结构力学第五章
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
第五章静定平面桁架(李廉锟_结构力学)全解
除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法)或均平行(投影法)，则该杆
内力仍可首先求得。
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02:31
§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
截面如何选择？
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02:31
§5-3 截面法
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
结构力学
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法 取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
结构力学
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02:31
§5-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
结构力学
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
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02:31
§5-1 平面桁架的计算简图
三、按几何组成分类
1. 简单桁架 （simple truss）
结构力学
2. 联合桁架 （combined truss）
3. 复杂桁架 （complicated truss）
1 F A
2 F
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称:
受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
E 点无荷载,红色杆不受力 垂直对称轴的杆不受力 对称轴处的杆不受力
FAy FAy
FBy FBy
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02:31
§5-3 截面法
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02:31
§5-2 结点法
10 kN 5 kN 2m
结构力学 第五章(07.8.28)
( ) θ A1
= θ B1
=−
ql 2 4 l 3EI
ql/2
q
AB
D
C
l/2
l
wA1
=
−θ B1
⋅ ⎜⎛ ⎝
l ⎟⎞ 2⎠
=
ql 4 24EI
( ) wD1
=−
ql 2 4 l 2 16EI
ql2/4 （1）
AB
D
C
θ A2
= θB2
=
ql 3 24EI
wA2
=
−θ B2
⋅ ⎜⎛ l ⎟⎞ ⎝2⎠
− (qa 2)(3a)3
3EI
= 135qa 4 24EI
将 AC 段刚化，梁的挠曲线如图（2）所示，此时 C 点挠度为零。
故 wC
=
wC1
= 135qa 4 24EI
作梁的弯矩图如图所示，由弯矩图的正负可确定挠曲线的大致形状。
q
（a） A 3a
qa
C
BD
2a a
qa/2
（1）
C
A
（2）
C
3qa2
EIw2
=
qx24 24
−
3qa 24
x23
−
9qa 24
( x2
−
2a)3
+
C2 x
+
D2
(2a ≤ x1 ≤ 3a)
边界条件和两段之间的连续性条件为：
w1 x1=0 = 0;
w1 x1=2a = w2 x2 =2a = 0;
θ = θ 1 x1=2a
2 x2 =2a
由第一个边界条件可得： D1 = 0
θB = 0
结构力学第五版李廉锟第五章.
1、桁架是一种重要的结构形式（厂房屋顶、桥梁等）。 2、在结点荷载作用下，桁架各杆以承受轴力为主。 3、取桁架计算简图时采用的假定： （1）各杆两端用理想铰联结； （2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 通常把理想情况下计算出的应力称为“初应力”或“基本应力”； 因理想情况不能完全实现的而出现的应力称为“次应力”。
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
结构力学第五章影响线
确定连续梁的截面尺
确定连续梁的应变分 布
寸 确定连续梁的边界条
件 确定连续梁的位移分
确定连续梁的应力影 响线
布
影响线的应用
第五章
确定最不利荷载位置
影响线：表示结 构在某种荷载作 用下的位移、应 力、应变等物理
