小波包分析用于重叠分析化学信号的处理
小波分析在化学信号处理中的应用
小波变换是把某一被称为基本小波的函数 （） ｔ做位 移 ｒ后， 再在不同尽度 下与待分析的信号 Ｘｔ做内积： （ ）
一
图一 原信号
一
和检索处理具有重大的意义 。 小波分析对数据的压缩及去 噪
也广泛用于红外光谱中。 此外， 在核磁共振谱、 质谱及 ｘ 射线
谱 中也应用较广 。
图三是选用 ｓｍ 小波对信号进行 ３ ｙ８ 层分解 ， ＭＴＡ 软件 在 ＡＬＢ
下的仿真图 ， 信噪比为 ４ Ｂ ｄ。
值法通常分为硬阈值法和软 阈值法两类 。 阈值法是将所 有 硬
低于阈值的小波系数全部置零； 软阈值法是指将小于阈值的 小波系数全部置零并从大于阈值的小波系数中扣除该阈值。
器检测到 的化 学电信号常含有 背景、 噪声等 干扰 ， 只有在消 除干扰后才能从信号 中正确地提取一些参数 ， 以完成对化学 信号的分辨 、 基线校正、 滤噪及有用信息 的预测等 。 要消 除化
小波分析在化学信号处理中的应用 噪处 学电信号 中的噪声 ， 一般要完成对实验数据的平滑和滤
在小 波分析 中， 波基的选 取 、 小 分解层数 及 阔值 的选择 直接 关系到信号重构的恢复程度 ， 应选择合适 的小波 基以实 现重 构最小化残差 、 方差及最大化信噪 比。 分解层数 过大 ， 会 造成信息的严重损失 ； 分解层次太 小 ， 利于提 高信号 的信 不
参 考 文献 图二 受 污信 号
［］邵学广 ．小 波变 换及其在 色谱 重叠解析 中的应 用 １ ［】化学通报 ，９ ７ （）５ － ７ Ｊ． １９ ，７ ：４ ５ ．
［ 刘贵忠 ． ２ ］ 小波分析及其应用 ［ ． Ｍ 西安： ］ 西安 电子科技
大学 出版社 ，９ ２ １９ ．
在小波变换中如何处理重叠与漏填问题
在小波变换中如何处理重叠与漏填问题小波变换是一种用于信号处理和数据分析的强大工具。
它能够将信号分解成不同频率的子信号，并提供了一种有效的方法来分析信号的时频特性。
然而，在应用小波变换时，我们常常会遇到重叠与漏填的问题。
本文将探讨在小波变换中如何处理这些问题。
一、重叠问题重叠问题指的是在进行小波变换时，相邻子信号之间存在部分重叠的情况。
这可能导致分析结果不准确或失真。
为了解决这个问题，我们可以采取以下几种方法。
1. 窗函数法窗函数法是一种常用的处理重叠问题的方法。
它通过在每个子信号的边界处应用一个窗函数来减小重叠的影响。
常用的窗函数有汉宁窗、汉明窗等。
通过选择合适的窗函数，可以在减小重叠的同时保持信号的频率特性。
2. 重叠-相加法重叠-相加法是另一种常见的处理重叠问题的方法。
它通过将相邻子信号的重叠部分进行加权平均来减小重叠的影响。
具体而言，我们可以将相邻子信号的重叠部分按照一定的权重进行加权平均，从而得到更准确的分析结果。
3. 前向-后向法前向-后向法是一种较为复杂但有效的处理重叠问题的方法。
它通过将信号分解为两个子信号序列，分别进行前向和后向的小波变换，然后将两个子信号序列的结果进行合并，从而得到更准确的分析结果。
这种方法需要进行两次小波变换，因此计算量较大，但可以有效地处理重叠问题。
二、漏填问题漏填问题指的是在进行小波变换时，部分信号成分未被分析到的情况。
这可能导致分析结果不完整或遗漏重要信息。
为了解决这个问题，我们可以采取以下几种方法。
1. 增加小波尺度增加小波尺度是一种常用的处理漏填问题的方法。
小波尺度决定了信号在频域的分辨率，较小的尺度可以更好地捕捉高频成分，较大的尺度可以更好地捕捉低频成分。
通过增加小波尺度，我们可以提高对低频成分的分析能力，从而减小漏填的问题。
2. 多级小波变换多级小波变换是另一种常见的处理漏填问题的方法。
它通过对信号进行多次小波变换，每次变换都对低频成分进行进一步分解，从而提高对信号细节的分析能力。
毕业论文小波包分析在信号处理中应用
北京大学毕业设计（论文）题目：小波包分析在信号处理中的应用学院：信息学院专业：信息工程学生姓名：正正班级/学号指导老师/督导老师：起止时间：2012年2月20日至2012年6月15日摘要图像是一种重要的信息源，通过图像处理可以帮助人们了解信息的内涵。
