第五章 频率域方法
j2n
37
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A ( )
2 n
(
2 n
2 )2
(2 n
)2
1
1
n
2 2
2
2
n
2
( ) arctan
n
2
1
n
38
谐振频率
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
1 2
图5－13
39
图5－14 振荡环节的 幅相特性
图5－15 振荡环节的对数 幅频渐进特性
统）。 • 由图5－20看出，一阶不稳定环节的幅频与
惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一
样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又 称非最小相位环节。
47
九、延迟环节
延迟环节输入输出关系为 ctrt
Gs
Cs Rs
es
A1
Gj
L0
48
49
5－4 系统的开环频率特性
一、开环幅相特性曲线
设系统开环传递函数由若干典型环节串联
58
例5－2 G ( s )1( s 0 2 )0 1 1 0 1 1( 0 .5 s 1 ) s ( s 1 )s (2 )0ss 1 0 .0 s 5 1 五个基本环节 1 10 1 2 s 1 3 s1 1 4 0.05 s 1 5 (0.5s 1)
59
绘制开环系统的波特图
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
25
图5－6 对数坐标刻度图
26
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
–在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。
复相特性）。
频率特性表达式为
j (j)
(s)|sj (j ) | (j )|e
20
例子 以RC网络为例
• 其传递函数
G(s) 1 Ts1
G(j)G(s)sjTj11
频率特性
G(j
)G(s)
sjTj
1
1
1
ejarctan (T)
(T)2 1
21
三、频率特性的几种表示方法
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
K
时，
i1 Tis 1
系统开环传递函 数不包含积分环 节和微分环节
图5－22 系统开环幅相特性曲线
52
（2）当
m
K is 1
G s
i=1 n
时，
Tis 1
i=1
系统开环传递函数 分子有一阶微分环 节，其开环幅相特 性曲线出现凹凸
图5－23 取m=1,n=3时系 统开环幅相特性曲线
53
（3）当
Gs
s
K
Ts1
时，
开环传递函数有 积分环节时，频 率趋于零时，幅 值趋于无穷大。
图5－24 含有积分环
节时的开环幅相特性曲
线
54
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比例
环节和积分环节决定。
② 当频率ω→∞ 时，若n>m， G(jω) 相角为(mn)π/2。
③ 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随 ω变化时发生弯曲。
2 1 πn π π / / f(t)ejn tdt ejn t (5-4)
若
，则
，此时
f(t)2 1 π f(t)ejtdt eitd
(5-5)
10
令
F() f(t)ejtdt
(5-6)
则
f(t)1 F()ejtd (5-7)
2π
式（5-6）和式（5-7）构成了非周期信号 f (t) 的Fourier变换
下面先将周期信号的Fourier级数展开式表示成如下指数 形式，即：
8
f (t) cnejn0t n
(5-3)
其中
cn
1 T
T/2 T/2
f(t)ejn0tdt
现设
0 n0n
则
T2π/
于是式（5-3）可以表示为
9
f(t)n 2π π π / / f(t)ejn td t ejn t
l im 0 2 1 πF (0 ) πn 1R e F (n )ejn t
= l im 0 2 1 π F (0 ) πn 1 a (n )c o sn t b (n )s in n t
l im 0 2 1 π F ( 0 ) πn 1 F ( n )s in ( n t( n ) )
40
2.对数频率特性
41
五、微分环节
G(Gj(s))jsejπ2
图5－17
42
六、一阶微分环节
G(s)s1
G (j )j 1 ( )2 1eja rcta n
图5－18
43
七、二阶微分环节
2
G(s)sn 2sn1
G(j)jn 22jn 1
2 1n2
j2
n
A()G(j) 1 n222 n2
n
0 2 0 3 0 4 0 图5-1 幅度频谱
0 2 0 3 0 4 0 图5-2 相位频谱
7
上述周期信号的频谱具有如下特点：
(1)谱线沿频率轴呈离散分布；
(2)各谱线之间呈等距分布，两相邻谱线之间的距离等于 基波频率，任两条相邻谱线之间不可能再出现其他的频 率分量。 对于非周期信号，可以认为是周期信号在其周期趋于无穷 大时的极限情况。
f(t)cosn
0tdt
bn
2 T
2/T 2/T
f(t)sinn
0tdt
返回子目录
5
式（5-1）也可以表示成
f(t)A0 Ansin(0tn) (5-2) n1
其中
A0 a0 /2
An an2 bn2
narctan(an/bn)
6
可得周期信号
An
的幅度频谱，如图5-1所示。 的相位频谱，如图5-2所示。
F() 就称为信号 f (t ) 的频谱密度函数。
14
通过以上的分析可知，不论是周期信号还 是非周期信号，均可以看成是由无穷多个正 弦信号的叠加。由于线性定常系统满足叠加 原理，因此，通过对系统在不同角频率正弦 信号作用下响应的研究，所得到的结论是具 有普遍意义的，并非只适用正弦输入的情形。