量的变化规律
确定最不利荷载 位置：通过影响 线分析找出结构 在特定荷载作用 下的位移、应力、 应变等物理量最 大或最小的位置
影响线的绘制
第六章
利用uCD软件绘制影响线
打开uCD软件新建或打开已有图纸
选择“绘图”工具栏选择“直线”工具
在图纸上绘制影响线注意保持线条的连续性和准确性
使用“标注”工具对影响线进行标注包括长度、角度等
使用“修改”工具对影响线进行修改和调整确保其符合设 计要求
保存图纸完成影响线的绘制
模型建立： 建立结构模 型包括几何 形状、材料 属性、荷载 条件等
影响线计算： 在软件中设 置影响线计 算参数如影 响线类型、 计算范围等
结果查看： 查看影响线 计算结果包 括影响线形 状、最大值、 最小值等
结果输出： 将影响线结 果输出为图 形或表格便 于查看和分 析
绘制步骤和注意事项
确定影响线的类型：静力影响线、动力影响线等 确定影响线的范围：根据题目要求确定影响线的范围 绘制影响线：按照题目要求绘制影响线 注意事项：注意影响线的准确性避免错误绘制影响线
绘制简支梁的影 响线
计算简支梁的最 大弯矩和最大剪
力
确定简支梁的临 界荷载和临界位
置
绘制简支梁梁影响线的步骤
确定连续梁的荷载条
确定连续梁的荷载分 布
确定连续梁的位移影 响线
件
确定连续梁的弹性模 量
结构力学第5章(精)
t1(0< t1< t2 t2 ①杆伸长① B支座位移： B (2平衡力系的影响当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的部分时，只有该部分受力，其余部分的反力和内力均为零。
Fp 2Fp Fp Fp Fp (3荷载等效变换的影响对作用于静定结构某一几何不变部分上的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均保持不变。
静力等效荷载：具有同一合力的各种荷载。
荷载等效变换：将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷载过程，称为荷载等效变换。
2Fp Fp Fp Fp Fp (4结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的性质及应变规律的变化而改变。
因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来的，而静力平衡方程中不包含上述因素的参数。
朱明zhubob-结构力学第5章
于是, 得：
K F N F Q 0 M ds F R c
广义位移的计算： 例如拟求相对转角Δ ： 虚设广义单位荷载应使外力 虚功具有以下简单形式：
A
B
δWe 1
A B
本例拟求A、B 两截面的相对转角Δ，因此虚设单位荷载 如下图： MB 1 MA 1
《结构力学》
第5章 结构位移计算
主 讲：朱 明 高级经济师、高级工程师、高级技师 高级国家职业技能考评员 高级技能专业教师
第5章 结构位移计算
⒈ 计算位移的目的 ⑴ 验算结构的刚度。 ⑵ 为计算超静定结构做准备。 ⑶ 为结构的动力和稳定性计算打下基础。 ⒉ 计算位移的方法 单位荷载法 — 以虚功原理作为理论基础。
体系的平衡位置位于A 结构的真实位移为AA 虚位移为偏离平衡位置的AA
A
FP
计算虚功的第一种途径: 将变形体的总虚功视为外力所作虚 功与所有截面上的内力所作虚功之和。
外力虚功
W We W内
所有截面内力虚功之和
W内 0
W We
第二种途径: 将各微段的虚位移分解为刚体虚位移和变形虚位移.
W W刚 Wi
微段上的所有力在刚 体虚位移上所作虚功 微段上的所有力在变 形虚位移上所作虚功
W刚 0
由此可见：
外力虚功之和
W Wi
（变形体虚功方程）
变形体所接受的虚变形功
We Wi We Wi
变形体所接受的虚变形功的计算：
轴向虚应变
外力虚功：
δWe 1 A 1 B 1 A B 1
K F N F Q 0 M ds F R c
K F N F Q 0 M ds F R c
广义位移的计算： 例如拟求相对转角Δ ： 虚设广义单位荷载应使外力 虚功具有以下简单形式：
A
B
δWe 1
A B
本例拟求A、B 两截面的相对转角Δ，因此虚设单位荷载 如下图： MB 1 MA 1
《结构力学》
第5章 结构位移计算
主 讲：朱 明 高级经济师、高级工程师、高级技师 高级国家职业技能考评员 高级技能专业教师
第5章 结构位移计算
⒈ 计算位移的目的 ⑴ 验算结构的刚度。 ⑵ 为计算超静定结构做准备。 ⑶ 为结构的动力和稳定性计算打下基础。 ⒉ 计算位移的方法 单位荷载法 — 以虚功原理作为理论基础。
体系的平衡位置位于A 结构的真实位移为AA 虚位移为偏离平衡位置的AA
A
FP
计算虚功的第一种途径: 将变形体的总虚功视为外力所作虚 功与所有截面上的内力所作虚功之和。
外力虚功
W We W内
所有截面内力虚功之和
W内 0
W We
第二种途径: 将各微段的虚位移分解为刚体虚位移和变形虚位移.
