数学文化练习题
华中师范大学职业与继续教育学院《数学文化》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院《数学文化》练习题库及答案一选择题1《三角形论》的作者是谁?A乾隆 B康熙 C雍正 D顺治2中国古代哪一项“四大发明”与宋代没有关系？A火药 B指南针 C造纸 D印刷术3 下列哪个学派提出“万物皆数”这个观点？A毕达哥拉斯学派 B泰勒斯学派 C巧辩学派 D 厄里亚学派4下列哪位数学家创立了“拓扑学”？A康托 B伽罗瓦 C高斯 D 庞加莱5黎曼开创了下列哪一个数学领域？A现代微分几何 B抽象代数 C拓扑学 D非欧几何6下列哪一个朝代出现了甲骨文？A夏 B商朝 C西周 D 战国7第二次数学危机发生在什么时候？A公元前5世纪 B16世纪 C17世纪 D 19世纪8“以反对中世纪经院哲学派的基督教思想体系为中心，推崇人文主义。
颂扬人，蔑视神；赞美人性，贬抑神性；提倡人权，否定神权；标榜人道，反对神道。
”这段文字描述的是下列哪个时期?A古典时期 B 古希腊时期 C文艺复兴时期 D 中世纪9下列哪一项不是古印度的数学知识积累?A楔形文字泥板 B桦树皮 C经文 D碑文10文明古国的数学知识非常丰富，金文是下列哪个古国的数学知识？A古埃及 B古中国 C古印度 D玛雅11下列哪一个著作是丢番图（Diophantus of Alexandria 约246~330）完成的？A《算术》 B《数学汇编》 C《圆锥曲线》 D《算术入门》12自从公元前200多年罗马入侵后，古希腊数学以至整个古希腊文明就开始遭到破坏，其中有三把火加速这些破坏，下列哪一项不是？A、B.C.47年凯撒纵火，亚历山大里亚图书馆藏书50万份手稿被焚B 392年罗马王泰奥多希乌斯下令拆神庙，塞拉皮斯神庙所30万份手稿被焚C公元529年，东罗马王子封闭了所有的古希腊学园，包括柏拉图学园，古希腊的学者们纷纷逃散到波斯。
D 640年阿拉伯人奥玛下令焚书达 6 个月13下列哪一项不是古希腊数学的成就？A倡导理性和抽象，为数学的理论及其发展奠定了基础B三、四次方程的求解C建立了逻辑推理和证明的方法，对数学的严密性产生了深远的影响D确立了数学观以及初等数学全面开创14阿拉伯数学的兴盛期是9 — 13世纪，以巴格达、布哈拉、开罗、科尔瓦多、托来多等中心，其中有以阿尔-花拉子模为代表的创造性工作，下列哪个著作是阿尔-花拉子模完成的？A《代数学》 B《圆周论》 C《论四边形》 D《算术之钥》15下列哪位历史人物首创内插法，编《皇极历》并用内插法算子午线？A赵爽 B刘徽 C祖冲之 D刘焯16.1840年鸦片战争，打开了清廷闭关自守的大门。
小学数学文化素养考试题
小学数学文化素养考试题（答案见尾页）一、选择题1. 在小学数学教学中，以下哪项不是文化素养的体现？A. 数学史的知识B. 数学家的故事C. 数学的美学价值D. 数学的应用价值2. 下列哪个选项是数学文化素养的重要组成部分？A. 数学公式和定理B. 数学思维和方法C. 数学史和数学家故事D. 数学竞赛题目3. 在小学数学课堂上，教师应该如何引导学生理解数学的文化意义？A. 通过讲解数学的历史背景B. 通过数学游戏和活动C. 通过比较数学与其他学科的联系D. 以上都是4. 数学文化素养对学生的哪些方面有影响？A. 数学成绩B. 学习兴趣C. 思维方式D. 创新能力5. 在小学数学教学中，如何培养学生的文化素养？A. 引入数学史和数学家故事B. 开展数学游戏和竞赛C. 结合数学与其他学科知识D. 以上都是6. 下列哪个活动不是小学数学文化素养教育的一部分？A. 数学史讲座B. 数学家故事分享C. 数学竞赛D. 数学建模7. 在小学数学教学中，如何利用数学文化素养来提高学生的学习兴趣？A. 通过讲述数学家的故事B. 通过组织数学游戏和活动C. 通过展示数学的美学价值D. 以上都是8. 下列哪个选项不是小学数学文化素养教育的目标？A. 提高学生的数学成绩B. 培养学生的数学思维C. 增强学生的文化自信D. 提升学生的创新能力9. 在小学数学教学中，如何结合数学文化素养来培养学生的创新思维？A. 通过讲解数学史和数学家故事B. 通过开展数学游戏和竞赛C. 通过引导学生发现数学中的规律和模式D. 以上都是10. 在小学数学教学中，以下哪项不是文化素养的组成部分？A. 数学史B. 数学逻辑C. 数学美D. 数学游戏11. 下列哪个历史人物对数学发展有重大贡献？A. 伽利略B. 牛顿C. 苏格拉底D. 笛卡尔12. 以下哪个概念是小学数学文化中常提到的“黄金分割”？A. 0.618B. 1.414C. 2.618D. 3.1415913. 在小学数学教学中，教师通常会介绍哪种数学思想方法？A. 归纳法B. 演绎法C. 类比法D. 实验法14. 以下哪个数学概念在中国文化中有特殊的意义？A. 几何B. 代数C. 概率D. 数论15. 在小学数学课程中，教师如何引导学生理解数学的文化价值？A. 通过数学故事B. 通过数学游戏C. 通过数学实验D. 通过数学竞赛16. 在小学数学教学中，教师如何帮助学生建立数学与文化之间的联系？A. 通过数学史的学习B. 通过数学文化的讨论C. 通过数学与其他学科的交叉学习D. 通过数学课程中的文化项目17. 以下哪个活动不是小学数学文化素养教育的一部分？A. 数学文化节B. 数学历史展览C. 数学家讲座D. 数学竞赛18. 在小学数学教学中，以下哪个教育理念强调通过数学活动培养学生的创新思维和问题解决能力？A. 以教师为中心B. 以学生为中心C. 以知识为中心D. 以技能为中心19. 在小学数学课程中，以下哪个领域是学生最早接触并学习的数学知识？A. 几何图形B. 数的认识C. 运算律D. 测量单位20. 在小学数学教学中，以下哪种教学方法最有利于培养学生的自主学习能力？A. 讲授法B. 讨论法C. 实践法D. 讲授与实践相结合21. 在小学数学课程中，以下哪个数学概念是通过实际操作和直观感受来学习的？A. 分数B. 几何图形的性质C. 代数方程D. 概率统计22. 在小学数学教学中，以下哪种评价方式最能全面反映学生的学习情况？A. 考试成绩B. 书面作业C. 课堂表现D. 多元化评价（包括考试成绩、书面作业、课堂表现等）23. 在小学数学教学中，以下哪个领域是培养学生逻辑思维能力的关键时期？A. 小学低年级阶段B. 小学中年级阶段C. 小学高年级阶段D. 初中阶段24. 在小学数学教学中，以下哪种教学资源最有助于提高学生的学习兴趣？A. 数学课本B. 数学游戏C. 数学实验器材D. 数学历史故事25. 在小学数学课程中，以下哪个知识点涉及到对时间和货币的管理？A. 分数的认识B. 长度单位的换算C. 购物中的数学应用D. 几何图形的面积计算26. 在小学数学教学中，以下哪种方法最有助于培养学生的团队合作精神？A. 分组合作学习B. 竞赛式学习C. 独立完成作业D. 个人主义学习27. 在小学数学教学中，以下哪个领域是学生通过实际操作和探究来学习的？A. 数的运算B. 几何图形的认识C. 代数方程的解法D. 测量单位的换算28. 小学数学课程中，通常首先学习的是哪个数学概念？A. 分数B. 几何图形C. 数和数的运算D. 变量29. 在小学数学教学中，老师通常使用哪种方法来帮助学生理解加减法概念？A. 故事讲述B. 角色扮演C. 实物操作D. 图表展示30. 下列哪个数学工具是小学阶段学生最常使用的？A. 计算器B. 直尺C. 圆规D. 显微镜31. 小学数学课程中，关于“时间”的教学内容通常包括哪些方面？A. 时、分、秒的概念B. 钟表的认识和使用C. 时间单位之间的换算D. 以上都是32. 在小学低年级的数学教学中，老师会强调哪种数学思维方式？A. 抽象思维B. 逻辑思维C. 形象思维D. 创造性思维33. 下列哪个选项是小学数学课程中关于“图形”的教学内容？A. 平行四边形的性质B. 三角形的分类C. 圆形的认识D. 代数方程34. 在小学数学教学中，为了帮助学生记忆乘法口诀，老师通常会采用哪种方法？A. 编写歌谣B. 制作闪卡C. 进行小组讨论D. 实物演示35. 下列哪个数学概念是小学阶段学生需要掌握的基本运算之一？A. 平方根B. 立方根C. 对数D. 百分比36. 在小学数学教学中，老师如何引导学生理解“分数”的概念？A. 通过生活中的例子，如分享蛋糕B. 通过数学游戏，如分数接力C. 通过抽象的数学符号和计算D. 通过复杂的数学理论讲解37. 下列哪个选项是小学数学课程中关于“数据收集和处理”的教学内容？A. 统计图表的制作B. 数据的整理和分析C. 数据的预测和决策D. 以上都是38. 在数学教学中，我们通常强调什么作为数学教学的基础？A. 数学知识B. 数学思维C. 数学技能D. 数学史39. 下列哪个选项不是小学数学课程的目标？A. 培养学生的数学兴趣B. 提高学生的数学能力C. 提升学生的数学成绩D. 塑造学生的数学观念40. 在教授加减法时，教师通常会采用哪种方法来帮助学生更好地理解？A. 实物演示B. 图表辅助C. 儿歌记忆D. 抽象讲解41. 对于小学低年级的学生，教师在教授乘除法时，一般会选择哪种教学方法？A. 分组合作学习B. 游戏化教学C. 讲授式教学D. 循序渐进教学42. 在数学课堂上，教师应该如何处理学生的回答？A. 立即给予负面反馈B. 忽略学生的回答C. 鼓励并引导正确的思考D. 让学生自行纠正43. 下列哪个活动最有助于培养学生的数学观察力？A. 数独游戏B. 计算练习C. 几何图形拼图D. 逻辑推理题A. 通过大量的加减法练习B. 让学生参与购物计算C. 教授数学史和数学家故事D. 让学生自己编数学故事45. 对于小学数学教学，下列哪个观点是不正确的？A. 数学教学应该注重培养学生的兴趣B. 数学教学应该从具体到抽象C. 数学教学应该使用大量的文字描述D. 数学教学应该结合生活实际46. 在小学高年级的数学教学中，教师通常会更注重哪方面的训练？A. 基础运算能力B. 逻辑思维能力C. 空间想象能力D. 创新实践能力二、问答题1. 在小学数学教学中，如何培养学生的数感？2. 请简述三角形内角和的性质，并说明如何在教学中向学生传授这一知识。
高考数学二轮复习练习-专题七数学文化练典型习题提数学素养