15
5－2 频率特性
④ G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。
55
二、开环对数频率特性曲线的绘制
系统开环对数幅频与对数相频表达式为
L 2 0 lg G (j) 2 0 lg4G i(j) 42 0 lg G i(j)
i= 1
i= 1
1 2 3 4
系统开环对数幅频等于各环节的对数幅 频之和，相频等于各环节相频之和。
34
对数频率特性
L20 lgA 1
T221
20lg T221 GarctanT
当
T1,
L0
当
T 1,
L 2l0 g T
35
图5－11 惯性环节的对数频率特性曲线
36
四、振荡环节（二阶系统）
传递函数 频率特性
G(s)
n2
s2 2 nsn2
G(j)
n2
( j)2 2n j n2
(n2
n2 2)
性关系。 8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的
概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
4
5-1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期为 的函数 示为
可用傅里叶级数表
f(t)a 2 0n 1anco n0 stbnsinn0t
(5-1)
其中
0
2π T
an
2 T
2/T 2/T
–为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
27
5－3 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G(j)KKej0
幅频特性
A()K
相频特性
()0
对数幅相特性 L ( )2l0g K
28
返回子目录
图5－7 比例环节的频率特性曲线
D
(s)
Ar s2 2
(s
j)
sj
(j) Ar
2j
(j)
j[ (j)π]
2
2 AreLeabharlann 17同理B
(j)
j[ (j)π]
2
2 Are
将B、D代入式（5－12）则
(j)
j[ t (j) π] j[t (j) π]
2
2
cs(t) 2 A r(e
(j)Ar cos(t
e
(j)π)
2
(j)Arsin[t (j)]
29
二、积分环节
传递函数 幅相特性
G(s) 1 s
G(j)
1
jπ
e2
相频特性是一常值 π 2
30
图5－8 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
31
对数频率特性
图5－9
32
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G (j)Tj 11
1
ejarctanT
(T)21
33
图5－10 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
(5-9) 13
其中
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第五章线性系统的频域分析法
() arctgT
(o)
动画续看
90
0 0.1
1
-90
10 ω
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图
• G(s)=Ts+1， 频率特性G( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
ω
ω=0
0
1
图5.10 一阶微分环节幅相曲线
➢振荡环节 G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
() -arctgT
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
(dB)
20
0 0.1
-20
1/T 1
20dB/dec
10 ω -20dB/dec
L( ) 20lg 1 2T 2 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之ω对=∞应，幅值与ω=0相角在复 平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时0，相-45应o 向量1 的矢端
就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线
(即极坐标图)。 动画演示
ω=1/T
幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横 坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝， 记作dB；对数相频曲线的单位是度。
0
j ω=∞
ω=0
G( j )
1
1
2 n2
j2
n
ζ=0.2—0.8 -0.5
(o)
动画续看
90
0 0.1
1
-90
10 ω
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图
• G(s)=Ts+1， 频率特性G( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
ω
ω=0
0
1
图5.10 一阶微分环节幅相曲线
➢振荡环节 G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
() -arctgT
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
(dB)
20