数字图像噪声去除涉及光学系统、微电子技术、计算机科学、数学分析等领域，是一门综合性很强的边缘科学，如今其理论体系已十分完善，且其实践应用很广泛，在医学、军事、艺术、农业等都有广泛且成熟的应用。
本文简述了小波包分析的原理，并基于MATLAB实现了对二维图像信号进行消噪。
对常用的几种阈值去噪方法进行了分析比较和仿真实现。
最后结合理论分析和实验结果，讨论了去噪过程中影响去噪性能的各种因素。
为在实际的图像处理中，小波包阈值去噪法的选择和改进提供了数据参考和依据。
关键词：小波包分析；图像消噪；阈值AbstractImage is one kind of important information source, it may help people through the imagery processing to understand the information the connotation. The digital image denoise involves domains and so on optical system, microelectronic technology, computer science，mathematical analysis, it’s a very comprehensive interdisciplinary science, now its practice application is very widespread: In the medicine, the military, art, the agriculture and all have very extensive and ripe using so on.This paper talks about the principle of wavelet packet anaIysis，and denoise image signal of two dimensions by matlab．It done comparing experiments using several good threshold denoising methods．Finally according to the theory analysis and simulation results，the paper discusses several kinds of factors which affect the denoising capability in a complete denoising algorithm.That provides the date reference of threshold denoising methods in actual image process．Key words：wavelet packet analysis；image denoise；threshold目录摘要 (中文).......................................................... .. (Ⅰ)(英文).................................................................... ..Ⅱ第一章概述. (1)1.1 小波包研究的意义与背景 (1)1.2 小波包分析的发展与应用 (2)1.3 主要内容 (4)第二章相关技术原理 (5)2.1 小波理论的基本概念 (5)2.2 小波包分析的基本原理 (8)2.3 图像噪声分类及去噪效果评价 (9)第三章系统设计与实现.................................. 1错误!未定义书签。
小波包变换广义回归神经网络同时分辨三种有机化合物的重叠光谱
２００８年 １ ０月
光
谱
学
与
光
谱
分
析
＊ １ ８Ｎ ．０ｐ ９— ９ Ｃ ． ，ｏ １，Ｎ３２２ ５ ｏ２ ３
