杨浦区第二学期八年级数学期末卷
2019-2020学年下海市杨浦区八年级第二学期期末达标检测数学试题含解析
2019-2020学年下海市杨浦区八年级第二学期期末达标检测数学试题一、选择题（每题只有一个答案正确）1．电影院里的座位按“×排×号”编排，小明的座位简记为(12，6)，小菲的座位简记为(12，12)，则小明与小菲坐的位置为( )A．同一排B．前后同一条直线上 C．中间隔六个人D．前后隔六排2．下列四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4=0的一个解，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长为( )A．5 B．125C．245D．1856．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD7．函数y 5x 1=-中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．1x 5≥D ．1x 5≥- 8．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）A ．3、4、5B ．5、12、13C ．325、、D ．7、24、259．在平行四边形ABCD 中，若∠B=135°，则∠D=（ ）A ．45°B ．55°C ．135°D ．145° 10．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题11．直角三角形中，两条直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是________．12．若一次函数()21y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是_____.13．观察下列各式：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41…根据发现的规律得到132= ____ + ____． 14．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．如果AC=8，BD=14，AB=x ，那么x 的取值范围是____．15．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为b(a ＞b)，M 是BC 边上一个动点，联结AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转恰好至△NGF ．给出以下三个结论：①∠AND ＝∠MPC ； ②△ABM ≌△NGF ；③S 四边形AMFN ＝a 1+b 1．其中正确的结论是_____(请填写序号)．16．若数a 使关于x 的不等式组11+2352x x x x a-⎧⎪⎨⎪-≥+⎩＜有且只有四个整数解，且使关于y 的方程211y a a y y ++--＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为_____．171x +有意义，则x 的取值范围为___． 三、解答题18．如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，DF 平分∠ADC ，交BC 于点F ，CE 与DF 交于点P ，连接EF ，BP ．(1)求证：四边形CDEF 是菱形；(2)若AB ＝2，BC ＝3，∠A ＝120°，求BP 的值．19．（6分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示．①当0≤x≤3时，求y 与x 之间的函数关系．②3＜x≤12时，求y 与x 之间的函数关系．③当容器内的水量大于5升时，求时间x 的取值范围．20．（6分）解下列方程：（1）22122x x x-=--； （2）2660x x -+=. 21．（6分）如图，ABCD ◇的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE=CF ．（1）求证：BOE DOF △≌△；（2）若BD=EF ，连接BE 、BF ，判断四边形BEDF 的形状，并说明理由．22．（8分）已知x=2+1，y=2-1，求x y y x-的值． 23．（8分）已知：如图，在ABC ∆中，,36AB AC B =∠=︒。
杨浦八年级数学期末试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，是质数的是（）A. 17B. 18C. 19D. 202. 一个长方形的长是10cm，宽是6cm，那么它的周长是（）A. 26cmB. 32cmC. 34cmD. 36cm3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形4. 下列方程中，x=3是它的解的是（）A. 2x + 5 = 11B. 3x - 2 = 7C. 4x + 1 = 15D. 5x - 3 = 125. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 < b - 2C. a + 2 < b + 2D. a - 2 > b - 2二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，那么这个三角形的周长是______cm。
7. 2的平方根是______，3的立方根是______。
8. （-5）的相反数是______，0的倒数是______。
9. 如果a = -3，那么a的平方是______。
10. （3x + 2）-（2x - 5）=______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算下列各式的值：（1）(-3)² × (-2)³（2）-2(5 - 3x) + 4x12. 解下列方程：（1）2x - 5 = 3（2）3(x - 2) + 2 = 4x + 113. 已知一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，求这个三角形的面积。
四、应用题（每题10分，共20分）14. 小明家装修，需要购买地砖。
已知地砖的边长为0.5m，小明家客厅的长为4m，宽为3m，请计算小明家需要购买多少块地砖。
15. 学校举行篮球比赛，甲队与乙队进行单循环比赛，共进行了5场比赛。
已知甲队赢了3场，请问乙队赢了多少场？答案：一、选择题1. A2. B3. D4. C5. A二、填空题6. 28cm7. -2，1.7328. 5，不存在9. 9 10. x + 7三、解答题11. （1）-24 （2）4x - 112. （1）x = 4 （2）x = 313. 三角形面积 = (底边长× 高) / 2 = (8cm × 10cm) / 2 = 40cm²四、应用题14. 小明家客厅面积 = 长× 宽= 4m × 3m = 12m²地砖面积= 0.5m × 0.5m = 0.25m²所需地砖块数 = 客厅面积 / 地砖面积= 12m² / 0.25m² = 48块15. 甲队赢了3场，乙队赢了5 - 3 = 2场。
杨浦初二期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001……D. -32. 已知x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2，3B. 1，6C. 2，-3D. 1，-63. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = x² + 1B. y = 2x - 3C. y = √xD. y = 1/x4. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）5. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则这个三角形的周长是（）A. 24cmB. 28cmC. 32cmD. 36cm6. 已知a，b，c是等差数列，且a+b+c=9，a+c=5，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列各式中，能够化简为同类二次根式的是（）A. √9 + √16B. √25 - √4C. √36 + √1D. √81 - √98. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 梯形9. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 下列各数中，不是实数的是（）A. √4B. √-1C. -√9D. √-4二、填空题（每题3分，共30分）11. 3x² - 6x + 3的因式分解为______。
12. 已知a² + b² = 25，a - b = 3，则a + b的值为______。
13. 函数y = 2x + 1在x=2时的函数值为______。
14. 在平面直角坐标系中，点P（3，-4）到原点O的距离为______。
15. 等腰三角形底边长为10cm，腰长为8cm，则这个三角形的面积是______cm²。
2019-2020学年上海市杨浦区八年级(下)期末数学试卷 (教师版)