一、选择题1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人解析：选 B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 10022 500＝108.故选B. 2．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B.法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B.法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B.3．(2019·山东淄博模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.5．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A.6．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.7．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a2 017·a2 019－a22 018等于()A．1 B．－1C．2 017 D．－2 017解析：选A.因为a1a3－a22＝1×2－1＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，由此可知a n a n＋2－a2n＋1＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a22 018＝(－1)2 017＋1＝1，故选A.8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B. 11．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝2n －1C ．a 4＝27D ．a n －a n －1＝2·3n －2(n ≥2) 解析：选ACD.黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.12．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路解析：选ABD.设此人第n 天走a n 里路，前n 天共走S n 里路．由题意可知，{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，由等比数列前n 项和公式得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192. 在A 中，a 2＝192×12＝96，故A 正确； 在B 中，378－192＝186，192－186＝6，故B 正确；在C 中，a 3＝192×14＝48，48378>18，故C 错误； 在D 中，a 4＋a 5＋a 6＝192×⎝⎛⎭⎫18＋116＋132＝42，故D 正确．13．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列命题正确的是( )A ．对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个B ．函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”C ．正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”D ．函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故A 正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故B 错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C 正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D 错误．二、填空题14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R ，(2R )2＝62＋22＋12，解得R 2＝414，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR 2＝41π.答案：41π15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF 2，PF 1分别是Rt △F 1PF 2的“勾”“股”，则点P 的横坐标为________．解析：由题意知半焦距c ＝3，又PF 1⊥PF 2，故点P 在圆x 2＋y 2＝3上，设P (x ，y )，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得P ⎝⎛⎭⎫263，33. 故点P 的横坐标为263. 答案：26316．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0．618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝________． 解析：由题设n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝2·（2sin 18°cos 18°）cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2. 答案：217．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：262－1。
高考数学二轮复习专题十第十九讲数学文化与核心素养习题文
第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2c2-(c2+c2-c22)2].若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n 的值为( ) A.20 B.25 C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )A.9B.16C.23D.307.(2018吉林长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为( )A.4B.5C.6D.128.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n 层,上底由a×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》.图中的Mod(N,m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A.23B.38C.44D.5810.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos∠AOB=()A.125B.325C.15D.72512.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√c2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为( )A.①③B.①③④C.②③D.①④13.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出的k的值为.15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案精解精析1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13πr 2h≈7264l 2h=7264(2πr)2h,化简得π≈227.故选A. 2.A 根据正弦定理及a 2sinC=4sinA,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S=√14[c 2c 2-(c 2+c 2-c 22)2]=√16-44=√3,故选A.3.B 按照程序框图执行,n=6,S=3sin60°=3√32,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n 的值为24,故选B. 4.B 解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.解法二:由题意,得{c +c =100,3c +c 3=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.5.D 如图,直角三角形的斜边长为√82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.6.C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·[93]≠2;k=2,a=16,16-3·[163]=1≠2;k=3,a=23,23-3·[233]=2,23-5·[235]=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.7.B 如图所示,由三视图可还原得到几何体ABCDEF,过E,F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN,可将原几何体切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱锥E-ADHG 和四棱锥F-MBCN,易知直三棱柱的体积为12×3×1×2=3,两个四棱锥的体积相同,都为13×1×3×1=1,则原几何体的体积为3+1+1=5.故选B.8.C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),得s=85,故选C. 9.A Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i =21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,结束循环.