W W刚 Wi
微段上的所有力在刚 体虚位移上所作虚功 微段上的所有力在变 形虚位移上所作虚功
W刚 0
由此可见：
外力虚功之和
W Wi
（变形体虚功方程）
变形体所接受的虚变形功
We Wi We Wi
变形体所接受的虚变形功的计算：
轴向虚应变
外力虚功：
δWe 1 A 1 B 1 A B 1
K F N F Q 0 M ds F R c
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G 2 m
D 4=8 m
H
B 20 kN
取C点为隔离体，由 X 0 ， FNCE FNCH 0 Y 0 ， 10kN 2 FNCE sin FNCD 0
得
FNCD 10 kN 2 1 5 (22.36kN) 10 kN
FNCH FNCE 22.36 kN
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
结构力学
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§5-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
结构力学
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
三、按几何组成分类
1. 简单桁架 （simple truss）
F F NF N1 4 F N2 FN3 FN3 FN1
F F N2 F N2
FN 1 = F N 2 FN 1 = F N 2 FN3= F FN3= F
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§5-2 结点法
结构力学
值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算， 可使计算大为简化。
FP FP
FP/2FP
FP/ 2
结构力学
10 kN C 5 kN
E
F
A 20 kN
G 2 m
D 4=8 m
H
B 20 kN
解: (1) 求支座反力。
FxA 0
FyA 20 kN (↑)
FyB 20 kN (↑)
(2) 依次截取结点A，G，E，C，画出受力图， 由平衡条件求其未知轴力。
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21:52
§5-2 结点法
5 kN F
F N ED
A 20 kN
G 2 m
D 4=8 m
H
B 20 kN
取E点为隔离体，由
X 0
FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0
FNEC sin - FNED sin FNEA sin 10 kN 0
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§5-2 结点法
10 kN 10 kN 5 kN 2 m
结构力学
10 kN C 5 kN
E
F
A 20 kN
G
D 2 m 4=8 m
H
B 20 kN
可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左 边是对称相等的。
结论：对称结构，荷载也对称，则内力也 是对称的。
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FNEC FNED 10 5 33.5
联立解出
FNEC 22.36 kN
， FNED 11.18 kN
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§5-2 结点法
10 kN 10 kN 5 kN 2 m
结构力学
10 kN C 5 kN
10 kN C F
NC E
E
F
F NC F F NCD
A 20 kN
有 所以
FNAG
FNAE 15 kN 5 33.54 kN（压） 2 FNAE cos 33.5 30 kN （拉） 5
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§5-2 结点法
10 kN 10 kN 5 kN 2 m
结构力学
10 kN C 5 kN F
E
A 20 kN
G
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§5-3 截面法
(4) 斜杆ED
结构力学
取EF和CD杆的延长线交点O为矩心，并将FNED在D 点分解为水平和竖向分力FxED和 FyED，由力矩平衡方 程∑MO=0，先求ED杆的竖向分力FyED，此时力臂即为 a+2d。 -FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0 FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d) 再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子 为正或为负而定。 (5) DG杆如何求？
结构力学 第五章 静定平面桁架
§5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 §5-3 §5-4 §5-5 §5-6 结点法 截面法 截面法与结点法的联合应用 各式桁架比较 组合结构的计算
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21:52
§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
桁架是由杆件相互连接组成的格构状体系，它 的结点均为完全铰结的结点，它受力合理用料省， 在建筑工程中得到广泛的应用。 1、桁架的计算简图(truss structure)
10 kN 10 kN 10 kN C
结构力学
5 kN
5 kN
5 kN E
F NA E FN A G
2 m
F
A 20 kN
A 20 kN
G
D 2 m 4=8 m
H
B 20 kN
取A点为隔离体，由
X 0
Y 0
FNAE cos FNAG 0
20 kN 5 kN FNAE cos 0
屋架 计算简图
16m
128m
64m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
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§5-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
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§5-1 平面桁架的计算简图
2、桁架的分类 一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss）
结构力学
——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一 平面内
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§5-1 平面桁架的计算简图
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§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
截面如何选择？
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§5-3 截面法
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
结构力学
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法 取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
结构力学
弦杆
下弦杆 Bottom chard
竖杆Vertical chard 上弦杆 Top chard
腹杆 桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架计算简图假定：
结构力学
(1) 各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。 (2) 各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰 的几何中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上,其作用线都在桁架平面 内。 思考: 实际桁架是否完全符合上述假定? 主内力: 按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
P
结构力学
0 0 0
0
P
练习: 试指出零杆
P
P P
PPLeabharlann 返回中南大学退出
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§5-2 结点法
练习: 试指出零杆
P
结构力学
下图示对称结构在正对称 荷载作用下，若A 点无外荷 载，则位于对称轴上的杆1、 2都是零杆。 为什么?
1 F A
2 F
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21:52
§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
FN1 F N3 F N4 FN1 F N3 FN 1 = F N 2 FN 1 = F N 2 FN3 = F N4 FN3 = F N4 F N2 F F NF N1 4 F N2 FN3 FN3 FN1 F F N2 F N2
FN 1 = F N 2 FN 1 = F N 2 FN3= F FN3= F
§5-2 结点法
小结:
结构力学
•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 •按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点 的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超 过独立平衡方程数。 •由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
1. 结点法和截面法
结点法—最适用于计算简单桁架。
结构力学
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴 力为压力。
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§5-2 结点法
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。