2019-2020学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣32．（3分）一次函数y＝x﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）下列方程组是二元二次方程组的是（）A．B．C．D．4．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5．（3分）下列事件为必然事件的（）A．方程x2+1＝0在实数范围内有解B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．（3分）如果点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象与直线y＝3x平行，那么k＝．8．（2分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么m 的取值范围是．9．（2分）方程x3﹣27＝0的根是．10．（2分）方程＝x的根是．11．（2分）二元二次方程x2﹣xy﹣6y2＝0可以化为两个一次方程，它们是．12．（2分）已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是．13．（2分）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是．14．（2分）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工人．15．（2分）在平行四边形ABCD中，如果∠B＝3∠A，那么∠A＝度．16．（2分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为．17．（2分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，AC⊥AB，那么梯形ABCD 的周长＝．18．（2分）已知在直线l上有A、B两点，AB＝1，以AB为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线l上的点E处，那么AE＝．三、解答题（本大题共6题，满分40分）19．（6分）解方程：﹣＝120．（6分）解方程组：21．（6分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，点E在边BC上，DE∥AB，请回答下列问题：（1）写出所有与互为相反的向量是；（2）在图中求作与的和向量：+＝；（3）在图中求作与的差向量：﹣＝；（4）++＝．22．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．23．（8分）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．24．（8分）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．四、解答题（本大题共2题满分18分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y＝2x向下平移后与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．（1）求k的值．（2）求平移后的直线的函数解析式．26．（10分）已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝，BC＝，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2，当△AED是直角三角形时，求BC的长．2019-2020学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】代入x＝0，求出y值，此题得解．【解答】解：当x＝0时，y＝2x﹣3＝﹣3，∴一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是﹣3．故选：D．2．（3分）一次函数y＝x﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据直线y＝kx+b（k≠0）的k、b的符号判定该直线所经过的象限．【解答】解：∵一次函数y＝x﹣1的1＞0，∴该直线经过第一、三象限．又﹣1＜0，∴该直线与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝x﹣1的图象一、三、四象限，即该函数不经过第二象限．故选：B．3．（3分）下列方程组是二元二次方程组的是（）A．B．C．D．【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论．【解答】解：选项A符合二元二次方程组的概念；选项B含分式方程，选项D含无理方程，故B、C都不是二元二次方程组；选项C是二元一次方程组．故选：A．4．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：A．5．（3分）下列事件为必然事件的（）A．方程x2+1＝0在实数范围内有解B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【分析】根据一元二次方程的解法、矩形和菱形的判定定理判断．【解答】解：A、方程x2+1＝0在实数范围内有解，是不可能事件；B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件；C、对角线相等的平行四边形是矩形，是必然事件；D、对角线互相垂直的四边形是菱形，是随机事件；故选：C．6．（3分）如果点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量【分析】由点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，可得|AD|＝|BC|，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用．【解答】解：∵点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，∴|AD|＝|BC|．A、与方向相反，∴≠，故本选项错误；B、∵与方向相反，∴≠，故本选项错误；C、∵相反向量是方向相反，模相等的两向量，而|AD|＝|BC|＞|BD|，∴与不是相反向量，故本选项错误；D、∵与共线，∴与是平行向量，故本选项正确．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象与直线y＝3x平行，那么k＝4．【分析】根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象与直线y＝3x平行，∴k﹣1＝3，∴k＝4，故答案为：4．8．（2分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么m 的取值范围是m．【分析】根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m的增减性列出不等式1﹣2m＜0，通过解该不等式即可求得m的取值范围．【解答】解：由题意得，1﹣2m＜0，解得，m＞；故答案为m．9．（2分）方程x3﹣27＝0的根是x＝3．【分析】先移项，再开立方即可．【解答】解：x3﹣27＝0，x3＝27，x＝＝3，故答案为：x＝3．10．（2分）方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．11．（2分）二元二次方程x2﹣xy﹣6y2＝0可以化为两个一次方程，它们是x﹣3y＝0和x+2y ＝0．【分析】先因式分解二元二次方程，根据两个式子的积为0得结论．【解答】解：因为x2﹣xy﹣6y2＝（x﹣3y）（x+2y），所以x2﹣xy﹣6y2＝0可化为x﹣3y＝0或x+2y＝0．故答案为：x﹣3y＝0和x+2y＝0．12．（2分）已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是3y2+3y﹣2＝0．【分析】由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．【解答】解：设y＝，方程﹣+3＝0变形为3y﹣+3＝0，整理得：3y2+3y﹣2＝0．故答案为：3y2+3y﹣2＝013．（2分）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是．．【分析】先求出所有球的个数与黑球的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：∵共4+3＝7个球在袋中，其中3个黑球，∴摸到黑球的概率为．故答案为：．14．（2分）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工50人．【分析】设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，依题意，得：x（x﹣1）＝2450，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）．故答案为：50．15．（2分）在平行四边形ABCD中，如果∠B＝3∠A，那么∠A＝45度．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，又由∠A+∠B＝180°，即可求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∵∠B＝3∠A，A+∠B＝180°，∴∠A＝45°．故答案为：45．16．（2分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为120．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB＝90°，AO＝5，在Rt△AOB中，BO＝＝12，∴BD＝2BO＝24．∴则此菱形面积是＝120，故答案为：120．17．（2分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，AC⊥AB，那么梯形ABCD 的周长＝20．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，根据平行线的性质得到∠DAC ＝∠ACB，得到∠DCA＝∠ACB，根据直角三角形的性质列式求出∠BCA＝30°，根据直角三角形的性质求出BC，根据梯形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DCA＝∠ACB，∵AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠BCD＝2∠ACB，∵AC⊥AB，∴∠B+∠BCA＝90°，即3∠BCA＝90°，∴∠BCA＝30°，∴BC＝2AB＝8，∵AB＝AD＝DC＝4，BC＝8，∴梯形的周长＝4+4+4+8＝20，故答案为：20．18．（2分）已知在直线l上有A、B两点，AB＝1，以AB为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线l上的点E处，那么AE＝+1或．