故输出的i=23.故选A.10.D 设截面与下底面的距离为h,则①中截面内的圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R 2-h 2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R -h)2;③中截面圆的半径为R-c2,则截面圆的面积为π(c -c 2)2;④中截面圆的半径为√c 2-c 2,则截面圆的面积为π(R 2-h 2).所以①④中截面的面积相等,满足祖暅原理,故选D.11.D 如图,AB=6,设CD=x(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5.由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.12.A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x 2+√c 2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 图象的对称中心上,则正弦函数y=sinx 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.13.答案π8解析 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8. 14.答案 4解析 x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因为4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因为4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因为2>2不成立,2=2成立,所以输出的k=4. 15.答案20√5π3解析 如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√cc 2+A c 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.。
2023年新高考数学创新题型微专题14 集合,复数,逻辑语言专题(数学文化)(解析版)
专题14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i − C ．12i − D ．12i +【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=−,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者【答案】A【分析】由S A B =I 即可判断S 的含义.【详解】解：由图可知，集合S 是集合A 与集合B 的交集， 所以集合S 表示：感染未发病者，即无症状感染者， 故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若p ，则q ”为真命题，则“由p 可以推出q ”，即一旦p 成立，q 就成立，p 是q 成立的充分条件.也可以这样说，若q 不成立，那么p 一定不成立，q 对p 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C5．（2020·陕西榆林·z a bi =+（a ，b ∈R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z r r i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z .故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n 次复系数多项式()f x 在复数集中有n 个复数根（重根按重数计）那么()31f x x =−在复平面内使()0f x =除了1和12−这两个根外，还有一个复数根为（ ）A ．12B ．12−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用方程根的意义，把12−代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因12−是方程()0f x =的根，即32111))22(1(2−−−=⇒==221111)())222(2(−=−−−+⇒=3111)())1222222((−−=−+−⇒=，所以12−是方程()0f x =的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可. 【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x=+，得3πi 43π3πecosisin 44=+=+，即它在复平面内对应的点为22⎛ ⎝⎭， 故位于第二象限. 故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔()ReneDescartes 创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z ，1z =且(1i)0z ⋅+>(其中i 是虚数单位)，则复数z =（ ）ABC D 【答案】C【分析】根据条件，设i z a b =+，再列式求,a b ，即可得到复数. 【详解】设i z a b =+，221a b +=，①()()()()i 1i i>0a b a b a b ++=−++，得0a b +=，且0a b −> ②，由①②解得：a =b =所以22z =−. 故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i 在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i 的重要性．对于方程310x +=，它的两个虚数根分别为（ ）A ．12B ．12−C D 【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD ，A 选项，31110+=+==， 因此选项A 正确，则选项B 错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A ．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=−，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ） A ．12i −+ B ．2i −−C ．12i −±D ．2i −±【答案】C【分析】设出复数z 的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a −++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧−++=⎨+=⎩，解得12a b =−⎧⎨=±⎩，所以12i z =−±. 故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知{}32,A x x n n N *==+∈，{}53,B x x n n N *==+∈，{}72,C x x n n N *==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为 A ．8 B ．127C ．37D ．23【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合A 、B 、C 的表达式，检验是否为A 、B 、C 的元素，即可选出正确选项．【详解】因为8711=⨯+，则8C ∉，选项A 错误；1273421=⨯+，则127A ∉，选项B 错误； 373121=⨯+，则37A ∉，选项C 错误；23372=⨯+，故23A ∈；23543=⨯+，故x B ∈；23732=⨯+，故x C ∈，则23A B C ∈⋂⋂，选项D 正确. 故选：D ．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34,|B x x x =−<<∈Z ，则A B ⋂的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合A ，再根据交集的定义求出A B ⋂，从而可得答案. 【详解】解：依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =−−， 故{}1,2,3A B =，故A B ⋂的子集个数为8． 故选：D ．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和d c （,,,abcd N +∈），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为 A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197. 故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10g B ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g【答案】A【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >）， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m . 由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25bm a=， 则1255b am m a b+=+. 