第一章轴向拉伸和压缩、剪切改
材料力学1-第一章
3850mm2
3）计算最大应力 σmax= FN /Amin
=(-800)×1000/3850
=-208MPa
§1-4 轴向拉伸和压缩时的变形
一、纵向变形（沿轴线方向） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
（1）杆的纵向总变形量
l l' -l （反映绝对变形量）
工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比
泊松比，可由试验测定：
泊松比
- -
E
弹性模量E和泊松比μ是材料的两个弹性常数， 可由实验测定。
表1-1 弹性模量和横向变形系数的约值
材料名称 碳钢
弹性模量E （ Gpa ）
196~216
横向变形系数μ 0.24~0.28
合金钢
190~220
0.24~0.33
位置，为强度计算提供依据。 FN
+ x
试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
A 600
B
C
300
500
DE 400
20KN
等直杆的受力示意图
解：
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
先需求出A点的约束力。 FR=10 kN
FR
A
1 FN1
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1-l0 10% 0 断面收缩率 A0-A110% 0
l0
A0
5%为塑性材料 5%为脆性材料
低碳钢的 2— 03% 060% 为塑性材料
轴向拉伸与压缩教学教案
轴向拉伸与压缩教学教案第一章：轴向拉伸与压缩概念介绍教学目标：1. 让学生理解轴向拉伸与压缩的基本概念。
2. 让学生了解轴向拉伸与压缩的物理现象及其在实际中的应用。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩的定义。
2. 轴向拉伸与压缩的物理现象。
3. 轴向拉伸与压缩的应用实例。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解轴向拉伸与压缩的基本概念及其物理现象。
2. 通过实物展示或图片，使学生更直观地了解轴向拉伸与压缩的应用实例。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对轴向拉伸与压缩概念的理解程度。
2. 通过布置课后作业，让学生巩固所学内容。
第二章：轴向拉伸与压缩的基本理论教学目标：1. 让学生掌握轴向拉伸与压缩的基本理论。
2. 让学生了解轴向拉伸与压缩的计算方法。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩的基本力学原理。
2. 轴向拉伸与压缩的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解轴向拉伸与压缩的基本力学原理。
2. 通过示例，让学生了解轴向拉伸与压缩的计算方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对轴向拉伸与压缩基本理论的理解程度。
2. 通过布置课后作业，让学生巩固所学内容。
第三章：轴向拉伸与压缩的实验研究教学目标：1. 让学生了解轴向拉伸与压缩实验的原理。
2. 培养学生进行实验操作和数据处理的能力。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩实验的原理。
2. 轴向拉伸与压缩实验的操作步骤。
3. 实验数据的处理方法。
教学方法：1. 采用实验教学法，让学生亲身体验轴向拉伸与压缩实验。
2. 通过实验操作和数据处理，使学生更好地理解轴向拉伸与压缩的物理现象。
教学评估：1. 通过实验报告，评估学生对轴向拉伸与压缩实验原理的理解程度。
2. 通过实验操作和数据处理的评价，培养学生进行实验的能力。
第四章：轴向拉伸与压缩在工程中的应用教学目标：1. 让学生了解轴向拉伸与压缩在工程中的应用。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩在工程中的应用实例。
轴向拉伸和压缩
§2 轴向拉压时横截面上 的内力和应力
一.轴力及轴力图 1.轴力的概念
（1）举例
F F
N
F
N
F
用截面法将杆件分成左右两部分，利用 方向的平衡可得 ：
x轴
X 0 N F 0 N F
结论
因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆 件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必然 与杆件的轴线相重合。
二、应力
1、平面假设
① 实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前， 先画上两条互相平行的横向线ab、cd，然后观察该两 横向线在杆件受力后的变化情况。
a
F
a b
c
c d
F
b
② 实验现象
d
变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd， 在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只 是分别移至a’b’、c’d’位置。
③ 实验结论 变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。 ——平面假设
F
N
N
F
平面假设
拉杆所有纵向纤维的伸长相等 材料的均匀性 各纵向纤维的性质相同
横截面上 内力是均 匀分布的
N A
（1）
A——横截面面积
拓展
——横截面上的应力
对于等直杆， 当有多段轴力时，最大轴力所对应的截 面——危险截面。危险截面上的正应力——最大工作应力， 其计算公式应为：
2）木材
各向异性材料。 3）玻璃钢：玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料 各向异性材料。优点是：重量轻，强度高，工艺简单，耐 腐蚀。
思考题 1、强度极限b是否是材料在拉伸过程中所承受 的最大应力？ 2、低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种 标距，试问所得伸长率10 和5 哪一个大？
材料力学之四大基本变形
RB
M0 l
RA
M0 l
（2）列剪力方程和弯矩方程
AC段:
Q1
RA
M0 l
M1
RAx
M0 l
x
(0xa)
CB段:
Q2 RAM l0
M2
RAxM0
M0 l
xM0
(axl)
（3）画剪力图和弯矩图
集中力偶不使剪力图变化
Mb
M 0
max
l
集中力偶使弯矩图突变
例：图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字形，并承受均布载荷q作用。试校核 梁的强度。已知载荷集度q＝25N /mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为y1＝ 45mm和y2＝95mm，惯性矩Iz＝8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力 [σc]＝140 MPa。
G=80GPa。求该轴长度。
解： j T l (1)
GIp
max
T Wp
(2)
(1) 得 ： l j G
Ip
6 80109 0.05
180
(2)
max W p
90106 2
2.33m
4.弯曲
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面
当外力都作用在纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面 内，我们称之为平面弯曲。
M R Ax yP 1x a
横截面上 某点正应力
该截面弯矩
My
Iz
该点到中性轴 距离
该截面惯性矩
某截面上最大
弯曲正应力发生在截 面的上下边界上：
max
M WZ
WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴.