【分析】分两情况，当点E在AB的延长线上，当点E在BA的延长线上，由勾股定理求出BD的长，则可得出答案．【解答】解：如图1，当点E在AB的延长线上，∵正方形ABCD中，AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，∴BD＝＝，∵将BD绕着点B旋转，使点D落在直线l上的点E处，∴BD＝BE＝，∴AE＝AB+BE＝1+；如图2，当点E在BA的延长线上，同理可得BD＝BE＝，∴AE＝BE﹣AB＝﹣1．∴AE的长为+1或﹣1．故答案为：+1或﹣1．三、解答题（本大题共6题，满分40分）19．（6分）解方程：﹣＝1【分析】将方程化为＝+1，然后两边平方即可求出答案．【解答】解：＝+1x+2＝x+2+11＝220．（6分）解方程组：【分析】解①，用含y的代数式表示x，然后代入②求出y，再求出方程组的解．【解答】解：，由①，得x（x+y）＝0，所以x＝0或x＝﹣y．把x＝0代入②，得2y2＝6，解得y＝．把x＝﹣y代入②，得y2+3y2+2y2＝6，整理，得y2＝1，所以y＝±1．所以x＝﹣1或1．故原方程组的解为：，，，21．（6分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，点E在边BC上，DE∥AB，请回答下列问题：（1）写出所有与互为相反的向量是或；（2）在图中求作与的和向量：+＝；（3）在图中求作与的差向量：﹣＝；（4）++＝．【分析】（1）根据相反向量的定义判断即可．（2）利用三角形法则计算即可．（3）利用三角形法则计算即可．（4）利用三角形法则计算即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，∴与互为相反的向量是或．故答案为或．（2）由题意，+＝+＝，故答案为．（3）由题意，﹣＝+＝，故答案为．（4）由题意++＝，故答案为．22．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．【分析】易证DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，推出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，则四边形DEGF是平行四边形，由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，则∠ADE＝∠AED，证∠ADE+∠A＝90°，∠ADE+∠BDF＝90°，推出∠EDF＝90°，即可得出结论．【解答】证明：∵点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，FG∥BC，FG＝BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEGF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，即2∠ADE+∠A＝180°，∴∠ADE+∠A＝90°，∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDF＝∠A，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠BDF＝180°﹣90°＝90°，∴四边形DEGF是矩形．23．（8分）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，依题意，得：﹣＝，整理，得：x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4，经检验，x1＝3，x2＝﹣4是原方程的解，x1＝3符合题意，x2＝﹣4不符合题意，舍去．答：学生返回时步行的速度为3千米/小时．24．（8分）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．【分析】（1）由题意列出y关于x的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域．（2）由交费可知说明该户用水量已超过220立方米，把数值代入函数关系式．【解答】解：（1）情况①：y＝（1.92+1.53）x，即y＝3.45x（0＜x≤220），情况②：y＝220×（1.92+1.53）+（x﹣220）（3.30+1.53），即所求的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（x＞220）；（2）当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，则4.83x﹣303.6＝1000.5，解得x＝270．答：该户一个月的用水量为270立方米．四、解答题（本大题共2题满分18分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y＝2x向下平移后与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．（1）求k的值．（2）求平移后的直线的函数解析式．【分析】（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；（2）方法一、先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．方法二、先设出点P的坐标，利用△POA的面积为2．建立方程求出点P的坐标，即可得出结论．方法3，先判断出S△AOP＝S梯形AMNP，再同方法二，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝2x，∴2＝2m，∴m＝1，∴点A（1，2），∵点A（1，2）在反比例函数y＝上，∴k＝2，（2）方法一、如图，设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴由（1）知，A（1，2），∴OA＝，sin∠BON＝sin∠AOC＝＝，∵S△POA＝OA×PM＝×PM＝2，∴PM＝，∵PM⊥OA，BN⊥OA，∴PM∥BN，∵PB∥OA，∴四边形BPMN是平行四边形，∴BN＝PM＝，∵sin∠BON＝＝＝，∴OB＝4，∵PB∥AO，∴B（0，﹣4），∴平移后的直线PB的函数解析式y＝2x﹣4，方法二、如图1，过点P作PC⊥y轴交OA于C，设点P的坐标为（n，）（n＞1），∴C（，），∴PC＝n﹣，∵△POA的面积为2．A（1，2）∴S△POA＝S△PCO+S△PCA＝（n﹣）×+（n﹣）（2﹣）＝（n﹣）×2＝n﹣＝2，∴n＝1﹣（舍）或n＝1+，∴P（1+，2﹣2）∴PB∥AO，∴设直线PB的解析式为y＝2x+b，∵点P在直线PB上，∴2﹣2＝2（1+）+b，∴b＝﹣4，∴平移后的直线PB的函数解析式y＝2x﹣4，方法3，过点A作AM⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，∵点A，P是反比例函数y＝图象上，∴S△AOM＝S△PON，∴S△AOP＝S梯形AMNP＝2，∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1，设点P（m，），（m＞1）∴ON＝m，PN＝，∴MN＝m﹣1，∴S梯形AMNP＝（PN+AM）×MN＝（+2）×（m﹣1）＝2，∴m＝1﹣（舍）或m＝1+，∴P（1+，2﹣2）∴PB∥AO，∴设直线PB的解析式为y＝2x+b，∵点P在直线PB上，∴2﹣2＝2（1+）+b，∴b＝﹣4，∴平移后的直线PB的函数解析式y＝2x﹣4，26．（10分）已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝，BC＝，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2，当△AED是直角三角形时，求BC的长．【分析】（1）由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC．则EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，得∠ACE＝∠CAD，证出OA＝OC，则OD＝OE，由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证出∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，即可得出结论；（2）证四边形ABCD是矩形，则∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝，设OA ＝OC＝x，则OD＝﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得出方程，求出OA＝，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：∠EAD＝90°或∠AED＝90°，需要画出图形分类讨论，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：△ABC≌△△AEC，∴∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACE＝∠CAD，∴OA＝OC，∴OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AOC＝∠DOE，∴∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，∴AC∥DE；（2）解：∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝，由（1）得：OA＝OC，设OA＝OC＝x，则OD＝﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：（）2+（﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴OA＝，∴△OAC的面积＝OA×CD＝××＝；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于G，∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，∵AD∥BC，∠EAD＝90°，∴∠EGC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴∠AEC＝30°，∴GC＝EC＝BC，∴G是BC的中点，在Rt△ABG中，BG＝AB＝3，∴BC＝2BG＝6；②如图4，当∠AED＝90°时∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，由折叠的性质得：AE＝AB，∴AE＝CD，在△ACE和△CAD中，，∴△ACE≌△CAD（SSS），∴∠ECA＝∠DAC，∴OA＝OC，∴OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AED＝∠CDE，∵∠AED＝90°，∴∠CDE＝90°，∴AE∥CD，又∵AB∥CD，∴B，A，E在同一直线上，∴∠BAC＝∠EAC＝90°，∵Rt△ABC 中，∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝AB＝2，BC＝2AC＝4；的长为4或6．综上所述，当△AED是直角三角形时，BC。