Ｏｃ ｏ ｅ ，２ ０ ｔｂ ｒ ０ ８
Ｓ ｅ ｔｏ ｃ ｐ ｎ ｐ ｃ ｒ ｌＡｎ ｌ ｓｓ ｐ ｃ ｒ ｓ ｏ ｙ ａ ｄ Ｓ ｅ ｔａ ａｙ ｉ
层和输出层 。 Ｒ Ｎ结构简图如图 １ ＧＮ 所示 ， 入层 不处理信 输
息 ，只为模式层分配输 入信 息 。输入 层与模 式层 全部相 连。
模式层 中每一神经元代 表一个径 向基 函数 。一个通用的高斯
核心 函数应用于模式层 中。
Ｈ（） ｐ ｘ一 厂
‘ Ｌ ‘
旦］
＿ Ｊ
第 １ 期 Ｏ
Ｎ
光谱 学与光谱分析
２ ９ ３３
对的 。 求 层中 Ｈ（） 单 别 经元 算 数目 在 和 ∑ 经由 个特 神 计 ｘ
ｆ １ 一
以 试剂 空 白为 参 比 ， 得 对 硝基 苯 胺 和 萘 胺 和联 苯 胺 测
光谱严重重叠的三种有 机化合物进行 同时测定 。 该法结 合小波包变换 （ Ｔ） ＷＰ 和广义 回归神经 网络 （ Ｒ Ｇ ＮＮ） 改进 了除噪质量和预测能力 。通过最佳 化 ， 选择了小波 函数 、 波包分解 水平及 ＧＲ Ｎ 的平滑 因子 。偏最 小 Ｎ
小二乘 （ Ｌ ） Ｐ Ｓ 法用 于 比较研究 ，编制 了三个程序 （ ＷＰ Ｒ Ｐ ＴＧ ＮＮ，Ｐ ＲＮ 和 Ｐ Ｌ ） Ｇ Ｎ Ｐ Ｓ 进行 相关计算 。结果表
明， ＷＦＦ ＲＮ Ｇ Ｎ法是成功的且优于 ＧＲ ＮＮ及 Ｐ Ｓ方法 ， ＧＲ Ｌ 与 ＮＮ方 法 比较所有组分质 量浓度的预测值 与 实际值 的相对预测标准误差由 ４Ｏ 降低为 ２ ３ 。 ． ．
基于小波包变换的重叠地震波分离
震三要 素 。如果 遇 到波形 叠加 而又 限幅 的情况 ， 唐艳 娟 （ １ ９ ９ ６ ） 提出， 可 以选择 灵 敏度为 低倍 档 或超 低倍 档 的地 震计 记 录 的波形 ， 分 析求得 地 震 三要 素 。这 些方 法 更 多地 依 赖 于经 验 和人 工 计算 ， 易 产生人 为误 差 ， 难 以保 证地 震分 析 的准确性 。
编程 ， 实 现对 重 叠地 震 信 号 的分 离 。通 过 对 ２ ０ ０ ９ 年 ２ 月２ ０日柯 坪 Ｍｓ ５ ． ２地 震 波 和 其 后 ＭＬ ４ ． ７ 余 震 的研 究 ， 发 现 用 该 方 法 能 清 楚 地 找 到 同 源 地震 重叠 的位 置 ， 为地震 定位提供 准确 、 可靠 的 震 相 识
用 正交 小波 包基 表示 为
（ １ ）
Ｇ ｙ ｆ （ ｔ ） 一∑ｄ ｉ 击 叫 （ ２ 一ｚ ）
ｌ
（ ２ ）
其 中 Ｌ 厂 （ ￡ ）∈ ， 一０ ， １ ， …， 一１ ， ２ ， …， ｚ ∈ ｚ。
作 者 简介 ： 冯雪玲 （ １ ９ ７ ９一） ， 女， 甘 肃 天水 人 ， 硕士 ， 工程师 ， 主 要 从 事 地震 监 测 工 作 基金项 目： 新疆地震科学基金资助课题（ 编号 ： ２ ０ ０ ９ ０ ５ ） 本 文 收 到 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ７ ２ ４
１ ． ２ 小 波 包 基 的 确 定
对于 同一 信号 进行 小波 包 分解 ， 不 同 的小 波包 基 对信 号有 不 同的分 解结 果 ， 其结 果反 映的 信 号 特征也 不 一样 （ 郑 宜珍 ， ２ ０ ０ ４ ） ， 因此要 选 择合 适 的小 波包基 函数 对 信号 进行 分解 。小 波 包 基 函数 的选 择 应从 一般 原则 和 实际分 析 信号 两个 方 面考虑 ， 其 一般 原则 是 ： 选 取 的小 波包 基 函 数 应 具有 对称 性 、 紧支 撑性 和正 则性 （ 光 滑性 ） ； 选 择 与 地 震 子波 形 状 相 近 的小 波 包 基 函数 （ 崔 岩飞 等 ， ２ ０ ０ ３ ） 。根 据 曾宪 伟 （ ２ ０ １ ０ ） 的研 究 ： ｄ ｍｅ ｙ （ Ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｍｅ ｙ ｅ ｒ ｗａ ｖ ｅ — ｌ ｅ ｔ ） 小 波包 基 函 数 与 地 震 子波 形状 相近 ， 利用 ｄ ｍｅ ｙ小 波 包基 函数 对 地 震 波分 解 可 以更 为 准确 地 描 述 模 拟 地 震 信