_ 轴向拉伸、压缩和剪切
再求BC段轴力，在BC 段内用任一横截面2-2截 开，仍考察左段(图1-3c)，在截面上仍设正的轴
力FN2，由FX＝0得
－6＋18＋FN2＝0， FN2＝－12kN FN2得负号说明原先假设拉力的方向是不对的 （应为压力），同时又表明轴力FN2是负的。BC 段内任一横截面的轴力都等于－12kN。
P
XA A
D
FN2
3
FN3
P
FN (kN)
3D
2P
P
C B
1
FN1
P
C
2
1
2P
P
C
2
B
2P
P
C B
60
x
60
120
第1节 轴向拉压概念、轴力、应力
画轴力图要求：
FN图画在受力图下方； 各段对齐，打纵线； 标出特征值、符号、注明力的单位。
画轴力图目的：
表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； 易于确定最大轴力及其位置。
ΔT
A0 A
＝S cos
ΔN
n
S sin
第1节 轴向拉压概念、轴力、应力
2. 轴向拉压概念、轴力 应 力
1. 试画出图1-3a直杆的轴力图
图13
解：
此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴 力。在段内用任一横截面1-1截开，考察左段(图1-3b) , 在截面上设出正轴力FN1。由此段的平衡方程FX＝0 得
第一章 轴向拉伸、压缩与剪切
一、轴向拉伸与压缩的概念
1.1
材料力学_孟广伟_chapter1
加拿大魁北克大桥
© 2008.Wei 2006.Wei Yuan. All rights reserved.
垮塌后加拿大魁北克大桥
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重庆綦江彩虹桥
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构件
Component
可变形固体
Solid deformable body
各种材料
All finds of materials
1.连续性 Continuity 2.均匀性 Homogeneity 3.各向同性 Isotropy
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一.工程要求
设 Design 计
Mechanism
Engineering practice
Components
机械 结构
零件
Structure
构件 (可变形固体)
Deformable bodies
members
要求:构件具有足够的承载能力
Request: members have adequate carrying capacity
第一章 绪论
§1 材料力学的任务
The task of mechanics of materials Fundamental assumptions
Introduction
§2 可变形固体的性质及其基本假设 §3 内力、截面法和应力的概念
Internal force, method of section and stress
材料力学笔记
作者简介:郭志明,现在就读天津大学固体力学专业绪论基本概念材料力学得任务:载荷,弹性变形,塑性变形设计构件需要满足以下三个方面得要求:强度,刚度,稳定性强度:构件抵抗破坏得能力刚度:构件抵抗变形得能力稳定性:构件维持其原有平衡形式得能力基本假设:连续均匀性,各项同性,小变形研究对象及变形形式:杆:构件得某一方向得尺寸远大于其她两个方面得尺寸平板,壳,块体变形形式:拉伸(压缩),剪切,扭转,弯曲基本概念内力:构件内部相邻两部分之间由此产生得相互作用截面法:假象切开,建立平衡方程,求截面内力第一章:轴向拉伸,压缩与剪切基本概念轴力:截面内力FN及FN’得作用线与轴线重合,称为内力轴力图:表示轴力随横截面位置得变化应力:轴力FN均匀分布在杆得横截面上(正应力)圣维南原理斜截面上得应力:拉压杆得变形:(弹性范围内)EA 称为杆件得抗拉(压)刚度泊松比:弹性范围内。
横向应变与纵向应变之比得绝对值工程材料得力学性能:材料在外力作用下在强度与变形方面表现出得性能。
Eg:应力极限值,弹性模量,泊松比等。
力学性能决定于材料得成分与结构组织,与应力状态,温度与加载方式相关,力学性能,需要通过实验方法获得。
弹性变形:塑性变形:低碳钢拉伸实验四个阶段:弹性,屈服,强化,颈缩屈服:应力在应力-应变曲线上第一次出现下降,而后几乎不变,此时得应变却显著增加,这种现象叫做屈服冷作硬化:常温下经过塑性变形后材料强度提高,塑性降低得现象真应力应变:,(工程应变)其她材料得拉伸实验温度,时间及加载速率对材料力学性能得影响蠕滑现象:松弛现象:冲击韧性:材料抵抗冲击载荷得能力(可以通过冲击实验测定)许用应力:对于某种材料,应力得增长就是有限得,超过这一限度,材料就要破坏,应力可能达到得这个限度称为材料得极限应力。
通常把材料得极限应力/n作为许用应力[σ] ,强度条件:杆内得最大工作应力节点位移计算集中应力:由于试件截面尺寸急剧改变而引起得应力局部增大得现象应力集中系数:,σn就是指同一截面上认为应力均匀分布时得应力值超静定问题:未知力得数目超过独立得平衡方程得数目,因此只由平衡方程不能求出全部未知力,这类问题成为超静定问题。
材料力学拉伸压缩与剪切
材料力学拉伸压缩与剪切材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科。
在材料力学中，拉伸、压缩和剪切是三种常见的受力方式。
本文将对这三种受力方式进行详细的讨论。
一、拉伸拉伸是将材料的两个端点向相反方向施加力，使材料产生变形和应力的一种受力方式。