杨浦区期末八年级数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个等边三角形的边长为a，则其周长为（）A. 3aB. 2aC. aD. a/22. 下列选项中，能表示圆的方程是（）A. x² + y² = 1B. x² + y² = 4C. x² + y² = 9D. x² + y² = 163. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，3），则k+b的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 24. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于y轴的对称点为（）A. （1，2）B. （-1，-2）C. （-1，2）D. （1，-2）5. 已知正方形的对角线长度为4，则其边长为（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则其高为（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 下列选项中，能表示正比例函数的是（）A. y=2x+3B. y=x²C. y=3/xD. y=2x8. 在等差数列中，已知首项为2，公差为3，则第10项为（）A. 29B. 30C. 31D. 329. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，1），则k+b的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 210. 在直角坐标系中，点B（3，-4）关于x轴的对称点为（）A. （3，4）B. （-3，-4）C. （-3，4）D. （3，-4）二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知等边三角形的边长为a，则其面积S为______。
12. 下列方程中，表示圆的方程是______。
13. 一次函数y=kx+b的图象经过点（2，3），则k+b的值为______。
14. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于y轴的对称点为______。
15. 正方形的对角线长度为4，则其边长为______。
16. 等腰三角形底边长为6，腰长为8，则其高为______。
17. 能表示正比例函数的是______。
2023-2024学年上海市杨浦区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）下列函数中，一次函数的是（）A．y＝2B．y＝2xC．D．y＝kx+2（k为常数）2．（3分）下列方程中，有实数根的方程是（）A．B．C．x2+1＝0D．x3+1＝03．（3分）下列关于向量的等式中，正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列事件中，随机事件的是（）A．直线y＝x﹣2与直线y＝2x+1有公共点B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3C．任取一个实数，它的平方小于零D．掷一次骰子，向上的一面是6点5．（3分）下列命题中，正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是正方形6．（3分）上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程．如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）直线y＝2x﹣1的截距是．8．（3分）方程x3+8＝0的根是．9．（3分）方程＝1的解是．10．（3分）方程组的解是．11．（3分）如果直线y＝x+m﹣1经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是．12．（3分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．13．（3分）在四张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为．14．（3分）某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为x，那么可列方程为．15．（3分）如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形的边数是．16．（3分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为厘米．17．（3分）已知直线l1：y1＝k1x+b1与直线l2：y2＝k2x+b2，如果满足k1＝b2，k2＝b1，那么直线l1与直线l2称为“互为交换直线”如果直线y＝2x+m与其交换直线分别与y轴交于点A、B，且AB＝1，那么m ＝．18．（3分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝5，AD＝4，BE平分∠ABC，交边AD于点E．如果△BEC是直角三角形，那么DE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分46分）19．（5分）解方程：20．（5分）解方程组：．21．（5分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点．（1）写出图中所有与BE相等的向量：；（2）用图中的向量表示：＝；（3）求作：（不要求写作法，但要写出结论）．22．（5分）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．23．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点P，点E、F分别是BD、AC的中点，联结EF．（1）求证：EF∥BC；（2）联结AE、DF，如果AE⊥EF，求证：四边形AEFD是矩形．24．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣2，0），点B（0，4）．点C是x轴上一点，点Q是平面内一点，四边形ACBQ是菱形．（1）求点C和点Q的坐标；（2）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是直线x＝1上的一个动点，纵坐标为t，且四边形AECB是凹四边形（线段AE与线段BC没有交点），求t的取值范围．25．（10分）已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是边AD上的动点，联结BE．线段BE绕点B 顺时针旋转90°，点E落在点F处．（1）如图1，当AE＝1时，求△DEF的面积；（2）设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数关系式和定义域；（3）作∠EBF的平分线与边CD所在直线交于点G，如果DG＝2，求AE的长．2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．【分析】根据一次函数的定义解答即可．【解答】解：A、y＝2，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；B、y＝2x属于一次函数，故此选项符合题意；C、y＝是反比例函数，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；D、当k＝0时，y＝kx+2不是一次函数，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的定义．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．2．【分析】根据方程的知识、算术平方根的知识、平方的知识、立方根的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：由分子为0而分母不为0可得分式为0可知A中x无解，不符合题意；由可得：，根据算术平方根的非负性可知B中x无解，不符合题意；由x2+1＝0可得x2＝﹣1，根据平方的非负性可知C中x无解，不符合题意；由x3+1＝0可得x3＝﹣1，x＝﹣1，所以D中x有实数根，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了方程的知识、算术平方根的知识、平方的知识、立方根的知识．3．【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．【解答】解：∵，||﹣||＝0，||+||≠0，||＝0，∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．4．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、直线y＝x﹣2与直线y＝2x+1不平行，所以有公共点，是必然事件，不符合题意；B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3是必然事件，不符合题意；C、任取一个实数，它的平方小于零是不可能事件，不符合题意；D、掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，符合题意；故选：D．