0 0.1
-20
1/T 1
20dB/dec
10 ω -20dB/dec
L( ) 20lg 1 2T 2 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之ω对=∞应，幅值与ω=0相角在复 平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时0，相-45应o 向量1 的矢端
就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线
(即极坐标图)。 动画演示
ω=1/T
幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横 坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝， 记作dB；对数相频曲线的单位是度。
0
j ω=∞
ω=0
G( j )
1
1
2 n2
j2
n
ζ=0.2—0.8 -0.5
第5部分频域分析法-精品
－1 0 0
0.1 1
－
1 ＝ lg 1 0 / s－ 1
图5-5 对数相频特性的坐标系
第5章 频域分析法
例5.3 绘制例5.1中RC电路的对数坐标频率特性图 （T＝1s）。
解 RC电路的频率特性为
G(j)1R 1C j 11Tj
所以有
L()20lgG(j) 20lg 1 12T2
L(ω)=20 lgA(ω)=20 lgω=20μ,
φ(ω)=90°
（5-1６）
可见， 微分环节的对数幅频特性L(ω)是μ（即lgω） 的一次线性函数， 其直线斜率为20 dB/dec， 直线在 ω=1时与横轴相交, φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于 横轴的直线， 如图5-９(ｂ)所示。
第5章 频域分析法
Δμ=lg10ω-lgω=1
第5章 频域分析法
(2) 纵轴： L=20 lgA(ω), 单位为分贝, 记作dB。 2) 对数相频特性的坐标系 对数相频特性的坐标系如图5-5所示。 (1) 横轴： ω轴对数分度， 即μ=lgω。 (2) 纵轴： φ(ω)线性分度。
第5章 频域分析法
( ) /2
第5章 频域分析法
第5章 频域分析法
5.1 频率特性 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性图的绘制 5.4 稳定判据 5.5 开环频率特性与时域指标的关系 习题
第5章 频域分析法
5.1 频率特性
5.1.1 频率特性的概念 频率特性又称频率响应， 它是系统（或元件）对
不同频率正弦输入信号的响应特性。 设线性系统G(s) 的输入为一正弦信号r(t)=Ar sinωt， 在稳态时， 系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数， 但其振幅和相位 一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而 变化， 即cs(t)=Ac sin(ωt+φ)， 如图5-1所示。
0.1 1
－
1 ＝ lg 1 0 / s－ 1
图5-5 对数相频特性的坐标系
第5章 频域分析法
例5.3 绘制例5.1中RC电路的对数坐标频率特性图 （T＝1s）。
解 RC电路的频率特性为
G(j)1R 1C j 11Tj
所以有
L()20lgG(j) 20lg 1 12T2
L(ω)=20 lgA(ω)=20 lgω=20μ,
φ(ω)=90°
（5-1６）
可见， 微分环节的对数幅频特性L(ω)是μ（即lgω） 的一次线性函数， 其直线斜率为20 dB/dec， 直线在 ω=1时与横轴相交, φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于 横轴的直线， 如图5-９(ｂ)所示。
第5章 频域分析法
Δμ=lg10ω-lgω=1
第5章 频域分析法
(2) 纵轴： L=20 lgA(ω), 单位为分贝, 记作dB。 2) 对数相频特性的坐标系 对数相频特性的坐标系如图5-5所示。 (1) 横轴： ω轴对数分度， 即μ=lgω。 (2) 纵轴： φ(ω)线性分度。
第5章 频域分析法
( ) /2
第5章 频域分析法
第5章 频域分析法
5.1 频率特性 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性图的绘制 5.4 稳定判据 5.5 开环频率特性与时域指标的关系 习题
第5章 频域分析法
5.1 频率特性
5.1.1 频率特性的概念 频率特性又称频率响应， 它是系统（或元件）对
不同频率正弦输入信号的响应特性。 设线性系统G(s) 的输入为一正弦信号r(t)=Ar sinωt， 在稳态时， 系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数， 但其振幅和相位 一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而 变化， 即cs(t)=Ac sin(ωt+φ)， 如图5-1所示。
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
第五章 频率特性分析法
由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
第五章频域分析法
精确曲线 +20 0 渐近线 -20
φ (ω )
1 T2 10 1 T2
+20dB/dec
ω
90°
90° 0° 0.1 1 45°
10 100 1000
ω
0°
1 T2
10
1 T2
ω
纯微分环节伯德图
一阶微分环节伯德图
6．延时环节
- 131 -
控制工程基础（第二版）
L (ω )