下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab−+−=+−=， 因为a b ¹，所以()250b a ab−>，即1210m m +>. 所以这样可知称出的黄金质量大于10g . 故选：A15．（2022·图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．如果,0a b c >>，那么ac bc >D ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，在正方形的面积为2c ，四个直角三角形的面积和为2ab ，因此有22c ab ≥，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D ．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，可以直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为（ ）A ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）B ．0,0)2a ba b +>>>C ．2a b +≤a ＞0，b ＞0） D ．2aba b≤+a ＞0，b ＞0） 【答案】C【分析】由图形可知()1122OF AB a b ==+，()12OC a b =−，在Rt △OCF 中，由勾股定理可求CF ，结合CF ≥OF 即可得出.【详解】解：由图形可知，()1122OF AB a b ==+，()()1122OC a b b a b =+−=−， 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ∵CF ≥OF ，()12a b ≥+，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z −−的最大值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9【答案】C【分析】由复数几何意义可得(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=，从而将问题转化为点(),Z x y 到点()3,4的距离，则所求最大值为圆心到()3,4的距离加上半径. 【详解】2z =，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z −−的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴−−==.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式i e cos isin x x x =+，（其中i 是虚数单位，e 是自然对数的底数，x ∈R ），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．i πe 10−=B ．i i 2cos e e x x x −=+C ．i i 2sin e e x x x −=−D ．2022i 122⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解. 【详解】对于A ，πi e πcos i πsin 1=+=−，所以i πe 1112−=−−=−，故A 不正确； 对于B ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2cos x x x −+=，故B 正确； 对于C ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2isin x x x −=−，故C 不正确；对于D ，202220222022πi 4ππ2022π2022πcos isin e cosisin 4444⎫⎛⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππcosisin i 22=−−=−，故D 不正确. 故选：B.19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确； 若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】原方程可化为20202(1)1x y +−=，所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对(,)x y ， 因为202022,(,)x y y x y Z +=∈ 所以20202(1)1x y +−=当20201x >或2(1)1y −>时，等号是不能成立的， 所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈ （1）当=1x −时，2(1)0y −=即1y = （2）当0x =时，2(1)1y −=即0y =或2y = （3）当1x =时，2(1)0y −=即1y =综上所述，共有四组解()()()()1,1,0,0,0,2,1,1−− 故选：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A．B ．10 C ．5+D ．252【答案】C【分析】先由勾股定理得2225a b +=，再利用基本不等式易得()250a b +≤，由此得到5a b c ++≤+问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为5c =，直角边为,a b ，则22225a b c +==，因为222ab a b ≤+，所以()222222a b ab a b ++≤+，即()250a b +≤，当且仅当a b =且2225a b +=，即a b ==因为0,0a b >>，所以a b +≤所以该直角三角形周长5a b c c ++≤=+5+. 故选：C.22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；3:P 圆22(1)(1)4x y −+−=的一个太极函数为32()33f x x x x =−+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形；5:P 奇函数都是太极函数；6:P 偶函数不可能是太极函数.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】由定义可知过圆O 的任一直线都是圆O 的太极函数，故1P 正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故2P 错误；∵()()3323311f x x x x x =−+=−+，∴()f x 的图象关于点()1,1成中心对称，又∵圆()()22114x y −+−=关于点()1,1成中心对称，故()3233f x x x x =−+可以为圆()()22114x y −+−=的一个太极函数，故3P 正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故4P 函数可以为太极函数，故5P 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故6P 错误；则错误的命题有3个，故选B.二、多选题23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式i cos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．复数i e 对应的点位于第一象限B ．i e π为纯虚数C ix 的模长等于12D ．i 6e π的共轭复数为12【答案】AC【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，i cos1isin1e =+，因为012π<<，所以cos10,sin10>>，即复数i e 对应的点()cos1,sin1位于第一象限，A 正确；对B ，i cos isin 1e πππ=+=−，i e π为实数，B 错误；对C ()i cos isin ix x x +，ix12，C 正确；对D ，πi 6ππ1cos isin i 662e =++1i 2−，D 错误． 故选：AC ．24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ） A ．i πe 10+=B ．复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限C ．复数πi 3e 1i 2D ．复数i e )(R θθ∈在复平面内对应的点的轨迹是圆 【答案】ABD【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A ；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B ；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C ；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A ，i πcos πisin π1101e 10=++=−+++=，A 正确； 对于B ，2i e cos2isin 2=+，cos 20,sin 20<>，∴复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限，B 正确；对于C ，πi 3cosis ππ1e 33n i 2==+，共轭复数为12，C 错误； 对于D ，i e cos isin (R)θθθθ+∈=，在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ， 又()()22cos 0sin 01θθ−+−=，∴在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选：ABD.25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，③a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）A ．