【点评】本题考查随机事件、一次函数的性质、两条直线香蕉或平行问题，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．5．【分析】利用矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、菱形对角线必然互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．6．【分析】由甲、乙速度之间的关系可得出甲的速度为1.5x km/h，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前15分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度为x km/h，∴甲的速度为1.5x km/h．依题意得：﹣＝0.25．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．【分析】根据截距的定义：直线y＝kx+b中，b就是截距，即可得到答案．【解答】解：令x＝0，得y＝﹣1，∴直线y＝2x﹣1的截距是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键．8．【分析】把方程变形为形为x3＝﹣8，利用立方根求解即可．【解答】解：（法1）方程可变形为x3＝﹣8，因为（﹣2）3＝﹣8，所以方程的解为x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2（法2）方程可变形为x3＝﹣8，所以x＝＝﹣2．故答案为：x＝﹣2【点评】本题考查了立方根的意义，解决本题可利用立方的办法．9．【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．【解答】解：，两边平方得，2x﹣3＝1，解得，x＝2；经检验，x＝2是方程的根；故答案为x＝2．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．10．【分析】根据根与系数的关系，x、y可看作方程t2﹣5t+6＝0的两根，利用因式分解法科得到t1＝2，t2＝3，则或．【解答】解：根据题意x、y可看作方程t2﹣5t+6＝0的两根，（t﹣2）（t﹣3）＝0，解得t1＝2，t2＝3，所以或．故答案为或．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了根与系数的关系．11．【分析】根据一次函数的性质和图象在的象限即可列出一元一次不等式，进而求出m的范围．【解答】解：∵1＞0，∴y＝x+m﹣1经过一、三象限，∵y＝x+m﹣1经过第一、三、四象限，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题主要考查了一次函数的知识、一元一次不等式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．12．【分析】结合已知条件换元后再去分母即可．【解答】解：设y＝，则＝，原方程化为：y+＝3，去分母得：y2+1＝3y，即y2﹣3y+1＝0，故答案为：y2﹣3y+1＝0．【点评】本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握．13．【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、矩形、菱形是中心对称图形，然后利用概率的定义计算即可．【解答】解：∵平行四边形、矩形、菱形是中心对称图形，∴抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查了求概率的方法：先找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算这个事件的概率为P＝，熟练掌握概率的定义是解题的关键．14．【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程1500（1﹣x）2＝980，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，1500（1﹣x）2＝980，故答案为：1500（1﹣x）2＝980．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．15．【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1080°，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1080°，解得n＝8，故这个多边形为八边形．故答案为：八．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．16．【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长．【解答】解：∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，∴两底的和＝50﹣12×2＝26（厘米），∴这个梯形的中位线长为×26＝13（厘米），故答案为：13．【点评】本题主要考查了梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．17．【分析】由新定义得直线y＝2x+m的交换直线为直线y＝mx+2，可得B（0，2），A（0，m），根据AB ＝1即可求解．【解答】解：由题意得直线y＝2x+m的交换直线为直线y＝mx+2，∵直线y＝2x+m与其交换直线分别与y轴交于点A、B，∴B（0，2），A（0，m），∵AB＝1，∴m＝1或3．故答案为：1或3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解新定义是本题的关键．18．【分析】当△BEC是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠BCE＝90°时，过点B作BG⊥DC，交DC延长线于G，先证明四边形ABGD为矩形，得BG＝AD＝4，DG＝AB＝5，设DE＝x，则AE＝4﹣x，再证明△CBE和△ABE全等得BC＝AB＝5，CE＝AE＝4﹣x，由此得CG＝3，CD＝2，然后在Rt△CDE 中，由勾股定理求出x＝1.5，由此可得DE的长；②当∠BEC＝90°时，过点E作EH⊥BC于H，先证明△HBE和△ABE全等得EH＝AE，∠HEB＝∠AEB，再证明△CEH和△CED全等得EH＝DE，由此可得DE＝AE＝AD＝2，综上所述即可得DE的长．【解答】解：依题意得，当△BEC是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠BCE＝90°时，过点B作BG⊥DC，交DC延长线于G，如图1所示：∵AB∥CD，∠A＝90°，∴∠D＝∠A＝90°，∠BCE＝∠A＝90°，又∵BG⊥DC，交DC延长线于G，∴∠D＝∠A＝∠G＝90°，∴四边形ABGD为矩形，∴BG＝AD＝4，DG＝AB＝5，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，在△CBE和△ABE中，，∴△CBE≌△ABE（AAS），∴BC＝AB＝5，CE＝AE＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG＝√BC2﹣BG2＝3，∴CD＝DG﹣CG＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+CD2＝CE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5，则DE＝x＝1.5；②当∠BEC＝90°时，过点E作EH⊥BC于H，如图2所示：∵∠A＝90°，EH⊥BC于H，∴∠BHE＝∠A＝∠CHE＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠HBE＝∠ABE，在△HBE和△ABE中，，∴△HBE≌△ABE（AAS），∴EH＝AE，∠HEB＝∠AEB，∵∠BEC＝90°，∴∠CEH+∠HEB＝90°，∠CED+∠AEB＝90°，∴∠CEH＝∠CED，∵AB∥CD，∠A＝90°，∴∠D＝∠A＝90°，∴∠CHE＝∠D＝90°，在△CEH和△CED中，，∴△CEH≌△CED（AAS），∴EH＝DE，∴DE＝AE＝AD＝2，综上所述：DE的长为1.5或2．【点评】此题主要考查了梯形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握梯形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．三、解答题（本大题共7题，满分46分）19．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+2x﹣8＝x﹣2，即x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＝0，解得：x＝2或x＝﹣3，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣3．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】由②得出（x﹣3y）（x+y）＝0，求出x﹣3y＝0，x+y＝0③，由①和③组成两个二元一方程组，再求出方程组的解即可．【解答】解：，由②得：（x﹣3y）（x+y）＝0，即x﹣3y＝0，x+y＝0③，则由①和③组成两个方程组，，解之得：，，即原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组（低次方程组）是解此题的关键．21．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质及向量的意义求解；（2）根据平行四边形法则求解；（3）根据三角形法则求解．