数学思维训练教材六年级-上册

第1讲 比较大小

在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：

（1）比较这几个分数的大小： 52、73、2310、2912、37

15

（2）试比较77755

和7777

555，那个分数大？

……

如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。

例1： 已知A 321?=B ÷43 = C 109?= D 54?=E 5

1

1÷(ABCDE 都不等于0)，

将A 、、B 、C 、D 、E 按从大倒小的顺序排叠起来。

分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来

的算式就变成A 321?=B 311?=C 10

9

?=D 54?=E 65?。下面我们可以运用倒数的知识来解决

这一问题。

首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么，A 就是3

2

1的倒数，即53；同

理，B 应是43，C 是911，D 是4

1

1，E 是511。这样，我们很容易就能比较出这五个数的

大小。

因为411＞511＞9

1

1＞43＞53,所以D ＞E ＞C ＞B ＞A.

随堂练习一：

如果a=b 521?=6

5

c=d 54?(a 、b 、c 、d 均不等于0)，a 、b 、c 、d 四个数中，谁最大?

谁最小？

例2：将下列分数从小到大排列起来：52 、73、2310、2912、37

15

。

分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。

就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分

数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化

为：15060、14060、13860、14560、148

60。

由150＞148 ＞145＞ 140＞ 138，可以得到：15060﹤14860﹤14560﹤14060﹤13860，即5

2﹤

3715﹤2912﹤73﹤23

10

。 方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。

我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。

随堂练习二：

把下列分数按从小到大的顺序排列起来。

175

、196、4615、3310、37

30 例3：已知A=55555555555553，B=666663

666661

。试比较A 与B 的大小。

分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，

还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这

两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比A 比1少

55555552，B 比1少6666632，而55555552﹤666663

2

，所以A ﹥B 。

方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。

随堂练习三：

试比较下列两个分数的大小。

445443和559557

例4：比较

77755和7777

555，那个分数大？ 分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用

通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？

77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714，因为55714﹥555714，所以77755

﹤7777

555。

方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而

且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。

随堂练习四：

试比较

19219和172

17的大小。 例5：试比较下面两个分数的大小。

10061207和2006

2207

分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的

数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个

分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数2006

2207。

方法点评 当a ﹥b 时， b a ﹥k b k

a ++,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，

得到的新分数比原分数小，所以10061207﹥2006

2207

。同理，一个真分数的分子和分母都加上

同一个数，得到的分数比原分数大。

随堂练习五：

比较

2329与123

129的大小 拓展训练

1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。 1918、3736、3231、4847、16

15 2、比较下面两个分数的大小。

999499和1001

501 3、比较332221和665

443

的大小。

4、比较123456789987654321与20091234567892009

654321987+++的大小。

5、比较83837171与838383717171

的大小。

第2讲 速算与巧算

专题简析：

学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。

例1：计算下面各题。

（1）17164÷9 （2）2003÷2004

2003

2003

分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会

感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17

1

64

分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。

（1）17164÷9 （2）2003÷20042003

2003

=（63+1711）÷9 =（2003÷2003）÷（2004

2003

2003÷2003）

=63 ÷9 + 1711÷9 =1÷（2003÷2003+

2004

2003

÷2003） =7+911718? =1÷2004

1

1

=17

2

7 =20052004

方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这

时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。

随堂练习一：

计算：（1）5556

55

?

（2）167168167167÷

例2：计算：（1+61514131+++）?（1+5141+）—（1+5141+）?（6

1

514131+++）

分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算

式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。

设61514131+++=A 1+51

41+=B ，原来的算式可以转化成： （1+A ）?B-B ?A

=B+AB-AB =B

所以本题的结果为：1+

5141+=20

91 方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。

随堂练习二：

计算：（1+978573++）×（52+978573++）-（1+52+978573++）×（9

7

8573++）

例3：计算

(31)

3233323121222111+++++++++

50

1502...50485049505050495048...503502501+++++++++++ 分析与解 这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，

分母为3的分数有5个……且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5…这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）×项数÷2=数列的和。

原式=1+2+3+4+…+49+50 =（1+50）×50÷2 =1275

方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。

随堂练习三： 计算：

...313233323121222111++++++++++20

1

..202.201920202019...203202201+

+++++++ 例4：

计算：（1）（1321111213

+）÷（13

5

115+） （2）03

2003200320200320032003022002200220200220022002++++

分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：

1321111213

+=1314511145+

=145×(131111+),135115+=5×(13

1

111+).所以， 原式=（1314511145+

）÷（135115+）=145×(131111+)÷5×(13

1

111+)=145÷5=29 （2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为2002=2002×1