ζ = 0.707
A(ω )
第五章 频域分析法
5－1 频率特性
频域分析法(简称频率法)是研究自动控制系统的一种工程方法，不进行大量繁复的计 算，而要求能够比较简单、迅速地分析出系统各参数对动态性能的影响，以及应该如何调整 各参数，来满足对控制系统提出的各项性能指标，因而获得了广泛的应用。另外，频率特性 可以由实验确定，这在难以写出系统动态数学模型时更为有用。
一、由奈魁斯特图确定闭环频率特性
右图的奈魁斯特图上， ω1 为 A 点处的频 率，矢量 OA 表示 G ( jω1 ) ，OA 的幅值为 OA ，OA 的相角为 角度ϕ 0 。 由（-1，j0）点到 G ( jω ) 轨迹线的矢量 PA 表示 [1 + G ( jω1 )] 幅值为长度 PA ，相角 因此， OA 与 PA 之比就表示闭环 为角度 θ 。 频率特性：
10
φ (ω )
100
1000 ω
1
ω =0 ω
Re
0° 1 − 10°
10
100
1000 ω
−j
−20°
图 5-16 放大环节伯德图
图 5-15 延迟环节幅相图
- 129 -
控制工程基础（第二版）
自动控制原理第五章-1
积分环节:G(s)=1/s
微分环节:G(s)=s 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1) 一阶微分环节:G(s)=Ts+1 振荡环节 1/(s 2 / n2 2s / n 1)
二阶微分环节 s 2 / 2 2s / 1 n n
比例环节:G(s)=K (K<0)
惯性环节:G(s)=1/(1-Ts)
系统开环传函由多个典型环节相串联 ：
G(s) H (s) G1 (s)G2 (s)Gr (s)
那么，系统幅相特性为：
G ( jw) H ( jw) G1 ( jw)G2 ( jw) Gr ( jw) A1 ( w)e
j1 ( w )
A2 ( w)e k ( w )
k 1 r
A A A ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) ( s j )(s j ) 2j s2 2
a G( s)
A A A ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) s2 2 ( s j )(s j ) 2j
幅频特性 相频特性
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为 输出与输入的相位差
A() G( j)
( )
G ( j )
(1)、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的 频率响应, 记为css(t)
(2)、频率特性
幅频特性A(): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比: Ac A( ) G ( j ) A 相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差: ( ) G ( j ) 幅相频率特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入正弦信 号角频率的变化而变化。 G( j ) A(w)e j ( ) 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率 特性。
第五章-频域分析 - 初定
传递函数
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下 得出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响 应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且 其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性 的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统 输出的稳态分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统， 尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式
R G ( j ) sin(t G ( j ))
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信 号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响 应与输入不同之处仅在于幅值和相位。 其幅值放大了 A( ) | G( j ) | 倍，相位移动了 ( ) G( j ) 。
可见，网络的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压 t RT R 频率相同，幅值是输入电压的 倍，相角比输入延后 T c (t ) e sin( t arctan T ) 2 2 2 2 arctanωT 。二者皆是ω的函数，前者称为RC网络的幅频特性， 1 T 1 T 后者称为RC网络的相频特性。
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G( j ), G( j ) A( )e j ( ) ，它也是 的函数。G ( j ) 称为频率特性。 还可将 G ( j )写成复数形式，即
G( j) Re() j Im() 这里Re() Re[G( j)] 和Im() Im[G( j)] 分别称为系统的实 频特性和虚频特性。
5.1 频率特性
5.1.1 基本概念 以图示RC网络为例，说明频率特性的基本概念。 网络微分方程为