【解答】解：（1）∵点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，AD＝BD＝EF，AF＝CF＝ED，BE＝CE＝DF，∴四边形BEFD为平行四边形，∴与BE相等的向量有：DF，EC，故答案为：DF，EC；（2）根据平行四边形法则：＝，故答案为：；（3）﹣＝+＝，如图示：即为所求．【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．22．【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）先求出甲车从A到B所用时间，再求出两车的相遇时间，根据题意列方程，求解即可．【解答】解：（1）设y与x的函数解析式：y＝kx+b（k≠0），将点（0，300），（2，120）代入函数解析式，得，解得，∴y＝﹣90x+300；（2）当y＝﹣90x+300＝0时，x＝，两车相遇时，﹣90x+300＝60x，解得x＝2，根据题意，得60×2+（﹣2）a＝300，解得a＝90，答：乙车变化后的速度a为90千米/时．【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．23．【分析】（1）连接DF并延长，交BC于点H，证明△ADF≌△CHF，根据全等三角形的性质得到DF ＝FH，根据三角形中位线定理证明；（2）连接AE并延长，交BC于点G，证明四边形AGHD为矩形，根据EF∥BC，得到四边形AEFD是矩形．【解答】证明：（1）如图，连接DF并延长，交BC于点H，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠HCF，在△ADF和△CHF中，，∴△ADF≌△CHF（ASA），∴DF＝FH，∵DE＝EB，∴EF是△DBH的中位线，∴EF∥BC；（2）连接AE并延长，交BC于点G，由（1）可知：△ADF≌△CHF，∴AD＝CH，同理可得：AD＝BG，∴BG＝CH，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴∠ABG＝∠DCH，∴△ABG≌△DCH（SAS），∴∠AGB＝∠DHC，∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AG⊥BC，∴AG∥DH，∵AD∥BC，∴四边形AGHD为矩形，∵EF∥BC，∴四边形AEFD是矩形．【点评】本题考查的是梯形的性质、矩形的判定、三角形中位线定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意，画出示意图，由四边形ACBQ是菱形，得到AB⊥CQ，AC＝BC，设点C（t，0）（t＞0），Q（m，4），可得OC2+OB2＝AC2，求出t，即C（2，0），在根据菱形对角线互相平分且垂直，即可求解；（2）根据题意画出示意图，求出直线AB，BC的解析式，结合“凹多边形”的定义找到临界点即可求解．【解答】解：（1）如图，∵四边形ACBQ是菱形，∴AB⊥CQ，AC＝BC，AC∥BQ，设点C（t，0）（t＞0），Q（m，4），∴OC2+OB2＝AC2，即162+t2＝（t+2）2，∴t＝3，即C（3，0），∵＝，∴m＝﹣5，即Q（﹣5，4）；（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），C（3，0），将点A（﹣2，0），B（0，4）代入直线AB：y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，设直线BC的解析式为：y＝k′x+b′，将点B（0，4），C（3，0）代入，则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴如图，当点E在直线BC下方，直线AC上方时，四边形AECB是凹四边形，此时，令x＝1，则有y＝﹣×1+4＝，∴0＜t＜，如图，当点E在直线AB上方时，四边形AECB是凹四边形，此时，令x＝1，则有y＝2×1+4＝6，∴t＞6，综上，四边形AECB是凹四边形，0＜t＜或t＞6．【点评】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数解析式及“凸多边形”凹多边形”的定义理解，正确画出示意图是解题的关键．25．【分析】（1）作FG⊥BC于G，并延长交AD于H，证明△ABE≌△GBF，求出FG和DE，利用三角形面积公式计算即可；（2）在第一问的基础上，表示出DH和FH，在Rt△DFH中利用勾股定理即可表示出DF长；（3）当点G在点D上方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，证明△BCG∽△WHG，表示出HG、WH、WG三边的比，设出未知数，表示出CW和BW，在Rt△BCW中利用勾股定理计算出未知数，再求出CW，证明出△BFQ∽△BCW，即可求出FG，即求出了AE，当点G在点D下方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，同第一种情况的解法，亦可求出此种情况的答案．【解答】解：（1）如图1，作FG⊥BC于G，并延长交AD于H，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴FH⊥AD，由旋转得，BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠GBF，∵∠A＝∠BGF＝90°，∴△ABE≌△GBF（AAS），∴FG＝AE＝1，∵AD＝8，∴DE＝7，∴易得四边形ABGH为矩形，∴HG＝AB＝4，∴FH＝5，＝DE•FH＝×7×5＝；∴S△DEF（2）如图1，由（1）得△ABF≌△GBF，∴BG＝AB＝4，FG＝AE＝x，∴AH＝BG＝4，FH＝4+x，∴HD＝4，在Rt△DHF中，DF＝，即y＝，∴y＝（0≤x≤8）；（3）如图2，当点G在点D上方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，作FQ⊥BC于点Q，∵CD＝4，DG＝2，∴CG＝6，∵BC＝8，∴BG＝＝10，∵∠BGC＝∠WGH，∠GCB＝∠WHG＝90°，∴△BCG∽△WHG，∴HG：WH：WG＝CG：BC：BG＝6：8：10＝3：4：5，设HG＝3k，HW＝4k，GW＝5k，∴CW＝5k﹣6，∵BG平分∠EBF，∴∠GBF＝45°，∴BH＝HW＝4k，∴BW＝4k，在Rt△BCW中，BC2+CW2＝BW2，即82+（5k﹣6）2＝（4）2，∴k＝，∴CW＝5k﹣6＝，∵FQ∥CW，∴△BFQ∽△BCW，∴FQ：CW＝BQ：BC＝1：2，∴FQ＝CW＝，∴AE＝FQ＝，如图3，当点G在点D下方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，作FQ⊥BC于点Q，∵CD＝4，DG＝2，∴CG＝2，∵BC＝8，∴BG＝＝2，∵∠BGC＝∠WGH，∠GCB＝∠WHG＝90°，∴△BCG∽△WHG，∴HG：WH：WG＝CG：BC：BG＝2：8：2＝1：4：，设HG＝k，HW＝4k，GW＝k，∴CW＝k﹣2，∵BG平分∠EBF，∴∠GBF＝45°，∴BH＝HW＝4k，∴BW＝4k，在Rt△BCW中，BC2+CW2＝BW2，即即82+（k﹣2）2＝（4）2，∴k＝，∴CW＝k﹣2＝，∵FQ∥CW，∴△BFQ∽△BCW，∴FQ：CW＝BQ：BC＝1：2，∴FQ＝CW＝，∴AE＝FQ＝，综上，AE的长为或．【点评】本题考查了四边形综合应用，矩形性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的计算及准确的辅助线是本题的解题关键。
杨浦初二期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，是整数的是（）A. 3.14B. -2.5C. 2D. √92. 如果一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，那么它的体积是（）A. 24cm³B. 12cm³C. 18cm³D. 8cm³3. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 长方形C. 平行四边形D. 梯形4. 若a=5，b=-3，则a²+b²的值为（）A. 34B. 16C. 25D. 85. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，那么它的两个根是（）A. x₁=2，x₂=3B. x₁=3，x₂=2C. x₁=1，x₂=4D. x₁=4，x₂=16. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （2，-3）D. （-2，-3）7. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=3/xD. y=x³8. 下列数中，是负数的是（）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 19. 如果一个圆的半径增加了2cm，那么它的面积将增加（）A. 4πcm²B. 8πcm²C. 16πcm²D. 12πcm²10. 下列数中，是偶数的是（）A. 3B. 5C. 7D. 8二、填空题（每题3分，共30分）11. 3.5的平方根是______。
12. 5cm³=______dm³。
13. 如果一个三角形的两个内角分别是45°和90°，那么第三个内角是______°。
14. 下列数中，是质数的是______。
15. 2x+3=11的解是x=______。
16. 下列图形中，是等边三角形的是______。
17. 如果一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，那么它的表面积是______cm²。
上海市杨浦区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含答案解析)
