第五章 频率域方法讲解
线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
第五章频率法
52 设系统开环传递函数为： [例]设系统开环传递函数为：Gk ( s ) = ，试用 2 ( s + 1)( s + 2 s + 5)
乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为 − 1 ，
− 1 ± j 2都在s左半平面， 都在s左半平面， 所以 。0 P =乃氏图如 右。
第五章
第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、 第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、振 1/T 轴上； 荡和二阶微分环节为ωn) ，标注在ω轴上； 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。 Bode图位置 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。
小于最低转折频率的频率范围为低频段。） （ω小于最低转折频率的频率范围为低频段。）
了 系 具 较 的定 能 快 性 希L 曲 为 使 统 有 好 稳 性 和 速 ， 望 (ω) 线 在 c附 的 率 − 20dB/ dec， 且 尽 能 高 c的 。 并 要 可 提 ω 值 ω 近 斜 为
ω 3.高频段： 3.高频段： ω >10 c 高频段
系统的抗干扰能力由高频段决定。 系统的抗干扰能力由高频段决定。
如下图所示， [例]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的乃氏 曲线的映射曲线。如右图： 曲线的映射曲线。如右图： 从图上可以看出：映射曲线顺时 从图上可以看出： 针包围( 1,j0)两圈 两圈。 针包围(-1,j0)两圈。因 P = 0 ， 所以 Z = P − N = 0−(−2) = 2 ， 闭环系统是不稳定的。 闭环系统是不稳定的。
5频率域方法
1 − T1 s 1 + T2 s
（T2>T1>0）
A1(ω)=AБайду номын сангаас(ω)=
4. 最小相位系统, 当ω→∞时,相角为(n-m)(-900) 5. 非最小相位因(1)含e-Ts (2)小回环不稳定产生 6. 最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系. 二、闭环系统的频率特性 1. 单位反馈闭环系统的频率响应
1 ) T s + 2ξTs + 1
2 2
L(ω)=20lg|
1 |=-20lg (1 − ω 2T 2 ) 2 + ( 2ξωT ) 2 T ( jω ) + 2ξT ( jω ) + 1
2 2
φ(ω)= -arctg(
2ξωT ) 1 − ω 2T 2
讨论: (1)对数幅频特性 1)低频段 ωT<<1， L(ω)≈ -20lg1=0 db 2)高频段 ωT>>1， L(ω)≈ -20lg( ω 2T 2 )≈ -40lgωT db ωT=1,ω=
§ 5-3
对数频率特性
一、 Bode 图及其特点 1． Bode 图的构成 对数幅频 L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω) 对数相频 φ(ω)=∠ G(jω)H(jω) 半对数坐标纸 2． Bode 图的优点 二、 典型环节的对数坐标图 1. 比例环节(K) L(ω)=20lgK (db)， φ(ω)=0
1 1 ，令-40lgωT=0, 得ω= T T
第 3 页 共 9 页
3)交接频率处
误差修正曲线与ξ有关
5 频率域方法.doc 方法
《自动控制原理》
电子教案
(2)对数相频特性 1 ω= 时,φ(ω)=-90o T 6. 二阶微分环节( T 2 s 2 + 2ξTs + 1 ) L(ω)= 20lg (1 − ω 2T 2 ) 2 + ( 2ξωT ) 2 ，φ(ω)= arctg( 7. 延迟环节( e
番茄花园-五章线系统的频域分析法
二、奈氏判据
闭环稳定
闭环所有极点位于S左半平面
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法， 它反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性 可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频 率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对 象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时， 可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品 质。其次，应用频率特性法分析系统可以得出定 性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应 用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表 及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很 方便的。
j
2
Im [G( j)]
90 Re
0 0
积分环节
微分环节
3、一阶惯性环节
G(s)
1 Ts
1
G(
j
)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 2 2
Im
[G( j)]
0
G( j1)
45
G( j1)
0.707
1
Re
0
1
1
5、对数相频曲线绘制：将各典型环节相角叠 加，用描点法绘制。
例题：系统开环传递函数为
G(s)
K
s(s 1)(0.1s 1)
试绘制系统的对数幅频渐近特性曲线。
解：
交接频率： （1）1=1时： 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec （2） 2=10时： 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec 低频段，斜率-20dB/dec， =1，20lgK=20lg20=26dB 过（1，26dB）点 相频特性
第五章频域法-频率特性及其图像2009
G(jω) = (1− T ω ) + j2ξTω
2 2
0
1 Re[G(jω)]
矢量的虚部始终为正
Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限 时 实部为正， Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上 ＝ 时 实部为零， Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限 时 实部为负，
0 ω从0～∞时，矢量的角度从 ~ 90 ~ 180