信号处理中的小波分析方法
信号处理中的小波分析方法随着数学的不断发展，信号处理成为了现代通信、图像处理、音频处理等众多领域都不可或缺的重要技术。
在信号处理的各个环节中，小波分析方法是一种十分重要的工具。
小波分析是一种基于频域的分析方法，通过对信号进行小波变换，可以将信号转化为时域和频域上的小波系数，从而更加全面地了解信号的特征和性质。
在本文中，我们将介绍小波分析的基本原理、常用小波函数及其特点、小波分析在不同领域中的应用，并探讨小波分析的改进和发展方向。
一、小波分析的基本原理小波分析的基本思想是将信号分解成不同尺度下的小波分量，并通过反变换将其重构。
这一过程需要用到小波函数，即具有一定局部性和周期性的函数。
小波函数具有多分辨率分析的性质，可以将信号分解成不同的尺度和频率部分。
在小波分解的过程中，我们通常采用Mallat算法进行高效计算。
具体而言，这一算法将小波函数分别固定在不同的尺度上，并采用快速傅里叶变换（FFT）对每一层小波系数进行计算，从而实现了快速的小波分解过程。
在重构过程中，我们通过迭代地对小波系数进行逆变换，得到原始信号的近似。
由于小波分析具有采样率可变、时间尺度可变等特点，在图像处理、音频处理、信号压缩和解析等领域中被广泛应用。
二、常用小波函数及其特点小波函数具有很多种形式，其中最为常用的包括Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波和Coiflets小波等。
这些小波函数在不同领域中应用十分广泛，具有各自的特点和应用场景。
（一）Daubechies小波Daubechies小波是最为常用的小波函数之一，其系数由Daubechies提出。
Daubechies小波可以采用不同的阶数进行选择，通常采用的是4阶、6阶、8阶和10阶Daubechies小波。
这一小波函数具有均匀的频响特性和良好的近似能力，在图像处理、语音处理、信号压缩等领域应用比较广泛。
（二）Haar小波Haar小波是最简单的小波函数之一，只有两个基本函数。
小波分析在信号处理中的应用
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理中的应用（东北电力大学机械081 吕洪悦）摘要：在信号奇异点检测中，首先对信号进行多尺度小波分解。
然后对高频部分进行重构，确定模极大值点位置，从而确定出奇异点位置。
在例子中检测加入高频信号的低频信号，结果表明信号加入的部分能清晰地显示出奇异点的准确位置，并通过Matlab程序确定间断点位置。
关键词：信号奇异点检测、间断点、小波分析、Matlab引言：由传感器所检测到的奇异信号往往载有设备运行状态特征的重要信息。
判断状态信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现定量描述，在信号处理和故障诊断等领域有着重要的意义。
信号的奇异性分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。
小波变换具有时－频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。
一基本理论(1) 小波分析概况小波分析是自1986年以来由Meyer，Mallat及Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(Fourier Analysis) 划时代的发展结果，是目前数学分析和信号处理领域中广泛应用的一套新理论、新方法，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等。
但以上大多数领域的应用都可以归结为信号处理问题，故本文才重点介绍小波分析在信号处理方面的应用。