{1,0,1}G =−关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．{|,Z}G m m n =∈关于数的加法构成群 【答案】CD【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A ：若{1,0,1}G =−，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈−=， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即③不成立， 即选项A 错误； 对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项C 正确；对于D：若{|,Z}G m m n =∈，所有的11a m =、22b m G =∈，有1212(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立， 即①成立；当0a b ==时，0a =，满足的0e =，即②成立；a m G ∀=∈，b m G ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项D 正确. 故选：CD.26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2a b+≥； ③由AD AE ≥211a b ≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABCD【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AEAF的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故①正确； 对于②：因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t a b−=，解得abt a b =+，所以AE ==因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b +≥，故②正确； 对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以AD =因为AD AE ≥≥211a b≥+，故③正确； 对于④：因为AD AF ≥≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确； 故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力. 27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点D 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且CD AB ⊥.设AC a =，CB b =，CE OD ⊥，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A2aba b+B．2a b +≤C．2a b+≥ D．22a b +≥【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：根据图形，利用射影定理得：2CD DE OD =，由于：OD CD …，所以：0,0)2a ba b +>>． 由于2·CD AC CB ab ==，所以22CD abDE a b OD ==+所以由于CD DE …，2aba b+． 故选：AC ．【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此..若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ） A ．168cm B ．172cmC ．176cmD ．180cm【答案】BC【分析】设身高为cm x ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高. 【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A B C D 、、、,假设身高为cm x ，即cm =AD x ，，ACCD∴=AC∴=.AC CD x+=，且AC=，=CD x+，=x,12CD x∴==，ABBC∴=,AB∴=,AB BC CD x++=,且AB，CD=，BC x+=，)2BC x∴=,)2AB x∴===,由题意可得26105AB xCD⎧=<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，xx⎧<⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩178.21169.89xx<⎧∴⎨>⎩，169.89178.21x∴<<,故BC正确.故选：BC29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称2a b+为正数,a b,a b的几何平均数，并把这两者()0,02a ba b+≤>>叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A．若4ab=，则4a b+≥B．若0a>，0b>，则()112a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭最小值为C．若(),0,a b∈+∞，21a b+=，1142a b+≥D ．若实数,a b 满足0a >，0b >，4a b +=，则2211a b a b +++的最小值是83 【答案】CD【分析】通过反例可知A 错误；根据基本不等式“1”的应用可求得BC 正误；令11a m +=>，11b n +=>，将所求式子化为62mn+，利用基本不等式可知D 正确. 【详解】对于A ，若2a =−，2b =−，则44a b +=−<，A 错误；对于B ，0a >，0b >，0a b∴>，0ba >，()1122333a b a b a b b a ⎛⎫∴++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），即()112a ba b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为3+B 错误；对于C ，(),0,a b ∈+∞，0a b∴>，0ba >，又21ab +=，()111122224222b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当22b a a b =，即122b a ==时取等号），C 正确；对于D ，令11a m +=>，11b n +=>，则6m n +=，()()22221111116422211m n a bm n a b m n m n m n mn−−+=+=+++−=++=+∴≥+++26832m n =+⎛⎫ ⎪⎝⎭（当且仅当3m n ==时取等号），即2211a ab ++的最小值是83，D 正确. 故选：CD.30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若a b >，01c <<，则a b c c < C ．若1a b >>，1c >，则log log a b c c < D ．若1a b <<−，0c >，则cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】利用不等式性质结合可判断A ，根据指数函数的性质可判断B ，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C ，根据幂函数的性质可判断D.【详解】A 中，0a b <<时，则11a b<，错误；B 中，因为a b >，01c <<，所以a b c c <成立，正确；C 中，因为1a b >>，1c >，所以log log 0c c a b >>，10log log c c a b>⋅，所以11log log c c a b<，即log log a b c c <，正确； D 中，由1a b <<−，可得10a b b a >>>，又0c >，所以cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确.故选：BCD.三、填空题31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b −=__________． 【答案】96i +【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b −=+−=++++−−=+ ；故答案为：96i + .32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】“好汉”⇒“到长城”， “到长城”⇒“好汉”， 所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.【答案】 {}60,120,180 {}*60,N x x n n =∈【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.。
课时练习 数学文化中的二元一次方程组的应用