上海市杨浦区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________13．从长度分别为2、3、率是．18．定义：有一组对角相等，且另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．已知在等对角四边形ABCD中，DAB∠长是．三、解答题19．解方程：2451x x--+=20．解方程组：22225640. x xy y x y⎧-+⎨+=⎩AI(1)计算：OB =______，AB = ______(2)在图1中求作OA OB OC -+（写出结果，不要求写作法）22．有四张完全相同的卡片A 、B 、C 、形）；B （圆）；C （矩形）；D （等腰梯形）(1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用23．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？24．如图，在矩形ABCD 中，点P 在边AD DPE ABP ∠∠=，延长AD 、BE 交于点25．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，交于点B ，并且与反比例函数(my m x=≠(1)求a、m的值；(2)如果点E在x轴的负半轴上，点边形是矩形时，求点E的坐标．26．如图，已知在正方形ABCD中，连接AP交BD于点E，延长AP交(1)当22CF=时，求ADF△的面积；(2)求证：AE EF=；∥时，求CF的长．(3)连接CE，当CE DF参考答案：AI∵四边形ABCD是平行四边形，∥，，，\==AB CD AB CD AO CO，AB CD∥BAC ACD ∴∠=∠，故A 、B 、D 都不符合题意，C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．4．B【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．【详解】A 、0AB BA +=，故本选项不符合题意；B 、0AC CA +=，正确，故本选项符合题意；C 、AC BC AC CB AB -=+=，故本选项不符合题意；D 、AB AC CB -=，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．5．D【分析】在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，据此解答即可．【详解】解：总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同．故选：D【点睛】本题考查必然事件的定义，能够列举出随机实验的所有可能结果是解题的关键．6．D【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．【详解】A 选项：若AB=CD ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当AB=AD 可判定四边形ABCD 是菱形；B 选项：当AD ∥BC 时，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当AB=AD 可判定四边形ABCD 是菱形；C 选项：当BC=CD 时，△ABD ≌△BCD （SSS ），∴∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠C+∠ABC=180°，∴∠A+∠ABC=180°，∴AD ∥BC ，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当AB=AD 可判定四边形ABCD 是菱形；D 选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义．7．23y x =+【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出a ，根据在y 轴上的截距为3，计算求出b 值，即可得解．【详解】解：∵直线y ax b =+平行于直线21y x =-，2k ∴=，又∵直线y ax b =+在y 轴上的截距为3，3b ∴=，∴这条直线的解析式是：23y x =+．故答案是：23y x =+．【点睛】此题考查两条直线平行问题，解题关键在于确定k 的值．8．2k <-【分析】根据一次函数的增减性即可得．【详解】由题意得：20k +<解得2k <-故答案为：2k <-．【点睛】本题考查了一次函数的性质（增减性），熟记一次函数的性质是解题关键．9．2x =-【分析】方程整理后，利用立方根定义求出解即可．【详解】方程整理得：x 3=-8，开立方得：x =-2．故答案为：x =-2【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【点睛】本题考查中位线的性质，解题的关键．90 ，∠∠=︒ABC∴∠=︒，E30，AB=6∴==，212 AE AB22 BE∴=-=126∴=-= DE AE ADADC EDC ∠=∠则90AMD ∠=︒，四边形60DAB ∠=︒ ，30ADM ∴∠=︒，122AM AD ∴==，22，AI【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标和向量．向量的运算法则．22．(1)1(2)1 6【分析】（1）先判断A（等边三角形）、B 图形，再根据概率公式求解；24．见解析【分析】利用已知条件判定()Rt Rt HL BPE BCE ≌V V ，即可得到BP BC =，再证出PB PF =，即可得到BC PF =，进而得出四边形BCFP 是平行四边形，再结合条件BP BC =，即可得出四边形BCFP 是菱形．【详解】证明：∵矩形ABCD 中，AD BC ∥，90BCE A Ð=Ð=°，90ABP APB ∴∠+∠=︒，又DPE ABP Ð=ÐQ ，90DPE APB \Ð+Ð=°，90BPE ∴∠=︒，又90BCE ∠=︒ ，BE 平分CBP ∠，PE CE ∴=，又BE BE = ，()Rt Rt HL BPE BCE \≌V V ，BP BC ∴=，BE 平分CBP ∠，PBE CBE \Ð=Ð，PF BC ∥ ，PFE CBE \Ð=Ð，PBE PFE \Ð=Ð，PB PF ∴=，BC PF \=，∴四边形BCFP 是平行四边形，又BP BC = ，∴四边形BCFP 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．25．(1)1a =，8m =(2)()2,0-则90EBC ∠=︒，∵2OB OA ==，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∴45OEB OBE ∠=∠=︒，∴2OE OB ==，∴点E 的坐标是()2,0-【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．26．(1)4（2）证明：如图2，延长CF ，AD 交于点CF 是BCD ∠的外角DCG ∠的平分线，1452DCR DCG ∴∠=∠=︒，DCR ∴△是等腰直角三角形，DC DR AD ∴==，45ADB DCR R ∠=∠=∠=︒ ，CR BD ∴∥，（3）解：如图3，由（2）知：CF BD ∥，【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键．答案第17页，共17页。
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杨浦区第二学期期末质量抽查初二数学试卷（测试时间90分钟，满分100分）一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列方程中，属于无理方程的是 （ ）（A ）052=--x x ； （B ）15=x ； （C ）15=x； （D ）05=x ． 2．对于二项方程0(0,0)nax b a b +=≠≠，当n 为偶数时，已知方程有两个实数根，那么下列不等式成立的是 （ ） （A ）0ab <； （B ）0ab ≤； （C ）0ab >； （D ）0ab ≥． 3．下列关于向量的等式中，正确的是 （ ） （A ）0=+BA AB ； （B ）BC AC AB =-； （C ）CB BC AB =+； （D ）0=++CA BC AB ．4．已知一次函数13-=x y ，则下列判断错误的是 （ ） （A ）直线13-=x y 在y 轴上的截距为1-； （B ）直线13-=x y 不经过第二象限；（C ）直线13-=x y 在x 轴上方的点的横坐标的取值范围是1>x ； （D ）该一次函数的函数值y 随自变量x 的值增大而增大.5．已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90C B A ，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （ ） （A ）︒=∠90D ； （B ）CD AB =； （C ）CD BC =； （D ）AC BD =． 6．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是 （ ） （A ）这两个图形都是中心对称图形； （B ）这两个图形都不是中心对称图形； （C ）这两个图形都是轴对称图形；（D ）这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．已知直线b kx y +=平行于直线43-=x y ，且在y 轴上的截距为3，那么这条直线的解析式是 ．8．已知一次函数k x k y +-=)1(，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 ．9．如果b a ≠，那么关于x 的方程22)b a x b a -=-（的解为x = ． 10．在方程x 2＋xx 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程，该整式方程是 ． 110=的根是 ．12．二元二次方程08222=--y xy x 可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 ．13．为了解决“看病贵，药价高”的问题，国家相继降低了一批药品的价格，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至6.48元，如果平均每次降价的百分率为x ，则根据题意所列方程为 ．14．七边形的内角和是 度．15．已知：正方形ABCD 的边长等于8cm ，那么边AB 的中点M 到对角线BD 的距离 等于 cm ．