1 一阶系统⋅ dt s ∫ 1 Φ(s)= 2 2 T s +2ξTs+1 欠阻尼二阶系统
典型环节零极点分布图
G(s)=s G(s)= 1 s
j
积分环节 振荡环节 微分环节 G(s)= Ts+1 1 0 G(s)= Ts+1 惯性环节 一阶微分 G(s)=T2s2+2ξTs+1 1 G(s)= 2 2 T s +2ξTs+1
二、对数频率特性图（Bode图） 对数频率特性图（ 频率特性图 图 1．对数频率特性函数 ．对数频率特性函数
*μ的单位“十倍频程”是度量μ的某两个值的差，不度量μ本身。 当 µ 2 − µ1 = lg ω 2 − lg ω1 = 1 时，说µ 2 比 µ1 高一个十倍频程，或说两者相差一个十倍频程。
G ( j0) = 1∠0
o
G ( j∞ ) = 0∠ − 180
o
1 o G ( jω n ) = G ( j ) = ∠ − 90 令 dA ( ω ) = 0 , 得 2ξ dω 2 1 ωr = ωn 1 − 2ξ A ( ω r ) = A m = 2 2ξ 1 − ξ
1 T
(0<ξ<0.707)
对数幅频特性函数：L(G ( jω )) = lg G ( jω )，或L(G )，L(µ )， 单位：贝尔（B），分贝尔(分贝)(dB)， B = 20dB 1 对数相频特性函数：θ (G ( jω )) = arg G ( jω )，或θ (G )，θ (µ ) µ = lg ω，单位：十倍频程
频率稳定判据(2)
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
自动控制原理简明版第5章频率法课件
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
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图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
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输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
2 n 2 ( n 2 ) 2 (2 n ) 2
1
2 1 2 n n 2 2
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定 性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的 概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
4
5－ 1
频率特性
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r (t ) Ar sin t
A R( s) 2 2 s
16
5－2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G ( j ) K K e
幅频特性 相频特性 对数幅相特性
j 0
A( ) K
( ) 0
L( ) 20 lg K
17
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图5－5 比例环节的频率特性曲线
18
二、积分环节
传递函数 幅相特性
1 G (s) s
第五章
频率域方法
1
第5章
基本要求 5－1 频率特性
频域分析法
5－2 典型环节的频率特性 5－3 系统的开环频率特性 5－4 频率稳定判据 5－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
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2
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性 曲线及对数频率特性曲线。
24
图5－9 惯性环节的对数频率特性曲线
25
四、振荡环节（二阶系统）
传递函数
G( s ) 2 2 s 2 n s n
2 n
2 n
频率特性 G ( j ) 2 ( j ) 2 2 n j n
2 ( n 2 ) j 2 n
26
8
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下， 输出的稳态分量与输入的复数比，称为系 统的频率特性（即为幅相频率特性，简 称复相特性）。
频率特性表达式为
(s) |s j ( j) | ( j) | e
j ( j )
9
例子
以RC网络为例
• 其传递函数
1 G(s) Ts 1
Ar (e
j [ t ( j ) ] 2
e
j [ t ( j ) ] 2
Ac sin(t )
（5－6）
7
• 式中
Ac ( j ) Ar
( j )
从式（5－6）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
对数相频特性:
( ) ~ (lg )
14
图5－4 对数坐标刻度图
15
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 –在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。 –为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
G( j ) G( s) s j 1 Tj 1
频率特性
G ( j ) G ( s) s j 1 Tj 1
1 (T ) 1
2
e
j tan1 (T )
10
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )e ， :0 A( ) ~ 为系统的幅频特性。 ( ) ~ 为系统的相频特性。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对 数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅 频特性曲线求开环传递函数的方法。
3
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5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其 它们的应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
1 G ( j ) e
j
2
相频特性是一常值
2
19
图5－6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
20
对数频率特性
图5－7
21
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
1 G(s) Ts 1
1 1 j tan1 T G( j ) e Tj 1 (T )2 1