20022002=2002×10001

200220022002=2002×1000110001

所以2002+20022002+200220022002=2002×（1+10001+100010001） 同理2003+20032003+200320032003=2003×（1+10001+100010001） 原式=

)100010001100011(2003)100010001100011(2002++?++?=2003

2002

随堂练习四：

计算：（1）（91111119

+）÷（9

4114+） （2）23232323

23232323232317171717171717171717++++++

例5：计算 20

191

...431321211?+

+?+?+? 分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切

合实际。下面我们来分析一下：

211?=1-21，321?=3121-，….20191?=201191- 20191...431321211?+

+?+?+?=1-21+3121-+…+20

1

191- =1-201 =20

19 方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。

当a ﹤b 时,b

a ?1

= (b a 11-) ×a b -1

随堂练习五：

计算

100

991

...321211?+

+?+? 拓展训练

1.、计算（1+

5141+ ） ×（5141++61）-（1+5141++61） × （51

41+） 2、计算（34398...343634343432++++） -（68699

...68656863+

++） 3、计算2323232323

232323232323232323231919191919

19191919191919191919++++++++

4、计算16131131011071741411?+

?+?+?+?

5、计算（1+21） ×（1-21）×（1+31）×（1-31）×…×（1+501）×（150

1

-）

第3讲 比的意义和应用

比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。

例1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是1︰2,另一只杯子中

盐与比是1︰5 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？

分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是

多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占211+，水占212+；第二只杯子中的盐占511+，水占5

15+。两只杯子中的盐水混合后，盐为211++511+=21，水为212++515+=2

3。所以，混合液中的盐与水的比为：

（211++511+）︰（212++515+） =21︰23 =1︰3。

答：混合后，盐与水 的比为1︰3。

方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，

然后再进行解答。

随堂练习一：

六年（1）班男、女人数的比是5︰4，六年（2）班男、女人数的比是2︰1，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。

例2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的4

1

，

占正方形面积的3

1

，三角形中阴影部分的面积占三角形面

积的51，占正方形面积的41

。圆，正方形、三角形面积的

最简整数比是多少?

分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整

数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形

的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:12×31÷4

1

=16；三角形

的面积为： 12×41÷51=15。所以这三个图形的面积比就是：（12×31÷4

1

）︰12︰（12

×41÷5

1

）=16︰12︰15 方法点评 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件

计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。

随堂练习二：

如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长

方形面积的71，相当于小长方形面积的4

1

。这两个

长方形的面积比是多少？

例3：有大小两个长方形，大长方形的长比

小长方形的长多41，而小长方形的宽比大长方形的宽多.10

1

。求这两个长方形的面积比。

分析与解 大长方形的长比小长方形的长多4

1

，可以把小长方形的长看做4份，

大长方形的长就是1+4=5份；小长方形的宽比大长方形的宽多.10

1

。可以理解成八大长

方形的宽看做10份，小长方形的宽是1+10=11份。所以，这两个长方形的面积比为：

(5×10)︰ (4×11) =55︰44 = 25︰22

答：大小两个长方形的面积比为 25︰22 。

随堂练习三：

有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多4

1

。求两个正方形的周长比。

例4：六年（1）班男人数的3

2与女生人数的5

4相等，已知男生比女生多5人，这

个班男、女生各有多少人？

分析与解 根据男人数的32与女生人数的5

4相等，可以列出数量关系：男生人数×

32=女生人数×5

4。 假设男人数的32与女生人数的54都是1，则男生人数为1÷32=2

3

；女生人数为

1÷54=4

5

。所以，男、女生人数的比为：

（1÷32）︰（1÷54）

=23︰45 =6︰5

每一份的人数就是：5÷（6-5）=5（人） 男生人数就是：5×6=30（人） 女生人数就是：5×5=25（人）

答：男生有30人，女生有25人。

随堂练习四：

拔一根绳子按5︰3截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2米。这根绳子原来全长多少米？

例5： 小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 1︰5 ，若再读45

页，则已读的页数和未读的页数的比是3︰ 5。这本书共有多少页？

分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比1︰5”可知，把未读的页数看做

1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份，已读的页数占总页数的

5

11

+。若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3︰ 5.即把这时已读的页数看做3份，未读的

页数看做5份，总页数就是3+5=8份，这时已读的页数占总数的5

33

+。45页占总页数的

533+-511+=24

5，这本书共有的页数是：

45÷（533

+-511+）

=45÷245

=216（页）

答 ：这本书共有216页。

随堂练习五：

一条路，已修的米数和未修的米数比为2︰3，后来又修了2000米，这时已修的米数与未修的米数比为3︰2。这条路全长多少米？

拓展训练

1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是6︰5，两个厂西服价格比是11︰10.求两个厂这个月生产西服总产值的比。