16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，4=AB cm ，5=CD cm ，5=AD cm ，则BC 的长为 cm ．17．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图像（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法是 ． 18．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝45°，将菱形ABCD 绕点A 旋转45°，得到菱形111D C AB ，其中B 、C 、D 的对应点分别是111D C B 、、，那么点1C C 、的距离为 ．（第17题图）C（第18题图）三、（本大题共7题，满分46分） 19．（本题6分）解方程：228224x x x x x ++=+-- 解：20．（本题6分）解方程组⎩⎨⎧=-+-=-.0420222y xy x y x解：21（本题6分）如图，已知：在□ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE = DF ． （1）在图中画出向量AB －BC 的差向量并填空：AB BC -= ；（2）图中与BC 平行的向量是： ； （3）若,,AB a AD b BE c ===，用,,a b c 表示DE = ．FEDCBA22（本题6分）从一副扑克牌中拿出红桃A、红桃K、黑桃A共3张牌．（1）把3张牌洗匀后，从中任取2张牌．试写出所有可能的结果，并求取出的两张牌恰好是不同花色的概率；（2）把3张牌洗匀后，先从中任取出一张牌，放回洗匀后，再从中任取出一张牌．用树形图展现两次取出的牌可能出现的所有结果，并求两次取出的牌恰好是同花色的概率．解：23．（本题6分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；(1)证明：(2)证明：24．（本题8分）某学校准备用2400元购买一批学习用品作为奖品奖励优秀学生，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？ 解：25．（本题8分）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P（1）判断点(1,2),(4,4)M N 是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点(,3)P a 在直线()y x b b =-+为常数上， 求点,a b 的值.四、（本大题共1题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分。
满分12分） 26．已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图1）。
（1） 求证：EO =FO ；（2） 若正方形的边长为2， OE =2OA ，求BE 的长；（3） 当OE =2OA 时，将△FOE 绕点O试猜想并证明△AOE 1是什么三角形。
杨浦区初二数学答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、D; 2、A; 3、D; 4、C; 5、C; 6、B二、填空题（每小题2分，共24分）7、y=3x+3; 8、k ＜1； 9、a+b ；10、y 2+4y+1=0；11、x=2；12、x+2y=0或x-4y=0； 13、260(1)48.6x -=；14、900；15、16、2或8；17、①②④；18、 三、解答题19、解：方程两边同乘以42-x 得8)2()2(2=++-x x x -------------------------------------------------------------1分化简得022=-+x x --------------------------------------------------------------1分 解之得2,121-==x x -------------------------------------------------------------2分 经检验：22-=x 是增根，11=x 是原方程的解 ------------------------------1分∴原方程的解是1=x -----------------------------------------------------------1分20、解：由方程（1）得：y x 2=，将y x 2=代入方程（2）得：042=-y ----2分∴2,221-==y y ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴4,421-==x x --------------------------------------------------------------------------------1分∴ ⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧-=-=24y x ， -----------------------------------------------------------------------2分21、（1）画图正确，DB ．------------------------------------------------------------------------2分 （2）CB ，CD ，DC ．---------------------------------------------------------------------------2分 （3）DE a c b =+--------------------------------------------------------------------------------2分 22、解：（1）所有可能的结果: 红桃A 、红桃K ；红桃A 、黑桃A ；红桃K 、黑桃A 。
1分共有3种等可能的情况，其中取出的两张牌恰好是不同花色的可能情况有2种，所以取出的两张牌恰好是不同花色的的概率P =32．----------------------------2分分共有9种等可能的情况，其中两次取出的牌恰好是同花色的的可能情况有5种， 所以两次取出的牌恰好是同花色的的概率P =95．------------------------------2分23、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分 ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分 ∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分 (2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 错误!未指定书签。
为直角三角形---1分又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分 24、解：设甲种学习用品单价为x 元，乙种学习用品单价为）（2+x 元-----------1分 根据题意，得：200224002400=+-x x -----------------------------------------------------3分 解方程得：4621=-=x x ，，--------------------------------------------------------------2分 经检验，4621=-=x x ，是原方程的解，但61-=x 不合题意，舍去答：甲种学习用品单价为4元，乙种学习用品单价为6元 --------------------------2分 25、解： （1）122(12),442(44),⨯≠⨯+⨯=⨯+∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点. ----------------------------------------------2分（2）由题意得，当0a >时，(3)23,a a +⨯=6a ∴=，-------------------------------------------2分 ∵点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得9b =；------------------------------1分 当0a <时，(3)23a a -+⨯=-，6a ∴=-，------------------------------------2分 ∵点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得3b =-.-------------------------------1分6,96, 3.a b a b ∴===-=-或26、（1）证明：∵ABCD 是正方形，对角线交于点O ，∴AO=BO ，AC ⊥BD ，-----------------------------------------------------------1分 ∴ ∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE ，--------------------------------------1分 ∵AC ⊥BD ，OF ⊥OE ，∴∠AOF=90AOE ︒-∠=∠BOE ，------------1分 ∴△AOF ≌△BOE ，∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分（2）解：∵ABCD 是正方形，边长为2，∴,∴OE=2OA= ∵OF ⊥OE ，EO=FO ，∴EF=4，--------------------------------------------------1分 ∵△AOF ≌△BOE ，∴AF=BE ，--------------------------------------------------1分 设AF=BE=x ， 在Rt △EFB 中，222EF EB BF =+,即2216(2)x x =++解得1x =-x ＞0，∴1x =，即1---------------2分（3）△AOE 1是直角三角形。