在拉伸过程中，应力沿受力方向逐渐递增，直到材料达到其抗拉极限，引起断裂。
拉伸强度是指材料在拉伸过程中所能承受的最大伸长应力，常用于评价材料的抗拉性能。
材料在拉伸过程中会发生塑性变形和弹性变形。
当应力较小时，材料发生弹性变形，即材料在去除应力后能恢复原状。
当应力较大时，材料发生塑性变形，即材料变形后无法完全恢复原状。
材料的塑性变形通常伴随着颈缩现象，即材料在拉伸过程中发生细颈，最终引起断裂。
在拉伸过程中，材料的变形主要通过断裂面的拉伸和滑移来实现。
断裂面的拉伸是指材料在拉伸过程中，沿断裂面发生直接断裂的现象。
滑移是指材料分子、原子或晶粒之间发生相对滑动的行为。
材料的拉伸性能主要由断裂面的塑性变形和滑移行为共同决定。
二、压缩压缩是将材料的两个端点向相同方向施加力，使材料产生变形和应力的一种受力方式。
在压缩过程中，材料的体积减小，应力沿受力方向逐渐递增，直到材料达到其抗压极限，引起破坏。
抗压强度是指材料在压缩过程中所能承受的最大应力，常用于评价材料的抗压性能。
与拉伸不同，材料在正常应力下的压缩变形主要是弹性变形。
材料在压缩过程中会呈现出不同的弹性阶段，即初期弹性阶段、线弹性阶段和屈服弹性阶段。
初期弹性阶段材料呈现出线性弹性变形；线弹性阶段材料呈现出弹性变形，但变形量不再是线性增加；屈服弹性阶段材料呈现出应力和应变之间非线性关系。
三、剪切剪切是指材料在外力作用下，造成平行于断裂面的错切运动和应力的一种受力方式。
在剪切过程中，材料发生剪切变形，即材料平行于受力方向发生错开运动。
剪切强度是指材料在剪切过程中所能承受的最大剪应力，常用于评价材料的剪切性能。
材料的剪切变形属于塑性变形，主要发生在晶体或晶体之间的滑移面上。
工程力学07轴向拉伸压缩和剪切
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
10
内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
同理，求得AB、BC、 N2 CD段内力分别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
轴力图如右图 N
2P +
–
11
3P
5P
+
P
D
lim
Δ A0
Δ Δ
T A
dT dA
16
截面上的应力及强度条件
二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
17
截面上的应力及强度条件
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。取左侧x 段为对象，
L
内力N(x)为：
O x
O x
q N
13
q(x)
Nx x
kL
N(x )+ x kxdx 0 N(x ) 1 kx2
0
2
–
k L2
N
(
x)max
1 2
k
L2
2
截面上的应力及强度条件
问题提出： P P
横截面上 P 内力相同
内力系的合成（附加内力）。
6
内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩
形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；
'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：
称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10
CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
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40kN 30kN 20kN
2-2截面
Fx 0
F N2
30kN 20kN
得 FN2F 30 N 2 21 00 k 0 N (拉 ) F N
3-3截面
50kN
Fx 0 FN3200
得F N 3 2 0k N (压 )
F N3
20kN
10kN
x 20kN
例2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、 F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
圣维南原理：如果物体一小部分边界 上的面力是一个平衡力系（主矢及主 矩都等于零），那么，这个面力就只 会使得近处产生显著的应力，远处的 应力可以不计
h
24
例4 一阶梯形立柱受力如图所示，F1＝120kN，F2＝60kN。 柱的上中下三段的横截面面积分别是A1＝2×104mm2, A2＝ 2.4×104mm2, A3＝4×104mm2。试求立柱的最大工作正应力。
例 若F＝20kN，杆的直径d F
F
＝20mm，求杆中的应力值。
FN A
2200110033 2 127.33106 Pa 127.33 MPa 4
自由端受一集中力作用下
对可以简化为压杆的一个模型。 分析受力处受力影响情况(即 Saint-Venant原理定理的证明)。 此图变形情况已经被放大350倍。 约束情况为上端自由，下端固 定的情况，
h
2
§1.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉压的受力特点 作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。
轴向拉压的变形特点 杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。