2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。

3、把100克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去20克后，加满蒸流水 ；又用去20克 后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。

4、一个长方形长与宽的为7︰3，如果把长减少 12厘米，宽增加16厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？

5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为10︰1，当水面下降20厘米后，露出水面那部分的长度之比为5︰2。求木桩原来露出的部分是多少厘米？

第4讲 按比例分配

例1：有一块长方形的土地，测得周长为60米，. 长与宽的比是3︰2.求这块地的

面积。

分析与解 求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为60米，那么，

长与宽的和就是：60÷2=30(m)；它的长就是：30×

3

23

+=18（米）；它的宽就是：30×3

22

+=12（米。）至此，长方形的面积很容易求出。 60÷2=30(m)

30×323+=18（米）

30×3

23+=18（米）

18×12=216（平方米）

答：这块长方形土地的面积是216平方米。

方法点评：此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，

进而求出它的面积。

随堂练习一：

长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为5︰4︰2.这个长方体的体积是多少立方厘米？

例2：西园村挖一条水渠，全长420米，第一、二两队所挖米数比是3︰4，第二、三两队所挖米数比是6︰7。三个队各挖了多少米？

分析与解 我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队︰第二队︰第三队

3︰4=（3×3）︰（4×3）=9︰12 6︰7=（6×2）︰（7×2）=12︰14

这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为9︰12︰14，下面只需将420米按比例分配就行了。

9+12+14=35

420×359

=108（米）

420×3512

=144（米 ）

420×35

14

=168（米 ）

答：第一队挖了108米，第二队挖了144米 ，第三队挖了168米 。

方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联

系有两个独立的比转化成一个连比。

随堂练习二：

人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为5︰4，第二批与第三批的人数比为3︰2.已知六年级共有学生210人，第二批有多少人？

例3： 工厂把10000元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是3︰2，第三车间比第二车间多200元。三个车间各得多少元？

分析与解 根据题意，把第一车间所得奖金看做3份，第二车间所得奖金数是2份，第三车间所得将金属应为2份多200元。从10000元奖金中先拿出200元给第三车间，那么剩下的9800元中，三个车间应得奖金的比是322，再按比例进行分配。最后第三车间的奖金加上先分得的200元就行了。

3+2+2=7

10000-200=9800（元）

9800×73

=4200（元）

9800×7

2

=2800（元）

2800+200=3000（元）

答：第一车间分得4200元，第二车间分得2800元，第三车间分得3000元。

随堂练习三： 甲、乙、丙三堆煤共450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为5︰4，丙堆煤的重量是乙堆煤的1.5倍。三堆煤各重多少吨?

例4：A 、B 两桶油共重90千克，若把A 桶中油的4

1

倒入B 桶，则两桶油的重量

比是1︰2. A 、B 两桶油原来各多少千克？

分析与解 把A 桶油的4

1

倒入B 桶，两桶油的总重量没有变，还是90千克。因

此可以按比例分配求出现在A 桶油的重量：90×211+=30（千克）。A 桶倒出4

1

后是30

千克，即30千克占A 桶油原有油的4

3

，这样可以倒推A 桶原有油的重量。则就可求出B

桶油的重量。

90×211+=30（千克）

30÷4

3

=40（千克）

90－40=50（千克）

答 ：A 桶原有油40千克，B 桶原有油50千克。

方法点评 解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出A 桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。

随堂练习四：

两个书架一共放书360本，如果从第一个书架取出

4

1

放入第二个书架，则第一个书架上的书与第二个书架上的书的本数比是9︰11.两个书架上原来各有多少本书？

例5：水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香

蕉每千克的价格比为4︰5︰6.已知上周这三种水果售出数量比是3︰2︰4，又知苹果共卖得2160元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？

