(n、m为正整数)
积的乘方运算法则
把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即
a、b乘积的n次方=a的n次方乘b的n次方(n为正整数)
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方法则：幂的乘方是幂的一种运算积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方最终转化为指数的乘法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。
幂的乘方是类比数的乘方，并借助于同底数幂的乘法性质来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出幂的乘方的性质，进而通过推理加以论证，这一过程蕴含着转化及由特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方的运算法则：幂的乘方，低数不变，指数相加。
积的乘方的运算法则：是指底数是乘积形式的乘方。
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4.
例题讲解
1. =, =，32m·3m=，23·(－2)4=，x·(－x)4·x7=，
1000×10m-3=，
， =______， =___________.
2.(－ x2y3)2=_________；a2·(a3)4·a=_________.
3.若 成立，则m=,n=.
4.①若 ,则m=_____;②若 ,则a=____;③若 ,则y=____;
8.已知：S=1+2-1+2-2+2-3+…+2-2-2019，请求出S的值。
9.记M(1)=-2,M(2)=(-2)×(-2),M(3)=(-2)×(-2)×(-2),…M(n)=【[(-2)x(-2)×…x(-2)]n个-2相乘】（1）填空：M（5）+M（6）=_____;（2）求2M（2015）+M（2016）的值：（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数。
C.当n为偶数时, 和 相等D. 和 一定不相等
11.计算
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ （m是正整数）⑹－(a3-m)2
⑺(－2x5y4z)5⑻0.12516×(－8)17⑼( )199×(－2 )199
⑽0.299×5101⑾
12.（1）
（2）（-2a b） +8（a ） ·（-a） ·（-b） ；
（3） （4）
（1）根据上述规定，计算：（3，27），（4，16）；
（2）记（3，5）= ，（3，6）=b，（3，30）=c.求证：a+b=c
2.若 ，则m=n。你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？试试看，相信你一定行！
（1）若2×2x=8，求x的值；
（2）若（9x）2=38，求x的值。
3.已知x7=2，y9=3，试比较x与y的大小。
课堂练习
错题回顾
学生课堂评价：优□良□中□差□
学生总结（课上完成）：
教师课堂反馈（课上完成）：
家庭作业：
教研组长签字：
13.（1）已知 ， ，求 、 、 的值.
（2）知10a＝5，10b＝6，求102a+3b的值.
（3）xn=5,yn=3,求(x2y)2n的值。
（4） ，求n的值。
14.已知 ， ， ，求a、b、c之间有什么样的关系？
15.已知2m+3n能被19整除，求2m+3+3n+3能否被19整除。
课后练习：
1.如果 ，那么我们规定（ ,b）=c，例如：23=8，所以（2，8）=3.
学生薄弱点，需重点讲解内容
上节课未掌握或需加强知识
教
学
过
程
﹃
讲
义
部
分
﹄
知识要点
1.同底数幂的乘法法则：
.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：①底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式、相反数。
②逆用
2.幂的乘方法则： （m，n都是正整数）。即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用：
3.积的乘方法则： （n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
6.一个正方体的边长是 ，则它的表面积是_________.
7.下面计算正确的是()
A． ；B． ；C． ；D．
8.81×27可记为()A. ;B. ;C. ;D.
9.若 ,则下面多项式不成立的是()
A ;B.
C. ;D.
10.下列说法中正确的是()
A. 和 一定是互为相反数B.当n为奇数时, 和 相等
常州知典教育一对一教案
学生：年级：七学科：数学授课时间：月日授课老师：
课题
三角形内角和、多边形内角和与外角和
教学目标（通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度）
1、同底数幂的乘法法则
2、幂的乘方法则
3、积的乘方法则
本节课考点及单元测试中所占分值比例
灵活运用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则
④若 ,则x=_____;⑤若644×83＝2x，则x＝_________.
5.①若x2n＝4，则x6n＝________;②a12＝(_________)6＝(________)3;
③若 ,则x=______;
⑤若xn-3·xn+3=x10，则n=_________.
4.已知：
求：(1) (2)求 （3）试说明：2b= .
5.（1）已知3×9m×27m=321，求 的值；
（2）已知 ,求m的值。
6.三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5×109度，某市有10万户居民，若平均每户年用电量是2.75×103度，那么三峡工程该年所发的电能可供该市居民使用多少年？
7.已知 试证明：（a-1）(d-1)=(b-1)(c-1).