F
F
FF
FF
h
4
h
5
拉绳
§1.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系 的合成（附加内力）。（书P7页）
109
这说明拉压杆的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。
因此我们必须求出横截面任意点的应力，以反映杆的受力程度。 从工程实际的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受 力程度的尺度，并称为应力。
应力的基本单位是帕斯卡(Pa)；而在工程中常用兆帕(MPa), 1MPa=1×106Pa ;吉帕(GPa),1 GPa =1×109Pa。
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
m
Fx 0 FN F 0
F
F
得 FNF
m
FN 称为轴力。
F
FN
拉伸的轴力规定为正，压缩
的轴力规定为负。
FN
F
几点说明
•(1)不能在外力作用处截取截面。 •(2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。 •(3)轴力不能完全描述杆的受力强度。 •(4)轴力与截面尺寸无关。
由静力学合力的平衡有 F
ac
bd
a
c
b
d
F FN
FN A
FN A
拉为正 压为负
这就是轴向拉伸时横截面上的应力计算公式。其中FN为轴力， A为横截面面积。
公式的应用条件： F N A
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 Saint-Venant(圣维南)原理：
离开载荷作用处一定距离(为不超过杆的横截面尺寸范围)， 应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN1 A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
Fx 0
F N 1 F A F B F C F D 0
F N 1 5 F 8 F 4 F F 0 FN1 2F
同理，求得AB、BC FN2 、CD段内力分别为：
FN2= –3F FN3= 5F FN4= F
第一章
本章重点: 1、截面法的应用及内力、应力的概念。 2、轴向拉（压）问题的强度计算及变形。
目录
§1.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
§1.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
§1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9 §1.10
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 轴向拉伸或压缩时的变形 材料拉伸时的力学性能 失效、安全因数和强度计算 拉伸、压缩超超静定问题 应力集中的概念 轴向拉伸或压缩的应变能 温度应力和装配应力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。 求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
轴力图如右图
FN 2F
BC
D
FB
FC
FD
FN3
C
D
FC
FD
FN4
D
FD 5F
F
x
3F
轴力图的特点：突 变值 = 集中载荷
40kN 30kN
轴力(图)的简便求法：
A
B
C
外力F相对指定截面而言， F N 50kN
若外力的指向为离开相应的截
面则为正，反之为负。
10kN
20kN D
8kN
5kN
3kN
x 20kN
轴力沿轴线变化的图形称为轴力图。
轴力图用杆的轴线作为横坐标，横截面的轴力值为纵坐标一 般纵坐标正向指向向上。
例如前面例题的轴力图
m
F
F
FN
m
F
FN F
O
x
例 1 求轴力并画轴力图。 解：1-1截面
1
2
3
40kN 30kN 20kN
Fx 0
A 1 B 2C 3 D
F N 14030200 F N 1
FN
FN(x)0xkxdax
1kl2 2
两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉 力的增加，哪根杆先断？
显然两杆的轴力是相同，细杆先被拉断。
两根材料相同但粗细也相同的杆，在不同大小的拉力下， 随着拉力的增加，哪根杆先断？
显然两杆的轴力是不同，拉力大的杆先被拉断。
(1)平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且 仍垂直于轴线。
ac
F
F
bd
a
c
F
F
b
d
h
21
由平面假设，以及均匀性 假设可知横截面上各点的内力 是均匀分布的，也就是说横截 面上所有各点具有相同的应力 值。同时，该应力的的方向与 F 分布内力的方向一致，即沿着 横截面的法向，通常称为正应 力，用表示。
FN 5kN
8kN
x
3kN
我们考察轴的内力时，不能简单沿用静力分析中关于“力的 可传性”和“静力等效原理”
例3 图示杆长为l，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试 画出杆的轴力图。
O x
O x
q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由
端。
l
取左侧x段为对象，内力FN(x)为：
q
q(x)
FNx x ql