分析与解 根据这三种水果的单价比为4︰5︰6.，以及数量比为3︰2︰4，可以先

计算出这三种水果的总价比（4×3）︰（5×2）︰（6×4）=12︰10︰24=6︰5︰12由此

可知，苹果的总价占售出水果总价的23

6

12566=

++。因此售出水果的总价很容易求出。 （4×3）︰（5×2）︰（6×4）=6︰5︰12

2160÷23

6

=8280（元）

答：这个批发部上周售出水果的总价为8280元。

方法点评 解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。

随堂练习五：

甲乙两个三角形，他们的底边之比为2︰3，高之比为3︰5.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30平方厘米，求这两个三角形的面积。

拓展训练

1、一个长方体，长、宽、高的比是4︰3︰7.已知这个长方体的底面周长为56厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

2、甲数和乙数的比是23，乙数和丙数的比是45，甲数和丙数的比是多少？

3、大、小两筐苹果共60千克，把大筐苹果重量的7

3

放入小筐后，大、小两筐苹果

的重量比为2︰3。大、小两筐原来各装多少千克苹果？

4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为4︰9︰5.两天后，三种水果工卖出

780千克，这时苹果还余50千克，梨还余20千克，橘子余下的是卖出的4

1

。原来三种水

果各有多少千克？

5、学校田径队和游泳队共有32个男生、18个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为5︰3，游泳队中男生人数与女生人数的比是2︰1，那么，田径队中女生有多少人？

6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是2︰1，已知奶糖每千克6元，酥糖每千克2元。如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那么，什锦糖的成本为每千克多少元？

第五讲 分数第应用题（一）

例1：一池水，第一天放出60吨，第二天放出65吨，剩下的水比原来这池水的

4

1少5吨。原来水池有多少吨？

分析与解 这道题把原来这池水的吨数看作单位“1”，但具体数量与分率之间的关

系却不容易看出，关键是剩下的水不是正好占单位“1” 的4

1

。我们可以假设第二天少放出5吨水，那么剩下的水 就正好占单位“1” 的4

1

，两天共用去（60+65-5）吨的水，的对应分率就是（1－

41

）。 （60+65-5）÷（1－4

1

）

=120÷4

3

=160（吨）

答：原来水池有水160吨。

随堂练习一：

一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的8

3

，后来向甲库运进45吨，

向乙库运进36吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻谷多少吨？

例2：五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共96本。已知科技书是故事

书的31，是文艺术的4

1

，三种图书各有多少本？

分析与解 这道题出现了两个不同的单位“1”，因而 ，我们需要将他转化成同一

个单位“1”。把故事书看作单位“1”，科技书的对应分率就是31，文艺书的对应分率是

3

1÷41=3

4 故事书的本数：96÷（1+31+31÷41

）

=96÷3

2

2

=36（本）

科技书的本数：36×31=12（本） 文艺书的本数：12÷4

1

=48（本）

答：故事书有36本，科技书有12本，文艺书有48本

方法二：这道题也可以把科技书的本数看作单位“1”，故事书的对应分率就是1

÷31=3文艺书的对应分率就是1÷4

1=4 96÷（1+1÷31+1÷4

1

）

=96÷8

=12（本）……科技书的本数 12÷31=36（本）……故事书的本数 12÷4

1

=48（本）……文艺书的本数

答：(略)

方法点评： 在分数应用题中，如果遇到单位“1”不同时，就要注意将各分率进

行转化，将这些分率转化成同一个单位“1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。

随堂练习二：

某校四、五、六年级共有学生580人，四年级的学生人数是五年级的9

8

，五年级的

人数是六年级的4

3

。三个年级各有多少人？

拓展训练

1、小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票285张，现在小明拿出自已邮票的

5

1

，现在小虎拿出15张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正好相等。两人原来有多少张邮票？

2、某厂男职工比全厂职工总数的53还多60人，女职工的人数是男职工的3

1

。这个

厂公有制共多少人？

3、东方小学六年级有23人、五年级有18人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖

人数相等，五年级未获奖人数比六年级少3

1

。两个年级共有多少人获奖？

4、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的2

1

，乙做零件的个数是

甲丙的3

1

，丙做了450个，这批零件有多少个？

5、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了5天后，还剩下需装彩灯数量的9

1

，这时若再增加200只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。原来准备

装彩灯多少只?