专题（8）数学文化中的二元一次方程组的应用类型一盈不足问题1. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为( )A.8374x yx y-=⎧⎨+=⎩B.8374x yx y+=⎧⎨-=⎩C.8473x yx y-=⎧⎨+=⎩D.8473x yx y+=⎧⎨-=⎩2. 《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，其大意是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两多少文？类型二几何问题3. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．类型三行程问题4. 请欣赏下列描述《西游记》中孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺丰探妖踪，千里只行4分钟.归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？类型四匹配问题5. 我国古代算术名著《算法统宗》中有这样一道题，原文如下：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？大意为：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？请列方程（或方程组）解答上述问题．6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？易错知识点：实际问题；二元一次方程组易错考法：列二元一次方程组解决盈不足问题、几何问题、行程问题、匹配问题专题（8）数学文化中的二元一次方程组的应用类型一盈不足问题【1题答案】【答案】A【解析】【分析】设共有x人，物品的价格为y元，根据“每人出8元，则多3元：每人出7元，则差4元”，即可得出关于x y，的二元一次方程组．【详解】设共有x人，物品的价格为y元，依题意，得：8374x yx y-=⎧⎨+=⎩．故选：A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．【2题答案】【答案】肉价是每两6文【解析】【分析】设肉价每两x文，哑子有钱y元，根据买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，列出方程组，再解即可．【详解】解：设肉价每两x文，哑子有钱y元，由题意得：1630818x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：666xy=⎧⎨=⎩，答：肉价是每两6文．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．类型二几何问题【3题答案】【答案】1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．【详解】解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1324724x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，答：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．类型三 行程问题【4题答案】【答案】风速为每分钟50里．【解析】【分析】设悟空的速度为每分钟x 里，风速为每分钟y 里，依题意可以列出方程组()()410004600x y x y ⎧+⎪⎨-⎪⎩＝＝，解这个方程组即可解决问题．【详解】解：设悟空的速度为每分钟x 里，风速为每分钟y 里，依题意得：()()410004600x y x y ⎧+⎪⎨-⎪⎩＝＝解这个方程组得20050x y ＝，＝⎧⎨⎩答：风速为每分钟50里．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．类型四 匹配问题【5题答案】【答案】大和尚有25人，小和尚有75人【分析】设大和尚有x 人，小和尚有y 人，根据等量关系：大和尚人数+小和尚人数=100，大和尚的馒头数+小和尚的馒头数=100列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设大和尚有x 人，小和尚有y 人．根据题意，得100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2575x y =⎧⎨=⎩．答：大和尚有25人，小和尚有75人．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到等量关系，正确表示出小和尚的馒头数是解答的关键．【6题答案】【答案】该店有客房8间，该批住店房客有63人【解析】【分析】设该店有客房x 间，该批住店房客有y 人，根据“如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房”列方程组求解即可.【详解】解：设该店有客房x 间，该批住店房客有y 人由题意可知：()7791x y x y+=⎧⎨-=⎩解得：863x y =⎧⎨=⎩答：该店有客房8间，该批住店房客有63人【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．易错知识点：实际问题；二元一次方程组易错考法：列二元一次方程组解决盈不足问题、几何问题、行程问题、匹配问题。
数学文化练习题数学在不同文化中的应用
数学文化练习题数学在不同文化中的应用数学文化练习题:数学在不同文化中的应用数学作为一门学科，在全球范围内都扮演着重要的角色。
它不仅仅是一种计算工具，更是一种文化载体。
数学在不同的文化中，以各种形式得以应用和发展。
本文将通过几个具体的例子，探讨数学在不同文化中的应用。
一、古埃及文化中的数学应用古埃及文化是世界上最古老的文明之一，而数学在古埃及文化中也占据非常重要的地位。
古埃及人善于利用数学解决日常生活中的问题，尤其是建筑和土地测量方面。
他们使用了一种独特的计数系统，基于“凑十法”。
这种计数方法中，数字1~9被表示为横线和点，而数字10则用一个卜字符号表示。
这种计数系统使得古埃及人能够进行复杂的计算，并设计出精确的建筑和工程方案。
二、古希腊文化中的几何学古希腊文化对现代数学几何学的发展影响深远。
古希腊人将几何学从实际问题中提炼出来，形成了独立的数学学科。
他们研究了三角形、多边形和圆形等几何图形的性质和定理。
其中最著名的是欧几里得的《几何原本》。
这本书系统概述了数学公理和定理，并建立了一套完整且严密的推理方法，对后世的数学研究产生了深远的影响。
三、中国古代文化中的“六艺”之数学中国古代文化中的数学应用有着独特的特点。
在古代中国，数学与其他五种艺术技能一起，统称为“六艺”。
古代中国人将数学应用于土地测量、日历制定、农业技术等方面。
在数学的传承和发展中，中国出现了许多杰出的数学家，如《九章算术》的编纂者秦九韶、《数书九章》的作者刘徽等。
他们的研究成果对于后世的数学发展起到了重要的推动作用。
四、阿拉伯文化中的代数学阿拉伯文化对代数学的发展做出了巨大贡献。
阿拉伯数学家通过将字母和符号引入数学，创造性地解决了一系列复杂的代数问题。
阿拉伯人的代数学成果在欧洲中世纪时期被传入，对于欧洲数学的发展产生了极大的影响。
举例来说，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨所著的《和合分之法》是西方最早的代数学专著之一，其中介绍了二次方程的求根方法，对于后来的代数学发展起到了重要的推动作用。
2021届新高考数学二轮专题练习：热点(十三) 数学文化 (含解析)
热点(十三) 数学文化1．[2020·石家庄模拟](古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A. 15B. 25C.35D. 110 2．[2020·山东六地市部分学校线上考试]《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )A.415B. 158C.154 D ．120 3．(函数图象中的数学文化)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f (x )＝x 4|4x －1|的图象大致是( )4．(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )A.1415B.115C.29D.79 5．(数列中的数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为( )A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁6．[2020·新高考Ⅰ卷](立体几何中的数学文化)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(解析几何中的数学文化)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2,0)出发，河岸线所在直线方程x＋y－4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A.10 B．25－1C．2 5 D.10－18．(圆中的数学文化)阿波罗尼斯(约公元前262～190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足|P A||PB|＝2，则|P A|2＋|PB|2的最小值为() A．36－24 2 B．48－24 2C．36 2 D．24 29．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面，现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动．若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n)，则p(4)＝()A．33 B．31C．17 D．1510．