在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换(Fourier Transform)，然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。
二阶样条小波卷积法分辨重叠化学信号
二阶样条小波卷积法分辨重叠化学信号近年来，由于计算机技术的发展，人们发现把样条小波卷积（CWT）应用于分辨重叠化学信号是一种有效的新技术。
这种技术是用于处理由不同物质混合而成的信号中的重叠信号。
在本文中，我们将探讨如何使用二阶样条小波卷积法来分辨重叠化学信号，并介绍了该方法所涉及的一些基本概念。
一阶样条小波卷积法（CWT）可以将不同的信号进行精确的分离，并使重叠的信号可以清晰的可见。
这是因为样条小波卷积技术能够分析复杂的信号，让它们可以更加清晰地把握它们的形状特征，以及彼此之间的相关性。
样条小波卷积法还提供了一个高效的方法来对混合信号进行处理，并把重叠信号区别开来，这使得研究者能够获得更准确的结果。
二阶样条小波卷积法的基本原理是，它使用小波变换（Wavelet Transform）来分析信号的时域特征，以及信号之间的相关性。
小波变换可以将涉及复杂形状的信号压缩为一个或几个简便的数字序列，对于复杂的信号可以有效的把握它们的特性。
小波变换在处理混合信号时，还能把信号中的重叠信号分开。
在分析重叠化学信号时，二阶样条小波卷积法（CWT）可以用来计算信号的相关性。
在这种情况下，小波变换可以将两个信号的时间响应进行对比，以及把信号之间的相关性测量出来。
这样的时间响应对比能够得到准确的结果，从而可以有效地测量出信号之间的差异，从而分辨出重叠化学信号。
另外，二阶样条小波卷积法（CWT）还能够分析仪器背景噪声，以及信号中的其它杂波，并能够根据信号的时间特征进行有效的分离。
这对于研究者来说，可以更有效地分辨出有价值的信号，从而更加准确地鉴定化学物质。
二阶样条小波卷积法（CWT）在处理重叠化学信号方面的成功，表明它是一种有效的新技术。
小波变换和二阶样条小波卷积法（CWT）能够把不同的信号进行精确的分离，而且能有效地把信号中的重叠信号分辨出来，从而提高实验结果的准确性。
此外，二阶样条小波卷积法（CWT）还可以有效地分析仪器背景噪声，并能更好地鉴定化学物质。
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N o. 1 2 3 4 5 6 Lu 15 0 25 0 40 0 16 0 10 0 34 0 Yb 10 0 30 0 12 0 38 0 20 0 34 0 Tm 30 0 15 0 25 0 40 0 35 0 16 0 Er 25 0 18 0 15 0 18 0 32 0 30 0 Ho 38 0 22 0 15 0 26 0 24 0 35 0 Tb 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2
小波分析( Wavelet Analysis) 是从 80 年代发展起来的信号处理方法, 并在许多学术领域 得到了成功的应用[ 1, 2] . 90 年代初, 小波分析被引入化学领域并成功地应用于化学信号的处 理[ 311] . 结果表明, 小波分析可成功地用于分析化学数据的平滑滤噪、基线校正以及重叠信 号的解析, 可作为多组分复杂体系中组分同时测定的手段之一 . 但当信号的重叠程度比较严 重时解析结果仍不太理想 . 小波包分析 ( Wavelet Packet s Analysis) 是小波分析的发展 , 它不仅 保持了小波分析的时 频局部化特性, 而且对时域和频率域的分辨能力得到了进一步的提高 . 因此, 小波包分析用于分析化学信号的处理具有更强的能力. 但小波包分析在化学领域中的 应用还比较少 , 在重叠信号的解析方面的研究尚未见报道. 本文提出了适合于处理分析化学信号的小波包分析计算方法, 并将该算法成功地应用于 严重重叠且带有较大噪音的色谱数据的解析 , 得到了满意的结果.
