对数的概念(1)
人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(1)
2
③由lg 1000 = 3，得103 =1000.
（2）①由2−7 =
④由ln =2，得e2 =x.
3.求下列各式中x的值.
1
9
2
3
3
（3）log 8=-3；
（4）log 27= .
4
1
1
解：（1）由x=log 27 ，得27 = ，即33 =3−2 ，
9
9
2
所以3x=-2，解得x=- .
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简
单的对数计算；
理解常用对数、自然对数的概念与记法；
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数
式与指数式的互化；
通过对数概念的形成和指数式与对数式的转化，
提升数学抽象、数学运算的相关能力.
一、新知导入
某年，平江县人民在县委、县政府的正确领导下，坚持科
（2）log 8=6；
（3）lg 100=x；
（4）-ln e2 =x.
（3）因为lg 100=x，所以
10 =100， 10 = 102 ，
于是
x=2.
（4）因为-ln e2 =x，所以
ln e2 =-x，e2 = e− ，
于是
x=-2.
利用对数式与指数式的互化求值的策略：
（1）确定范围：首先看x所在对数式中
（4）-ln e2 =x.
2
解：（1）因为log 64 =- ，所以
3
2
−3
2
1
16
3 −3
x=64 =(4 ) =4−2 = .
（2）因为log 8=6，所以 6 =8.又x＞0，所以
3对数与对数函数
2a lg 1 1 10 a 1. 2 40 b 0 b 1. g (0) 20
主页
则f[f(2)]=
2e x 1 , x 2, 【7】(06山东)设函数 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x ≥ 2,
2
.
【8】计算 lg( 3 5 3 5 ).
解:由a>0, ab=1可知b>0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称， 由图象可知b>1, 且0<a<1, 由单调性可知，B正确.
主页
解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实 践来学到它！ ——波利亚
主页
主页
主页
主页
主页
【1】(07上海)方程 9 x 6 3 x 7 0 的
2
3 3＋1· lg 2
lg 2 lg 2 lg 3 lg (3)原式＝lg 3＋lg 9· 4＋lg lg lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＝lg 3＋2lg 3· 2＋3lg 2 2lg
3 8
3lg 2 5lg 3 5 ＝ · ＝ . 2lg 3 6lg 2 4
解 3 ×70 7 (1)原式＝lg － lg23－2lg 3＋1 3
＝lg 10－ (lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
主页
(2)令 3x＝t，∴x＝log3t， ∴f(t)＝4log23· 3t＋233＝4log2t＋233， log ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233 ＝4· 2(2·2·3· 28)＋8×233 log 2 2 …· ＝4· 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008. log
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
对数函数
解析：∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)即lg(
ax a 2 1 x ∴lg( )＝lg( )， 1 x 2 a ax ∴ ax a 2 1 x 1 x 2 a ax
∴4＋4a＋a2－a2x2＝1－x2，
2 4 4a a 1 ∴ 2 ，解得a＝－1. a 1
1.对数的概念
(1)对数的定义.
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对 数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫 做真数.
(2)几种常见对数.
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a＞0且a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logax lgx lnx
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3能取遍(0，＋∞)
上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－ 实数a的取值范围是(－∞－ ]∪[ ，＋∞).
保持例2中的函数不变， (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实 数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R值域为(－∞，－1]，求实数
①loga(1＋a)＜loga(1＋
②loga(1＋a)＞loga(1＋ ③a1＋a＜ ④a1＋a＞ A.①与③ C.②与③ ；
)；
)；
，其中成立的是 B.①与④ D.②与④
(
)
(2)已知函数f(x)＝loga(3－ax). ①当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； ②是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
2(lg
)2＋lg
· lg5＋
；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
对数的概念
2 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
【解析】选C.由log64x=
2 3
得，x=
2
64 3
1
，所以①错误；由logx8=6得，
16
x6=8，所以x2=2且x>0，
所以x= 2 ，所以②正确； 由log10100=x得，10x=100.所以x=2，所以③错误； 由-ln e2=x得，x=-2，所以④正确；
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
D.2 2
【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值. 2.利用指数对数互化表示出x，再代入利用对数恒等式求值.
【解析】1.选A. 21log2 2 21 2log2 2 1 2 2 .
2
2
2.由x=log43，
则2·4x+4-x=2· 4log43 4－log43 =2×3+ 答案：19
3
1 ＝6 1 19．
4log4 3
33
【解题策略】关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形，变形为 alogab 的形式，再利用对数恒等式计算 求值.
【跟踪训练】
(2020·绍兴高一检测)若a=log23，则2a+2-a=_______.