(解三角形中的文化)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝14⎣⎡⎦⎤c2a2－⎝⎛⎭⎫c2＋a2－b222(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为42＋25的△ABC满足sin A︰sin B︰sin C＝(2＋1)︰5︰(2－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为()A. 3 B．2 3C. 5 D．2 511．(立体几何中的数学文化)我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD 中，AB＝10，BC＝CD＝DA＝8，在等腰梯形ABEF中，EF＝6，AF＝BE＝6.将等腰梯形ABCD 沿AB折起，使DF＝CE＝26，则五面体ABCDFE中异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A．0 B.2 4C．－24 D.2212．(多选题)(生活中的数学文化)《九章算术·衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中正确的是()A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少13．(三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则1－2cos2 27°3m n＝________.14．(数列中的数学文化)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系数数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1,1,2,3,5,8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n}为“斐波那契”数列，S n为数列{a n}的前n项和，若a2 020＝M，则S2 018＝________.(用M表示)15．[2020·山东烟台、菏泽联考](二项式定理中的数学文化)杨辉三角，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到(a＋b)n展开式的二项式系数．根据相关知识可求得(1－2x)5展开式中的x3的系数为________．16．[2020·山东肥城一中模拟](立体几何中的数学文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱ABC -A1B1C1是一个“堑堵”，其中AB＝BC＝BB1＝2，点M是A1C1的中点，则四棱锥M-B1C1CB的外接球的表面积为________．热点(十三) 数学文化1．答案：B解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为C 25＝10.又6和28恰好在第一组有1种情况，6,28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为1＋310＝25，故选B.2．答案：C解析：由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α＝l r ＝308＝154(弧度)，故选C.3．答案：D解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 44x －1，x ＞0，x41－4x，x ＜0，f (－x )＝x 4|4－x －1|＝x 4·4x|4x －1|≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，所以f (x )没有奇偶性，而A ，B 选项中的图象关于y 轴对称，排除A ，B ；当x →－∞时，f (x )＝x 41－4x→＋∞，排除C ，选D. 4．答案：A解析：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以P (A )＝C 23C 210＝115，因此P (A )＝1－P (A )＝1－115＝1415，故选A.5．答案：C解析：设这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ， 由题可知{a n }是等差数列，设公差为d ，则d ＝－3， 又由S 9＝207，即S 9＝9a 1＋9＋82×(－3)＝207，解得a 1＝35，即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C. 6．答案：B解析：过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点A 处的水平面，GF ⊥CD ，CD ∥OB ，∠AOB ＝40°，∠OAE ＝ ∠OAF ＝90°，所以∠GF A ＝∠CAO ＝∠AOB ＝40°.故选B.7．答案：B解析：设点A 关于直线x ＋y ＝4的对称点A ′(a ，b )，k AA ′＝ba －2， AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2＝1a ＋22＋b 2＝4解得a ＝4，b ＝2，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，即为点A ′和圆上的点连线的最小值，即为点A ′和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为 4＋16－1＝25－1，故选B.8．答案：A解析：以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)、B (1,0)，设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2，两边平方并整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0⇒(x －3)2＋y 2＝8，所以P 点的轨迹是以(3,0)为圆心，22为半径的圆，则有|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2＝2|OP |2＋2，如图所示：当点P 为圆与x 轴的交点(靠近原点)时，此时， OP 取最小值，且OP ＝3－22，因此，|P A |2＋|PB |2≥2×(3－22)2＋2＝36－242，故选A. 9．答案：D解析：由题意，把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p (n )，则把起始柱上的(除最底下的)圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数为p (n －1)，则有p (n )＝2p (n －1)＋1，所以p (n )＋1＝2[p (n －1)＋1]，又p (1)＝1，即{p (n )＋1}是以p (1)＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，p (n )＋1＝2n ，所以p (n )＝2n －1，故p (4)＝24－1＝15，故选D.10．答案：A解析：因为sin A ︰sin B ︰sin C ＝(2＋1)︰5︰(2－1)， 则由正弦定理得a ︰b ︰c ＝(2＋1)︰5︰(2－1)． 设a ＝(2＋1)x ，b ＝5x ，c ＝(2－1)x ， 又周长为42＋25，所以42＋25＝(2＋1)x ＋5x ＋(2－1)x ，解得x ＝2. 所以S ＝14×⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫42×(2－1)2×(2＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×(2＋1)2＋22×(2－1)2－2022 ＝ 3.故选A.11．答案：B解析：如图，过点C 作AB 的垂线，H 为垂足，易知BH ＝1，CH ＝37，AC ＝12.同理，在等腰梯形CDFE 中，对角线DE ＝6 2.过点C 作CG ∥DE 交FE 的延长线于点G ，易知四边形CDEG 是平行四边形，DE 綉CG ，连接AG ，则异面直线AC 与DE 所成的角即直线AC 与CG 所成的角．过点A 作AT ⊥EF ，交EF 的延长线于点T ，则易知AT ＝42，TG ＝16，所以AG ＝12 2. 在△ACG 中，AG ＝122，AC ＝12，CG ＝DE ＝62，由余弦定理得cos ∠ACG ＝144＋72－2882×12×62＝－24.因为异面直线所成的角在⎝⎛⎦⎤0，π2范围内，所以异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为24，故选B.12．答案：ACD 解析：甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知A 、D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109＜12不超过甲。