第6讲 分数应用题（二）

例一： 人民商场运来空调和冰箱共240台，其中空调占5

2。后来有几台空调因质

量问题要退回厂家，这时空调台数占总数的

13

5

。退回空调多少台？ 分析与解 根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。我们可以

先求出冰箱的台数;

240×(1-52

)

=240×5

3

=144(台)

根据“这时空调台数占总数的13

5”，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位“1”，冰箱占总数的（1-13

5），这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数： 144÷（1-13

5

）=234（台） 最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调台数； 240-234=6（台）

答：退回空调6台。

随堂练习一：

幼儿班图书角共有连环画与漫画书216本，其中连环画占3

1

。后来又卖来一些连环

画，这时连环画占图书总数的59

23

。后来又买来多少本连环画？

例2：由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的7

5

。如果从乙车间调12

人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的5

4

。原来甲乙两个车间各有人多少人？

分析与解 根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的7

5

，从乙车间调12人到

甲车间，甲车间的人数是乙车间的5

4

，说明甲乙两个车间的人数都发生了变化，甲乙两

个车间的总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的总人数看作单位“1”，则原来甲

车间人数占两个车间总数的755+，同时把甲车间的人数是乙车间的54

转化成现在甲车间

的人数占两个车间总数的5

44

+。根据题目中所说“从乙车间调12人到甲车间”，可知甲

车间现在的人数比原来的人数多12人，它的对应分率应是（544+-7

55

+）就可以求出辆

车间的总人数，再求两车间的人数就简单了。

12÷（544+-7

55+）

=12÷

36

1 =432（人）…两车间人数

432×7

55

+=180（人）…甲车间人数

432-180=252（人）…乙车间人数

答：原来甲车间人数有180人，乙车间的人数有252人。

方法点评; 在一些分数应用题中，题目中会出现一些变化量，造成单位“1”的量

无法确定，未结题增加了难度，这种情况下，我们要善于抓住其中的“不变量”，抓住“不变量”进行分析。通常分两种情况：（1）先求出不变量，然后利用这个不变量作为“桥梁”进行解答；（2）、一步变量作为单位“1”，把题目得分率全部转化成以不变量作单位’1”然后在寻找对应关系进行解答。

随堂练习二：

修一条水渠，已修的米数是剩下的

2

1

，如果再修50米，那么已修的米数就是剩下的4

3

。这条渠去长多少米？ 拓展训练

1、水果店运来苹果和梨共360箱，其中苹果占

12

7

。后来由有运来几箱 苹果，这时苹果占两种水果总箱数的5

3

。又运来苹果有多少箱？

2、师徒两人合作280个零件，徒弟做了自己人物的

43，师傅做了自己任务的5

4

，这时还剩下64个零件没有做。师徒两人原来各需做多少个零件？

3、甲、乙两校共有60人参加小学生数学竞赛，甲校参加人数的3

1

比乙校参加人数

的4

1

多6人，甲、乙两校各有多少人参加竞赛? 4、某次会议，昨天参加会议的代表共2100人，今天男代表减少10

1

，女代表增加了

20

1

。今天共2016人出席会议，那么昨天参加会议的男代表共有多少人？ 5、兄弟两人各有邮票若干张，现在爸爸又买回18张邮票。如果全部给哥哥，那么

哥哥的邮票张数是弟弟的2倍；如果全部给弟弟，则弟弟的邮票张数是哥哥的8

7

。两人

原来各有多少张邮票？

第7讲 列方程解分数应用题

专题简析：

用算术方法解应用题，虽然有利于提高思维的灵活性，但使用算术方法解应用题时，总是把未知数置于特殊的位置，使解题思路和方法受到很大限制，有时解题很困难。这时，我们可以选择用方程解答应用题，用字母表示未知数，未知数直接参加列式和运算，思维直接，解法灵活。用列方程的解题方法，往往能获得事半功倍的效果，这样取得成功的机会会更多一些。

例1：某工厂有职工980人，其中女职工的人数比男职工的5

2

多28人。这个工厂

的男、女职工各多少人？

分析与解 这题中有两个等量关系，男职工人数+女职工人数=980人，女职工人

数=男职工人数×

5

2

+28人。在解答分数应用题时,通常设单位“1”的量为x ，这里可以设男职工人数为x ，那么女职工人数就可以根据第二个数量关系表示为（5

2

x+28）,再分

别把男职工人数和女职工人数带入第一个等量关系，列出方程，求出结果。

解：设这个工厂有男职工x 人，则女职工有（5

2

x+28）人。

X+52

x+28=980

15

2

X+28=980 X=680

980－680=300（人）

答：这个工厂有男职工680人，女职工300人。

方法点评：在用方程解答应用题时，我们应注意以下几点：（1）一般设单位“1”

的量为X ；（2）找准等量关系列方程。

随堂练习一：

师徒两人合作一批零件，完工时，徒弟做的零件个数比师父的4

3

少10个。已知师傅比徒弟多做了50个零件，师徒两人个做了多少个零件?