R
稳定裕度
第五章频率域方法稳定裕度设单位负反馈系统开环传递函数为)(s G ()C s ()R s )42()(2++=s s s Ks G 开环不稳定极点个数：P=0，开环增益K 的变化会引起稳定性的变化。
j=0ω+=0ω=+ω∞=8K 1−0j=0ω+=0ω=+ω∞8K >1−不稳定j=0ω+=0ω=+ω∞8K <1−稳定若系统的开环传递函数是最小相位的，且Nyquist 曲线恰好经过(-1,j0)点，则存在一个频率值，使得1ω上式表明系统有一对闭环极点位于虚轴上，此时系统处于临界稳定状态，称(-1,j0)点为临界点。
1s =j i ω±0j=0ω+=0ω=+ω∞8K <1−在不包围(-1,j0)点时，Nyquist 曲线靠近(-1,j0)点的程度，表征系统稳定的程度，越靠近(-1,j0)点，稳定的程度越低。
j=0ω+=0ω=+ω∞=8K 1−1=ωω111+()()0G j H j ωω=11()()1G j H j ωω=−或稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标，具体分为相稳定裕度和模稳定裕度。
设系统的开环传递函数是最小相位的，则相稳定裕度定义为()()=1c c G j H j ωω20lg ()()=0 (dB)c c G j H j ωω()()(180)c c G j H j γωω︒=∠−−其中，频率称为截止频率，满足以下条件：c ω或0γ>，系统稳定。
0γ<，系统不稳定。
GHL lg 20=ωGH∠γcω180−01−jγcω0()()G j H j ωωA设系统的开环传递函数是最小相位的，则模稳定裕度定义为|)()(|111ωωj H j G h =11(dB)20lg 20lg ()() h h G j H j ωω==−或其中，频率满足以下条件：1ω11()()180G j H j ωω∠=−︒1h >或系统稳定。
20lg 0 (dB)h >1h <或系统不稳定。
第五章频域分析法
B (s) B (s) A(s) (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n )
若输入：r ( t ) A sin(t ) A（cos s sin ) A（cos s sin ) R(s) 2 2 s ( s j )(s j )
• 说明输出稳态分量由s=±jω 决定,则有：
j
j
• 系统输出响应稳态分量由s=±jω 决定,则有：
C s (s) s 1 ( s j ) R ( s )G ( s ) s j j 1 ( s j ) R ( s )G ( s ) s j j A c os j sin G ( j ) j 2j A c os j sin G ( j ) j 2j
稳定系统频率特性等于输出和输入的傅氏 变换之比这正是频率特性的物理意义。频率特 性与微分方程、传递函数一样，表征系统的运 动规律。它们之间可以相互转换。
微分方程
（以 t为变量）
d s dt
传递函数
（以 s为变量）
s j
频率特性
（以 ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系 以上三种数学模型以不同的数学形式表达系 统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内 在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。
第五章 线性系统的频域分析法
控制系统中的信号可以表示为不同 频率正弦信号的合成。 控制系统的频率特性反映正弦信号 作用下系统响应的性能。 应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法。
频域分析法的特点 频域分析法是一种图解的分析方法，它不必直
接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的
闭环特征根，具有较多的优点。如： ①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的
第五章频率特性分析法
146第5章 线性系统的频域分析与校正时域分析法具有直观、准确的优点。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是容易实现事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。
频率法的优点较多。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义为了说明什么是频率特性，先看一个R －C 电路，如图5-1所示。
设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为 ()1()()1c r U s G s U s Ts ==+ 式中，RC T =为电路的时间常数。
若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号 即： ()sin r u t X t ω= (5-1) 当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为图5-1 R C -电路1472211()()11c r X U s U s Ts Ts s ωω==⋅+++ 对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为()22()arctan 1t T c XT u t e t T T ωωωω-=+-+ 上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。