2
2. 1
实验部分
仪器与试剂 Spect rasystem F L2000 高效液相色谱仪 ( Spectra P hysics, U SA) , 其中包括自动进样器 ,
Spect ra F ocus 紫外 可见多波长检测器 , 及一台联机的控制和数据处理 Spect rasystem 工作站 ; Shim adzu LC 6A 输液泵 ( 日本岛 津) 用于 柱后显色剂的注入; 色谱柱为 10 m 进口固定相
小波基) 对图 1( f ) 的重叠色谱图进行了 6 次分解 , 得到了 127 个不同的频率成分 . 其中的一 部分频率成分如图 2 所示 . 为了清楚地说明问题 , u( 6 , 2) 和 u ( 6, 3) 分别放大了 10 倍 . 由图 2 可见 , 当分解次数 j & 4 时 , 色 谱信 息 几 乎 完 全 保 留 在 最 低 频 的 成 分 u( j , 0) 中 , 其它的频率成分由高频的噪音 组成, 直 到 分 解 次 数 为 5 时 , 对 应 于 u( 4 , 0) 的高频部分 u ( 5, 1 ) 才出现了色谱 信息 . 因此, 第六次分解的前 4 个频率成 分均表示色谱信息的不同频率成分 . 比较 图 2 中 u( 6 , b) 可以 看出, 在 较低频 的 3 个频率成分中 L u 和 Yb 两个 组分的色谱 峰仍有一定程度的重叠, 但在 u ( 6, 3) 中 所有组分的色谱峰均得到了较好的解离. 另外 , T b 的色谱峰表明 , 在小波包分析分 解得到的信号中色谱峰的形状和位置基本 保持不变 . 由于小波包变换是一种线性变 换, u ( 6, 3) 可以直接用于定量分析
44
高等学校化学学报
V ol. 20
ODS 硅胶柱 ( 大连化物所, 250 mm
5 mm) .
- 4
1 000 mg / L 稀土标准溶液由稀土氧化物 ( 99 95% ) 溶于盐酸配制 ; 流动相为 0 25 mol/ L ( pH 3 5) 乳酸 ( A. R. ) 溶液( 含 0 01 mol/ L 十二烷基磺酸钠) ; 柱后显色剂为 1 0 10 mol/ L 偶氮胂 ∀ 溶液( Fluka Chemie AG) . 样品为不同浓度的 Lu, Yb, T m, Er, Ho, T b 共 6 种稀土 离子的混合溶液 ( 见表 1) . 所有溶液使用前均经 0 25 m 的滤膜过滤.
2. 2
实验条件与测定结果
流动 相 流速 为 1 0 mL/ min; 柱 温 为 20 % ; 显色剂流速为 1 0 mL/ min; 检测波长 655 nm; 采样时间间隔为 0 005 min. 图 1 为表 1 中各样 品的色 谱测 定结 果, 出峰 顺序 为 L u, Yb, T m , Er, Ho, T b.
[ 9, 11]
Fig. 2 Decomposition of the overlapping chromatogram by wavelet packets transform
.
No. 1
邵学广等 : 小波包分析用于重叠分析化 学信号的处理
45
3. 2
小波分析与小波包分析的比较 图 3 为图 1( f ) 谱图分别采用小波分析 [ 9, 11] 和小波包分析 ( Daubechies, N = 4 小波基 ) 解
* * [ 13, 14] *
( 3) ( 4) . 每次分解数
据点数减半, 即 u( j + 1, 2 b) 和 u( j + 1, 2 b + 1) 的数据点数为 u( j , b) 点数的一半, 保持数据 总点数不变 . 因此, 此算法要求测量信号 u( 0, 0) 的数据点数为 2N ( N 为整数) . 另外 , 由于数据 点数的减少, 分解结果的连续性会遭到破坏, 所以必须将分解结果进行重构( 逆变换) 才能得到 有意义的结果. 这种限制对解决分析化学中的实际测量数据有时带来很大的不便. 根据以往的研究结果 [ 911] , 我们将式( 3) 和 ( 4) 改写为 : u( j + 1, 2* b) = H ( j ) u( j , b) u( j + 1, 2 b + 1) = G H
[ 12]
1
1. 1 C
( 0)
原理与算法
小波包分析的原理 小波及小 波变 换已 有许多 报道 [ 111] . 小波 变换的 实质 是对 某 函数 f ( x ) 或 测量 信号 ( n ) 进行多尺度分析( M ult iresolut ion Analysis, M RA) , 即 :
J
V 0 = W1
Fig. 4
Results obtained with different wavelet basis
a . Haar; b . daubech ies; c . symmlet .