例2：商场运来空调与彩电共152台，卖出彩电的

11

1

和5台空调空调后，剩下的空调与彩电台数正好相等。商场运来空调与彩电各多少台？

分析与解 由于题目中彩电台数是单位“1”那么可以设彩电台数为x ，则空调台

数为（152－x ）台。根据“剩下的空调与彩电台数正好相等”，我们可以列方程来解答

解：设商场运来彩电x 台，则空调台数为（152－x ）台。

X －

11

1

x=152－x －5 1110

=147－x x 1121

=147 X=77

152－77=55(台)

答：商场运来彩电77台，空调75台。

随堂练习二：

甲乙两桶油共重44千克，甲桶用去它的5

1

，乙桶又倒入10千克后，先在两桶油的

重量相等，甲桶原有油多少千克？

拓展训练

1、两筐橘子，甲筐比乙筐多21千克，若从甲筐取出18千克橘子给乙筐，则甲筐重

量是乙筐的7

4

。乙筐原有橘子多少筐？

2、甲乙两人共储蓄1000元，甲取出240元乙又存入80元，这时乙储蓄的钱数正好是甲的3

1

。原来乙储蓄了多少元钱？

3、学校田径队中，女队员人数的31等于男队员人数的5

1

。已知男队员比女队员多6

人，田径队中男、女队员各有多少人？

4、六（1）班有学生50人，当男生的3

1

和5个女生离开后，剩下的男、女生人数相

等，那么这个班原有多少个男生？

5、某校上学期男、女生共有500人，本学期有81的男生转学，而女生又增加了6

1

。

这学期共有学生490人。求这学期男、女生的人数。

第8讲 百分数应用题

百分数应用题与分数应用题一样，其中的百分数表示的是两个量之间的倍数关系，它的具体大小也取决于单位“1”的大小。因此，解答白分数应用题也需要首先弄清谁是单位“1”，这同样是解决百分数应用题的关键。

例1：六（1）班男生人数比女生人数多25﹪，女生数比男生人数少百分之几？ 分析与解 男生比女生多25%，就是男生比女生多女生的25%。把女生看做单位“1”

男生就是女生的1+25%=125%。求女生人数比男生少百分之几，就是求女生比男生少的人数占男生恩数的百分之几，应该用女生比男生少的人数除以男生人数。

25%÷（1+25%）=20%

方法点评：解决求一个数是另一个数百分之几的应用题时，关键是要区分清谁是

谁的百分之几。

随堂练习一：

果园里的苹果树的棵树比桃树多

3

2

，桃树比苹果树的棵数少百分之几？ 例2： 某商店同时卖出两件商品，售价都是60元，但其中一件赚20%，另一件亏

本20%。这个商店卖出这两件商品是赚钱，还是亏本？

分析与解 要知道商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本，必须要求这两件商品的成本是多少钱。一件商品赚了20%，是60元，是把这件商品的原价看作单位“1”，60元的对应分率是（1+20%）可以求出原价。

另一件商品亏本20%以后，是60元，是把这件商品的原价看作单位“1”，60元的对应分率是（1－20%）可以求出原价。所以：

60÷（1+20%）=50（元） 60÷（1－20%）=75（元） 75+50﹥60+60

答：这个商店卖出这两件商品是亏本了。 随堂练习二：

某商店同时卖出两件商品，售价都是100元，但其中一件赚25% ，另一件亏本25%。这个商店卖出这两件商品是亏本了，还是赚钱了？

拓展训练

1、商店卖出甲乙两种电脑的价格不同，如果甲种 电脑的价格提高20%，乙种电脑的价格降低10%，那么两种电脑的价格相同。原来甲种电脑的价格是乙种电脑的百分之几？

2、国家规定，个人存款应缴20%的利息税。张叔叔今天从银行取出一年前的存款，缴纳了18元的利息税，已知银行一年定期存储的年历率为2.25%。那么，张叔叔一年前存入银行多少钱?

3、商场购进一件商品，加上15%的利润作为定价。可是一直无人购买，只好降低定