关于对数函数对数的概念(一)
对数函数是数学中的一种特殊函数，它的概念和性质在数学和实际应用中都起着重要的作用。
下面我们来详细阐述关于对数函数对数的概念及相关内容。
首先，我们来谈谈对数函数的定义。
对数函数是指以一个固定正数为底数的对数函数，一般用符号“log”表示，其一般形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数。
对数函数的定义域为所有正实数，值域为实数，且底数不等于1。
其次，我们需要了解对数函数的性质。
对数函数的性质包括对数的底数、对数的运算法则以及对数函数的图像特征。
首先是对数的底数，对数函数的底数必须是一个正实数且不等于1，常用的对数底数有10、e等。
其次是对数的运算法则，对数函数的运算法则包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等，这些法则在数学和实际应用中都有重要作用。
最后是对数函数的图像特征，对数函数的图像特征是一条斜率逐渐减小的曲线，其渐近线为y轴，对数函数的图像特征在实际应用中有着重要的意义。
接下来，我们来探讨对数函数的应用。
对数函数在实际应用中有着广泛的应用，比如在生物学、天文学、经济学、工程学等领域都有对数函数的应用。
在生物学中，对数函数可以描述生物种群的增长规律；在天文学中，对数函数可以描述星等和光度的关系；在经济学中，对数函数可以描述复利计算；在工程学中，对数函数可以描述振动的衰减规律等。
最后，我们需要了解对数函数的推广。
除了常见的对数函数loga(x)外，还有自然对数函数ln(x)和常用对数函数lg(x)等。
自然对数函数ln(x)是以e为底数的对数函数，常用对数函数lg(x)是以10为底数的对数函数，它们在实际应用中有着重要的作用。
综上所述，对数函数对数的概念及相关内容涉及对数函数的定义、性质、应用和推广，对数函数在数学和实际应用中都有重要作用。
希望通过本文的介绍，读者对对数函数有了更深入的了解。
对数的概念(高中数学)
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
22
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________． 3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值． [解] ∵x＝10，∴x－12＝10－12＝ 1100.
31
(2)由log2x＝－23，可得x＝2－23，
∴x＝1223＝ 3 14＝322. (3)由x＝log2719，可得27x＝19， ∴33x＝3－2，∴x＝－23. (4)由x＝log1216，可得12x＝16， ∴2－x＝24，∴x＝－4.
a>0， a≠1， 解得0<a<5且a≠1，故选B.]
4．ln 1＝________，lg 10＝ ________.
10
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝ 0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
11
合作探究 提素养
12
指数式与对数式的互化 【例 1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
5
10 e
6
思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：ax＝N(a>0 且 a≠1)，则总有 N>0，所以转化为 对数式 x＝logaN 时，不存在 N≤0 的情况．
7
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故 1．若 a2＝M(a>0 且 a≠1)，则有 选B.] () A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M
2．若 log3x＝3，则 x＝( ) A．1 B．3 C．9 D．27
对数的概念
对数的概念对数是一种数学概念，用来描述一个数在某个底数下所表示的幂次。
它在很多领域都有应用，特别是在科学、工程和经济等领域。
对数被广泛使用是因为它可以以很方便的方式处理大数和小数的乘除运算。
一、基本概念1.1 对数的定义对数是指一个数在某个正实数底数下的幂次。
如果 $a>0$，$b>0$ 且 $a \ eq 1$ ，则满足下列等式中 $x$ 的值称为以 $a$ 为底的 $b$ 的对数，记做$\\log_a b=x$。
$a^x=b$在上式中，$a$ 是底，$b$ 是真数，$x$ 是指数，$\\log_a b$ 表示底为$a$ ，真数为 $b$ 的对数。
在这里，我们也可以将对数的定义改写为以下两种形式：$\\log_{a}b=x \\Leftrightarrow a^x=b$$a^{\\log_a b}=b$1.2 对数的性质对数有以下基本性质：（1）$\\log_a a=1$ (底的幂次为 1)（2）$\\log_a (a^x)=x$ (底和真数的幂次相等 )（3）$a^{\\log_a b}=b$ (对数及其底的幂次被破坏)（4）$\\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a}$ （任何底数都可以转化成要求的底数）（5）$\\log_a (bc)=\\log_a b+\\log_a c$（底数为a、因数分解）（6）$\\log_a \\frac{b}{c}=\\log_a b-\\log_a c$ （底数为a、因数分解）1.3 常用对数人们在计算中常用的底数是10的对数，它称为常用对数，记作 $\\log$ 或$\\lg$，它和以e为底的自然对数 $\\ln$ （$\\ln x$ 是以 e （Euler 数 / Napier 常数）为底的对数函数）一样，都是有很多重要性质和计算公式的。
常用对数的底数是10，因此常用对数表现为 $f(x)=\\log_{10} x$ ，常写作 $\\log x$ 或 $\\lg x$ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
52 25以5为底25的对数是2，记作 log 5 25 2
26 1 64
2x 7
常用对数与自然对数的定义
(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数. 为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.
例1：
（1）对数式 log（2x－1） 4 中x的取值范围是？
（2）对数式 ln(3x +1) 中x的取值范围是？
讲授新课 2. 指数和对数的相互转化
指数
对数
幂
真数
ab N
底数
对数与指数的区别
对数与指数有什么区别与联系?
ax N log a N x
名称 式子
a
x
N
指数式ax N 底数
作
业
完成配餐作业
对 数 性质
研究下列各式： ax 1, ax a,2x 3,2x 0
通过求x的值，结合对数的定义，你能得出什么样的结 论?
1、负数和零有没对数？为什么？ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
2、 log a 1 0
3、 loga a 1
对数的概念
问题一：什么是对数？
问题1：求下列各式中的x： 22 = x,2 x = 8,2 x = 6, x的值各为多少？
x
问题一：什么是对数？问题2: 如给对数下定义呢？阅读课本P62
对数的定义
一般地,如果a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底 N 的对数, 记作 logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.)
指数
幂
对数式 loga N x 底数
对数
真数
例题
ax N log a N x
例1:将下列指数式写成对数式：
（1） 53=125 （2） 26 1 ； 64
（3）
1 3
m
5.37．（4）log 1 16 = －4
2
（5） lg 0.01 = －2 （6）ln10 = 2.303
小
结
请同学每谈谈，通过今节课的学习你有什么收获？ 1．对数的定义 一般地,如果a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底 N的对数, 记作 logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.)
2．掌握指数式与对数式的互化
log a N x ax N