3. 3
小波基对解析结果的影响 分别对 H aar, Daubechies, Symmlet , Coiflet 和 Beylkin 等小波基对解析结果的影响进行
43
式中 B = 2J - 1, J 为分解次数. 如果用 u( j , b ) ( j = 1 J) 表示 u ( 0, 0) 在 U( j , b) 中的投影, 则 u ( j , b) 表示原始信号 u( 0, 0) 中频率为 b 2- j ~ ( b + 1) 2- j ( b = 0, , B) 的成分. 因此, 小波包分 析不仅保持了小波分析的时域分辨能力, 而且在频率域中具有更强的分辨能力. 对于重叠的分析化学信号 , 特别是重叠色谱信号 , 均由各组分的信息迭加而成 . 而每一 组分的信息, 在时域或频率域中总存在着一定的差别 . 因此, 采用小波分析将重叠信号分解 即可得到各组分的信息 . 但当重叠程度严重时, 采用小波分析不能得到满意的结果, 而 采用分辨能力较强的小波包分析则可以得到较好的解析结果. 1. 2 算 法
V1 = W1
W2
V2=
=
j= 1
Wj
VJ
( 1)
式中 J 为分解的尺度( 或次数) , Vj 和 W j ( j = 1 J ) 分别为 V 0 空间在不同尺度下经过正交分 解所得到的子空间. 由于在小波分解的过程中 , 每次分解都是对 V 空间中分量的进一步分 解, 与 W 空间中的分量无关. 因此 , 小波分析在频率域的分辨率是有一定限度的 . 小波包分析同样是对某函数 f ( x ) 或测量信号 u ( 0, 0) 进行多尺度分析 . 但不同于小波分 析的是它同时对两个子空间进行分解, 即: V 0 = U( 1 , 0) [ U( 2, 0) U( 1 , 1) =
了研究 . 图 4 为解析结果较好的三种小波基 [ Haar, Daubechies( N = 4) 和 Symmlet ( N = 4 ) ] 对 图 1( f ) 解析的结果. 由图 4 可见, H aar 小波基的解析结果峰形较好, 但分辨能力较差 , 重叠 较严重的色谱峰 ( L u 和 Yb) 未能得到解离. Daubechies 小波基具有比 H aar 更强的分辨能力 . Sym mlet 的分辨能力最强, 但旁瓣效应较明显, 有时会导致简单谱图的复杂化 , 甚至导致组 分数( 峰的个数 ) 的错误判断. 因此 , 在重叠程度不太严重时, 使用 H aar 或 Daubechies 小波基 较为理想 . 但对于重叠严重的谱图, 采用 Symmlet 小波基可以得到较好的解析结果. 3. 4 小波包分析的解析结果 图 5 为采用 Symm let 小波基对图 1 中各重叠色谱进行解析得到类似于图 4( c ) 所示的结 果, 并利用 Origin( Version 5. 0) 软件扣除基线后得到的色谱图[ 9] . 由图可以看出 , 重叠峰中 的 5 个峰得到了较好的分离. 除谱图中的 Yb 峰外 , 所有峰均具有良好的对称性.
析得到的结果. 通过比较可以发现, 小波包的解析结果明显优于小波分析 , 特别是对于重叠 严重的 Lu 和 Yb 峰, 在谱图( a ) 中仍有严重的重叠 , 而在谱图( b ) 中基本得到了解离.
Fig. 3
Comparison between the results obtained by wavelet transform ( a ) and wavelet packets transf orm( b )