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一、填空题1、毕达哥拉斯学派发现第一个不能被整数比的数是：22、数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式：恩格斯3、四色猜想的提出者：英国人古德里4、不属于数学起源的河谷地带：密西西比河6、现代数学起源于：19世纪20年代8、高等数学的研究范围不包括：常量11、上海路佳明发现的元朝玉桂：1986年15、极限理论的创立者：柯西二、选择题1、数学文化这个词最早出现于：（ C）A.1986年B.1974年C.1990年D.1996年2、下列不属于黄金分割点的是：（C）A.印堂B.膝盖C.鼻子D.都不对4、《几何学》的作者是：（C）A.牛顿B.莱布尼兹C.笛卡尔D.柯西5、南开大学每年出的杂志，收录数学文化课的学生优秀读书报告，叫做：（ A）A.数学之美B.数学与文化C.数学文化课文集D.数学6、1820-1870年是现代数学的（ C）A.形成阶段B.繁荣阶段C.酝酿阶段D.衰落阶段8、数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学，这个定义是（ B）说的:A.R·柯朗B.恩格斯C.华罗庚D.程景润9、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理在西方叫做：（ B）A.商高定理B.毕达哥拉斯定理C.勾股定理D.都不对12、下列不属于数学起源的河谷地带的是：（ C）A.非洲的尼罗河B.印度的恒河C.北美的密西西比河D.都不对13、上海陆家明发现的元朝玉挂，过去只有在印度才发现过这种“完全幻方”，这个玉挂的发现时间是：（ B）A.1996年B.1986年C.1976年D.1982年15、现代数学起源于：（C）A.十九世纪初B.十九世纪末C.十九世纪二十年代D.二十世纪18、下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：（ B）A.了解数学的思想B.提高解数学题的能力C.学会以数学方式的理性思维观察世界D.都不对22、大多数植物的花瓣数都符合（C）A．黄金分割 B.素数分割 C裴波那契数列 D.都不对27、四色猜想的提出者是哪国人： (B)A．法国 B．英国 C．美国 D．中国32、下面哪一项不是黄金分割点 (A)A．印堂 B．肚脐 C．膝盖 D．肘关节33、（）关于化归提出了“烧水”的例子。
(A)A．波利亚 B．笛卡尔 C．高斯 D．庞加莱39、数学素养不包括（） (B)A．从数学的角度看问题 B．控制问题中的因素 C．有条理地理性思考 D．解决问题时的逻辑能力三、判断题1、所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来。
含有这种命题的系统是不完全的。
(√)2、哲学系的逻辑学专业与数学系的数理逻辑专业没有关系。
(×)3、出入相补原理发布于《海岛算经》，是刘徽的研究成果。
(√)4、优选法在国内的推广者是袁隆平(×)9、卢卡斯数列被称为是斐波那契数列的推广(√)10、只有数学专业的人才需要数学素养，非数学专业的学生不需要数学素养。
(×)13、初等数学时期也称为常量数学时期，这个时期的数学知识后来成为小学数学的内容。
(×)14、数学的研究对象和具体的自然科学的研究对象很不一样，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，是和人相关的，所以可以作为一种文化来研究。
(√)17、希伍德最终证明了五色定理√)20、哲学从一门学科退出，意味着这门学科的建立；数学进入一门学科，意味着这门学科的成熟。
这句话是错误的。
(×)21、保持平面上任意两点间距离不变的运动是保距变换：对22、父女关系与夫妻关系是一种对称关系：错23、之有数学专业的人在需要数学素养：错24、不懂数学的人也可以搞社会学：错25、数学的研究对象和具体的自然科学的研究对象很不一样，具有、、、：对26近代数学时期是公元17世纪到19世纪，和工业革命、天文、航天业的发展有关。
错27、现代数学的成果被广泛运用于各个方面：对28、初等数学时期也称为常量数学时期，这个时期的数学知识后来称为小学数学内容（错）29、哥德尔定理的启示是：数学本身不一定是是形式系统，是我们在探索世界的过程中将数学变成了形式系统对30、连分母是指分母相连的分数：错31、明月松间照，清泉石上流这句话也具有对称性（是）32、高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼：非欧几何33、无理数应该翻译为非比数，有理数应该翻译为成比数：对的34、悖论就是从正确的命题出发经过正确推理得出荒谬结：对35、三角形内角和180度是既不能证明也不能证否的命题：否36、一个非空集合想要成为群，只要满足封闭律、结合律、幺元律、逆元律、中的三个就能称为群了：错37、十进制与人的十个手指有关：是38、归纳与类比一样，都是合情推理：是39、美的东西和有用的东西是相互冲突的：错40、卢卡斯数列被称为是斐波那契数列的推广：是41、韩信点兵重视余数是42、实数系贝克莱否43、求一个孤立问题，从系列入手，问题会复杂化：否44、歌德尔认为，在任何形式系统中，都有既不能证明，也不能证否的命题（是）45、根号二发现之后,毕达哥拉斯学派非常高兴,并将之公诸于众：否46、所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来了，含有这种命题的系统是不完全的：是47、数学可以运用在文学方面，断作者的真伪：是48、出入相补原理发布于《海岛算经》，是刘徽的研究成果：是49、狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展：是50、数学是关于无限的科学是康托：错51、第三次数学危机已经完美解决：否52、阿拉伯人经过独立发展、自力更生，创造了自己的数学，拒绝和其他文化交流：错53、伽利略悖论的产生是由于没有注意有限特点而产生的：错54、有物不知其数的问题出自《孙子算经》：对55、第一次数学危机后，以两个量的比相等，使得几何学脱颖而出，完全解决了无理数带来的危机：错56、抓三推问题可以用二进制来解决：对57、中国剩余定理就是“大衍求一术”，是中国人最早发现的，发表于《数书九章》：对58、哥德尔的第二定理大大推进了公理化系统的发展，维护了希尔伯特的公理化体系设计：错59、大衍求一术是有物不知其数的推广 (Y)60、两个整数的比称为有理数 (Y)61、华罗庚认为数学可以给人类带来音乐、美术、科学等可以给人的一切 (Y)62、在无穷势里面最小的势是可数无穷势。
(Y)63、1是素数 (N)64、勾股定理目前有八十种证明。
(N)65、归纳也是一种推理 (Y)66、数学的精确性只体现在数学逻辑的严密上。
(N)67、金字塔是按照黄金分割法建立的 (Y)68、数学是我们永远不知道说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。
(Y)69、任何命题都是有条件的。
(Y)70、正方形要比三角形更对称 (Y)71、第二次数学危机的核心是微积分的基础部稳固。
(Y)72、送上太空试图与外星人交流的数学思想是勾股定理。
(Y)73、数学是哲学的一部分 (N)74、类比能保证已知的属性和推出的属性之间有必然的联系 (N)75、欧几里得的《几何原本》是公理化思想的萌芽。
(Y)76、三条直线分割平面，最多分成7个部分。
(Y)77、美的东西和有用的东西是相互冲突的 (N)78、第一次数学危机是根2不能写成两个整数之比引发的 (Y)79、斐波那契数列在十九世纪末和二十世纪初突然活跃起来。
(Y)80、对极限给出比较精确的定义的人是牛顿 (N)81、将单因子构件凑成法概括为合成原则的是著名数学家苏步青。
(N)28、《数书九章》在1248年成书。
(N)83、反证法依据逻辑里的排中律 (Y)四、简单题1、什么是可数集？为什么说全体奇数与自然数一样多？答：如果一个集合能与正整数集建立一一对应的映射，则称集合A是可数集。
之所以说全体奇数与自然数一样多，是因为全体奇数能与自然数建立一一对应的关（1→0,3→1,5→2。
），用康托集合论的观点来看，这两个集合的势是相等的。
因为奇数有正奇数也有负奇数，因为负奇数没有什么用处，一般情况下都不提，负奇数的个数当然与自然数中正偶数的个数相同，所以全体奇数与自然数一样多。
2、7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子，猫，老鼠，麦穗和粮食各数值总和。
这一问题产生于哪个国家？哪个时代？7座房子，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。
产生于古埃及的莱茵德草书（阿姆士纸草书）；产生时间大约在公元前1650年左右。
.3、万物皆数是哪个学派的口号？如何理解这一口号？古希腊毕达哥拉斯学派,“他们认为,‘数’乃万物之源”“数的要素即万物的要素”,用数来解释一切./毕达哥拉斯学派主张：数是万物之本源，有了数才有点，有了点才有线、面、体，有了这些几何形体才有宇宙万物. 总之，万物皆数!4、勾股定理最早在何时、何地发现？最早的证明又出现在哪个时代，哪个国家？古希腊的毕达哥拉斯发现大禹治水中国323年－前283年）时期的亚历山大里亚.《圆锥曲线论》是由阿波罗尼奥斯所写的一部经典巨著；托勒密四世。
7、中国最早出现的数学书叫什么？大约成于何时？《算数书》秦或先秦8、中国古代“十部算经”中最重要的是什么？它大概成书于什么时期？《九章算术》, 约公元1世纪的汉代9、朱世杰是哪个时代的人，他在数学上的主要贡献是什么？朱世杰（1249年－1314年）元代对数学的主要贡献是 1.创造了一套完整的消未知数方法(多元高次方程列式与消元解法“四元术”)、 2.高阶等差数列求和方法(“垛积法”)、 3.高次内插法(“招差术”)。
//考点：朱世杰《算术启蒙》（1299，明，商用数学通俗著作）《四元己鉴》（1303，招差术，四元术）古代数学之绝唱五、计算题1、从1到156，甲乙两人轮流报数，每人只能报按自然顺序报一个或者两个数，报到156的人胜，问甲先报，谁能赢？为什么？我们可以这样设想：若是数为1，甲数1，甲必赢，数为2.甲数1、2，甲赢，甲数1，乙数2，乙赢，但是是甲掌握主动权，所以，也算甲必可赢，数为3，甲数1，分：乙数2，甲数3.甲赢，乙数2、3，乙赢，或甲数1、2，乙数3，乙赢，但是是乙掌握主动权，所以是乙必可赢。
同理4、5、6类似1、2、3，而1%3=1、2%3=2、3%3=0，故，156除以3余0，故类似于数3.因此甲先报，乙能赢。
2、今物不知其数，三三除之余2，五五除之余1，七七除之余4，问物几何？（要求详细过程）提示（口诀）三人同行七十稀，五数梅花廿（nian）一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知一一明。
我们从上述四句诗中来找答案：三人同行七十稀，把除以3所得的余数用70乘。
五树梅花日一枝，把除以5所得的余数用21乘。